2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)保險(xiǎn)精算入門試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題4分，共60分）利息理論中，實(shí)際利率與名義利率的根本區(qū)別在于（）A.計(jì)算周期不同B.利率數(shù)值大小不同C.是否考慮通貨膨脹D.是否包含手續(xù)費(fèi)某人年初存入銀行1000元，年利率為5%，按復(fù)利計(jì)算，5年后的本利和為（）A.(1000\times(1+0.05\times5))B.(1000\times(1+0.05)^5)C.(1000\timese^{0.05\times5})D.(1000\div(1+0.05)^5)生存函數(shù)(S(x))表示年齡為(x)歲的人存活到未來(lái)某時(shí)刻的概率，其取值范圍是（）A.(S(x)\geq1)B.(0<S(x)<1)C.(0\leqS(x)\leq1)D.(S(x)\leq0)生命表中，(l_x)表示(x)歲的生存人數(shù)，(d_x)表示(x)歲的死亡人數(shù)，則兩者的關(guān)系為（）A.(d_x=l_x-l_{x+1})B.(d_x=l_{x+1}-l_x)C.(d_x=l_x\timesl_{x+1})D.(d_x=l_x\divl_{x+1})某定期壽險(xiǎn)產(chǎn)品規(guī)定：被保險(xiǎn)人在30-50歲期間死亡，保險(xiǎn)公司賠付10萬(wàn)元。若被保險(xiǎn)人現(xiàn)年30歲，其精算現(xiàn)值的計(jì)算依據(jù)是（）A.30歲的生存概率B.30-50歲的累計(jì)死亡概率C.50歲的死亡概率D.30歲的死亡概率期初付年金與期末付年金的區(qū)別在于（）A.期初付年金現(xiàn)值更高B.期末付年金終值更高C.付款時(shí)間不同，前者在每期期初付款D.計(jì)息方式不同，前者按單利計(jì)算在死亡均勻分布假設(shè)下，非整數(shù)年齡(x+t)（(0<t<1)）的生存函數(shù)(S(x+t))可表示為（）A.(S(x)\times(1-t))B.(S(x)-t\times(S(x)-S(x+1)))C.(S(x)\timese^{-t\mu(x)})D.(S(x)\timest)某終身壽險(xiǎn)產(chǎn)品的保險(xiǎn)金額為20萬(wàn)元，若被保險(xiǎn)人現(xiàn)年40歲，年利率為3%，則該產(chǎn)品的精算現(xiàn)值計(jì)算公式為（）A.(200000\times\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\timesq_{40+k})B.(200000\times\sum_{k=0}^{\infty}v^{k}\timesp_{40+k})C.(200000\timesv^{40}\timesq_{40})D.(200000\timesv^{60}\timesp_{40})（其中(v=(1+i)^{-1})，(q_x)為死亡概率，(p_x)為生存概率）保險(xiǎn)精算中的“精算等價(jià)原理”是指（）A.保費(fèi)收入等于賠付支出B.保費(fèi)的精算現(xiàn)值等于賠付的精算現(xiàn)值C.保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)為零D.被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)與保費(fèi)成正比某5年期兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為50萬(wàn)元，若被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡或期滿生存，均賠付50萬(wàn)元。其精算現(xiàn)值的計(jì)算需考慮（）A.僅死亡風(fēng)險(xiǎn)B.僅生存風(fēng)險(xiǎn)C.死亡風(fēng)險(xiǎn)與生存風(fēng)險(xiǎn)的疊加D.既不考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)也不考慮生存風(fēng)險(xiǎn)某生存年金每年年末給付1萬(wàn)元，給付期為10年，若被保險(xiǎn)人現(xiàn)年60歲，年利率為4%，則該年金的精算現(xiàn)值為（）A.(10000\times\sum_{k=1}^{10}v^k\timesp_{60+k-1})B.(10000\times\sum_{k=0}^{9}v^k\timesp_{60+k})C.(10000\times\sum_{k=1}^{10}v^k\timesq_{60+k-1})D.(10000\times\sum_{k=0}^{9}v^k\timesq_{60+k})責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為履行未來(lái)賠付責(zé)任而提取的資金，其本質(zhì)是（）A.投保人預(yù)先支付的保費(fèi)B.保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)儲(chǔ)備C.未來(lái)賠付的精算現(xiàn)值與未來(lái)保費(fèi)的精算現(xiàn)值之差D.保險(xiǎn)公司的投資收益在利率為5%的情況下，現(xiàn)值為1000元的永續(xù)年金，其每年的給付金額為（）A.20元B.50元C.100元D.200元某非壽險(xiǎn)產(chǎn)品的損失額服從均值為1000元、標(biāo)準(zhǔn)差為200元的正態(tài)分布，若保險(xiǎn)公司希望覆蓋95%的損失風(fēng)險(xiǎn)，則保險(xiǎn)金額應(yīng)至少設(shè)定為（）A.1000元B.1200元C.1392元D.1600元（注：正態(tài)分布95%分位數(shù)約為1.96）精算學(xué)中，利息強(qiáng)度(\delta)與實(shí)際利率(i)的關(guān)系為（）A.(\delta=\ln(1+i))B.(\delta=1+i)C.(\delta=e^i-1)D.(\delta=i)二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）某人向銀行貸款10萬(wàn)元，年利率為6%，分5年等額償還，每年年末還款金額為_(kāi)_______元（精確到整數(shù)）。生命表中，(e_x)表示(x)歲人的平均余壽，若(l_x=1000)，(l_{x+1}=980)，(l_{x+2}=950)，則在死亡均勻分布假設(shè)下，(e_x)的近似值為_(kāi)_______。某定期壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)金額為100萬(wàn)元，被保險(xiǎn)人現(xiàn)年35歲，保險(xiǎn)期限20年，若年利率為2%，第(k)年的死亡概率為(q_{35+k})，則該產(chǎn)品的躉繳純保費(fèi)為_(kāi)_______萬(wàn)元（用符號(hào)表示，無(wú)需計(jì)算數(shù)值）。名義利率為6%，每年復(fù)利4次，則實(shí)際利率為_(kāi)_______%（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。生存函數(shù)(S(x))與死亡函數(shù)(F(x))的關(guān)系為_(kāi)_______。某期初付永續(xù)年金每年給付5000元，年利率為4%，其現(xiàn)值為_(kāi)_______元。某保險(xiǎn)公司簽發(fā)了1000份相同的定期壽險(xiǎn)保單，若每份保單的死亡概率為0.002，則一年內(nèi)預(yù)計(jì)賠付的保單份數(shù)為_(kāi)_______。在精算實(shí)務(wù)中，生命表通常分為國(guó)民生命表和________生命表，后者更能反映被保險(xiǎn)人的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)。某兩全保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值由定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值和________精算現(xiàn)值兩部分組成。利息理論中，累積函數(shù)(a(t))滿足(a(0)=1)，若(a(2)=1.1025)，則對(duì)應(yīng)的實(shí)際利率為_(kāi)_______%。三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題15分，共60分）1.利息理論與年金計(jì)算某家庭計(jì)劃為孩子準(zhǔn)備教育基金，方案如下：從孩子1歲開(kāi)始，每年年初存入銀行5000元，連續(xù)存入18年；銀行年利率為3%，按復(fù)利計(jì)算。（1）計(jì)算18年后該教育基金的積累值；（7分）（2）若孩子18歲時(shí)需一次性取出全部資金用于大學(xué)教育，若大學(xué)四年每年學(xué)費(fèi)為3萬(wàn)元，剩余資金可繼續(xù)按3%年利率復(fù)利增值，判斷該基金是否足夠支付學(xué)費(fèi)。（8分）2.生命表與生存概率計(jì)算已知某生命表部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：年齡(x)生存人數(shù)(l_x)死亡人數(shù)(d_x)509000150518850180528670210538460240（1）計(jì)算50歲人的死亡概率(q_{50})和生存概率(p_{50})；（5分）（2）計(jì)算50歲人在52歲至53歲期間死亡的概率；（5分）（3）在死亡均勻分布假設(shè)下，計(jì)算50.5歲人的生存函數(shù)(S(50.5))。（5分）3.壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值計(jì)算某30歲男性購(gòu)買一份終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為50萬(wàn)元，約定死亡時(shí)立即賠付。已知：年利率(i=2%)，利息強(qiáng)度(\delta=\ln(1+i))；死亡力(\mu(x)=0.001+0.0001x)（(x)為年齡）。（1）寫(xiě)出該壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值的積分表達(dá)式；（5分）（2）計(jì)算該精算現(xiàn)值的近似值（提示：可將積分區(qū)間分為30-60歲和60歲以后兩段近似計(jì)算，60歲以后死亡力近似為常數(shù)）。（10分）4.責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算某20年期定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為20萬(wàn)元，被保險(xiǎn)人現(xiàn)年40歲，年繳純保費(fèi)為(P)，年利率為3%。已知：第10年末的生存人數(shù)(l_{50}=8000)，死亡概率(q_{50}=0.005)；第11年末的生存人數(shù)(l_{51}=7960)。（1）寫(xiě)出第10年末責(zé)任準(zhǔn)備金(V_{10})的計(jì)算公式（基于未來(lái)法）；（5分）（2）若(P=500)元，計(jì)算(V_{10})的數(shù)值（精確到整數(shù)）。（10分）四、應(yīng)用題（本大題共1小題，共30分）某保險(xiǎn)公司計(jì)劃推出一款“學(xué)生平安保險(xiǎn)”，針對(duì)15-22歲學(xué)生，保障內(nèi)容包括：意外死亡賠付：保險(xiǎn)金額50萬(wàn)元，保險(xiǎn)期限1年；意外醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷：保額1萬(wàn)元，報(bào)銷比例80%，免賠額100元。已知：15-22歲學(xué)生的意外死亡率為0.0005，意外醫(yī)療發(fā)生率為0.1（即