高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市九龍坡區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量全面監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知向量，，若，則的值為（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，即，解得?故選：B.2.已知直線：，：，若，則與之間的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€：，：，且，所以，可得，所以，，所以它們的距離為.故選：A.3.若拋物線（）的焦點(diǎn)與橢圓的一個焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，拋物線（）開口向左，焦點(diǎn)為，所以準(zhǔn)線方程為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.240 B.180 C.120 D.60【答案】C【解析】記等差數(shù)列的公差為，由得，故.故選：C.5.已知平面直角系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)Px,y，因?yàn)?，則，整理得.故選：B．6.已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，若，且點(diǎn)在直線上，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，得，∴F0,1，設(shè)，則，∵，故，則，解得，∴，故直線的傾斜角為.故選：C.7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中，若在與之間插入5個數(shù)，使這7個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)椋?dāng)時，，兩式相減，得，即，故公比為2，所以，而當(dāng)時，得，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，所以所求的公差為．故選：D.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與的一個交點(diǎn)為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，由代入橢圓方程得，不妨設(shè)，則切線，即，切線的斜率，直線的斜率，則，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點(diǎn)，，直線：，圓：.則下列說法正確的是（）A.若圓關(guān)于對稱，則 B.若直線與直線垂直，則點(diǎn)在直線上C.直線與圓相交的最短弦長為 D.圓上有且僅有2個點(diǎn)到直線距離為【答案】BCD【解析】圓：的圓心為，半徑為2，若圓關(guān)于對稱，則圓心在上，所以，解得，故A錯誤；由點(diǎn)，知，若直線與直線垂直，則，此時：，由知圓心在上，故B正確；由題意直線的方程可變形整理為，由解得，則無論為何值，直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則直線與圓恒相交，當(dāng)截得的弦長最短時，，此時弦長為，故C正確；由點(diǎn)及得直線方程，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以圓上有且僅有2個點(diǎn)到直線距離為，故D正確.故選：BCD.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】由（），得，又，則，所以是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，故B選項(xiàng)正確；所以，則，可得，故A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤；由，則兩式相減，得，所以，，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知過拋物線：的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動點(diǎn)，直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，為圓：上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為 D.存在兩個點(diǎn)，使得【答案】ACD【解析】依題意可設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，因?yàn)?，所以，，所以，則，當(dāng)時，有最小值4，故A正確；根據(jù)可得，可確定的最小值為，故B錯誤；由題意得，由于，故，，因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為，故C正確；若，根據(jù)可得，則點(diǎn)A在線段的中垂線上，因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線為，即，聯(lián)立，得，其判別式，所以線段的中垂線與拋物線有兩個交點(diǎn)，故存在兩個點(diǎn)，使得，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式得，所以點(diǎn)到直線的距離為.13.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角余弦值為___________.【答案】【解析】在直三棱柱中，.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，因此，由異面直線與所成角范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值是.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二：依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列前項(xiàng)的和，求.解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，解得，所以.（2），所以數(shù)列的前50項(xiàng)和，所以.16.已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長為2，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的動直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）雙曲線的實(shí)軸長為，由已知，，則，因?yàn)殡p曲線：（，）的一條漸近線為，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程是；（2）易知直線的斜率存在設(shè)為，設(shè)Ax1,y1、B聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．17.如圖，在四棱錐中，底面，，為的中點(diǎn)，已知，，．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：已知底面，且底面，所以，因?yàn)?，，所以，又，可得為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，，平面，所以平面.（2）解：在中，，，所以，由（1）知兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則，因?yàn)榈酌?，且底面，所以，由，可得，又，，平面，所以平面，可知是平面的一個法向量，又，，設(shè)平面的一個法向量為，則，得，即，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．18.已知數(shù)列滿足，，的前項(xiàng)和為．等差數(shù)列滿足，，且前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）若對，有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)落在區(qū)間中的項(xiàng)數(shù)為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由題可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，得，因?yàn)?，兩式相減得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，，則，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，等差數(shù)列的公差.所以.（2）由（1）可得，對，有恒成立，即，即，令，則，當(dāng)且時，，即，可得；當(dāng)且時，，即，可得，所以，數(shù)列中的最大項(xiàng)為，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由（1）可知，，，因，所以為奇數(shù)，故為區(qū)間的奇數(shù)個數(shù)，顯然，為偶數(shù)，所以，所以.19.設(shè)，分別為橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（，不與橢圓的頂點(diǎn)重合）．（1）求橢圓的方程；（2）若直線的斜率存在，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：直線與圓：相切；（3）若直線過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為.由已知，，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以，，所以，解得（負(fù)根舍去），所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）當(dāng)直線有斜率時，設(shè)直線的方程為，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，即，設(shè)，所以，聯(lián)立方程，得，即，，化簡得，設(shè)到直線距離為，則，所以直線與圓相切.（3）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，即.設(shè)點(diǎn)，則.因點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即，即，即，得所以點(diǎn)為定點(diǎn)，，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的面積的最大值為.重慶市九龍坡區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量全面監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知向量，，若，則的值為（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，即，解得?故選：B.2.已知直線：，：，若，則與之間的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€：，：，且，所以，可得，所以，，所以它們的距離為.故選：A.3.若拋物線（）的焦點(diǎn)與橢圓的一個焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，拋物線（）開口向左，焦點(diǎn)為，所以準(zhǔn)線方程為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.240 B.180 C.120 D.60【答案】C【解析】記等差數(shù)列的公差為，由得，故.故選：C.5.已知平面直角系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)Px,y，因?yàn)?，則，整理得.故選：B．6.已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，若，且點(diǎn)在直線上，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，得，∴F0,1，設(shè)，則，∵，故，則，解得，∴，故直線的傾斜角為.故選：C.7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中，若在與之間插入5個數(shù)，使這7個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)椋?dāng)時，，兩式相減，得，即，故公比為2，所以，而當(dāng)時，得，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，所以所求的公差為．故選：D.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與的一個交點(diǎn)為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，由代入橢圓方程得，不妨設(shè)，則切線，即，切線的斜率，直線的斜率，則，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點(diǎn)，，直線：，圓：.則下列說法正確的是（）A.若圓關(guān)于對稱，則 B.若直線與直線垂直，則點(diǎn)在直線上C.直線與圓相交的最短弦長為 D.圓上有且僅有2個點(diǎn)到直線距離為【答案】BCD【解析】圓：的圓心為，半徑為2，若圓關(guān)于對稱，則圓心在上，所以，解得，故A錯誤；由點(diǎn)，知，若直線與直線垂直，則，此時：，由知圓心在上，故B正確；由題意直線的方程可變形整理為，由解得，則無論為何值，直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則直線與圓恒相交，當(dāng)截得的弦長最短時，，此時弦長為，故C正確；由點(diǎn)及得直線方程，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以圓上有且僅有2個點(diǎn)到直線距離為，故D正確.故選：BCD.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】由（），得，又，則，所以是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，故B選項(xiàng)正確；所以，則，可得，故A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤；由，則兩式相減，得，所以，，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知過拋物線：的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動點(diǎn)，直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，為圓：上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為 D.存在兩個點(diǎn)，使得【答案】ACD【解析】依題意可設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，因?yàn)椋?，，所以，則，當(dāng)時，有最小值4，故A正確；根據(jù)可得，可確定的最小值為，故B錯誤；由題意得，由于，故，，因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為，故C正確；若，根據(jù)可得，則點(diǎn)A在線段的中垂線上，因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線為，即，聯(lián)立，得，其判別式，所以線段的中垂線與拋物線有兩個交點(diǎn)，故存在兩個點(diǎn)，使得，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式得，所以點(diǎn)到直線的距離為.13.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角余弦值為___________.【答案】【解析】在直三棱柱中，.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，因此，由異面直線與所成角范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值是.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二：依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列前項(xiàng)的和，求.解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，解得，所以.（2），所以數(shù)列的前50項(xiàng)和，所以.16.已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長為2，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的動直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）雙曲線的實(shí)軸長為，由已知，，則，因?yàn)殡p曲線：（，）的一條漸近線為，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程是；（2）易知直線的斜率存在設(shè)為，設(shè)Ax1,y1、B聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．17.如圖，在四棱錐中，底面，，為的中點(diǎn)，已知，，．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：已知底面，且底面，所以，因?yàn)?，，所以，又，可得為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，，平面，所以平面.（2）解：在中，，，所以，由（1）知兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則，因?yàn)榈酌?，且底面，所以，由，可得，又，，平面，所以平面，可知是平面的一個法向量，又，，設(shè)平面的一個法向