24.3正多邊形和圓同步練習(xí)

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.如圖，四邊形4BCD是00的內(nèi)接正方形，點P是比上不同于點C的任意一點，則

△BPC的度數(shù)是（）

A.22.5°B.45°C.30°D.50°

2.如果一個正多邊形的中心角為72。，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

3.如圖，正五邊形48C0E內(nèi)接于O。，P為應(yīng)上的一點（點尸不與點。重命），則4cPD的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.60°D.72°

4.如圖，已知正五邊形力8。?！陜?nèi)接于。。，連接B。，則4180的度數(shù)是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

5.如圖，正五邊形內(nèi)接于。0,P為翁上的一點（點尸不與點。重合），則“PO的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.60°D.72°

6.如圖，正六邊形力BCDEF內(nèi)接于0。，連接BD.則4C8D的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.如圖，。0是正五邊形ABODE的外接圓，點P是靠的一點，則4CPD的度數(shù)是（）

A.30°B,36°C.45°D.72°

8.若正六邊形的外接圓半徑長為4,則它的邊長等于（）

A.4B.2C.2/3D.4<3

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.間內(nèi)接正六動形的功長為10cm,它的功心距等于cm.

10.16.如圖，六邊形A8CDEr是00的內(nèi)接正六邊形，若正六邊形的面積等于3V1，則。。的面積等于

11.已知正三角形48。的邊心距為Gem,則正三角形外接圓的半徑為cm.

12.如圖，O。是正五邊形4BCDE的外接圓,貝此如4。=_

13.如圖，正六邊形力BCDEF內(nèi)接于O。，。0的半徑為3,則正六邊形48CDEF的E.D

邊長為

0.

AB

14.如圖，已知P、Q分別是O。的內(nèi)接正六邊形力BCDE尸的邊AB、BC上的點，4P=8Q,則"0Q的度數(shù)

15.如圖，已知正六邊形ABCDE尸的外接圓半徑為2cm,則正六邊形的邊心距是cm.

16.如圖，正五邊形4BCDE內(nèi)接于0。，P為卷上一點，連接P4PE,則乙4PE的度

數(shù)為.

三、解答題：本題共6小題，共52分。

17.（本小題8分）

如圖，要擰開一個邊長12mm的六角形螺帽，扳手張開的開l」b至少要多少？

18.（本小題8分）

如圖，正五邊形力BCDE內(nèi)接于。。，點尸在&上，求乙CFD的度數(shù).

22.(本小題10分)

如圃，正六遏形ABCDE/卷O0的內(nèi)接正六遏形.已知。0的半^^2cm.

(1)求乙A08的度數(shù)和弧AC的長.

(2)求扇形4。8的面植.

答案和解析

1.【答案】B

???匹邊形A8C。是正方形，

:.Z.BOC=90。，

故詵：B.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用.

連接。。。，首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得NBOC=90。，再根據(jù)圓周角定理，即可得NBPC的發(fā)數(shù).

2.【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)正多邊形的中心角和為360。和正多邊形的中心角相等，列式計算即可.

本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算，掌握正多邊形的中心角和為360。和正多邊形的中心角相等是

解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：這個多邊形的邊數(shù)是360+72=5,

故選:B.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.連接

OC,OD求出NCOO的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題.

【解答】

解：如圖，連接OC,OD.

A

?.TBCDE是正五邊形，

??.ACOD=嘿360°=72°,

:.LCPD=3乙COD=36°,

故選艮

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于(n-

2)x180。是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)求出，ABC、CD=CB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出ZCBD,計算

即可.

【解答】

解：???五邊形力BCDE為正五邊形，

,“8。=”=空孥%=1。8。，

vCD=CB,

Z.ABD=Z.ABC-Z.CBD=72°,

故選C.

5.【答案】B

【解析】解：如圖，連接OC,OD.

???4BCDE是正五邊形,

/.COD=塔=72°,

Z.CPD/乙COD=36°,

故選:B.

連接。C,。力求出4COO的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題;

本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟紜掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

6.【答案】A

【解析】解：???在正六邊形4BCDE尸中,

乙BCD=①一2方18。。=120。，BC=CD,

6

:.ACBD=1(180°-120°)=30°,

故選:A.

根據(jù)止六邊形的內(nèi)角和求得48CD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】解：如圖，連接。C,0D.

?.?ABODE是正五邊形，

360°

???乙COD=愣=72°,

:.乙CPD=：乙COD=36°,

故選:B.

連接。C,OD,求出△。。。的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題；

本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

8.【答案】A

【解析】【分析】

此題主要考查了正多邊形和圓，利用正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形求解

是解題關(guān)鍵.

根據(jù)正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，即可求解.

【解答】

解：如圖，正六邊形的中心角乙408=360。+6=60。，那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長將組成一個

等邊三角形，

故正六邊形的外接圓半徑等于4,則正六邊形的邊長是4.

故選：A.

9.【答案】5/3

【解析】【分析】

本題考查的是正多邊形與圓，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理直接計算即可.

【解答】

解：如圖所示，連接。8、OC,過。作。G1BC于G,

???此多邊形是正六邊形,

.?.△OBC是等邊三角形,

???乙OBG=60°?

:.BG=5c7九，OB=10cm,

根據(jù)勾股定理可得：邊心距OG=5Cc/n，

故答案為：5/3.

10.【答案】27r.

【解析】【分析】

連接OE、OD,由正六邊形的特點求出判斷出△ODE的形狀，作。"1ED,由特殊箱的三角函數(shù)值求出。”

的長，利用三角形的面積公式即可表示ODE的面枳，進(jìn)而根據(jù)正六邊形ABCDEF的面積求得圓的半

徑，從而求得圓的面積.

【詳解】

連接。E、。0,

???六邊形是正六邊形，

???Z.DEF=120°,

???COED=60°,

v0E=OD,

.?.△ODE是等邊三角形，

DE=OE,

設(shè)0E=DE=r,

作0,1ED交ED于點H,MiJsinzOED=瞿,

OE

0H=等,

???正六邊形的面積等于3C,

，正六邊形的面積=1x/rxrx6=3V3,

解得：r=/2,

???G。的面積等于仃2=2亢，

故答案為：271.

【點睛】

本題主要考查了正多邊形和圓，掌握正多邊形和圓是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】2c

【解析】【分析】

【解答】

解：如圖所示，連接80,由題意可得,

0D1BC,0D=V3cm,Z.0BD=30°,

故B。=2DO=2/3(c?n)

12.【答案】36°

【解析】【分析】

本題主要考查了正多邊形和圓的關(guān)系，以及圓周角定理的應(yīng)用

由正五邊形的性質(zhì)得出N84E=(5-2)x180°+5=108°,

CD=DE,得出“=&=翁，由圓周角定理即可得出

解：：。。是正五邊形/BCDE的外接圓，

￡BAE=(5-2)x180°+5=108°,BC=CD=DE,

BC=CD=DEf

A￡CAD=1x108°=36°；

故答案為36。.

13.【答案】3

【解析】解：?.?正六邊形ABCOEF內(nèi)接于0。，。。的半徑為3,

而正六邊形可以分成六個邊長相等的正三角形，

???正六邊形外接圓的半徑即為正三角形的邊長，

.?.正三角形的邊長為3,

???正六邊形A8CDE9的邊長為3,

故答案為：3

由干正六邊形可以分成六個邊長相等的正三角形，而正六邊形外接圓的半徑即為正三角形的邊長，同時也

是正六邊形的邊長.

此題主要考查正多邊形與圓的問題，屬于常規(guī)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)正六邊形可以分成六個邊長相等的正三

角形解答.

14.【答案】600

【解析】解：連接04、。8、OC,

?:六邊形ABCDEF是O。的內(nèi)接正六邊形，

???￡A0B=LBOC=60°,

v0A=OB,OB=OC,

AZ.OBA=Z.OCB=60°,

'：AP=BQ,AB=BC,

BP=CQ,

S.LOBP^^OCQ^,

(OB=OC

"BP=乙OCQ,

BP=CQ

2OBP2AOCQ,

乙BOP=Z.COQ,

???Z.POQ=乙BOP+乙BOQ,Z.BOC=乙BOQ+乙QOC,

"OQ=Z.BOC=60°.

故答案為:60°.

連接。4、OB、OC,證明A08P絲△OCQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/BOP="OQ,結(jié)合圖形計算印

可.

本題考查的是正多邊形和圓、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正多邊形的中心角的求法、全等三角形的判

定定理是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】O

【解析】解：連接。力，作0M1/B于點M.

???正六邊形力8CDE尸的外接圓半徑為2cm,

0A=2cm.

在正六邊形4BCDEF中，^AOM=30°,

正六邊形的邊心距是OM=弓x2=yj-3(cm).

故答案為

16.【答案】36。

【解析】【分析】

連接。力、OE,求出乙4OE的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題.

本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理.

【解答】

解：連接。力、OE,如圖所示：

?.?五邊形48CDE是正五邊形，

3600

.?.LAOE=%=72°,

???Z.APE=\LAOE=1x72°=36°,

故答案為：36°.

17.【答案】解：如圖所示,

由題意可知：BC=12mm,AC=12mm,

作J.8C于。，可得CD=6mm,

???AD=VAC2—CD2=V122-62=6V5(mm).

b=6X/3x2=12-/3(7n7n).

答：扳手張開的開口b至少要126m7Tl.

【解析】本題考查了正多邊形和圓的知識、勾股定理，構(gòu)造一個直角三角形，熟練運用勾股定理進(jìn)行計算

是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍，作AD18C,可得CD=6mm,再根據(jù)勾股定理的知識求

解.

18.【答案】解：如圖，連接OC,0D,

?:五邊形ABCDE是正五邊形,

:?乙DOC=360°+5=72°,

v/.COD=2Z-CFD,

:.乙CFD=36°.

【解析】連接。C,OD,由正五邊形的性質(zhì)可得上OOC=360。+5=72。，即可求解.

本題考查了正多邊形和圓，圓周角定理等知識，靈活運用正五邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

19.【答案】證明：?.?正五邊形力BCDE中，

二AB=AE=BC=ED,乙B=Z.E,

在公力BC和△4EO中，

(AB=AE

4B=NE，

(BC=ED

???△48&△力ED(SAS),

:.AC=AD,

???Z.ACD=4ADC.

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

20.【答案】87r.

【解析】解：如圖所示：過點C作CE14%

由題意可得：/-AOB=60°,OA=OB,

???△40B為等邊三角形，

???I員心C恰好是△ABO的內(nèi)心，

/.CAO=乙CAE=Z.CBE=30°,

Z.ACB=120°,

vAB=2g

???AE=BE=V_3>

AE_

?*,AC-?—2,

cos30

...初的長為：坦需=《兀,

二花窗的周長為：7Tx6=87r.

過點C作。根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出△408為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定乙。4O=iC4E=

，CBE=30。，得出乙1CB=12O。，利用余弦得出/IC==2,再求弧長即可求解.

cos30

本題主要考查正多邊形與圓，解直角三角形，求弧長，正確晶計算是解題關(guān)鍵.

21.【答案】解：(1)連接OB,OC,