專題30周期問題

20232024學(xué)年六年級(jí)備戰(zhàn)小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)精講練

（考點(diǎn)聚焦+重點(diǎn)速記+真題專練）

1.周期性問題內(nèi)容：

在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn).如：人的12生肖，一年

有春夏秋冬四個(gè)季節(jié)，一個(gè)星期有七天等等.像這些問題，我們稱為“簡(jiǎn)單周期

問題”.

2.周期性問題解決方法：

這一類問題一般要利用余數(shù)的知識(shí)來(lái)解答.

這就要求我們對(duì)題目要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)

的固定數(shù)，然后利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果.

真題專，練

一.選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1.（2分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20

日在北京舉行。這屆冬奧會(huì)第一天是星期五，最后一天是星期（）

A.五B.日C.二

2.（2分）少年宮門前擺放花盆按照“二黃三藍(lán)四紅”的順序排列的，則第21

個(gè)花盆是（）色.

A.紅B.黃C.籃

4.（2分）暑假期間，樂樂每3天去一次游泳館，佳佳每4天去一次游泳館。7

月31日兩人在游泳館相遇，他們（）又再次相遇。

日一二三四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

25262728293031

A.8月7日B.8月12日C.8月13日D.8月31日

5.（2分）國(guó)慶節(jié)聯(lián)歡會(huì)上，小紅按3個(gè)紅氣球、4個(gè)藍(lán)氣球和5個(gè)綠氣球的順

序扎成氣球串，裝飾教室，那么第112個(gè)氣球是！）氣球.

A.紅B.綠C.藍(lán)

A.26人B.27人C.28人D.29人

7.（2分）2023年7月28日是星期五，2023年8月4日是（）

A.星期五B.星期四6.星期六D.星期日

8.（2分）某一年是閏年，當(dāng)且僅當(dāng)年份數(shù)能被400整除（如公元2000年）或

能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）。閏年的2月有29天，全年

366天，平年的2月有28天，全年365天，2022年2月7日星期一是小說(shuō)家狄

史斯誕辰210周年紀(jì)念日。狄更斯的出生日是（）

A.星期五B.星期六C.星期天D.星期一

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.（2分）按我國(guó)民間說(shuō)法：2019年是豬年，2050年則是年（注：十二生

肖順序-鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）.

10.（2分）某地新經(jīng)疫情自3月8日發(fā)現(xiàn)第一例陽(yáng)性病例開始，到5月16日

實(shí)現(xiàn)社會(huì)面清零結(jié)束（頭、尾都算），前后經(jīng)過(guò)了天；若3月8日是星期

二，那么5月16日星期o

11.（2分）夏至是一年中白晝最長(zhǎng)，黑夜最短的一天，這天某城市白晝與黑夜

的時(shí)間比大約是7:5,那么夏至這天這個(gè)城市的白晝大約有小時(shí)。今年夏至

時(shí)間是6月21日星期二，由此推算今年教師節(jié)是星期o

12.（2分）北京冬奧會(huì)于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕，本屆冬奧會(huì)

一共經(jīng)過(guò)了天，開幕式那天是星期五，閉幕式那天是星期。

16.（2分）教室里有紅黃藍(lán)三盞燈，只有一個(gè)拉環(huán)，拉一次紅燈亮，拉兩次亮

紅燈和黃燈，拉三次三燈全亮，拉四次全部滅，現(xiàn)有編號(hào)1到100的同學(xué)，每個(gè)

同學(xué)拉開關(guān)拉自己編號(hào)次燈.比如第一個(gè)同學(xué)拉一次，第二個(gè)同學(xué)拉兩次，照此

規(guī)律一百個(gè)同學(xué)拉完燈的狀態(tài)是.

三,解答題（共12小題，滿分68分）

17.（5分）A,B,C,D,E5個(gè)人從左到右排列成一排，對(duì)它們進(jìn)行一次操

作是指交換相鄰的某兩人的位置.例如，對(duì)A,B,C,D,E進(jìn)行一次操作可

以將它們變?yōu)?,A,C,D,E;或者A,B,D,C,E等等.對(duì)5個(gè)人進(jìn)

行（1）次操作；（2）次操作后是否可以得到A,B,C,D,七？如果可以給

出操作方法，如果不行請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（5分）甲乙兩臺(tái)機(jī)器加工同一種零件，甲機(jī)器每小時(shí)加工1只，加工1小

時(shí)要暫停3小時(shí)，乙機(jī)器每小時(shí)加工2只，加工1小時(shí)要暫停1小時(shí)，現(xiàn)在兩臺(tái)

機(jī)器同時(shí)加工28個(gè)零件，需要多少小時(shí)？

19.（5分）井深8米，一只青蛙從井底往上跳，每次跳3米，又滑下2米，那

么它要跳幾次才能到達(dá)井口.（請(qǐng)說(shuō)明理由）

20.（5分）有7名同學(xué)編成1號(hào)到7號(hào)，他們依次圍成一個(gè)圓圈做游戲，現(xiàn)在

從1號(hào)開始發(fā)一本書，接下來(lái)隔兩個(gè)人，即數(shù)到第4號(hào)發(fā)一本書，這樣依次發(fā)下

去，若有2005本書，最后一本應(yīng)該發(fā)給多少號(hào)？

21.（6分）100名學(xué)生排成一排，第一次從左到右1至2報(bào)數(shù)，第二次從左到

右1至3報(bào)數(shù)，第三次從左到右1至5報(bào)數(shù).第三次報(bào)的數(shù)等于前兩次所報(bào)數(shù)的

和的學(xué)生有多少名？

22.（6分）有同樣大小的紅、白、黑珠子共90個(gè).如果按3個(gè)紅珠，2個(gè)白珠,

1個(gè)黑珠的順序進(jìn)行排列.黑色的珠子共有幾個(gè)？第68個(gè)珠子是什么顏色？

23.（6分）將小數(shù)0.987654321變成循環(huán)小數(shù)，如果要使第100位數(shù)位上的數(shù)

字是5,那么表示循環(huán)節(jié)的兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)分別加在哪兩個(gè)數(shù)字上面？

24.（6分）桌子上擺了很多硬幣，按一個(gè)一角，兩個(gè)五角，三個(gè)一元的次序排

列，一共19枚硬幣.問：第十四個(gè)是多少錢的？這些硬幣一共多少錢？

25.（6分）下表中，每一列一個(gè)文字、一個(gè)字母，例如：第3組表示“歡”'，

第5組表示“學(xué)……那么第47組表示的是什么？

我喜歡數(shù)學(xué)我喜歡數(shù)學(xué)我........

abCdabCdabC........

26.（6分）A、B、C、。四個(gè)盒子里依次放有8、5、3、2個(gè)小球，第一個(gè)小

朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個(gè)球放在其它盒子中各一個(gè)；第2個(gè)小朋

友也找到放球最多的盒子，從中拿出3個(gè)球放在其它盒子中各一個(gè)…當(dāng)1999個(gè)

小朋友放完后，A、B、。、。四個(gè)盒子中依次放有幾個(gè)球？

27.（6分）桌子上擺了很多硬幣，按一個(gè)一角，兩個(gè)五角，三個(gè)一元的次序排

列，一共19枚硬幣.問：最后一個(gè)是多少錢的？第十四個(gè)是多少錢的？

參考答案

一.選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1.【分析】先求出2月4日至2月20日經(jīng)過(guò)了多少天，天數(shù)除以7求出經(jīng)過(guò)了

多少周，再根據(jù)余數(shù)推算。

星期五向后推2天是星期日。

答：最后一天是星期日。

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)犍是先求出經(jīng)過(guò)了多少天，然后再進(jìn)一步解答。

2.【分析】根據(jù)題干分析可得，這些花盆的排列規(guī)律是：9個(gè)花盆一個(gè)循環(huán)周期，

分別按照“二黃三藍(lán)四紅”的順序排列，據(jù)此求出第21個(gè)花盆是第幾個(gè)循環(huán)周

期的第幾個(gè)即可解答.

所以第21個(gè)花盆是第3循環(huán)周期的第3個(gè)，是杰色的.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題干分析得出這些花盆的排列規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵.

3.【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)時(shí)間=結(jié)束時(shí)刻-開始時(shí)刻，求出間隔時(shí)間，進(jìn)而根據(jù)結(jié)束

時(shí)刻=開始時(shí)刻+經(jīng)過(guò)時(shí)間推算響鈴時(shí)刻。

【解答】解：7時(shí)45分-7時(shí)=45分鐘

9時(shí)15分+45分鐘=10時(shí)

10時(shí)+45分鐘=10時(shí)45分

10時(shí)45分+45分鐘=11時(shí)30分

答：在11時(shí)30分它也會(huì)發(fā)出鈴聲。

故選：Co

【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是掌握時(shí)間推算的相關(guān)公式。

4.【分析】每相鄰兩次相遇之間相隔的時(shí)間應(yīng)是3和4的最小公倍數(shù)12天，據(jù)

此推算即可。

【解答】解：7月31日+12天=8月12日

答：他們8月12日又再次相遇。

故選：B。

【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是明確每12天相遇一次，然后再進(jìn)一步解答。

5.【分析】3個(gè)紅氣尿、4個(gè)藍(lán)氣球和5個(gè)綠氣球，一共是12個(gè)氣球，把每12

個(gè)氣球看成一組，先用112除以12求出商和余數(shù)，再根據(jù)余數(shù)進(jìn)行推算.

余數(shù)是4,說(shuō)明第112個(gè)氣球是第10組的第4個(gè)，是藍(lán)色的.

答：第112個(gè)氣球藍(lán)紅色.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題關(guān)鍵是把重復(fù)出現(xiàn)的部分看成一組，根據(jù)除法的意義，求

出總數(shù)量里面有多少個(gè)這樣的一組，還余幾，然后根據(jù)余數(shù)進(jìn)行推算.

6.【分析】把1、2、3、4、5,這5個(gè)數(shù)看成一組，最后一個(gè)報(bào)的數(shù)是4,這一

排的人數(shù)就是除以5,余數(shù)是2的數(shù).

這一排可能的人數(shù)是29人.

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】解答本題關(guān)鍵是先找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解.

7.【分析】先求出7月28日到8月4日經(jīng)過(guò)了多少天，天數(shù)除以7求出經(jīng)過(guò)了

多少周，若有余數(shù)，再根據(jù)余數(shù)推算。

2023年7月28日是星期五，2023年8月4日是星期五。

故選：Ao

【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是先求出經(jīng)過(guò)了多少天，然后再進(jìn)一步解答。

8.【分析】由題意，這210年有52個(gè)閏年，158個(gè)平年，從而計(jì)算出總天數(shù)，

再根據(jù)一周有7天，利用周期性即可求解解。

故選：Ao

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是正確解出210年共有的天數(shù)。

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.【分析】因?yàn)?019年是豬年，所以這12屬相排成“鼠、牛、虎、兔、龍、

蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”，把它們看成一組，先求出2019年到2050年有

多少年，再用這個(gè)年數(shù)除以12,求出經(jīng)過(guò)了幾個(gè)這樣的一輪，還余幾，再根據(jù)余

數(shù)進(jìn)行推算.

【解答】解：把12屬相排成“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬”，看成一組；

余數(shù)是7,那么2050年就是豬年之后的第7年，是馬年.

答：2050年則是馬年.

故答案為：馬.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題往往是把重復(fù)出現(xiàn)的部分看成一組，先找出排列的周期性

規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解.

10.【分析】用每個(gè)月結(jié)束的日期減去開始的日期，求出經(jīng)過(guò)的天數(shù)，每月的天

數(shù)相加之后再加上開頭的一天，計(jì)算即可。天數(shù)除以7求出經(jīng)過(guò)了多少周，若有

余數(shù)再根據(jù)余數(shù)推算。

=70(天)

答：前后經(jīng)過(guò)了70天：若3月8日是星期二，那么5月16日星期二。

故答案為：70,二。

【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是掌握日期推算的方法。

11.【分析】(1)先求出白生時(shí)間與黑夜時(shí)間的總份數(shù)，再求出白晝占總份數(shù)

的幾分之幾，最后求出白晝約有多少小時(shí)，列式解答即可。

(2)先求6月21日到8月31日經(jīng)過(guò)了多少天，再加9月份的10天，再求這些

天里有幾周，還余幾天，再根據(jù)余數(shù)判斷。

答：白晝約有14小時(shí)。

(2)2018年6月21日至U2018年8月31日經(jīng)過(guò)了71天；

余數(shù)是4,所以9月10日是星期六。

答：9月10日教師節(jié)是星期六。

故答案為：14；六。

【點(diǎn)評(píng)】(1)主要考查按比例分配應(yīng)用題的特點(diǎn)：已知兩個(gè)數(shù)的比與兩個(gè)數(shù)的

和，求這兩個(gè)數(shù)，用按比例分配解答。

(2)解決這類問題先求出經(jīng)過(guò)的天數(shù)，再求經(jīng)過(guò)的天數(shù)里有幾周還余幾天，再

根據(jù)余數(shù)推算。

12,【分析】開幕和閉幕都算作經(jīng)過(guò)的天數(shù)，用結(jié)束的日期減去開始的日期，求

出經(jīng)過(guò)的天數(shù)，再加上開頭的一天。

先求出經(jīng)過(guò)了多少天，天數(shù)除以7求出經(jīng)過(guò)了多少周，再根據(jù)余數(shù)推算。

=17(天)

星期五向后推2天是星期日。

答：本屆冬奧會(huì)一共經(jīng)過(guò)了17天，開幕式那天是星期五，閉幕式那天是星期日。

故答案為：17,日。

【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是掌握日期推算的方法。

由題意知：這串?dāng)?shù)的規(guī)律是1、1、2、3、5、8...,從第三個(gè)數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和，

分別計(jì)算這些數(shù)除以3的余數(shù)，找出規(guī)律：每8個(gè)為一循環(huán)，用2021除以8,

看看有多少個(gè)循環(huán)，余數(shù)是幾則看循環(huán)數(shù)里第幾個(gè)數(shù)，是幾就余幾。

故答案為：奇；2o

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題往往是把重復(fù)出現(xiàn)的部分看成一組，先找出排列的周期性

規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解。

14.【分析】由題意得，2次同時(shí)噴水的間隔分鐘數(shù)是10和6的最小公倍數(shù)，即

30分鐘。據(jù)此用12時(shí)加上30分鐘即可求出下次同時(shí)噴水的時(shí)刻。

【解答】解：10和6的最小公信數(shù)是30。

【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是明確2次同時(shí)噴水的間隔分鐘數(shù)是10和6的最小公倍數(shù)，

然后再進(jìn)一步解答。

首次出現(xiàn)數(shù)字都是7,在小數(shù)點(diǎn)后第15位上。

答：在小數(shù)點(diǎn)后第十五位時(shí)，首次在該位的數(shù)字都是“7”。

故答案為：十五。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了周期性問題，根據(jù)循環(huán)小數(shù)的周期性，得出數(shù)位上的數(shù)

字都是“7”的數(shù)位是3和5的公信數(shù)，是本題解題的關(guān)鍵。

16.【分析】把按4次看成一次操作，這一次操作中按第一次第一盞燈亮，按兩

次第二盞燈亮，按三次三燈全亮，再按一次全部燈滅；求出100里面有幾個(gè)這樣

的操作，還余幾，然后根據(jù)余數(shù)推算.

余數(shù)是2,就是第二次的狀態(tài)，紅燈和黃燈亮.

故答案為：紅燈和黃燈亮.

【點(diǎn)評(píng)】這類型的題目把重復(fù)出現(xiàn)的部分看成一個(gè)周期，求出一共有多少的這樣

的周期，還余幾，然后根據(jù)余數(shù)推算.

三.解答題（共12小題，滿分68分）

【解答】解：200161216次操作可以得到A,B,C,D,E.

即個(gè)循環(huán)，各自又回到原來(lái)的位置，因此能得到A,13,C,。，E;

200161217次操作不可以得到A,B,C,D,E.

即個(gè)循環(huán)，余1,說(shuō)明進(jìn)行了個(gè)循環(huán)后，又進(jìn)行一次交換，A與A交換，因此不

能得到A,B,C,D,E,

【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)操作找到A,B,C,D,E5個(gè)人從左到右排列

成一排，對(duì)它們進(jìn)行一次操作是指交換相鄰的某兩人的位置，交換多少次一個(gè)循

環(huán).

18,【分析】根據(jù)題意，列出甲機(jī)器與乙機(jī)器在第一、第二、第三、第四、第五

…等時(shí)間加工零件的個(gè)數(shù)，找出加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間的關(guān)系，得出規(guī)律,

即可解決問題；

如圖,

時(shí)間第1小時(shí)第2小時(shí)第3小時(shí)第4小時(shí)第5小時(shí)第6小時(shí)第7小時(shí)

個(gè)數(shù)

甲1000100

乙2020202

【解答】解：從上圖看出，從第5個(gè)小時(shí)，開始和前5個(gè)小時(shí)力口工零件的個(gè)數(shù)出

現(xiàn)相同，即每4個(gè)小時(shí)出現(xiàn)一個(gè)循環(huán)，

商是5說(shuō)明用了5個(gè)循環(huán)周期，余數(shù)是3,即多余的3個(gè)零件正好在此循環(huán)中的

第2個(gè)小時(shí)內(nèi)完成，

答：需要21小時(shí)完成.

【點(diǎn)評(píng)】利用表格的形式，找出加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間的規(guī)律，由此解決問

題.

19.【分析】每次上3米，下2米，就是每次1米，5次之后就是5米，這時(shí)候

再跳一次就往上3米，已經(jīng)到了井口，不會(huì)再往下滑，所以一共是6次.

=6（次）.

答：它要跳6次才能到達(dá)井口；原因是5次之后就是5米，這時(shí)候再跳一次就往

上3米，已經(jīng)到了井口，不會(huì)再往下滑，所以一共是6次.

20,【分析】從1號(hào)開始發(fā)一本書，接下來(lái)隔兩個(gè)人，即數(shù)到第4號(hào)發(fā)一本，所

以發(fā)書的順序依次為：1、4、7、3、6、2、5、1、4、7…所以發(fā)書的順序是7個(gè)

同學(xué)一個(gè)周期，分別發(fā)給1、4、7、3、6、2、5：由此計(jì)算得出第2005本是第幾

個(gè)周期第幾個(gè)即可.

【解答】解：根據(jù)題干分析可得，發(fā)書的順序是7個(gè)同學(xué)一個(gè)周期，分別發(fā)給1、

4、7、3、6、2、5、1、4、7...;

所以第2005本書是第287周期的第3本，與第一個(gè)周期的第3本一樣，分洽了

7號(hào)同學(xué).

答：最后一本應(yīng)發(fā)給7號(hào)同學(xué).

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題干得出發(fā)書的循環(huán)周期特點(diǎn)，是解決此類問題的關(guān)鍵.

【解答】解：依題意有：

=20（名）

答：第三次報(bào)的數(shù)等于前兩次所報(bào)數(shù)的和的學(xué)生有20名.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題關(guān)鍵是找出從左到右30人是一循環(huán)，以及每個(gè)循環(huán)中有幾個(gè)

學(xué)生第三次報(bào)的數(shù)等于前兩次所報(bào)數(shù)的和；找出這一循環(huán)規(guī)律，進(jìn)而求解.

22,【分析】（1）因?yàn)椤鞍?個(gè)紅珠，2個(gè)白珠，1個(gè)黑珠的順序進(jìn)行排列”，

可得每6個(gè)珠子為一個(gè)循環(huán)，由此即可求出有多少個(gè)循環(huán)，進(jìn)而求出黑色珠子的

個(gè)數(shù)即可；

（2）每6個(gè)珠子為一個(gè)循環(huán)，所以計(jì)算出第68個(gè)珠子里面有幾個(gè)6,即可求出

第68個(gè)珠子是什么顏色.

=15（個(gè)）

答：黑色的珠子共有15個(gè)，第68個(gè)珠子是紅顏色.

【點(diǎn)評(píng)】求出這些珠子排列的周期規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵.

23.【分析】依據(jù)循環(huán)節(jié)的定義，表示循環(huán)小數(shù)的小圓點(diǎn)從9開始一直到符合要

求，分情況討論前一個(gè)循環(huán)節(jié)的點(diǎn)應(yīng)放在哪即可.

所以這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)應(yīng)從5開始，循環(huán)節(jié)為：54321.

答：表示循環(huán)節(jié)的兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)分別加在5和1上面.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問題往往是把重復(fù)出現(xiàn)的部分看成一組，先找出排列的周期性

規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解.

所以第14個(gè)硬幣是五南硬幣，

所以第19個(gè)硬幣是一甬硬幣，

答：第十四個(gè)是五角的，這些硬幣一共4元2角錢.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)觀察，得出硬幣的排列周期特點(diǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵.

所以，第47組的漢字是第10個(gè)循環(huán)的第二個(gè)漢字，是“喜”；

所以，第47組的字母是第12個(gè)循環(huán)的第3個(gè)字母，是“c”；

答：第47組表示的是“喜、°”.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題干得出這串字母和