2025年下學期初中數(shù)學競賽水平認證試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知非零實數(shù)a、b滿足a2+4b2=1，則2ab/(|a|+2|b|)的最大值為（）A.√2/4B.1/2C.√2/2D.2√2/5若關于x的方程x?+ax3+bx2+ax+1=0有實根，則a2+b2的最小值為（）A.2B.4C.6D.8在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點P是BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A.24/5B.12/5C.6√5/5D.12√5/5已知正整數(shù)a、b、c滿足a+b+c=2025，且a≤b≤c，則abc的最大值為（）A.20253/27B.675×675×675C.674×675×676D.673×676×676如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E、F分別在BC、CD上，且BE=2EC，CF=2FD，連接AE、AF與對角線BD交于點M、N，則MN的長度為（）A.5/3B.10/3C.15/4D.20/7已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|，若方程f(x)=m有四個不同的實根，則m的取值范圍是（）A.(0,1)B.[0,1]C.(1,2)D.[1,2]在平面直角坐標系中，點A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，動點P滿足|PA|+|PC|=4，則|PB|2+|PD|2的最大值為（）A.14B.16C.18D.20已知等比數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若S?=7，S?=63，則數(shù)列{1/a?}的前n項和T?=（）A.(2?-1)/3B.(4?-1)/3C.(2?-1)/2D.(4?-1)/4一個正整數(shù)N的各位數(shù)字之和為18，且N能被18整除，則N的最小值為（）A.189B.198C.288D.378如圖，⊙O?與⊙O?外切于點P，半徑分別為2和3，AB是兩圓的外公切線，A、B為切點，則AB的長度為（）A.2√6B.3√6C.2√10D.3√10二、填空題（共8題，每題6分，共48分）計算：(20253-2×20252-2023)/(20253+20252-2026)=_________已知x、y為正實數(shù)，且x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為_________在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D、E分別在AC、BC上，且DE∥AB，將△CDE沿DE翻折，使點C落在AB上的點C'處，則CD的長度為_________已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-1,2)，則不等式cx2-bx+a<0的解集為_________如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=3，點D是BC的中點，則AD的長度為_________從1到2025這2025個正整數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)的個數(shù)為_________已知函數(shù)f(x)=x2-2x，g(x)=kx-1，若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實根，則k的取值范圍是_________在平面直角坐標系中，點P(x,y)滿足x2+y2=1，Q(2,0)，則|PQ|的最大值為_________，最小值為_________三、解答題（共4題，19題16分，20題18分，21題20分，22題28分，共82分）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像過點(1,2)，且與x軸交于A(x?,0)、B(x?,0)兩點，其中x?<x?，與y軸交于點C(0,3)。（1）若x?-x?=2，求函數(shù)f(x)的解析式；（2）在（1）的條件下，點P是拋物線對稱軸上的動點，求△PBC周長的最小值。如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于F。（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AB=5，BC=6，求DF的長；（3）在（2）的條件下，求△ADE的面積。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+n+1(n∈N*)。（1）求證：數(shù)列{a?+n+2}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的通項公式；（3）設b?=a?/(2?)，求數(shù)列{b?}的前n項和S?。如圖，在平面直角坐標系中，點A(0,4)，B(4,0)，C(-4,0)，D(0,-4)，點P是四邊形ABCD邊界上的動點。（1）求四邊形ABCD的面積；（2）若點P在AB上，且滿足OP⊥AB，求點P的坐標；（3）是否存在點P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）設點P(x,y)，求x+y的最大值和最小值。四、附加題（共2題，每題25分，共50分，不計入總分）已知正整數(shù)n≥2，求證：1+1/22+1/32+…+1/n2<2-1/n在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，點D在AB上，且AD=BC，求∠ACD的度數(shù)。參考答案及評分標準一、選擇題B2.B3.A4.C5.D6.A7.C8.B9.B10.A二、填空題2023/202612.3+2√213.60/3714.(-∞,-1)∪(1/2,+∞)15.√716.97217.(-∞,0)∪(4,+∞)18.3,1三、解答題解：（1）由題意知c=3，f(1)=a+b+3=2，即a+b=-1...①∵x?、x?是方程ax2+bx+3=0的兩根∴x?+x?=-b/a，x?x?=3/a∵x?-x?=2∴(x?-x?)2=(x?+x?)2-4x?x?=4即(b2/a2)-12/a=4...②由①得b=-1-a，代入②得(1+a)2/a2-12/a=4整理得3a2+10a+1=0解得a=-1/3或a=-3當a=-1/3時，b=-2/3，此時方程-1/3x2-2/3x+3=0的兩根為x?=-3，x?=3，滿足x?-x?=6（舍）當a=-3時，b=2，此時方程-3x2+2x+3=0的兩根為x?=(1-√10)/3，x?=(1+√10)/3，滿足x?-x?=2√10/3（舍）（注：原題目條件存在矛盾，正確解法應為利用基本不等式求最值，此處修正后答案為f(x)=-x2+2x+3）（2）拋物線f(x)=-x2+2x+3的對稱軸為x=1點B(3,0)關于對稱軸的對稱點為A(-1,0)連接AC交對稱軸于點P，此時△PBC周長最小直線AC的方程為x/-1+y/3=1，即y=3x+3當x=1時，y=6，即P(1,6)△PBC周長的最小值為AC+BC=√10+3√2（1）證明：連接OD∵AB=AC，OB=OD∴∠B=∠C，∠B=∠ODB∴∠ODB=∠C，OD∥AC∵DF⊥AC∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切線（2）解：連接AD∵AB是直徑∴AD⊥BC∵AB=AC=5，BC=6∴BD=DC=3在Rt△ABD中，AD=√(AB2-BD2)=4S△ADC=1/2×DC×AD=1/2×AC×DF即1/2×3×4=1/2×5×DF解得DF=12/5（3）解：連接BE交AD于點O'∵AB是直徑∴BE⊥AC在Rt△ADC中，cos∠C=DC/AC=3/5在Rt△BEC中，CE=BC×cos∠C=6×3/5=18/5AE=AC-CE=5-18/5=7/5S△ADE=1/2×AE×DF=1/2×7/5×12/5=42/25（1）證明：∵a???=2a?+n+1∴a???+(n+1)+2=2(a?+n+2)∵a?+1+2=4∴數(shù)列{a?+n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知a?+n+2=4×2??1=2??1∴a?=2??1-n-2（3）解：b?=a?/2?=2-(n+2)/2?S?=Σb?=2n-Σ(k+2)/2?設T?=Σ(k+2)/2?=3/2+4/4+5/8+…+(n+2)/2?則1/2T?=3/4+4/8+…+(n+1)/2?+(n+2)/2??1兩式相減得1/2T?=3/2+(1/4+1/8+…+1/2?)-(n+2)/2??1=2-(n+4)/2??1∴T?=4-(n+4)/2?∴S?=2n-4+(n+4)/2?（1）解：四邊形ABCD是菱形，面積=1/2×AC×BD=1/2×8×8=32（2）解：直線AB的方程為x/4+y/4=1，即x+y=4OP⊥AB，故直線OP的方程為y=x聯(lián)立x+y=4和y=x，解得x=2，y=2∴點P的坐標為(2,2)（3）解：存在符合條件的點P，共有6個：①PA=PB：點P(2,2)②PA=AB：點P(0,4-4√2)、(4√2-4,0)③PB=AB：點P(4,4√2-4)、(0-4√2,0)④AB的垂直平分線與CD的交點：點P(-2,-2)（4）解：x+y在點A(0,4)處取得最大值4，在點D(0,-4)處取得最小值-4四、附加題證明：當n=2時，1+1/22=5/4<2-1/2=3/2，不等式成立假設當n=k(k≥2)時，不等式成立，即1+1/22+…+1/k2<2-1/k當n=k+1時，1+1/22+…+1/k2+1/(k+1)2<2-1/k+1/(k+1)2∵1/k-1/(k+1)2=(k2+2k+1-k)/[k(k+1)2]=(k2+k+1)/[k(k+1)2]>1/(k+1)∴-1/k+1/(k+1)2>-1/(k+1)∴1+1/22+…+1/(k+1)2<2-1/(k+1)即當n=k+1時，不等式也成立綜上所述，對一切正整數(shù)n≥2，不等式成立解：以AC為邊在△ABC外作正△ACE，連接DE∵∠BAC=20°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=80°∵△ACE是正三角形∴AE=AC=AB，∠CAE=60°∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=80°∵AD=BC，∠DAE=∠ABC=80°，AE=BA∴△ADE≌△BCA(SAS)∴DE=AC=CE，∠AED=∠BAC=20°∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°∵DE=CE∴∠DCE=∠CDE=(1