2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)大學(xué)先修試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）設(shè)集合(A={x\midx^2-3x+2<0})，集合(B={x\mid\sin\pix=0})，則(A\capB)的元素個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3函數(shù)(f(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right))在(x=0)處的極限狀態(tài)是（）A.極限為0B.極限為(\frac{\pi}{2})C.極限為(-\frac{\pi}{2})D.極限不存在已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2,3))，(\boldsymbol=(2,m,6))，若(\boldsymbol{a})與(\boldsymbol)共線，則矩陣(\begin{pmatrix}1&2\m&6\end{pmatrix})的行列式值為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\0,&x=0\end{cases})，則(f(x))在(x=0)處（）A.連續(xù)但不可導(dǎo)B.可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)C.導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.不連續(xù)已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則(\lim\limits_{n\to\infty}na_n=)（）A.0B.1C.2D.不存在極坐標(biāo)方程(\rho=2\cos\theta)表示的曲線與參數(shù)方程(\begin{cases}x=1+\cost\y=\sint\end{cases})（(t)為參數(shù)）表示的曲線的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交于兩點(diǎn)D.重合設(shè)(f(x))為定義在(\mathbb{R})上的可導(dǎo)函數(shù)，且(f'(x)>f(x))，(f(0)=1)，則不等式(f(x)>e^x)的解集為（）A.((0,+\infty))B.((-\infty,0))C.((1,+\infty))D.((-\infty,1))已知矩陣(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix})，則(\boldsymbol{A}^2-4\boldsymbol{A}+3\boldsymbol{E}=)（）A.(\boldsymbol{0})B.(\boldsymbol{E})C.(2\boldsymbol{E})D.(3\boldsymbol{E})函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+3x-1)在區(qū)間([0,2])上的最大值與最小值之差為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)(f(x))在([a,b])上連續(xù)，且(\int_a^bf(x),dx=0)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在(\xi\in(a,b))，使得(f(\xi)=0)B.(f(x))在([a,b])上恒為0C.(f(x))在([a,b])上單調(diào)D.(\int_a^bf^2(x),dx=0)二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）函數(shù)(f(x)=\frac{x}{\lnx})的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________。已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(3,4))，則以(\boldsymbol{a})，(\boldsymbol)為鄰邊的平行四邊形的面積為_(kāi)_________。設(shè)(f(x)=\int_0^xte^{-t^2}dt)，則(f(x))的極值點(diǎn)為(x=)__________。行列式(\begin{vmatrix}1&1&1\a&b&c\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}=)__________（用(a,b,c)表示）。已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)，則函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,2])上的平均值為_(kāi)_________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）16.（10分）設(shè)函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)，其中(a\in\mathbb{R})。（1）討論(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值。17.（12分）已知矩陣(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，(\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix})。（1）求(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})及(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})；（2）解矩陣方程(\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B})。18.（12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{1}{x})。（1）求(f(x))的極值；（2）證明：對(duì)任意(x>0)，(\lnx+\frac{2}{x}>1)。19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(C)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=t^2-1\y=2t\end{cases})（(t)為參數(shù)）。（1）求曲線(C)的普通方程；（2）過(guò)點(diǎn)(P(0,1))作曲線(C)的切線，求切線方程。20.（12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(S_n=2a_n-n)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）證明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_ka_{k+1}}<\frac{1}{2})。21.（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x+\ln(x+1))。（1）求(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)(g(x)=f(x)-ax+1)，若(g(x))在((0,+\infty))上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）一、選擇題B2.D3.A4.C5.B6.C7.A8.A9.A10.A二、填空題((1,e))12.213.014.((b-a)(c-a)(c-b))15.1三、解答題（要點(diǎn)）16.（1）(f'(x)=e^x-a)，分(a\leq0)和(a>0)討論；（2）(a=1)。17.（1）(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}3&3\7&7\end{pmatrix})，(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}10&7\22&15\end{pmatrix})；（2）(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0&-1\1&1\end{pmatrix})。18.（1）極小值(f(1)=1)，無(wú)極大值；（2）構(gòu)造函數(shù)(h(x)=\lnx+\frac{2}{x}-1)，求導(dǎo)證明最小值大于0。1