圓與垂直于弦的直徑（知識(shí)清單+10大題型+好題必刷）

尊題型匯聚

題雙二…圓的基本概念辨梆................................................................:

題型二求圓中弦的條數(shù):

題型三求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦:

題型四圓的周長和面積問題:

題型五利用垂徑定理求值;

題型六利用垂徑定理求平行弦問題:

題型七利用垂徑定理求同心圓問題:

題型八利用垂徑定理求解其他問題:

題型九垂徑定理的推論:

題型十垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用;

邸知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1.圓的認(rèn)識(shí)

（1）圓的定義

定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段。力繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)力所形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)

。叫做圓心，線段o力叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓，記作“OO”，讀作“圓.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.

（2）與圓有關(guān)的概念

弦、宜徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的

兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.

（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性.②中心對(duì)稱性.

知識(shí)點(diǎn)2.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條孤.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

知識(shí)點(diǎn)3.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

?題型練習(xí)_________________________________________________________

【題型一】圓的基本概念辨析

【例1】（九年級(jí)上?江蘇無錫?期中）下列說法中，正確的是（）

A.長度相等的兩條弧是等弧B.優(yōu)弧一定大于劣弧

C.不同的圓中不可能有相等的弦D.直徑是一個(gè)圓中最長的弦

2

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?黑龍江大慶?期中）下列4個(gè)說法中：①直徑是弦；②長度相等的弧是等??；③任何一條直徑所

在的直線都是圓的對(duì)稱軸；④弧是半圓；正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（24-25九年級(jí)上?廣東江門期中）如圖，力4是。。的弦，連接0408.若力B=O4=2,則乙403=度.

3.（24-25九年級(jí)上?山西忻州?階段練習(xí)）如圖所示，已知矩形48CD的對(duì)角線力C和8。相交于點(diǎn)。，試判斷A,B,

C,。四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上.如果在，請(qǐng)給予證明；如果不在，請(qǐng)說明理由.

3

3.（九年級(jí)上?江西南昌?階段練習(xí)）如圖，是。。內(nèi)接三角形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖.

（1）在圖1中，畫山一條與8c相等的弦；

（2）在圖2中，畫出一個(gè)與△力8C全等的三角形.

【題型三】求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦

【例3】（23-24九年級(jí)上?福建泉州?期末）已知。。的半徑3,則。。中最長的弦長為（）

A.5B.6C.7D.8

【舉一反三】

1.（23-24九年級(jí)上?陜西渭南?期中）已知A、8為。。上的兩點(diǎn)，若。。的半徑為3,則48的長不可能是（）

A.1B.3C.5D.7

5

2.（24-25九年級(jí)上?河北唐山期中）。。外一點(diǎn)P到圓周上一點(diǎn)的最長距離?為8cm,最短距離為2cm,則。。的直徑

長為cm.

3.（九年級(jí)上?北京?期中）如圖，正方形將線段48繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a（0°<a<90°）,得到線段4E,連接

BE,4P工BE于P,交DE于F,連接朋.

（1）①補(bǔ)全圖形，

②乙（用含a的式子表不）；

（2）判斷。石與8廠的位置關(guān)系，并證明；

（3）若正方形/18CO的邊長為2,點(diǎn)M是。。的中點(diǎn)，直接寫出"產(chǎn)的最大值.

圖1

6

【題型四】圓的周長和面積問題

【例4】（22-23九年級(jí)上?北京?單元測試）圓的面積擴(kuò)大為原來的4倍，則半徑（）

A.擴(kuò)大為4倍B.擴(kuò)大為16倍C.不變D.擴(kuò)大為2倍

【舉一反三】

1.（2023?河北衡水?二模）設(shè)計(jì)師想用32m長的木材做一個(gè)花園邊界,有如圖1、圖2、圖3三種可能的設(shè)計(jì);

2.（九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，一個(gè)大圓和四個(gè)面積相等的小圓，已知大圓半徑等于小圓直徑，小圓半徑為。

厘米，那么陰影部分的面積為一平方厘米.

3.（23-24九年級(jí)上?廣東茂名?期末）綜合與實(shí)踐

7

【問題背景】“夏至”過后，越來越多的市民喜歡去海邊游玩，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)沙灘上有很多的遮陽傘為游客帶來一絲清

涼，如圖1是沙灘上的圓形遮陽傘支架張開的狀態(tài)，為了了解遮陽傘卜.方的遮陰面積，小明進(jìn)行了如下操作調(diào)研.

【測量與整理】通過操作發(fā)現(xiàn)，小明發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)傘完全折疊時(shí)，傘頂A與傘柄頂端點(diǎn)8重合，兩邊主骨架的端點(diǎn)

。與C重合：如圖3,在撐開過程中，骨架力。的中點(diǎn)￡到點(diǎn)4的距離始終等于力。的一半，==150cm；如圖

4,當(dāng)傘完全張開時(shí)，3AC=5BC.

(1)當(dāng)傘完全張開后，求。。的長度;

(2)當(dāng)太陽光垂直照到遮陽傘上時(shí)，求傘完全張開時(shí)，遮擋住的陰影部分的面積.

【題型五】圓的周長和面積問題

8

【例5】（2025?廣西來賓?一模）如圖，的直徑力B=10,€＞。的弦COJ148于點(diǎn)P,且80=2,則CO的長為

C.6D.8

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期末）紫砂壺（圖①）是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程中需要用到幾

十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架“，它的作用是確保壺嘴、壺把和壺口中心在一條直線上.如圖②

是從上面看到的形狀示意圖，為紫砂壺的壺口，口知46兩點(diǎn)在OO上，直線/過點(diǎn)O,且/丁點(diǎn)。，交。。

于點(diǎn)C.若48=36mm,CD=6mm,則這個(gè)紫砂壺的壺口半徑r的值為（）

D.60mm

2.（24-25九年級(jí)上?山東德州?階段練習(xí)）在半徑為5的圓中，有AB、。兩條平行弦，已知48=8,CD=6,則兩條

平行弦的距離為.

9

3.（24-25九年級(jí)上?重慶永川?期中）如圖，是。。的直徑，弦。。14"于點(diǎn)E,連接。C,若BE=2,CD=S.

（1）求CE的長度;

（2）求OC的長度.

【題型六】利用垂徑定理求平行弦問題

【例6】（23-24九年級(jí)上內(nèi)蒙古通遼?期中）。0的半徑是10,弦AB〃CD,AB=16,8=12,則弦與CO的距

離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【舉一反三】

1.（23-24九年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知在。。中兩條平行弦48〃。。，AB=\2,CO=16,。。的半徑是

10,則48與CO間的距離是（）

A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12

2.（黑龍江牡丹江,二模）在半徑為4cm的。。中，弦C。平行于弦.48,48=Mem,/8。。=90。，則"與C'。

之間的距離是cm.

10

3.（九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，AB、CQ為。。的兩條弦，ABWCD,經(jīng)過48中點(diǎn)E的直徑與8交于

F點(diǎn),求證：CF=DF

M

N

【題型七】利用垂徑定理求同心圓問題

【例7】（九年級(jí)上?安徽合肥?期末）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水

杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底有水面AB的寬度是（）

cm.

A.6B.4應(yīng)C.46D.4x/5

11

【舉一反三】

1.(22-23九年級(jí)上?北京?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過4(2,2),8(4,0),。三點(diǎn)，那么這條圓

弧所在圓的圓心為圖中的()

C.點(diǎn)/D.點(diǎn)G

2.(湖南長沙?中考真題)如圖，在中，弦48的長為4,圓心。到弦的距離為2,則/4O。的度數(shù)為

3.(24-25九年級(jí)上?河南駐馬店?期末)如圖，兩個(gè)圓都是以。為圓心，大圓的弦/必交小圓于兩點(diǎn).

(1)求證：AC=BD；

(2)若48=8,80=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑火的值.

12

【題型八】利用垂徑定理求解其他問題

【例8】(22-23九年級(jí)上?吉林松原?期中)如圖、已知48為。。的直徑，點(diǎn)6為方的中點(diǎn).則下列結(jié)論中一定正確

的是()

A.BM=OMB.ABLCDC.OM=-OCD.Z50C=60°

2

【舉一反三】

1.(23-24九年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中)如圖，在5x5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過4,B,C三點(diǎn),己知點(diǎn)力的坐標(biāo)是

(-2,4),點(diǎn)。的坐標(biāo)是(1,3),則那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是()

A.(0,0)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-1,-1)

2.(24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期末)如圖，AC=BD,ACJ.BD于點(diǎn)E,若。。的半徑為3,則的長為

13

3.（24-25九年級(jí)上?甘肅定西?期末）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，顧老師提出了一個(gè)問題：如圖，已知前，在港上作一點(diǎn)P,

使港二3而.

小亮同學(xué)很快就給出了卜.列思路：

①連接乂8,作線段的垂直平分線，交益于點(diǎn)反

②連接夕后，作線段8E的垂直平分線，交標(biāo)于P，則點(diǎn)夕即所求.

（1）請(qǐng)你按小亮的步驟畫出圖形：

（2）請(qǐng)你利用圖形，求證：淳=3為.

【題型九】垂徑定理的推論

【例9】（24-25九年級(jí)上?山東東營?階段練習(xí)）OO的半徑是13,弛AB//CD,44=24,C/）=10,則44與CO的距

離是（）

A.7或34B.17或34C.7或17D.34

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上吶蒙古呼和浩特?期中）下列命題中，正確的是（）

A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑

B.平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦

C.弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心

D.在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和平分它所對(duì)的弦的直線必經(jīng)過這個(gè)圓的圓心

14

2.（24?25九年級(jí)上?北京?期中）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系X。，中，A0,4）\4（4,4）、C（6,2）,寫出經(jīng)過4、B、C

三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo).

3.（24-25九年級(jí)上?湖北十堰?期末）如圖，四邊形48。內(nèi)接于。。，是直徑，點(diǎn)。是劣弧8。的中點(diǎn)，求證：AB=AD.

【題型十】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

【例10】（24-25九年級(jí)上?河南周口?期末）拱形設(shè)計(jì)可以起到向上拉伸的視覺效果，增加空間藝術(shù)感，不管是在古代

建筑還是現(xiàn)代家居中都應(yīng)用廣泛.如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，總跨度48為24m,拱的半徑為

13m,則拱高CO為（）

A.5mB.8mC.12mD.13m

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?廣西百色?期末）直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示.若管內(nèi)有積水（陰影部分），

水面寬力4為8分米，則積水的最大深度。。為（）

15

A.1分米B.2分米C.3分米D.4分米

2.（24-25九年級(jí)上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）如圖，有一圓弧形橋拱，已知圓弧所在圓的半徑。4=5m,橋拱的跨度

=則拱高為.

3.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期末）某村為了促進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚.如圖，這

是蔬菜大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為0,跨度（弧所對(duì)的弦）的長為8米，拱高C。（弧的中點(diǎn)到弦44的

距離）為2米.求該圓弧所在圓的半徑.

2好題必刷

一、單選題

1.在半徑為4的圓中，垂直平分半徑的弦長為（）

A.6B.2百C.3+D.4月

2.如圖所示，在。。中，點(diǎn)、A,O,。以及點(diǎn)8,O,C分別在一條直線上，則圖中的弦有（）

16

A.2條B.3條C.4條D.5條.

3.如圖，M為弦力4上的一點(diǎn)，連接。”,過點(diǎn)M作CW交圓。于點(diǎn)C.若48=13,JA/=4,則CM的長

為（）

A.5B.6C.2V13D.3無

4.下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦;③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；?

長度相等的兩條弧是等弧

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.4個(gè)

5.下列由實(shí)線組成的圖形中，為半圓的是（）

c

人二G°

oO

6.如圖，將半徑為4c〃?的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）

八一一/

A.2后B.472C.4D.272

7.。為。。內(nèi)與。不重合的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

17

A.點(diǎn)尸到O。上任意一點(diǎn)的距離都小于QO的半徑

B.GO上有兩點(diǎn)到點(diǎn)。的距離最小

C.GO上有兩點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離等于。。的半徑

D.0。上有兩點(diǎn)到點(diǎn)P的距離最大

8.如圖，。0的直徑垂直于弦CO,垂足為若乙4=30。，JC=2,則CO的長是（）

A.4B.2出C.2D.75

9.如圖，在八48。中，4c8=90'，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，將△4CQ沿CO對(duì)折得△/TCZ）.連接84',連接力"交CO

于點(diǎn)上，若48=14cm,BA'=4cm,則CE的長為（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

10.下列是關(guān)于四個(gè)圖案的描述.

圖1所示是太極圖，俗稱“陰陽魚”，該圖案關(guān)于外圈大圓的圓心中心對(duì)稱；

圖2所示是一個(gè)正三角形內(nèi)接于圓；

圖3所示是一個(gè)正方形內(nèi)接于圓；

圖4所示是兩個(gè)同心圓，其中小圓的半徑是外圈大圓半徑的三分之二.

1圖2圖3

18

這四個(gè)圖案中，陰影部分的面枳不小于該圖案外圈大圓面積?半的是（）.

A.圖1和圖3B.圖2和圖3C.圖2和圖4D.圖1和圖4

二、填空題

11.如圖，。。的半徑為2,8是弦CQ上任意一點(diǎn)（與C,。不重合），過8作0。的平行線交00于點(diǎn)E,則

EB=.

12.如圖，在中，是的弦，48=10,OCLAB,垂足為點(diǎn)D,則力。=

13.己KAB,8是OO的兩條平行弦，*3=8,CD=G,。。的半徑為5,則弦43與8的距離為.

14.如圖是一條水鋪設(shè)的直徑為2米的通水管道橫截面，其水面寬16米，則這條管道中此時(shí)水深為米.

15.如圖，一個(gè)寬為2厘米的刻度尺（刻度單位：厘米），放在圓形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切,

另一邊與杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是3和9,那么玻璃杯的杯口外沿半徑為

■厘米.

19

16.如圖是一個(gè)古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連結(jié)外圓上的兩點(diǎn)A、B,并使AB與車輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)D,

作CDJLAB交外圓于點(diǎn)C.測得CD=10cm,AB=60cm,則這個(gè)車輪的外圓半徑為cm.

17.如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水的最大深度CD為2m,水面寬AB為8m,則

輸水管的半徑為m.

18.如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓已知點(diǎn)A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)

軸的交點(diǎn)，拋物線的解析式為y