2025年下學期初中數(shù)學菱形性質(zhì)與計算試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）菱形的定義：下列關于菱形的說法正確的是（）A.四邊相等的四邊形是菱形B.對角線相等的平行四邊形是菱形C.鄰邊垂直的四邊形是菱形D.對角線互相垂直的四邊形是菱形菱形的性質(zhì)：菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，則菱形的邊長為（）A.5B.6C.8D.10對稱性：菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，其對稱軸的條數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4角度計算：菱形ABCD中，∠A=60°，邊長AB=4，則對角線BD的長為（）A.2B.4C.4√3D.8面積公式：菱形的兩條對角線長分別為10和24，則菱形的面積為（）A.120B.240C.60D.180判定定理：下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）A.對角線互相平分且相等B.對角線互相垂直且相等C.對角線互相垂直且一組鄰邊相等D.四邊相等的四邊形動態(tài)問題：在菱形ABCD中，AB=5，∠B=60°，點P從點A出發(fā)沿AB方向運動，速度為1cm/s，當點P運動到點B時停止。設運動時間為t秒，則線段PC的長度最小值為（）A.5√3/2B.4√3C.3√3D.2√3綜合應用：菱形ABCD的周長為20，對角線AC=6，則菱形的高為（）A.4.8B.5C.6D.7.2折疊問題：將菱形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點B'處，若∠BAD=60°，AB=4，則重疊部分△AEC的面積為（）A.2√3B.4√3C.6√3D.8√3坐標系中的菱形：在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點O為原點，點A在x軸正半軸上，OA=4，∠COA=60°，則點C的坐標為（）A.（2，2√3）B.（-2，2√3）C.（2，-2√3）D.（-2，-2√3）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）基礎計算：菱形的一個內(nèi)角為120°，較短對角線長為6，則菱形的周長為________。性質(zhì)應用：菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AC=8，BD=6，則菱形的邊長為________，面積為________。判定條件：已知平行四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，則四邊形ABCD是________（填“矩形”“菱形”或“正方形”）。角度關系：菱形的一個外角為60°，則與它相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為________和________。動點問題：菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，點E是BC邊的中點，點P是對角線BD上的一動點，則PE+PC的最小值為________。綜合填空：如圖，菱形ABCD中，AB=5，點E在AD上，且AE=2，連接BE并延長交CD的延長線于點F，則DF的長為________。三、解答題（本大題共7小題，共66分）17.（8分）基礎證明已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，點E、F分別是AB、AD的中點。求證：CE=CF。證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D（菱形的四邊相等，對角相等）?！逧、F分別是AB、AD的中點，∴AE=EB=AF=FD=AB/2=AD/2，∴BE=DF。在△BCE和△DCF中，BC=DC（已證），∠B=∠D（已證），BE=DF（已證），∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF（全等三角形對應邊相等）。18.（8分）性質(zhì)與計算菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠BAC=30°，OA=2，求菱形的邊長和面積。解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC/2，OB=OD=BD/2（菱形對角線互相垂直平分）。在Rt△AOB中，∠BAC=30°，OA=2，∴AB=2OB（直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半），設OB=x，則AB=2x，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即22+x2=(2x)2，4+x2=4x2，3x2=4，x2=4/3，x=2√3/3（負值舍去），∴AB=2x=4√3/3，BD=2OB=4√3/3?！逜C=2OA=4，∴菱形面積S=AC×BD/2=4×(4√3/3)/2=8√3/3。答：菱形的邊長為4√3/3，面積為8√3/3。19.（10分）判定與性質(zhì)綜合已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，E為AD延長線上一點，連接BE、CE。求證：四邊形BECF是菱形（F為BE與AC的交點，需補充輔助線說明）。證明：（輔助線：連接CF，延長BE交AC于點F）∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=DC（等腰三角形三線合一），即AD垂直平分BC，∴EB=EC（線段垂直平分線上的點到兩端距離相等）。∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，AB=AC（已知），∠BAE=∠CAE（已證），AE=AE（公共邊），∴△ABE≌△ACE（SAS），∴∠ABE=∠ACE?！摺螧FD=∠CFE（對頂角相等），BD=DC，∴△BFD≌△CFE（AAS），∴BF=CF，∴四邊形BECF的對角線BC與EF互相垂直平分，∴四邊形BECF是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）。20.（10分）動態(tài)幾何與函數(shù)如圖，菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，點P從點B出發(fā)沿BC方向向點C運動，速度為1cm/s，同時點Q從點C出發(fā)沿CD方向向點D運動，速度為2cm/s，設運動時間為t秒（0≤t≤3）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段BP、CQ的長度；（2）當t為何值時，△PCQ為直角三角形？解：（1）∵BP=速度×時間=1×t=t，CQ=2×t=2t，又∵BC=CD=6（菱形四邊相等），∴PC=BC-BP=6-t，DQ=CD-CQ=6-2t。（2）∵∠C=180°-∠B=120°（菱形鄰角互補），若△PCQ為直角三角形，則直角只能在點P或點Q處（∠C=120°為鈍角）。①當∠QPC=90°時：在Rt△PCQ中，∠C=120°，∠QPC=90°，∴∠PQC=30°，∴PC=CQ×cos(60°)（鄰邊=斜邊×cosθ），即6-t=2t×1/2，6-t=t，2t=6，t=3。②當∠PQC=90°時：在Rt△PCQ中，∠PQC=90°，∠C=120°，∴∠QPC=30°，∴CQ=PC×cos(60°)，即2t=(6-t)×1/2，4t=6-t，5t=6，t=6/5=1.2。綜上，t=1.2秒或t=3秒時，△PCQ為直角三角形。21.（10分）面積與動點綜合菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，點P是對角線BD上的一個動點（不與B、D重合），連接PA、PC。（1）求菱形ABCD的面積；（2）求PA+PC的最小值。解：（1）過點D作DE⊥AB于點E，∵∠A=60°，AD=AB=4，∴DE=AD×sin60°=4×√3/2=2√3，∴菱形面積S=AB×DE=4×2√3=8√3。（2）思路：利用菱形對稱性，A、C關于BD對稱，∴PA=PC'（C'為C關于BD的對稱點，即A點），∴PA+PC=PA+PA=2PA（此表述有誤，正確應為：連接AC交BD于O，A、C關于BD對稱，故PA=PC'，PA+PC=PC'+PC=AC，當P與O重合時，PA+PC最?。Ｕ_解法：∵菱形ABCD中，BD是對稱軸，點A與點C關于BD對稱，∴PA=PC'（C'與C重合），∴PA+PC=PA+PA=2PA（錯誤，應為PA+PC=PC+PA≥AC，當P在AC與BD交點O處時取等號）?！逜C為菱形對角線，∠A=60°，AB=4，∴△ABC為等邊三角形（AB=BC，∠ABC=120°？不，∠BAD=60°，則∠ABC=120°，AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos120°=42+42-2×4×4×(-1/2)=16+16+16=48，AC=4√3），∴PA+PC的最小值為AC=4√3。22.（10分）綜合探究題已知菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=60°，點E在BC邊上，且BE=2，點F是CD邊上的一動點，將△ECF沿EF折疊，點C落在點C'處，當點C'落在菱形的對角線上時，求CF的長。解：情況1：點C'落在對角線AC上設CF=x，則C'F=x，EC=BC-BE=5-2=3，∵∠BCD=60°，四邊形ABCD是菱形，∴∠ACB=∠ACD=30°（菱形對角線平分內(nèi)角），由折疊性質(zhì)得∠C'EF=∠CEF，EC'=EC=3，在Rt△C'EG中（G為C'在BC上的垂足），∠C'GE=90°，∠C'EG=60°（折疊后角度關系），∴C'G=EC'×sin60°=3×√3/2=3√3/2，EG=EC'×cos60°=3×1/2=1.5，∴BG=BE+EG=2+1.5=3.5，CG=BC-BG=5-3.5=1.5，由勾股定理得CF=CG/cos30°=1.5/(√3/2)=√3。情況2：點C'落在對角線BD上設CF=x，BD是菱形對角線，∠CBD=60°，在Rt△C'HE中（H為C'在BD上的垂足），EC'=3，∠C'EH=30°，∴C'H=EC'×sin30°=1.5，EH=EC'×cos30°=3√3/2，BH=BE×cos60°=2×0.5=1，∴BD=5√3（菱形對角線長計算得BD=5√3），DH=BD-BH=5√3-1，由勾股定理得x=CF=DH/tan60°=(5√3-1)/√3=5-√3/3。綜上，CF的長為√3或5-√3/3。23.（12分）坐標系與幾何綜合如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點O為原點，點A在x軸正半軸上，OA=4，∠AOC=60°，點P是直線BC上的一個動點，連接OP，將線段OP繞點O順時針旋轉60°得到線段OQ，連接AQ。（1）求點B、C的坐標；（2）當點P運動到點C時，求點Q的坐標；（3）在點P運動過程中，線段AQ的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。解：（1）過點C作CD⊥x軸于點D，∵OA=4，∠COA=60°，∴OD=OC×cos60°=4×1/2=2，CD=OC×sin60°=4×√3/2=2√3，∴點C的坐標為（2，2√3）。∵菱形OABC中，AB=OC=4，AB∥OC，∴點B的坐標為（OA+OD，CD）=（4+2，2√3）=（6，2√3）。（2）當點P與點C重合時，OP=OC=4，∠POQ=60°，∵∠COA=60°，∴點Q在x軸上，OQ=OP=4，∴點Q的坐標為（4，0）。（3）存在最小值。理由：由旋轉性質(zhì)知，OP=OQ，∠POQ=60°，∴△OPQ為等邊三角形，∴PQ=OP，∠OPQ=60°?！唿cP在BC上，設P（m，2√3）（2≤m≤6），OQ=OP=√(m2+(2√3)2)=√(m2+12)，∠AOQ=∠AOP-∠POQ=∠AOP-60°，又∠AOC=60°，∠COP=∠AOP-∠AOC=∠AOP-60°，∴∠AOQ=∠COP，在△AOQ和△COP中，OA=OC=4，OQ=OP，∠AOQ=∠COP，∴△AOQ≌△COP（SAS），∴AQ=CP，∵CP=6-m（點P在BC上，BC=4，m從2到6），∴當m最大時，CP最小，即m=6時，CP=0（此時P與B重合），但P不與B重合（題目未明確限制，若允許重合則AQ最小值為0，否則需進一步分析）。修正：當P在BC上運動時，CP=6-m，AQ=CP，∴當m=6時，AQ=0（點Q與A重合），故AQ的最小值為0。答：AQ的長度存在最小值，最小值為0。四、附加題（10分，不計入總分）問題：菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，點M、N分別在邊AB、AD上，且AM=AN，連接MN并延長交CB的延長線于點P，連接PN。當△PMN為等邊三角形時，求AM的長。解：設AM=AN=x，則BM=2-x，DN=2-x，∵∠A=60°，AM=AN，∴△AMN為等邊三角形，∠AMN=60°，∴∠P=∠AMN-∠ABP=60°-∠ABP（需結合平行線性質(zhì)），∵AD∥BC，∴∠ANM=∠P=60°，∴△PMN為等邊三角形，PM=PN=MN=x，∵MN=x，PB=PM-BM=x-(2-x)=2x-2，由