2025年下學(xué)期高中基于分類學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分類訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax^2$在區(qū)間$[1,e]$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。（考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，需分$a>0$、$a=0$、$a<0$三種情況討論）設(shè)函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，若$f(0)=0$且$f'(0)=0$，（1）求$a$、$b$的值；（2）證明：當(dāng)$x\geq0$時，$f(x)\geq\frac{x^4}{4!}$。（涉及泰勒展開式的應(yīng)用，需構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-\frac{x^4}{24}$并分析其單調(diào)性）（二）導(dǎo)數(shù)綜合題組已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-kx+k$（$k\in\mathbb{R}$）有兩個極值點$x_1$、$x_2$（$x_1<x_2$），（1）求$k$的取值范圍；（2）證明：$x_1x_2>e^2$。（需結(jié)合極值點偏移技巧，構(gòu)造對稱函數(shù)$h(x)=f(x)-f\left(\frac{e^2}{x}\right)$）二、立體幾何分類突破（一）空間幾何體體積計算如圖1，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=120^\circ$，$D$為$B_1C_1$的中點，求三棱錐$A_1-BDC$的體積。（推薦使用等體積法：$V_{A_1-BDC}=V_{D-A_1BC}$，關(guān)鍵計算$\triangleA_1BC$的面積）（二）空間向量與動態(tài)問題在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$在棱$CC_1$上運動（不含端點），平面$\alpha$過點$A$、$P$、$D_1$，（1）證明：平面$\alpha\perp$平面$A_1BD$；（2）當(dāng)$CP=1$時，求平面$\alpha$與平面$ADD_1A_1$所成銳二面角的余弦值。（建立空間直角坐標(biāo)系后，需用參數(shù)$t$表示點$P(0,2,t)$的坐標(biāo)）三、解析幾何分類探究（一）圓錐曲線性質(zhì)應(yīng)用已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦點為$F$，過$F$且斜率為$k$的直線交橢圓于$A$、$B$兩點，若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，求$k$的值。（可采用“點差法”或聯(lián)立方程后利用韋達定理，注意焦半徑公式的應(yīng)用）（二）軌跡方程與存在性問題已知拋物線$E:y^2=4x$的焦點為$F$，過點$M(4,0)$的直線$l$與拋物線交于$P$、$Q$兩點，（1）求$\triangleFPQ$面積的最小值；（2）是否存在定點$N$，使得$\anglePNF=\angleQNF$恒成立？若存在，求出點$N$的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（面積計算需用弦長公式結(jié)合點到直線距離，第二問可轉(zhuǎn)化為角平分線性質(zhì)的坐標(biāo)表示）四、概率統(tǒng)計分類應(yīng)用（一）復(fù)雜分布列與期望某工廠生產(chǎn)的電子元件分為A、B、C三級，其中A級品率為$\frac{1}{2}$，B級品率為$\frac{1}{3}$，C級品率為$\frac{1}{6}$?，F(xiàn)采用分層抽樣的方法從1000件產(chǎn)品中抽取50件進行檢測，（1）求各級產(chǎn)品抽取的件數(shù)；（2）從抽取的B級品和C級品中隨機選取2件，記$X$為其中C級品的件數(shù)，求$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注意分層抽樣中各層樣本量的計算：A級25件、B級$\frac{50}{3}$件（需修正為整數(shù)）、C級$\frac{25}{3}$件）（二）統(tǒng)計案例分析為研究學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間$x$（單位：小時）與數(shù)學(xué)成績$y$（單位：分）的關(guān)系，某學(xué)校隨機抽取10名學(xué)生的數(shù)據(jù)如下表：$x$8101214151618202224$y$65707580828588909395（1）求$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（2）若某學(xué)生每周學(xué)習(xí)時間為25小時，預(yù)測其數(shù)學(xué)成績；（3）計算相關(guān)系數(shù)$r$，并判斷線性相關(guān)程度（精確到0.001）。（參考數(shù)據(jù)：$\sumx_i=169$，$\sumy_i=823$，$\sumx_i^2=3005$，$\sumy_i^2=68367$，$\sumx_iy_i=14149$）五、數(shù)列與不等式分類拓展（一）遞推數(shù)列求通項已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$（$n\in\mathbb{N}^*$），（1）證明：數(shù)列$\left{\frac{1}{a_n}\right}$是等差數(shù)列；（2）若$b_n=a_na_{n+1}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$S_n$。（典型的“倒數(shù)法”構(gòu)造等差數(shù)列，裂項相消法求和）（二）不等式證明專題已知正實數(shù)$a$、$b$、$c$滿足$a+b+c=3$，（1）證明：$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3$；（2）若$a,b,c\in\mathbb{N}^*$，求$a^2+b^2+c^2$的最小值。（第一問使用柯西不等式：$(\frac{a^2}+b)(b+c+a)\geq(a+b+c)^2$，第二問需枚舉所有正整數(shù)解）六、選考模塊分類訓(xùn)練（一）坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線$C_1$的極坐標(biāo)方程為$\rho=2\cos\theta$，曲線$C_2$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+\cos\alpha\y=\sin\alpha\end{cases}$（$\alpha$為參數(shù)），（1）求$C_1$與$C_2$的直角坐標(biāo)方程；（2）求$C_1$與$C_2$的公共弦長。（需聯(lián)立方程$\begin{cases}(x-1)^2+y^2=1\x^2+y^2=2x\end{cases}$，兩式相減得公共弦所在直線方程）（二）不等式選講已知函數(shù)$f(x)=|x-1|+|x+2|$，（1）求不等式$f(x)\leq5$的解集；（2）若關(guān)于$x$的不等式$f(x)\geq|m-1|+|2m+1|$有解，求實數(shù)$m$的取值范圍。（零點分段法解絕對值不等式，注意“有解”與“恒成立”的區(qū)別）七、創(chuàng)新題型分類探究（一）數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用題《九章算術(shù)》中“粟米章”記載：“今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？答曰：六升?！保ㄋ诿祝旱竟龋患c米：糙米，出米率為60%）?，F(xiàn)有稻谷10石（1石=10斗，1斗=10升），加工過程中分為三道工序：第一道：稻谷→糙米（出米率60%，損耗率5%）第二道：糙米→精米（出米率80%，損耗率10%）第三道：精米→免淘米（出米率90%，無損耗）（1）求10石稻谷可加工出多少升免淘米；（2）若每升免淘米售價3元，稻谷收購價為2元/升，計算加工后的利潤率（精確到0.1%）。（注意單位換算：10石=1000升，各工序損耗需疊加計算）（二）開放性問題已知集合$M={1,2,3,\cdots,100}$，定義“特征數(shù)”$T(A)$：對于非空子集$A\subseteqM$，若$A$中所有元素之和為$S$，則$T(A)=\begin{cases}1,&S\text{為奇數(shù)}\0,&S\text{為偶數(shù)}\end{cases}$。（1）寫出一個子集$A$使得$T(A)=1$且$|A|=5$；（2）探究：集合$M$的所有非空子集的特征數(shù)之和$T$是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由。（可從二進制角度分析，每個元素對總和的貢獻獨立，共有$2^{99}$個子集含奇數(shù)個奇數(shù)元素）參考答案與評分標(biāo)準（部分）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)$a\geq-\frac{1}{2e^2}$（過程需寫出$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}+2ax\geq0$在$[1,e]$恒成立）（1）$0<k<\frac{1}{2}$；（2）提示：構(gòu)造$h(x)=\lnx-\frac{2(x-1)}{x+1}$證明$\lnx_1+\lnx_2>2$二、立體幾何$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（關(guān)鍵步驟：$S_{\triangleA_1BC}=2\sqrt{3}$，高$h=\frac{1}{2}AA_1=1$）三、解析幾何$k=\pm2\sqrt{6}$（聯(lián)立方程后利用$\frac{y_1}{y_2}=-3$及韋達定理$y_1+y_2=\frac{-2pk}{1+k^2}$）（注：完整參考答案含15道題的詳細解析，共3800余字，此處僅展示部分典型題）