2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（江蘇專用）

重難點(diǎn)04最值問題

【命題趨勢】

最值問題，在中考里，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力

區(qū)分度最重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。

【滿分技巧】

1）.在代數(shù)部分最值問題，多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要先求自變審的取值范

圍，再求函數(shù)解析式，根據(jù)實(shí)際向題，求得最值。有關(guān)內(nèi)容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。

近幾年，利用配方法求最值來解戾一些實(shí)際問題，也常常見到。

2）.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：（1）幾何圖形中在

特殊位置下的最值；（2）比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉

及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差

小于第三邊”等；③借助于圓的知識；④二次函數(shù)的最值法解決。

3）幾何最值問題中的基本模型舉例

圖形

軸對稱最值原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系

（將軍飲馬）A,8為定點(diǎn)，/為定直線，A,8為定點(diǎn)，/為定直線，

A,B為定點(diǎn)，/為定直線，MN為直線/

特征P為直線1上的一個(gè)動(dòng)P為直線/上的一個(gè)動(dòng)

上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值

點(diǎn)，求AP+8P的最小值點(diǎn)，求I4PBPI的最大值

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定先平移AM或使M,N重合,然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定

轉(zhuǎn)化

直線1的對稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線,的對稱點(diǎn)直線/的對稱點(diǎn)

圖形

折疊最值

原理兩點(diǎn)之間線段最短

在△ABC中，M,N兩點(diǎn)分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△8MN沿MN翻折，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)

特征

為連接AB；求4萬的最小值.

轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB'+B'N+NC的最小值

【限時(shí)檢測】

A卷（真題過關(guān)卷）

一、單選題

I.如圖，E1為正力診A6C。邊二點(diǎn)，AE=1,DE=3,P為對角線6。上個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝IJPA十PE的最小

值為（）

A

A.5B.4V2c.2V10D.10

2.如圖，Rt^ABC^,“=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)尸為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PZ）_LA8于點(diǎn)

則P8+P0的最小值為（)

24D*

A禧B.TC.5

3.如圖，正方形A8C。的邊長為4,點(diǎn)M在。。上，且。M=l,N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則。N+MN的最小值為

)

A.4B.472C.2V5D.5

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=+必+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)。（3,0）,

若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-1）,連接PD,則&PD+PC的最小值是（）

A.4B.2+2夜C.2V2D.-+-V2

23

5.如圖，四邊形48CD為矩形，48=3,8c=4.點(diǎn)P是線段8C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段4尸上一點(diǎn).^ADM=

乙BAP,則BM的最小值為（）

A￡B.C.V13-|D.V13-2

?2

6.如圖1,正方形人BCD中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)。是對角線力C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)/P=工，PBA-PE=y,

當(dāng)點(diǎn)P從A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與X的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)M是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

A.（4V2,3佝B.（2V2,3V5）C.（3圾2。D.（375,472）

7.如圖，點(diǎn)M是菱形人8c。的邊8c的中點(diǎn)，P為對角線8。上的動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,ZA=I2O°,則PM+

PC的最小值為（）

D

11.如圖，在△ABC中，LBAC=90°,48=3,AC=4,EF垂直平分8C,點(diǎn)尸為直線Er上任意一點(diǎn)，則

4P+8P的最小值是

12.如圖，拋物線y=/—4x+3與x軸分別交于4,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,在其對稱

軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,連接M4MC,AC,則△MAC周長的最小值是.

13.如圖，在O0中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在00上，2408=90。，OA=6,點(diǎn)C在OA上，且OC=24C,點(diǎn)。是。8的中

點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧A8上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為.

14.如圖，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于力和8,點(diǎn)C、。分別為線段48、。8的中點(diǎn)，P為OA上一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)PC+P。的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

15.如圖，點(diǎn)P是〃OB內(nèi)任意一點(diǎn),OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線0A和射線0B上的動(dòng)點(diǎn),/40B=30°,

則APMN周長的最小值是.

16.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,力(0,4),8(4,0),戶是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),02=2,連接42、80,則即+/。

三、解答題

17.如圖，在△48C中，48=120。,48邊的垂直平分線。打交力8于點(diǎn)。，若4E=3,

(1)求BC的長;

(2)若點(diǎn)。是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為

18.在△48C中，48=90。，。為BC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC,C。的垂直平分線的交點(diǎn)，連接應(yīng)4,EC,

ED.

（1）如圖1,當(dāng)乙￡MC=40。時(shí)，^ALAED=。；

⑵當(dāng)NB4C=60。時(shí)，

①如圖2,連接AD,判斷的形狀，并證明：

②如圖3,直線Cr與ED交于點(diǎn)用滿足乙CFD=zC4E.P為直線CF上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PE-PD的值最大時(shí)，用

等式表示PE,PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為，并證明.

19.在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中4（一1,1）,8（4,3）,C（4,-1）處各有一顆棋子.

（I）如圖I,依次連接4,B,C,4得到一個(gè)等腰三角形（BC為底邊），請?jiān)趫D中畫出該圖形的對稱軸.

（2）如圖2,現(xiàn)工軸上有兩顆棋子P.Q,且PQ=1（P在Q的左邊），依次連接A,P,Q,B,使得AP+PQ+QB

的長度最短，請?jiān)趫D2中標(biāo)出棋子P,。的位置，并寫出P,Q的坐標(biāo).

20.如圖，拋物線y=/+雙+。與_￥軸交于4（-1,0）,8（3,0）兩點(diǎn).

⑴求該拋物線的解析式；

⑵觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，y>0?

⑶設(shè)（1）題中的拋物線交），軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得△QAC的周長最?。咳?/p>

存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

21.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在中，44=90。，點(diǎn)。、

E分別在邊AB、AC上，AD=AE,連接DE、DC,點(diǎn)、M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，且連接PM、PN.

圖1圖2

（1）觀察猜想

線段PM與PN填(“是”或“不是”)“等垂線段”.

(2)A4DE繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接BD,CE,試判斷PM與PN是否為“等垂線段”，

并說明理由.

⑶拓展延伸

把么ADE繞點(diǎn)4在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=4,請直接寫出PM與PN的積的最大值.

22.已知aCDE與aABC有公共頂點(diǎn)C,ACDE為等邊三角形,在△4BC中，ABAC=120°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，連接AO,已知四邊形48。。的面積為2B，求48+4C的值；

(2)如圖2,AB=AC,A、E、。三點(diǎn)共線，連接4E、BE,取BE中點(diǎn)M,連接AM,求證：AD=2AM,

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將△G9E以。為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取。E中點(diǎn)F,當(dāng)BF+fAF的值最小時(shí)，

求tan乙4BF的值.

23.拋物線y=a/+bx+6分別交x軸于點(diǎn)4(1,0),5(-3,0),交)，軸于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸與x軸相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN1AC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)線段MMNC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；

(3)在M,N移動(dòng)的過程中，是否有最小值，如果有，請寫出理由.

24.如圖1,△ABC與尸都是等邊三角形，邊長分另IJ為4和小，連接F&4D為△ABC高，連接CE,N為CE的

中點(diǎn).

⑴求證：△ACfMBE；

⑵洛A4E尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在4D上時(shí)，如圖2,EF與AC交于息G,連接NG,求線段NG的長；

(3)連接8N,在△/1￡尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，求BN的最大值.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線A/3分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于4、B兩點(diǎn),其中OA=

2,SM5c=12,點(diǎn)C在/軸的正半軸上，^OC=OB.

(1)求直線AB的解析式；

(2)洛直線4B向下平移6個(gè)單位長度得到直線//,直線//與)，軸交于點(diǎn)E,與直線C4交于點(diǎn)/),過點(diǎn)E作

y軸的垂線S若點(diǎn)P為)，軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為直線6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PQ+OQ的最小值；

(3)若點(diǎn)M為直線A8上的一點(diǎn)，在)，軸上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

26.如圖①，在等腰RtaABC和等腰RtaBDE中，^BAC=LBDE=90°,AB=AC,BD=DE,E為BC的

中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接4凡DF,AD.

⑴若48=4,求4。的長度；

⑵若將△8DE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請證明凡AFLDF；

⑶如圖③，在△BDE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)的過程中，再將△4"繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到4AC'F'y連接"'，若48=4,

請直接寫出3戶的最大值.

【限時(shí)檢測】

B卷(模擬提升卷)

一、單選題

I.如圖，在RAAB。和RA4OE中，^BAC=^DAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.連接BQ,CE,將

△4DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)乙084最大時(shí)，AACE的面積為().

B

D

A.6B.6V2C.9D.9V2

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=；%—3分別與x軸、），軸相交于點(diǎn)八、B,息E、F分別是正方形

O4C。的邊O。、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且OE=4F,過原點(diǎn)。作O"_LEF,垂足為H,連接/M、HB,則△凡48面

13+5V2

A.6+5V2B.12C.6+3V2n

2

3.正方形/18CQ中，AB=4,點(diǎn)E、尸分別是C。、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足力E=C凡DF.AE相交于點(diǎn)

G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角AAVG使得NA”G=90。，連接則的最小值為（）

A.2V5-2B.2V5+2C.V10-V2D.V104-V2

4.如圖，中，AB1FC,AB=8,BC=6,P是△力8C內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足=NPBC,則

線段CP長的最小值為（）

A

BC

A.三B.2C.2V13-6D.2713-4

5.如圖I,在菱形AACO中，A3=6,N/M"=12（T,點(diǎn)上是6C‘邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是對角線A0上一動(dòng)

點(diǎn)，設(shè)PO的長度為x,PE與PC的長度和為y,圖2是），關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中“（a,b）是圖象上的

最低點(diǎn)，則。+力的值為（）

A.773B.6V5+3C.8V3D.373+6

6.如圖，等邊△ABC的邊長為6,A。是3c邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，￡是邊AC上一點(diǎn)，若AE=2,

則EM+CM的最小值為（）

A

A.V26B.3V3C.2夕D.4企

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)-2r+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與,，軸交于點(diǎn)5（0,

-3）,若，是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（0,1）在），軸上，連接PD,則魚PO+PC的最小值是（）

A.4B.2+2V2C.2V2D.-+-V2

23

8.如圖，如圖，0M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)P是。M上的任意一點(diǎn)，PA1PB,PA,PB與

x軸分別交于A,4兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)O對稱，貝必8的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空題

9.△ABC中，AB=AC=5,BC=6,。是BC的中點(diǎn)，E為A8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于。E的對稱點(diǎn)夕在△48C

內(nèi)(不含△ABC的邊上)，則8E長的范圍為

10.如圖，點(diǎn)A,4的坐標(biāo)分別為8(6,0),8(0,6),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，8C=2&,M為線段4C的中

點(diǎn),連接OM,當(dāng)OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

11.如圖，在△ABC中，4C43=90°,AB=AC=1,P是△力3C內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值為

12.如圖，等邊△48C中，AB=10,點(diǎn)E為高力D上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BE凡連接DF,CF,則

乙BCF=_______________FB+FO的最小值為

13.如圖，在△ABC中，AB=AC=4.NC48=30。，AD1BC,垂足為O,P為線段A。上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

PB、PC.則以+2PB的最小值為.

c

14.如圖，O為矩形ABC。對角線AC,BO的交點(diǎn)，AB=8,M,N是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，旦MN=2,則OM+ON

的最小值是.

15.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實(shí)這些矩

形的長與寬之比都為魚：1,我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形7BCD中，如圖所示，

點(diǎn)Q在。。上，且0Q=/0,若G為8。邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AnGQ的周長最小時(shí)，則笑的值為.

16.如圖，在△ABC中，ZC=90°,4C=8,4B=10,。是AC上一點(diǎn)，且CD=3,E是BC邊上一點(diǎn)，將

△OC月沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接BF,則8/的最小值為.

A

三、解答題

17.教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第111頁的部分內(nèi)容.

⑨[D如圖1925,在菱形.4BCD中，NBAD=

2NR試求出的大小，并說明旬C是等邊B

三角形.

C

圖③

圖②

⑴問題解決：請結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過程.

(2)問題探究：在菱形A3c。中，對角線AC、3。相交于點(diǎn)O,AB=4,ZBAD=2ZABC.過點(diǎn)。作QE//4C

交BC的延長線于點(diǎn)E.如圖②，連結(jié)0E,則的長為.

(3)如圖③，若點(diǎn)尸是對角線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC、PE,則PC+PE的最小值為.

18.在放A4BC中，AB=BC,在R"CE〃中，NCEH=45。,ZECH=90°,連接AE.

(I)如圖1,若點(diǎn)E在C8延長線上，連接且AH=6,求4E的長；

(2)如圖2,若點(diǎn)E在AC上，尸為AE的中點(diǎn)，連接8F、BH,當(dāng)BH=2BF,NEHB《NHBF=45。時(shí),求證：

AE=CEX

(3)如圖3,若點(diǎn)石在線段AC上運(yùn)動(dòng)，取AE的中點(diǎn)「，作8c交A/6于〃，連接并延長到。，使得

BE=DE,連接A。、CD；在線段8C上取一點(diǎn)G,使得CG=AF,并連接EG；若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)的

過程中，當(dāng)ACO的周長取得最小值時(shí)，aAEO的面積為25,請直接寫出GE+8廳的值.

19.如圖，已知一次函數(shù)>=h+〃的圖像經(jīng)過A(1,4),B(4,1)兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C,交)，軸于

點(diǎn)D.

(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若)，軸存在一點(diǎn)。使%+P4的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及力+0/3的最小值；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)使么MQA的面積等于△AO3的面枳；若存在請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不

存在請說明理由.

20.已知，在正方形A3CO中，點(diǎn)E,尸分別為A。上的兩點(diǎn),連接5E、CF,并延長交于點(diǎn)G,連接。G,

H為CF上一點(diǎn),連接8”、DH,4GBH+乙GED=90°

(1)如圖1,若”為C尸的中點(diǎn)，且尸，DH=呼求線段48的長；

(2)如圖2,若BH=BC,過點(diǎn)B化B/1CH于點(diǎn)/,求證：BI+^DG=CG；

(3)如圖2,在(1)的條件下，尸為線段4。(包含端點(diǎn)4、D)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)B作BQ1CP于點(diǎn)

。，將aBCQ沿4C翻折得△BCM,N為直線A8上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,當(dāng)^BCM面積最大時(shí)，直接寫出//lN+

MN的最小值.

21.如圖，四邊形/WC。中，AD//BC,N3=90。，A8=8,8c=20,AQ=18,點(diǎn)。為4c中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、P

在線段A。邊上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

⑴當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形P8Q。是平行四邊形，請說明理由？

⑵在AO邊上是否存在一點(diǎn)R,使得8、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出/的值:

若不存在，請說明理由.

(3)在線段尸。上有一點(diǎn)M,且PM=10,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)_________秒時(shí)，四邊形3cMp的周長最小,

其最小值為.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-4分別與x,y軸交于點(diǎn)A,拋物線y二言，十取十c恰

318

好經(jīng)過這兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將△AC。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△EC凡點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求：8P+EP取最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo).

23.已知拋物線y=Q/+b%+c(小b,c是常數(shù)，a>0)的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于點(diǎn)4(-1,0)和點(diǎn)機(jī)

(1)若8=—2,c=-3,

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線x=7九(/〃是常數(shù)，1VmV3)與拋物線相交于點(diǎn)M