2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)社團成果展示試卷一、趣味數(shù)學(xué)與邏輯推理（共30分）（一）數(shù)字謎題（每題5分，共10分）在下圖的3×3方格中，填入1-9的數(shù)字（每個數(shù)字僅用一次），使每行、每列及兩條對角線上的數(shù)字之和均相等。已知方格中心已填入數(shù)字5，請完成剩余空格?！酢酢酢?□□□□有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為12，將個位與十位數(shù)字對調(diào)后得到的新數(shù)比原數(shù)大18，求原數(shù)。（二）邏輯推理（每題10分，共20分）社團開展數(shù)學(xué)密室逃脫活動，設(shè)置了四個密碼鎖，線索如下：密碼A是3的倍數(shù)，且各位數(shù)字之和為9；密碼B是密碼A的2倍，且為偶數(shù)；密碼C比密碼B小15，且能被5整除；密碼D是A、B、C的平均數(shù)。請根據(jù)線索依次寫出A、B、C、D的值。某社團小組有5名成員，他們分別擅長數(shù)論、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計和邏輯推理。已知：擅長幾何的成員不與擅長代數(shù)的成員相鄰；數(shù)論專家比統(tǒng)計專家年齡大；邏輯推理專家是小組組長；代數(shù)專家和統(tǒng)計專家是同桌。請列出5人的專長順序（從左至右）。二、數(shù)學(xué)建模與實際應(yīng)用（共40分）（一）校園問題解決（每題10分，共20分）學(xué)校計劃在操場旁修建一個長方形花壇，周長固定為24米。社團成員需要設(shè)計花壇尺寸，使得面積最大。（1）設(shè)長方形的長為x米，用含x的代數(shù)式表示寬和面積；（2）求出面積最大時的長和寬，并計算最大面積。社團組織校園義賣活動，某小組銷售手工制作的數(shù)學(xué)模型。已知制作一個模型的成本為8元，售價為15元，若每天可賣出20個。為提高銷量，決定每降價1元，每天多賣出5個。（1）設(shè)降價x元，用含x的代數(shù)式表示每天的利潤；（2）當降價多少元時，每天利潤最大？最大利潤是多少？（二）生活中的數(shù)學(xué)（每題10分，共20分）社團成員參與社區(qū)垃圾分類調(diào)研，統(tǒng)計了某小區(qū)一周內(nèi)可回收垃圾的重量（單位：kg）：50,62,48,55,70,53,65（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差；（2）若該小區(qū)有300戶居民，估計每月（按4周計算）可回收垃圾總量。為籌備社團成果展，需將6個不同的數(shù)學(xué)模型擺放在圓形展臺上，要求模型A和模型B必須相鄰，且模型C不能與模型D相對。共有多少種不同的擺放方式？三、代數(shù)綜合應(yīng)用（共30分）（一）代數(shù)變形與計算（每題5分，共10分）設(shè)(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，求代數(shù)式(a^2+2a+2024)的值。已知(x+y=5)，(xy=3)，求(x^4+y^4)的值。（二）方程與函數(shù)（每題10分，共20分）對于任意實數(shù)(x,y)，定義運算“(\otimes)”：(x\otimesy=ax+by+cxy)，其中(a,b,c)為常數(shù)。若(1\otimes2=3)，(2\otimes3=4)，且有一個非零實數(shù)(m)使得對任意實數(shù)(x)都有(x\otimesm=x)，求(m)的值。已知關(guān)于(x)的方程(x^2+(k-2)x+k^2=0)的兩個根互為倒數(shù)，求(k)的值及方程的根。四、幾何探究（共30分）（一）平面幾何（每題10分，共20分）已知(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(D)在邊(BC)上，且(BD=2)，將(\triangleABD)沿(AD)翻折得到(\triangleAB'D)，求(B'C)的長度。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(E)是邊(BC)上一點，將(\triangleABE)沿(AE)折疊，點(B)落在點(F)處，若(CF=DF)，求(BE)的長度。（二）幾何綜合應(yīng)用（10分）正方形(ABCD)邊長為8，點(E)在邊(BC)延長線上，且(AE=10)，過點(D)作(DF\perpAE)于點(F)，求(DF)的長度。五、統(tǒng)計與概率（共20分）（一）數(shù)據(jù)分析（10分）社團成員收集了某年級50名學(xué)生的數(shù)學(xué)月考成績，整理得到如下頻數(shù)分布表：成績區(qū)間40-5050-6060-7070-8080-9090-100頻數(shù)25815128（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若80分以上為優(yōu)秀，估計全年級300名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)。（二）概率計算（10分）一枚質(zhì)地均勻的骰子，六個面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，連續(xù)投擲兩次，記第一次點數(shù)為(a)，第二次點數(shù)為(b)。（1）求(a+b=7)的概率；（2）求(a^2+b^2)為完全平方數(shù)的概率。六、數(shù)論與組合數(shù)學(xué)（共20分）（一）數(shù)論基礎(chǔ)（10分）已知正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，求(a)的最大值。滿足(x^2+y^2=2025)的正整數(shù)對((x,y))有多少組？（二）組合計數(shù)（10分）某社團有10名成員，其中3名男生和7名女生?，F(xiàn)要從中選出4人參加校際數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名男生，有多少種不同的選法？七、數(shù)學(xué)思維拓展（共30分）（一）邏輯推理進階（10分）有A、B、C三個盒子，其中一個裝有數(shù)學(xué)獎?wù)拢總€盒子上都有一句話：A盒：獎?wù)虏辉诖撕兄蠦盒：獎?wù)略贏盒中C盒：獎?wù)虏辉诖撕兄幸阎湓捴兄挥幸痪涫钦娴?，請問獎?wù)略谀膫€盒子中？（二）數(shù)學(xué)建模綜合（20分）某公司計劃在A、B兩個城市之間鋪設(shè)光纜，兩城市相距200公里。光纜可以沿直線鋪設(shè)，也可以沿海岸線（近似看作直線）鋪設(shè)。已知陸地鋪設(shè)成本為每公里2萬元，海底鋪設(shè)成本為每公里3萬元。設(shè)海岸線為x軸，A城市坐標為(0,0)，B城市坐標為(120,160)。（1）若光纜先沿海岸線鋪設(shè)到點(x,0)，再海底鋪設(shè)到B城市，寫出總鋪設(shè)成本y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求x為何值時，總鋪設(shè)成本最低？最低成本是多少？八、數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新（共20分）（一）數(shù)學(xué)史問題（10分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？"（1丈=10尺）請解答這個問題。（二）創(chuàng)新思維題（10分）如圖，將1-9這九個數(shù)字填入3×3的方格中，使得每行、每列及兩條對角線上的數(shù)字之和均相等（三階幻方）。已知中心格數(shù)字為5，左上角數(shù)字為2，求右上角數(shù)字。2□□□5□□□□九、綜合實踐與探究（共30分）社團計劃設(shè)計一個"數(shù)學(xué)文化長廊"，需要制作一系列數(shù)學(xué)主題展板。現(xiàn)有A、B兩種規(guī)格的展板，A種展板每塊面積2平方米，成本100元；B種展板每塊面積3平方米，成本150元。要求展板總面積不小于30平方米，且A種展板數(shù)量不少于B種展板數(shù)量的2倍。（1）設(shè)制作A種展板x塊，B種展板y塊，寫出x,y滿足的約束條件；（2）如何設(shè)計制作方案，使得總成本最低？最低成本是多少？某社區(qū)有一個半徑為10米的圓形廣場，計劃在廣場內(nèi)修建一個矩形花壇，使矩形的四個頂點都在圓周上。（1）設(shè)矩形的長為x米，用含x的代數(shù)式表示矩形的面積S；（2）求花壇面積的最大值及對應(yīng)的長和寬。社團成員發(fā)明了一種新的運算符號"※"，定義(a※b=\frac{a+b}{1+ab})。（1）計算(2※3)和(3※2)的值，判斷該運算是否滿足交換律；（2）證明：對于任意實數(shù)(a,b)，若(a※b)有意義，則((a※b)※c=a※(b※c))；（3）若(x※2=1)，求x的值。十、開放探究題（共20分）閱讀下列材料，回答問題："哥德巴赫猜想"是數(shù)學(xué)史上著名的未解決問題，其內(nèi)容是：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和。雖然該猜想尚未被完全證明，但在有限范圍內(nèi)已被驗證成立。（1）將2024表示為兩個質(zhì)數(shù)之和；（2）設(shè)計一個實驗，驗證"哥德巴赫猜想"在100以內(nèi)的偶數(shù)中是否成立；（3）若哥德巴赫猜想成立，證明：任何大于5的奇數(shù)都可以表示為三個質(zhì)數(shù)之和。數(shù)學(xué)建模小組在研究"人口增長模型"時，收集到某城市2015-2025年的人口數(shù)據(jù)如下表：年份20152016201720182019202020212022202320242025人口（萬）12