2025年下學期初中數(shù)學競賽向量方法試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,x)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$x$的值為（）A.4B.5C.6D.7向量$\vec{a}=(-1,3)$，$\vec=(2,m)$，且$\vec{a}\perp\vec$，則$m$的值是（）A.$\frac{2}{3}$B.$-\frac{2}{3}$C.$\frac{1}{3}$D.$-\frac{1}{3}$已知$|\vec{a}|=3$，$|\vec|=4$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.6B.12C.$6\sqrt{3}$D.$12\sqrt{3}$在平面直角坐標系中，已知點$A(2,3)$，$B(4,5)$，則向量$\vec{AB}$的坐標表示為（）A.$(2,2)$B.$(-2,-2)$C.$(6,8)$D.$(1,1)$設$\vec{a}$，$\vec$為非零向量，下列命題中正確的是（）A.若$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}|+|\vec|$，則$\vec{a}$與$\vec$方向相反B.若$|\vec{a}-\vec|=|\vec{a}|-|\vec|$，則$\vec{a}$與$\vec$方向相同C.若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}=\vec{0}$或$\vec=\vec{0}$D.若$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|$，則$\vec{a}\perp\vec$在$\triangleABC$中，點$D$是$BC$的中點，若$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{AD}$等于（）A.$\frac{1}{2}(\vec+\vec{c})$B.$\frac{1}{2}(\vec-\vec{c})$C.$\vec+\vec{c}$D.$\vec-\vec{c}$已知向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,-2)$，則$2\vec{a}-3\vec$的坐標為（）A.$(1,7)$B.$(1,-4)$C.$(7,1)$D.$(-4,1)$若向量$\vec{a}=(m,3)$與$\vec=(2,-1)$共線，則$m$的值為（）A.$-6$B.$-\frac{3}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.6二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）已知向量$\vec{a}=(3,4)$，則$|\vec{a}|=$________。若向量$\vec{a}=(x,2)$，$\vec=(1,-1)$，且$\vec{a}\cdot\vec=3$，則$x=$________。在平行四邊形$ABCD$中，$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AD}=\vec$，則$\vec{AC}=$，$\vec{BD}=$。已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(k,1)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則$k$的取值范圍是________。設點$P$是線段$AB$的中點，若$A(1,3)$，$B(5,7)$，則點$P$的坐標為________，向量$\vec{OP}$（$O$為原點）的坐標為________。已知$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=5$，$\vec{a}\cdot\vec=-3$，則$|\vec{a}+\vec|=$________。三、解答題（共5小題，滿分80分）（15分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,-4)$，求：（1）$\vec{a}+\vec$，$\vec{a}-\vec$；（2）$3\vec{a}-2\vec$；（3）$\vec{a}\cdot\vec$及$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$的余弦值。（15分）在$\triangleABC$中，已知$\vec{AB}=(2,3)$，$\vec{AC}=(1,k)$，且$\triangleABC$的一個內(nèi)角為直角，求$k$的值。（15分）如圖，在平行四邊形$ABCD$中，點$E$是$BC$的中點，點$F$是$AD$的中點，設$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AD}=\vec$。（1）用$\vec{a}$，$\vec$表示$\vec{AE}$，$\vec{AF}$；（2）求證：$\vec{EF}\parallel\vec{AB}$。（20分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，（1）若$\vec{a}\perp\vec$，求$m$的值；（2）若$\vec{a}\parallel\vec$，求$m$的值；（3）若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，求$m$的值。（15分）在平面直角坐標系中，已知點$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(2,5)$，（1）求向量$\vec{AB}$，$\vec{AC}$的坐標；（2）若$\vec{AB}+\lambda\vec{AC}=\vec{0}$，求實數(shù)$\lambda$的值；（3）求$\triangleABC$的面積。四、綜合題（共2小題，滿分50分）（25分）已知$\triangleABC$的三個頂點坐標分別為$A(1,2)$，$B(4,1)$，$C(3,4)$。（1）求向量$\vec{AB}$，$\vec{AC}$的坐標；（2）求$\vec{AB}\cdot\vec{AC}$及$|\vec{AB}|$，$|\vec{AC}|$；（3）求$\cos\angleBAC$的值；（4）判斷$\triangleABC$的形狀，并說明理由。（25分）在平面直角坐標系中，已知向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,-1)$，$\vec{c}=(m,3)$。（1）求$|\vec{a}+\vec|$；（2）若$\vec{a}$與$\vec{c}$共線，求$m$的值；（3）若$\vec$與$\vec{c}$的夾角為鈍角，求$m$的取值范圍；（4）若$\vec{a}=x\vec+y\vec{c}$，求實數(shù)$x$，$y$的值。五、附加題（共2小題，滿分20分，不計入總分）（10分）已知點$O$是$\triangleABC$的外心，且$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=1$，$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$，則$\triangleABC$的面積為________。（10分）設向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=|\vec|=1$，且$|\vec{a}+2\vec|=\sqrt{7}$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角為________。參考答案及評分標準（部分示例）一、選擇題C2.A3.A4.A5.D6.A7.C8.A二、填空題510.511.$\vec{a}+\vec$，$\vec-\vec{a}$12.$k>-2$且$k\neq\frac{1}{2}$13.$(3,5)$，$(3,5)$14.$\sqrt{23}$三、解答題解：（1）$\vec{a}+\vec=(1+3,2+(-4))=(4,-2)$，$\vec{a}-\vec=(1-3,2-(-4))=(-2,6)$；（5分）（2）$3\vec{a}-2\vec=3(1,2)-2(3,-4)=(3-6,6+8)=(-3,14)$；（5分）（3）$\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times(-4)=3-8=-5$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\vec|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-5}{\sqrt{5}\times5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。（5分）解：分三種情況討論：①若$\angleA=90^\circ$，則$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0$，即$2\times1+3\timesk=0$，解得$k=-\frac{2}{3}$；（5分）②若$\angleB=90^\circ$，則$\vec{BA}\cdot\vec{BC}=0$，$\vec{BA}=(-2,-3)$，$\vec{BC}=(-1,k-3)$，$(-2)\times(-1)+(-3)(k-3)=0$，解得$k=\frac{11}{3}$；（5分）③若$\angleC=90^\circ$，則$\vec{CA}\cdot\vec{CB}=0$，$\vec{CA}=(-1,-k)$，$\vec{CB}=(1,3-k)$，$(-1)\times1+(-k)(3-k)=0$，即$k^2-3k-1=0$，解得$k=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。（5分）綜上，$k$的值為$-\frac{2}{3}$，$\frac{11}{3}$，$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。（1）$\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$，$\vec{AF}=\frac{1}{2}\vec$；（7分）（2）$\vec{EF}=\vec{AF}-\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec-(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec)=-\vec{a}$，故$\vec{EF}=-\vec{AB}$，所以$\vec{EF}\parallel\vec{AB}$。（8分）（1）$\vec{a}\perp\vec\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec=0\Rightarrow1\timesm+2\times1=0\Rightarrowm=-2$；（5分）（2）$\vec{a}\parallel\vec\Rightarrow1\times(-1)-2m=0\Rightarrowm=-\frac{1}{2}$；（5分）（3）$\cos60^\circ=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{m+2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{m^2+1}}\Rightarrowm^2+8m-3=0\Rightarrowm=-4\pm\sqrt{19}$，經(jīng)檢驗均符合題意。（10分）（1）$\vec{AB}=(-1,1)$，$\vec{AC}=(1,5)$；（5分）（2）$\vec{AB}+\lambda\vec{AC}=(-1+\lambda,1+5\lambda)=\vec{0}\Rightarrow\lambda=1$；（5分）（3）$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}|(-1)\times5-1\times1|=3$。（10分）（1）$\vec{AB}=(3,-1)$，$\vec{AC}=(2,2)$；（4分）（2）$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times2+(-1)\times2=4$，$|\vec{AB}|=\sqrt{10}$，$|\vec{AC}|=2\sqrt{2}$；（6分）（3）$\cos\angleBAC=\frac{4}{\sqrt{10}\times2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；（5分）（4）$|\vec{BC}|=\sqrt{(4-3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{10}$，$|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=\sqrt{10}$，故$\triangleABC$為等腰三角形。（10分）（1）$\vec{a}+\vec=(3,0)$，$|\vec{a}+\vec|=3$；（5分）（2）$\vec{a}\parallel\vec{c}\Rightarrow2\t