經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的極限目錄01函數(shù)的極限02無窮小和無窮大03極限運算法則04兩個重要極限本章學(xué)習(xí)基本要求了解函數(shù)極限的概念了解無窮小與無窮大的概念掌握極限的四則運算法則知道極限存在的兩個準(zhǔn)則，會用兩個重要極限求極限013.1函數(shù)的極限一、數(shù)列的極限（一）數(shù)列按一定規(guī)則排列的無窮多個數(shù)x1，x2，…，xn，…稱為數(shù)列，簡記為{xn}。其中x1叫第一項，x2叫第二項，xn叫第n項，xn也叫數(shù)列的一般項（或通項）。都是數(shù)列，它們的一般項分別為如果數(shù)列{xn}滿足x1

x2

…

xn

…，則稱數(shù)列{xn}單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿足x1

x2

…

xn

…，則稱數(shù)列單調(diào)減少的；單調(diào)增加或單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱單調(diào)數(shù)列。（二）數(shù)列的極限定義3.1對于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n無限增大時，xn趨于一個固定常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列{xn}以A為極限，記作

或亦稱數(shù)列{xn}收斂于A，如果數(shù)列{xn}無極限，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。如數(shù)列{2n}和(

1)n發(fā)散二、函數(shù)的極限（一）x

時，函數(shù)f(x)

的極限定義3.2如果當(dāng)x的絕對值無限增大時，函數(shù)f(x)趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)x趨于無窮時，函數(shù)f(x)以A為極限，記作或例如定義3.3如果x>0且無限增大時，函數(shù)f(x)趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)x趨于正無窮時，函數(shù)f(x)以A為極限，記作或例如定義3.4如果x<0絕對值無限增大時，函數(shù)f(x)趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)x趨于負(fù)無窮時，函數(shù)f(x)以A為極限，記作或例如直觀上有：（二）x

x0時，函數(shù)f(x)

的極限定義3.5設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域（x0可除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)x趨于x0（x

x0）時，函數(shù)f(x)趨于常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時的極限，記作或亦稱當(dāng)x趨于x0時，函數(shù)f(x)的極限存在，否則稱當(dāng)x趨于x0時，函數(shù)f(x)無極限。例如（C為常數(shù)）注意：函數(shù)f(x)在點x0是否有極限與f(x)在點x0是否有定義無關(guān)，如在x=1點沒有定義，但（三）函數(shù)的左右極限左極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的左鄰域（x0可除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)x趨于x0時，函數(shù)f(x)趨于常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時的左極限，記作或右極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的右鄰域（x0可除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)x趨于x0時，函數(shù)f(x)趨于常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時的右極限，記作

或例3-1設(shè)函數(shù)，求和解函數(shù)f(x)在點x0的左、右極限與的極限關(guān)系如下定理3.1當(dāng)x

x0時，函數(shù)f(x)極限存在的充分必要條件是函數(shù)f(x)的左右極限存在且相等。即若則，反之，若則。如上例，因為所以，當(dāng)x

x0時，f(x)的極限不存在。023.2無窮小和無窮大一、無窮小（一）無窮小的定義定義3.6如果當(dāng)x

x0（或x

）時，函數(shù)f(x)的極限為零，則稱當(dāng)x

x0（或x

）時，f(x)為無窮小量，簡稱無窮小。如所以是當(dāng)x

0時的無窮小，

，所以x

1是當(dāng)x

1時的無窮小。注意：0是無窮小，除0以外，任意常數(shù)都不是無窮小。一、無窮?。ǘo窮小的性質(zhì)性質(zhì)1

同一極限過程中兩個無窮小的代數(shù)和還是無窮小性質(zhì)2

有界函數(shù)或常數(shù)與無窮小的乘積還是無窮小。性質(zhì)3

無窮小與無窮小的乘積還是無窮小。例如，因為x

0時，x是無窮小量，有界，所以為無窮小。二、無窮大（一）無窮大的定義定義3.6如果當(dāng)x

x0（或x

）時，函數(shù)f(x)的絕對值|f(x)|無限增大，則稱當(dāng)x

x0（或x

）時，f(x)為無窮大量，簡稱無窮大，記為

（或）如注意：只是一種記號，并不意味函數(shù)有極限，只表示在x

x0過程中函數(shù)的絕對值無限增大的狀態(tài)。極限必須是確定的常數(shù)。在變化過程中，如果f(x)>0，則記作，如果f(x)<0，則記作（二）無窮大與無窮小的關(guān)系定理3.2在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則為無窮小，反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)

0，則為無窮大。例如三、無窮小的比較定義3.8設(shè)

(x)，

(x)是同一變化過程中的無窮小，且

(x)

0，（1）若，則稱

(x)是比

(x)高階的無窮小，記為

(x)

=o(

(x))。（2）若，則稱

(x)是比

(x)低階的無窮小。（3）若(C是不等于0的常數(shù))，則稱

(x)與

(x)是同階無窮小。特別，如果C=1，則稱

(x)與

(x)是等價無窮小。（4）若不存在（也不為

），則

(x)與

(x)不能比較。033.3極限運算法則定理3.3設(shè)limf(x)=A，limg(x)=B，則（1）lim[f(x)

g(x)]

=A

B；（2）lim[f(x)

g(x)]

=A

B，

limCf(x)

=CA（C為常數(shù)）

lim[f(x)]n

=An（n為正整數(shù)）（3）例題

1

解2解例題

3

解4解例題

5

解6解例題

7

解一般地如例題

8

解043.4兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則I

（夾逼定理）假設(shè)在包含x0的某開區(qū)間（x0可以除外）內(nèi)，滿足1)g(x)

f(x)

h(x)2)則準(zhǔn)則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限。因為，

AOB的面積<扇形AOB的面積<AOD的面積，所以不等式同除得或因為，所以有準(zhǔn)則I，可得所以，二、兩個重要極限AOBDCxR=1二、兩個重要極限（一）第一個重要極限證明函數(shù)除x=0外都有定義，并且是偶函數(shù)，所以只要證明即可設(shè)單位元O，圓心角

AOB=x，()過A點作圓O的切線交OB延長線于D，又BC

OA，則AOBD