第11講平面向量的線性運(yùn)算（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解向量的數(shù)乘；2、掌握向量的線性運(yùn)算；3、會(huì)用向量的線性組合表示向量。一、實(shí)數(shù)與向量相乘1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長(zhǎng)度為的向量.【方法規(guī)律】設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；-P也就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，但方向相反.2．向量數(shù)乘的定義 一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）如果時(shí)，則：①的長(zhǎng)度：；②的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.【方法規(guī)律】（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；（4）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：設(shè)為實(shí)數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）；（2）（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對(duì)于向量加法的分配律）二、平行向量定理1.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.【方法規(guī)律】任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.【方法規(guī)律】（1）定理中，，的符號(hào)由與同向還是反向來(lái)確定.（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿?，必有，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使.（5）A、B、C三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)λ，使.三、向量的線性運(yùn)算1．向量的線性運(yùn)算定義：向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.【方法規(guī)律】（1）如果沒(méi)有括號(hào)，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．2．向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.【方法規(guī)律】（1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量．(2)一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解.(3)以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來(lái)表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解．（2）用向量方法研究平面幾何的問(wèn)題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【即學(xué)即練1】如圖，已知兩個(gè)不平行的向量．先化簡(jiǎn)，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）【答案】化簡(jiǎn)得﹣+2；作圖見(jiàn)解析．【分析】首先利用平面向量的加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再利用三角形法則畫出圖形．【解析】解：==﹣+2．如圖：=2，=﹣，則=﹣+2，即即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及作法．注意作圖時(shí)準(zhǔn)確利用三角形法則是關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】下列說(shuō)法中，正確的是（

）A． B．如果是單位向量，那么C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么【答案】D【分析】本題考查向量的相關(guān)概念，根據(jù)向量的概念和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、，所以A錯(cuò)誤，不符合題意．B、如果是單位向量，那么，所以B錯(cuò)誤，不符合題意．C、如果，那么，這兩個(gè)向量方向不一定相同，所以C錯(cuò)誤，不符合題意．D、如果非零向量，且，那么，D正確，符合題意．故選：D．【即學(xué)即練3】若，其中、、為已知向量，求未知向量．【答案】【分析】數(shù)乘向量滿足結(jié)合律、分配律，計(jì)算求出即可．【解析】解：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的計(jì)算，熟練掌握平面向量的計(jì)算法則是解決本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練4】如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，那么等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了向量的線性運(yùn)算，根據(jù)、、即可求解．【解析】解：∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴∴故選：D【即學(xué)即練5】如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC的重心，，那么可以表示為（用向量、的線性組合表示）．【答案】【分析】本題考查向量的線性運(yùn)算，重心的性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)重心的性質(zhì)，得到，，利用三角形法則得到，求出，進(jìn)而求出即可．【解析】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵點(diǎn)O是等邊三角形ABC的重心，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．題型1：作圖理解向量的數(shù)乘【典例1】．已知非零向量，求作、、．【答案】見(jiàn)解析【分析】與方向相同，長(zhǎng)度是的3倍，據(jù)此作圖即可；與方向相反，長(zhǎng)度是的2倍，據(jù)此作圖即可；與方向相反，長(zhǎng)度是的倍，據(jù)此作圖即可.【解析】解：（1）（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了向量的作圖，明確各向量與已知向量的方向及長(zhǎng)度關(guān)系是作圖的關(guān)鍵.【典例2】．已知非零向量，求作，．

【答案】見(jiàn)解析【分析】作向量，向量即可．【解析】解：如圖，向量和向量即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中考常考題型．題型2：向量的數(shù)乘及運(yùn)算律、判定向量平行【典例3】．下列命題中，正確的是（

）A．如果或，那么 B．如果，那么（k為實(shí)數(shù)）C．如果（k為實(shí)數(shù)），那么 D．如果，那么或【答案】D【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)之一判斷即可得到答案．【解析】解：A．如果或，那么，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．如果，且，那么（k為實(shí)數(shù)），原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．如果（k為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，和不平行，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．如果，那么或，說(shuō)法正確，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【典例4】．已知，，且與的方向相反，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解析】∵，而且和的方向相反∴.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．【典例5】．計(jì)算：

；；

．【答案】【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算定律計(jì)算即可；（2）根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算定律計(jì)算即可；（3）根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算定律計(jì)算即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算定律，以及去括號(hào)法則，掌握運(yùn)算定律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【典例6】．下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．如果或，那么B．如果、為實(shí)數(shù)，那么C．如果（為實(shí)數(shù)），那么D．如果或，那么【答案】C【分析】本題主要考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：A．如果或，那么，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．B．如果、為實(shí)數(shù)，那么，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．C．如果（為實(shí)數(shù)），那么，錯(cuò)誤，時(shí)，不成立，故本選項(xiàng)符合題意．D．如果或，那么，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【典例7】．已知向量與是互不平行的非零向量，如果，那么向量與是否平行？答：．【答案】否【分析】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，若向量與平行，則（k為常數(shù)，且），據(jù)此可得答案．【解析】解：∵，∴（k為常數(shù)，且），∴向量與不平行，故答案為：否．【典例8】．已知非零向量，下列條件中不一定能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解題關(guān)鍵是對(duì)向量性質(zhì)的理解．根據(jù)向量的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解析】解：A、只能判定的模的數(shù)量關(guān)系，不能判定，符合題意；B、，能判定，不符合題意；C、，根據(jù)平行的傳遞性得到，不符合題意；D、，得到，平行的傳遞性得到，不符合題意；故選A．題型3：與單位向量有關(guān)的概念及表示【典例9】．下列判斷不正確的是（

）A．；B．如果向量與均為單位向量，那么或；C．如果，那么；D．對(duì)于非零向量，如果，那么．【答案】B【分析】本題考查了平面向量、平行向量、單位向量，根據(jù)平面向量的性質(zhì)逐一判斷即可得出答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．【解析】解：A、，計(jì)算正確，原說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、如果向量與均為單位向量，那么它們的模相等，即，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；C、如果，那么，原說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)于非零向量，如果，那么，原說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【典例10】．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A． B．如果是單位向量，那么C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么【答案】D【分析】本題考查向量的相關(guān)概念，根據(jù)向量的概念和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、，所以A錯(cuò)誤，不符合題意．B、如果是單位向量，那么，所以B錯(cuò)誤，不符合題意．C、如果，那么，這兩個(gè)向量方向不一定相同，所以C錯(cuò)誤，不符合題意．D、如果非零向量，且，那么，D正確，符合題意．故選：D．【典例11】．向量和單位向量的方向相反，且，那么．（用表示）．【答案】【分析】本題考查了向量的定義，根據(jù)向量和單位向量的方向相反，且向量的長(zhǎng)度為即可求解．【解析】解：由題意得：；故答案：．【典例12】．下列命題中，正確的是（

）A．如果或，那么 B．如果，那么C．如果和都是單位向量，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【解析】解：如果或，那么，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、如果，那么或，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、如果和都是單位向量，那么或，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、如果，那么，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的性質(zhì)，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例13】．已知是非零向量，如果與同方向的單位向量記作，那么下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【解析】解：由題意知，，A錯(cuò)誤，故不符合要求；，B錯(cuò)誤，故不符合要求；，C正確，故符合要求；，D錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握實(shí)數(shù)與向量相乘結(jié)果是向量．【典例14】．已知一個(gè)單位向量，設(shè)、是非零向量，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：A、與的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．B、，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意．C、和的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．D、和的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【典例15】．已知為單位向量，向量與方向相反，且其模為的4倍；向量與方向相同，且其模為的2倍，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)得到，，從而得到．【解析】解：根據(jù)題意知，，，則，，則，觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握單位向量的知識(shí)．題型4：平面向量的線性運(yùn)算【典例16】．如圖，已知兩個(gè)不平行的向量和向量．先化簡(jiǎn)，再求作：．【答案】【分析】此題考查了平面向量的運(yùn)算．注意掌握三角形法則是解答本題的關(guān)鍵．首先利用平面向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)原式，再利用三角形法則畫出向量．【解析】解：原式．如圖：，，則即為所求．【典例17】．＝，＝，＝．【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．【解析】；；．故答案是：；；．【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算法則，需要注意向量的加減運(yùn)算法則和數(shù)的加減運(yùn)算有所區(qū)別．【典例18】．化簡(jiǎn)：．【答案】/【分析】本題考查向量的加減運(yùn)算，根據(jù)向量加減運(yùn)算法則求解即可【解析】解：，故答案為：．【典例19】．如果向量、和滿足，那么．【答案】/【分析】本題考查的是平面向量，正確利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)變形，得到答案．【解析】解：，∴，∴，故答案為：．【典例20】．如果（、均為非零向量）那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．與方向相反【答案】C【分析】根據(jù)平行向量的定義與性質(zhì)，逐一對(duì)選項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、∵，∴，故該結(jié)論正確，不符合題意；B、∵（、均為非零向量），∴與是方向相反的向量，即，故該結(jié)論正確，不符合題意；C、∵，∴，故該結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；D、∵（、均為非零向量），∴與是方向相反的向量，故該結(jié)論正確，不符合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的定義與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的定義與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．平面向量的定義：平面內(nèi)既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零向量；零向量和任何向量平行．【典例21】．在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)．

(1)設(shè)，試用表示；(2)先化簡(jiǎn)，再求作：（直接作在圖中）．【答案】(1)(2)，見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理和平面向量，根據(jù)題意得和，進(jìn)一步得到，則，代入向量即可．化解得，將對(duì)應(yīng)線段代入得到，過(guò)點(diǎn)E作，則，，連接即可．【解析】（1）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，則，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，則，∴，∵，∴．（2），∵，∴，過(guò)點(diǎn)E作，則，∴，如圖，即為所求．

題型5：用兩個(gè)（不平行）向量的線性組合表示向量【典例22】．如圖，已知中，中線、相交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為．

【答案】/【分析】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．根據(jù)重心的性質(zhì)可得，，利用三角形法則求出，進(jìn)而可得結(jié)果．【解析】解：∵中線、交于點(diǎn)G，∴，，∴，∵，即，∴．故答案為：．【典例23】．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且設(shè)，，那么可用、表示為．【答案】/【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運(yùn)算．首先由四邊形是平行四邊形，求得，又由點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，求得與，再利用三角形法則求解即可．【解析】解：四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，，，．故答案為：．題型6：重心的性質(zhì)在平面向量中的應(yīng)用【典例24】．如圖，經(jīng)過(guò)的重心，設(shè)，，那么可以用向量，表示為：．

【答案】【分析】先求出，再根據(jù)重心是三角形三條中線的交點(diǎn)得到，由此可由求出答案．【解析】解：∵，，∴，∵經(jīng)過(guò)的重心，∴是的中線，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，重心的定義，正確表示出是解題的關(guān)鍵．【典例25】．如圖，在中，中線、交于點(diǎn)，設(shè)，，那么向量用向量，表示為．【答案】【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可得，利用三角形法則求出，進(jìn)而可得結(jié)果．【解析】解：∵中線、交于點(diǎn)，∴，∴，∵，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【典例26】．如圖，已知為的重心，過(guò)點(diǎn)作的平行線交邊和于點(diǎn)、，設(shè)、．用（為實(shí)數(shù)）的形式表示向量____________．【答案】【分析】由于G是三角形的重心，根據(jù)平行線分線段成比例定理與三角形重心的性質(zhì)，可得到，再根據(jù)平面向量加減運(yùn)算可求得答案．【解析】解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，∵∴∵點(diǎn)G是的重心，∴∴∴∵∴∴故填：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定義，熟練運(yùn)用平面向量加減運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．【典例27】．如圖，在中，是的重心，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如果，，那么=________________(用向量、表示)；(2)已知，，點(diǎn)在邊上，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)3；【分析】本題主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用平面向量的定義解答即可；（2）利用三角形的重心的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解析】（1）解：，，是的重心，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為的邊上的中線，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故答案為：．（2）是的重心，．，，，題型7：平行線分線段成比例在平面向量中的應(yīng)用【典例28】．如圖，在梯形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)如果，，試用表示向量．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，得出，則，進(jìn)而得出，最后根據(jù)即可求解；（2）先得出，則，進(jìn)而得出，由（1）可得，則，進(jìn)而得出，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴，∴．【典例29】．如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求的長(zhǎng)；(2)連結(jié)交于點(diǎn)F，設(shè)，，用、的線性組合表示向量_____，____．【答案】(1)；(2)，．【分析】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平面向量．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，設(shè)，根據(jù)得到，分別代入即可解答；（2）根據(jù)平面向量三角形減法法則得出，根據(jù)可求得與的關(guān)系，即可求解．【解析】（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，∴．（2）∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．故答案為：，【典例30】．如圖，已知相交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)設(shè)，用向量表示．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及平面向量的加減運(yùn)算．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證明和，得到和，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)(1)中結(jié)論得，則有，進(jìn)一步求得，由，結(jié)合平面向量的加減運(yùn)算即可得出結(jié)論即可求得答案．【解析】（1）解：∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）由（1）得，則，∵，∴，由（1）得，∴，則．題型8：畫出平面向量的分向量【典例31】．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，如果，，(1)用向量、分別表示下列向量；；；(2)在圖中求作分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】(1)；；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題考查了向量的線性計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件得出，根據(jù)三角形法則得出，根據(jù)相似三角形得出，，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形法則構(gòu)造平行四邊形，即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形是平行四邊形∴，，∴，，∵∴∵∴；∵∴∴∴，∵∴；（2）如圖，即為分別在、方向上的分向量．【典例32】．如圖，已知在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊、的中點(diǎn)，、與對(duì)角線分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)，．

(1)向量______，向量______．（用、表示）(2)畫出向量在向量和方向上的分向量．（畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得四邊形為平行四邊形，再由平行線分線段成比例確定，，利用向量的三角形法則得出，即可確定，；（2）利用平行四邊形法則分解向量即可．【解析】（1）解：∵平行四邊形，∴，，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊、的中點(diǎn)，∴，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，∴，同理得：，∴，∵，，∴，，∴，∴；∵，，，∴，故答案為：，；（2）如圖所示：即為所求．

一、單選題1．已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果為單位向量，且，那么【答案】C【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、如果，那么，故本選正確；B、如果，那么，故本選正確；C、如果，沒(méi)法判斷與之間的關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤D、如果為單位向量，且，那么，故本選正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記單位向量、平行向量以及模的定義是解題的關(guān)鍵．2．矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，如果，，那么（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，再根據(jù)即可得到結(jié)果．【解析】解：如圖所示：∵∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，本題側(cè)重考查知識(shí)點(diǎn)的理解能力．3．如圖，在中，點(diǎn)D是在邊上一點(diǎn)，且，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得的值，然后結(jié)合平面向量的三角形法則求得的值．【解析】解：∵，∴．∵，∴．又，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)，解此題的關(guān)鍵是注意平面向量的三角形法則與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量；②如果，，那么的模是；③如果，或，那么；④如果，的方向與的方向相反．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的乘積結(jié)合向量的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解析】解：①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量，故①正確；②如果，，那么的模是，故②正確；③如果，或，那么，故③錯(cuò)誤；④如果，的方向與的方向相反，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量的乘積，熟練掌握平面向量的定義是解題關(guān)鍵．5．如圖，平行四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，設(shè)，那么下列向量中，可表示為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC；然后利用三角形法則解答即可．【解析】解：在平行四邊形中，，．∵，∴．∵E是邊的中點(diǎn)，，∴．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質(zhì)，注意平面向量既有大小又有方向．6．已知、是兩個(gè)單位向量，向量，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由、是兩個(gè)單位向量的方向不確定，從而判定A與B錯(cuò)誤；又由平面向量模的知識(shí)，即可判定選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【解析】解：∵、是兩個(gè)單位向量，方向不一定相同，∴與不一定相等，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵、是兩個(gè)單位向量，方向不一定相同，∴與不一定相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵，，∴，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的定義和向量的數(shù)量積，注意平面向量的模的求解方法與向量是有方向性的．7．下列說(shuō)法不正確的是（）A．設(shè)為單位向量，那么B．已知、、都是非零向量，如果，，那么C．四邊形中，如果滿足，，那么這個(gè)四邊形一定是平行四邊形D．平面內(nèi)任意一個(gè)非零向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解【答案】C【分析】根據(jù)單位向量的定義（模等于1的向量），向量平行的定義（指方向相同或相反的非零向量）以及平行四邊形的判定進(jìn)行判斷．【解析】解:A、設(shè)為單位向量，那么，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確．B、已知、、都是非零向量，如果，，那么、方向相反，則，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確．C、四邊形中，如果滿足，即，不能判定這個(gè)四邊形一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤．D、由平面向量的平行四邊形法則可以推知，平面內(nèi)任意一個(gè)非零向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確．故選:C．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是明確平面向量的表示形式，難度一般．8．下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．0?B．如果+=2，-=3，其中，那么∥C．設(shè)為單位向量，那么||=1D．如果||=2||，那么=2或=-2【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的定義、向量的模以及平行向量的定義解答．【解析】A、0?，故本選項(xiàng)不符合題意．B、由+=2，-=3得到：＝，＝﹣，故兩向量方向相反，∥，故本選項(xiàng)不符合題意．C、為單位向量，那么||=1，故本選項(xiàng)不符合題意．D、由||=2||只能得到兩向量模間的數(shù)量關(guān)系，不能判斷其方向，判斷錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定義，向量的模以及共線向量的定義，難度不大．9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，AD和BE交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形法則求出，再根據(jù)三角形中心的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解析】解：∵，，∴，∵AD，BE是△ABC的中線，∴G是△ABC的重心，∴BG＝BE，∴＝，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量計(jì)算的三角形法則及三角形重心的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基本知識(shí)．10．已知單位向量與非零向量、，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線向量的定義進(jìn)行判斷即可．【解析】A.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.當(dāng)非零向量，的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)，理解單位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，單位向量具有確定的方向是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．化簡(jiǎn)：．【答案】/【分析】本題考查向量的加減運(yùn)算，根據(jù)向量加減運(yùn)算法則求解即可【解析】解：，故答案為：．12．已知向量和方向相反，長(zhǎng)度為7，則用來(lái)表示為：（為單位向量）．【答案】【分析】本題考查了平面向量的線性表示法，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面向量與單位向量方向相反，長(zhǎng)度為7，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵向量和方向相反，長(zhǎng)度為7，∴．故答案為：．13．如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，設(shè)，，那么可以用含、的式子表示為．【答案】【分析】本題主要考查了平面向量，先求出，再利用三角形法則求得答案．【解析】解：∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，故答案為：．14．如圖，已知點(diǎn)M、N分別在的邊、上，，且，設(shè)，用表示，則．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，向量的定義．先根據(jù)，得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及向量的定義即可，本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．【解析】解：，，，，，，故答案為：．15．已知點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，那么用、可表示為．【答案】【分析】如圖，先根據(jù)向量的減法法則求出，根據(jù)D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)求出，再由向量的加法法則求出，然后根據(jù)G是的重心即可求出．【解析】如圖，D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，G是的重心，∵，，∴∵D點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵G是的重心，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心，向量的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．16．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊CD中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且設(shè)，，那么可用、表示為．【答案】/【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運(yùn)算．首先由四邊形是平行四邊形，求得，又由點(diǎn)是邊CD中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，求得與，再利用三角形法則求解即可．【解析】解：四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)是邊CD中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，，，．故答案為：．17．已知，分別是，相同方向上的單位向量，．【答案】【分析】本題考查了向量的運(yùn)算，根據(jù)向量的相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：，故答案為：．18．如圖，在中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在和上，，將沿直線翻折，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)G處，若則=（用表示）【答案】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形是判定及比例的性質(zhì)求解．本題考查了翻折變換，掌握翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形是判定及比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：連接交于，交于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，，，在中，，，，，∴故答案為：．三、解答題19．已知、．

(1)化簡(jiǎn)：．(2)求作，使．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘，向量的線性運(yùn)算．熟練掌握向量的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算實(shí)數(shù)與向量相乘，然后進(jìn)行線性運(yùn)算即可；（2）根據(jù)，作圖即可．【解析】（1）解：；（2）解：∵，∴，如圖，即為所求；

20．如圖，在中，，，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)若設(shè)，，試用、的線性組合表示向量．【答案】(1)6(2)【分析】（1）由，公共角，可證出，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)．（2）由，可得＝，結(jié)合，即可求出結(jié)論．【解析】（1）∵，，∴，∴，即，∴或（不符合題意，舍去），∴的長(zhǎng)為6；（2）∵，∴，∴＝，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平面向量．解題的關(guān)鍵是：（1）利用相似三角形的判定定理，證出；（2）根據(jù)各向量之間的關(guān)系，用、的線性組合表示出向量．21．如圖，已知在中，，點(diǎn)D在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)連接，設(shè)，試用表示．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的線性運(yùn)算：（1）證明得到，則，由此可得；（2）先求出，再由得到，則．【解析】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴22．如圖，一個(gè)的網(wǎng)格．其中點(diǎn)A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點(diǎn)．（1）在點(diǎn)M、N、P、Q中，哪個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．【答案】（1）點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)度，然后分類討論，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似逐一判斷即可；（2）延長(zhǎng)AB至E，使BE=AB，根據(jù)向量加法的三角形法則計(jì)算即可．【解析】解：（1）點(diǎn)N和點(diǎn)A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由如下：設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為a，則BC=a，AB=，AC=，其中BC＜AB＜AC如下圖所示，連接BM、AM則BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM∴，∴≠∴和不相似；如下圖所示，連接AN則BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN∴，，，∴＝=∴∽；如下圖所示，連接BP則BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP∴，∴≠∴和不相似；如下圖所示，連接BQ、AQ則BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ∴，∴≠∴和不相似；綜上：點(diǎn)N和點(diǎn)A、