2025年下學期初中數(shù)學競賽實踐能力試卷一、數(shù)據(jù)分析題（20分）題目：某中學為優(yōu)化課后服務安排，收集了2024年9月至2025年1月七年級學生參與興趣社團的人數(shù)數(shù)據(jù)（如下表）。請根據(jù)數(shù)據(jù)回答問題：社團類型9月10月11月12月1月數(shù)學建模3238454250機器人2830252218文學社1518202522籃球社4042383530問題：繪制數(shù)學建模社和籃球社的人數(shù)變化折線圖（無需畫圖，描述趨勢即可）。計算各社團5個月的平均參與人數(shù)，找出人數(shù)增長最快的社團（寫出計算過程）。若2025年2月全校七年級學生總數(shù)為300人，預計數(shù)學建模社參與人數(shù)占比可能達到多少？說明理由。答案：趨勢描述：數(shù)學建模社人數(shù)從9月的32人持續(xù)增長至1月的50人，11月至12月略有下降但整體呈上升趨勢；籃球社人數(shù)從9月的40人波動下降至1月的30人，10月達到峰值后逐步減少。平均人數(shù)計算：數(shù)學建模社：(32+38+45+42+50)÷5=41.4人機器人社：(28+30+25+22+18)÷5=24.6人文學社：(15+18+20+25+22)÷5=20人籃球社：(40+42+38+35+30)÷5=37人增長最快社團：數(shù)學建模社，5個月增長18人（50-32=18），增長率為56.25%。預計占比：約18%-20%。理由：數(shù)學建模社近3個月平均每月增長約4人（(45-38)+(50-42))/2=4.5），若2月增長至55人左右，占300人的比例為55/300≈18.3%。二、優(yōu)化設計題（25分）題目：學校計劃用長30米的圍欄圍一個矩形花圃，一面靠墻（墻長20米），另外三面用圍欄。設矩形的長為x米，寬為y米（x≥y）。問題：寫出y與x的函數(shù)關系式，并求出x的取值范圍。如何設計矩形的長和寬，才能使花圃面積最大？最大面積是多少？若花圃內需要開辟一個面積為10平方米的正方形育苗區(qū)，育苗區(qū)邊長為整數(shù)，此時花圃最大面積是否改變？說明理由。答案：函數(shù)關系式：由題意得x+2y=30，即y=(30-x)/2。x的取值范圍：∵墻長20米且x≥y，∴x≤20，且x≥(30-x)/2→x≥10，故10≤x≤20。面積最大化：面積S=x·y=x·(30-x)/2=(-x2+30x)/2=-(x-15)2/2+112.5。當x=15時，S最大=112.5平方米，此時y=(30-15)/2=7.5米。設計方案：長15米，寬7.5米，最大面積112.5平方米。育苗區(qū)對面積的影響：不改變。理由：正方形育苗區(qū)邊長為整數(shù)（10平方米→邊長√10≈3.16米，取3米或4米），面積固定且遠小于花圃最大面積，不影響圍欄總長限制下的最優(yōu)設計。三、邏輯推理題（20分）題目：A、B、C、D四名同學參加數(shù)學競賽，賽后猜測成績：A說：“我不是第一名。”B說：“C是第一名?！盋說：“D是第一名?！盌說：“C不是第一名?！币阎娜酥兄挥幸蝗苏f真話，其余三人說假話。問題：誰是第一名？寫出推理過程。若第一名的成績比第二名高10分，四人成績均為整數(shù)且總和為360分，求第一名的成績。答案：第一名推理：假設B真（C是第一名），則D說“C不是第一名”為假，符合條件；但此時C說“D是第一名”為假，A說“我不是第一名”為真（A不是第一名），與“只有一人說真話”矛盾，故B假。假設C真（D是第一名），則B說“C是第一名”為假，D說“C不是第一名”為真，出現(xiàn)C、D兩人說真話，矛盾，故C假。假設D真（C不是第一名），則B假（C不是第一名），C假（D不是第一名），A假（A是第一名），此時A是第一名，僅D說真話，符合條件。結論：A是第一名。第一名成績：設第一名為A（x分），第二名為y分，x-y=10→y=x-10。四人成績總和x+(x-10)+z+w=360→2x+z+w=370。∵A是第一名且四人成績?yōu)檎麛?shù)，z、w≤x-10，取z=w=x-10（最小情況），則2x+2(x-10)=370→4x=390→x=97.5，故x≥98。當x=98時，y=88，z+w=370-196=174，可分配為88和86（均≤88），符合條件。第一名成績：98分。四、綜合實踐題（35分）題目：某社區(qū)計劃在廣場安裝太陽能路燈，路燈單價為1200元/盞，每天日照時間約5小時，每盞燈日均發(fā)電量0.8度，電價0.6元/度。設安裝路燈數(shù)量為n盞，使用年限為t年。問題：寫出安裝總成本C（元）與n的函數(shù)關系式，以及t年內總發(fā)電量E（度）與n、t的函數(shù)關系式。若社區(qū)預算5萬元，最多可安裝多少盞路燈？這些路燈5年內可節(jié)省電費多少元？（電費節(jié)省=總發(fā)電量×電價）為達到節(jié)能目標，社區(qū)希望t年內節(jié)省電費不少于安裝總成本的60%，求t的最小值（結果取整數(shù)）。答案：函數(shù)關系式：總成本C=1200n（n為正整數(shù)）?？偘l(fā)電量E=0.8×365t·n=292nt（度）（一年按365天計算）。預算與電費節(jié)?。鹤疃喟惭b盞數(shù)：50000÷1200≈41.67，故n=41盞。5年總發(fā)電量E=292×41×5=59,860度。節(jié)省電費=59860×0.6=35,916元。t的最小值：由題意得292nt×0.6≥1200n×60%→292t×0.6≥720→t≥720/(292×0.6)≈4.11，故t=5年。五、開放探究題（20分）題目：某初中開展“校園垃圾分類”活動，為調查學生參與情況，隨機抽取100名學生，發(fā)現(xiàn)：參與可回收物分類的有70人；參與廚余垃圾處理的有60人；兩種都不參與的有10人。問題：繪制維恩圖表示上述數(shù)據(jù)（無需畫圖，寫出各區(qū)域人數(shù)）。求兩種垃圾都參與分類的學生人數(shù)占總人數(shù)的百分比。若全校2000名學生，估計僅參與廚余垃圾處理的人數(shù)。結合生活實際，提出一條提高垃圾分類參與率的建議。答案：維恩圖區(qū)域人數(shù)：總人數(shù)100人，兩種都不參與10人→參與至少一種的有90人。設兩種都參與的有x人，則70+60-x=90→x=40人。僅可回收物分類：70-40=30人；僅廚余垃圾處理：60-40=20人。百分比：兩種都參與的40人占總人數(shù)的40%。估計人數(shù)：僅參與廚余垃圾處理的比例為20/10