專題18圓壓軸題

除命.趨勢

以圓為背景的綜合問題是口考?jí)狠S題的命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會(huì)和平行線

段分線段成比例（2020年），梯形，特殊平行四邊形（最新熱點(diǎn)）等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，主要考查學(xué)生挖掘信息的

能力，難題分解能力，數(shù)學(xué)綜合能力

存知”導(dǎo)圖

在重w考向

考點(diǎn)一

定圓結(jié)合直角三角形，考察函數(shù)關(guān)系，圓心距，存在性問題：

考點(diǎn)二

定圓結(jié)合直角三角形；三角形相似，線段與周長的函數(shù)關(guān)系；

考點(diǎn)三

定圓結(jié)合直角三角形；考察函數(shù)關(guān)系，三角形面積比值問題；

考點(diǎn)四

定圓結(jié)合平行線，弧中點(diǎn)，考察函數(shù)關(guān)系，與圓相切問題；

考點(diǎn)五

動(dòng)圓結(jié)合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函數(shù)關(guān)系;

考點(diǎn)六

動(dòng)圓結(jié)合內(nèi)切直角三角形，三角形相似，線段比，圓位置關(guān)系；

考點(diǎn)七

動(dòng)圓結(jié)合定圓，考察函數(shù)關(guān)系，與圓有關(guān)的位置關(guān)系；

考點(diǎn)八

動(dòng)圓結(jié)合定圓，函數(shù)關(guān)系，四邊形，正多邊形結(jié)合的同題。

典例引裾

一、解答題

1.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考二模）在半圓。中，AB為直徑，AC,AO為兩條弦，且NCAO+NOAB=90。.

DDD

OO

圖2圖3

(1)如圖1,求證：AO等于C。；

(2)如圖2,點(diǎn)尸在直徑AB上，DF交AC于點(diǎn)E,若AE=DE,求證：AC=2DFx

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8C,若A尸=2,BC=6,求弦A。的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)275

【分析】(1)連接8。、CD,先證NOZM=NOAC,再證NOCA=NL〉A(chǔ)C,可得出A〃=CO,即可推出結(jié)論；

(2)連接8。、CD,過點(diǎn)。作。G_LAC于點(diǎn)G,則NQG690。，可證得。G垂直平分4C,得出AG2AG,再

證AA/)尸父△D4G,推出AG=OF,即可得出4G2OF；

(3)取BC中點(diǎn)兒連接0”、0D,則BH=C”=：BC=3,OHLBC,證心△OEO也即△BHO,推出。E=B”=3,

OD=OA=5,則在中，求出。￡的長，在RQAEQ中，可求出4。的長.

(1)

證明：如圖：連接B。、CD

D,------X

AB為直徑

「?ZADZ?=90°

NO8A+N。入B=90。

JZDAC-\-ZDAB=90°

NDAC-DBA

又NDCA=NDBA

ZDAC=ZDCA

?AD=CD

AD=CD

(2)

證明：如圖：連接8。、CD,過點(diǎn)。作。G_L4C于點(diǎn)G

由(1)知AD=CD

ZDAC-^ZDAB=90°

???ZADF+ZDAB=90°

由(2)知AC=2DF

OFDGMABHO(HL)

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是第Q)問能

夠證明NAHX90。，第(3)問能夠通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形等.

嗚或(

(2)當(dāng)aOE尸為直角三角形時(shí)，存在以下兩種情況：①若NObE=90°；②若NE。/=90。分別求解即可；

⑶分兩種情況①當(dāng)Cr=OF=OB—Br=2時(shí)，可得：ACFOsacoE；②當(dāng)C/=。尸=08+8尸=4時(shí)，可

得：AC尸。s/XCOE,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

，ZABO=GO°

又VOA=OB

???△OA8是等邊三角形

：.AB=0B=3

（3）

①當(dāng)CF=OF=OB-BF=2時(shí)，

②當(dāng)CF=OF=OB+BF=4時(shí)，

【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)圓的知識(shí)的綜合題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵.

3.[2023春?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊AABC內(nèi)接于。0,尸是AB上任一點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)斗、8重合）,

連接BP,過點(diǎn)。作CM〃BP交困的延長線于點(diǎn)M.

⑴求ZAPC和NBPC的度數(shù)：

（2）求證：AACM^^RCP,

（3）若幺=1,PB=2,求四邊形尸BCM的面積；

（4）在（3）的條件下，求A8的長度.

【答案】（l）N4PC=60°,ZBPC=60°

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NA〃C=N84C=NAC8=60。，根據(jù)圓周角定理即可得到

ZXPC=Z/\Z?C=60°,ZZ?/,C=ZZ?AC=60°；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N8PM+NM=I8O。，NPCM=NBPC,求得NM=NBPC=60。，根據(jù)圓周角定理

得到NB4C+NPC8=180。，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（3）作P”J_CM于”，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CP,AM=8P,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到尸"

根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（4）過點(diǎn)B作BQ_LAP,交AP的延長線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作AN_LBC于點(diǎn)N,連接0人求得/P8Q=30。，

得到PQ，根據(jù)勾股定理得到4Q和AN,根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論.

【解析】(1)解.：???△ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

N4PC=NABC=6()。，NBPC=NBAC=6()°；

(2)證明：'：CM//BPt

，N8PM+NM=180°,

NPCM=NBPC,

???ZBPC=ZBAC=60°,

/.ZPCM=ZBPC=60°,

???NM=180°N3PM=180。(NAPC+NBPC)=180°120°=60°,

NM=NBPC=60。，

又TA、尸、B、。四點(diǎn)共圓，

.,.ZB4C+ZPCB=180°,

VZM/^C+ZMC=180°,

：?/MAC=NPBC,

*：AC=BC,

在A4。例和48cp中，

:.區(qū)ACM92BCP(AAS);

(3)解：,:CM/JBP,

???四邊形PBCM為梯形，

作PHLCM于H,

：.CM=CP,AM=BP,

又NM=60。，

???△PC用為等邊三角形，

???CM=CP=PM=PA+AM=f^\+PB=1+2=3,

在RmPMH中,NMPH=30。，

(4)解：過點(diǎn)B作8QL4P,交4P的延長線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)4作AMLBC于點(diǎn)M連接08,

M

A

3NC

???AAPC=ZBPC=6Q0,

/.ZBPQ=60°,

???NP3Q=30。,

；?PQ=；PB=1,

???△ABC為等邊三角形,

，4V經(jīng)過圓心O,

：.BN=-AB=^-,

22

VZ^OA=ZBCA=120°,

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?上海金山?九年級(jí)期末）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.如圖1,

ZA=^ZO.

已知：如圖2,AC是。。的一條弦，點(diǎn)。在。。上（與A、C不重合），聯(lián)結(jié)。七交射線A。于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)

3

OD,。0的半徑為5,tan/OAC=」.

4

⑴求弦AC的長.

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段0A上時(shí)，若△OOE與ZkAEC相似，求NQC4的正切值.

（3）當(dāng)OE=1時(shí)，求點(diǎn)A與點(diǎn)。之間的距離（直接寫出答案）.

【答案】（1）8

【分析】（1）過點(diǎn)。作O〃_LAC于點(diǎn)，，由垂徑定理可得由銳角三角函數(shù)和勾股定理可

求解;

（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求AG,EG,CG的長，即可求解;

（3）分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解.

（1）

如圖2,過點(diǎn)。作于點(diǎn)從

圖2

由垂徑定理得：AH=CH=^AC,

???設(shè)?！?3x,AH=4x,

\*OH2+AH2=OA2,

:.(3x)2+(4x)2=52,

解得：x=±l,(x=-1舍去),

：.0H=3,A"=4,

??"C=2A”=8：

(2)

如圖2,過點(diǎn)O作過石作EG_L人C「G,

圖2

?；NDEO=NAEC,

???當(dāng)bDOE與AAEC相似時(shí)可得：ZDOE=NA或者NOOE=ZACD；

:.ZACD^ZDOE

:.當(dāng)△QOE與ZiAEC相似時(shí)，不存在NQO￡=ZACD情況，

?,.當(dāng)△OOE與△AEC相似時(shí)，ZDOE=ZA,

：.OD//AC,

\*OD=OA=5fAC=8,

*/ZAGE=NA〃O=90°,

(3)

當(dāng)點(diǎn)E在線段。4上時(shí)，如圖3,過點(diǎn)E作EG_LAC于G,過點(diǎn)。作O”J_AC于,延長A。交。O于M,

連接A。，DM,

由（1）可得0H=3,A”=4,AC=8,

VOE=1,

.*.XE=4,ME=6,

'：EG//OH,

：.△AEGS/SAOH,

,"G』,EG*

55

AGC=y,

???4W是直徑,

，NWOM=900=NEGC,

又?.?NAY=NC,

:.匕EGCSXADM,

，4。=2后；

當(dāng)點(diǎn)七在線段AO的延長線上時(shí)，如圖4,延長AO交。O于M,連接A。，DM,過點(diǎn)E作EG_LAC于G,

圖4

同理可求￡G=孩，AG=g,AE=6,GC=華，

??YM是直徑，

JNAOM=9(r=NEGC,

又*?NM=NC,

:.NEGCs叢ADM,

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓

周角定理，正切的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(2)如圖2中，連接0P,過點(diǎn)P作PE_LQ4于E,PFLOB^F.利用全等三角形的性質(zhì)證明△PCB是等

腰直角三角形，可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)OC〃PD時(shí)，如圖3-2中，當(dāng)PC〃。。時(shí)，分別求解即可.

【解析】解：(1)如圖1中，

圖1

工設(shè)00=3女，0C=4k,則CO=5&,

,/以CD為半徑的圓D與圓。相切，

：?CD=DB=5k,

???08=0。+。6=3攵+5々=4,

?*-CD=；；

(2)如圖2中，連接OP,過點(diǎn)戶作PE_LOA于E,PF_LO8于F.

A

E[----

圖2

，NAOP=/POB,

yPELOA,PF工OB,

:?PE=PF,

?；NPEC=NPFB=90。,PD=PC,

，例△PECWRmPFB(HL),

:?/EPC=NFPB,

,/NPEO=ZEOF=ZOFP=900,

???NEP/=90。，

/.ZEPF=ZCPfi=90°,

???NPCB=NPBC=45。,

?：OP=OB,NPOB=45。，

???NOBP=NOPB=675。,

:.N.CBO=67.5。45°=22.5°,

，ZOCD=90o-22.5°=67.5°；

(3)如圖3T中，當(dāng)OC〃尸。時(shí)，過點(diǎn)C作。工1_尸。，連接OP,

???々。0=乙4。0=90。，

VCE1PD,

AZCED=90°,

???四邊形OCEO是矩形，

：,0C=DE=2,CE=OD,

設(shè)產(chǎn)C=UO=x,EC=OD=y,

則有/+產(chǎn)=16,?=）2+（廠2）2,可得x=2#-2,（不合題意的已經(jīng)舍棄）,

:.PD=2瓜-2,

如圖3-2中，當(dāng)PC〃OO時(shí)，過點(diǎn)。作。E_LCP,連接OP,

'：PC//OD.

/.2COD=NOCE=NCED=90。,

二四邊形oc石。是矩形，

：.0C=DE=2,CE=OD,

;。尸=4,OC=2,

:,PD=PC=20

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

【解析】解：（1）C在AB弧線上，

?“為AB中點(diǎn)，

（3）圖2如下:

??"、E、C在半徑為2的另一個(gè)圓上，

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和

性質(zhì)、勾股定理等是解題關(guān)鍵.

7.（2022春?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）已知。O的直徑A8=4,點(diǎn)P為弧48上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)附、P。，點(diǎn)。為

劣弧AP上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、尸重合），聯(lián)結(jié)8c交出、PO于點(diǎn)￡＞、E.

（1）如圖，當(dāng)cosNCBO=：時(shí)，求8c的長；

O

（2）當(dāng)點(diǎn)C為劣弧AP的中點(diǎn)，且△EO尸與△AOP相似時(shí)，求NA3C的度數(shù)：

（3）當(dāng)A〃=2DP,且△6/O為直角三角形時(shí)，求四邊形的面積.

【答案】（1）人（2）18°；（3）|或

23o

【分析】（1）解法一：如圖I,過點(diǎn)。作OG_L3C于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理和余弦的定義可得BC的長：解法

7

二：如圖2,連接AC,根據(jù)圓周角定理可得NAC8=90。，根據(jù)cos/C6O=可得3c的長；

O

（2）如圖3,如圖3,連接OC,根據(jù)題意可知：△EQP與△AOP相似只存在一種情況：△OP￡s/\。心,

得設(shè)NA4C=a,則NAOC=NCOP=2a,在△中根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列方程可得

結(jié)論；

（3）當(dāng)△為直角三角形時(shí)，NOBE不可能是直角，所以分兩種情況：①如圖4,當(dāng)/石08=90。時(shí)，作

輔助線，作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算4從OH,BH的長,根據(jù)面積差可得結(jié)論；②如圖

5,當(dāng)NOE8=90。時(shí)，連接AC,證明N48C=30。，分別計(jì)算各邊的長，根據(jù)面積差可得結(jié)論.

【解析】解：（1）解法一：如圖1,過點(diǎn)。作OG_L8C于點(diǎn)G,

p

G

圖1

：.BG=gBC,

VXfi=4,

：,013=2,

7

:?BG=一,

4

7

:.BC=2BG=-；

2

解法一：如圖2,連接AC,

圖2

是OO的直徑，

/.NACB=90。，

7

：.BC=~；

2

(2)如圖3,連接OC,

圖3

,:乙P=4P,ZiEOP與4斗。尸相似,

:.\DPESXOPA,

:"DPE=NMO,

是AP的中點(diǎn)，

，ZAOC=ZCOP,

設(shè)NA3C=a,則NAOC=NCOP=2a,

?；OB=OC,

；?/OCB=NOBC=a,

???C是AP的中點(diǎn)，

：，OC1AP,

，/幺0=90。-2a,

???ZDEP=ZOEB=90°-2a,

在AOE8中，ZAOP=ZOEB+ZABC,

A4a=90°-2a+a,

???Q=18。，

Z.N4BC=18°；

（3）分兩種情況：

①如圖4,當(dāng)NEO8=90。時(shí)，過D作?！癑_A8于",

圖4

:.DH//PO,

，：AD=2PD,

:.AH=2HO,

*8=4,

428

：.AH=-OH=~,BH=~,

JnfJ

，：AO=OP,N4OP=90°,

:.ZA=45°,

4

：.AH=DH=-f

*：0E//DH,

：.0E=\,

:?S西功形AOED=SMBD-SAOEB

5

3

②如圖5,當(dāng)NOEB=90。時(shí)，連接AC,

???NC=NO￡8=90。，

：,AC//OE,CE=BE,

*：AD=2DP,

同理得AC=2PE,

'：AO=BO,

：.AC=20E,

：?OE=PE=』OP,

：.AC=^AB,

，NABC=30。，

???4B=4,

:,CE=B

*：AC//PE,

,:CD+DE=6,

：.S四屹形AOED=SJBC-S^OEB-S^ACD

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)

等.（1）中能借助定理構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵；（2）能借助相似三角形以及圓周角定理表示相關(guān)角是

解題關(guān)鍵；（3）中注意分類討論和正確構(gòu)造圖形.

圖1

分三種情況:

則此時(shí)圓。和。。相切，不合題意；

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí);

熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=6,點(diǎn)C在半圓O上.過點(diǎn)A作

AD1OC,垂足為點(diǎn)D,AD的延長線與弦BC交于點(diǎn)E,與半圓O交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合）.

cFC

E

備用圖

（1）當(dāng)點(diǎn)F為8c的中點(diǎn)時(shí)，求走BC的長；

DF

（2）設(shè)OD=x,-i=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

AE

（3）當(dāng)△AOD與4CDE相似時(shí)，求線段0D的長.

【分析】（1）連結(jié)OF,交BC于點(diǎn)H.得出/BOF=NCOF.則NAOC=NCOF=NBOF=60。，可求出

BH,BC的長;

【解析】解：（1）如圖I,連結(jié)OF,交BC于點(diǎn)H.

AOF1BC,BC=2BH.

/.ZBOF=ZCOF.

VOA=OF,OCXAF,

AZAOC=ZCOF,

???ZAOC=ZCOF=ZBOF=60°.

VAB=6,

???0B=3,

???BC=2BH=35

(2)如圖2,連結(jié)BF.

圖2

VAF10C,垂足為點(diǎn)D,

AAD=DF.

XVOA=OB,

A0D/7BF,BF=2OD=2x.

(3)ZkAOD和aCDE相似，分兩種情況：①當(dāng)NDCE=NDOA時(shí)，AB〃CB,不符合題意，舍去.

②當(dāng)NDCE=NDAO時(shí)，連結(jié)OF.

AZOAF=ZOFA,ZOCB=ZOBC.

VZDCE=ZDAO,

/.ZOAF=ZOFA=ZOCB=ZOBC.

???ZAOD=ZOCB+ZOBC=2ZOAF,

AZOAF=30°,

3

即線段OD的長為

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形

解決問題.

10.（2021?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知半圓。O的直徑AB=IO,弦CQ〃4B,且CO=8,E為弧C。

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在弦CD上，聯(lián)結(jié)PE，過點(diǎn)E作PE的垂線交弦CD于點(diǎn)G,交射線OB于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)8重合時(shí)，求CP的長；

（2）設(shè)CP=x,OF=y,求y與i的函數(shù)關(guān)系式及定義域；

(3)如果GP=GF,求面積.

E

一

A0FBA0B

笛用圖

(2)如圖2,連接0￡,證明列比例式可得結(jié)論；

(3)如圖3,作PQLA6,分別計(jì)算PE和痔的長，利用三角形面積公式可得結(jié)論.

【解析】(1)連接E。，交弦CQ于點(diǎn)”，

圖1

?IE為弧C7)的中點(diǎn)，

.\EO1AB,

\'CD//AB,

：?OH工CD,

連接CO,

VZB=10,8=8,

???CO=5,CH=4,

：,EH=EO-OH=2,

丁點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合，

?"OBE=NHGE=45。,

PEA.BE,

:?NHPE=NHGE=45。,

:?PE=GE,

:,PH=HG=2,

：.CP=CH-PH=4-2=2^

(2)如圖2,連接OE,交CD于H,

ZPEH+ZOEF=90°,ZOFE+ZOEF=90°,

圖2

：./PEH=/OFE,

■:NPHE=NEOF=9U°,

：.2PEHSAEF0,

?"”=2,FO=y,PH=4-x,E0=5,

（3）如圖3,過點(diǎn)P作PQJ_4B,垂足為。,

QO

?：GP=GF,

：?/GPF=/GFP,

'：CD//AB,

，4GPF=ZPFQ,

*：PELEF,

:?PQ=PE,

由（2）可知，bPEHsAEFO,

?:PQ=0H=3,

???PE=3,

*：EH=2,

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形列比例式解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

#模擬檢測

一、解答題

1.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考二模)在半圓。中，A8為直徑，AC,人。為兩條弦，且NC4O+/D1B=9O。.

⑴如圖1,求證：AO等于C。；

(2)皿圖2,點(diǎn)尸在直徑AB上，DF交AC于點(diǎn)、E,若AE=DE,求證：AC=2DF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8C,若Ar=2,BC=6,求弦人/)的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)275

【分析】(1)連接8。、CD,先證NO8A=NOAC,再證NOC4=ND4C,可得出AD=C。，即可推出結(jié)論；

(2)連接3。、CD,過點(diǎn)。作。G1AC于點(diǎn)G,則NQGA=90。，可證得OG垂直平分AC,得出AC=2AG,再

證A4。/絲△D4G,推出AG=QF,即可得出4c=2OP：

(3)取8C中點(diǎn)"，連按OD,則BH=C"/BC=3,OHA.BC,證RsOED"RsBHO,推出OE=6〃=3,

OD=OA=5,則在心aOED中，求出DE的長，在即AAEO中，可求出4。的長.

(1)

證明：如圖：連接8。、CD

力8為直徑

???ZADB=90°

ZDBA+ZDA^=90°

./OAC+NOA8=90°

NDAC=/DBA

又ZDCA=ZDBA

???ZDAC=ZDCA

：AD=CD

「?AD=CD

(2)

證明：如圖：連接60、CD,過點(diǎn)。作。G_LAC于點(diǎn)G

由⑴知AQ=C￡>

?ZD4C+ZDA?=90°

二?乙4。尸+ND4B=90。

由(2)知AC=2DF

."/△OFD^Rt^BHO(HL)

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是第(2)問能

夠證明NA?90。，第(3)問能夠通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形等.

⑴求)'與工之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;

氓W

(2)當(dāng)△尸為直角三角形時(shí)，存在以下兩種情況：①若N。在=90°：②若/￡?！?90。分別求解即可；

(3)分兩種情況①當(dāng)C產(chǎn)=。/=。8-8尸=2時(shí)，可得：〉CFOs區(qū)8￡、②當(dāng)C〃=OF=O8+8產(chǎn)=4時(shí)，可

得：bCFQsXCOE,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

(1)

過點(diǎn)。作O”_LCE,垂足為“，

???在圓。中，OCJ■弦48,OH上弦CE,AB=x,CE=y,

?；OC=OE,

:?/ECO=/CEO,

?：4ECO=/BOC,

:?/CEO=/BOC,

又?:ZODB=ZOHE=9()°,OE=OB

：.EH=OD,

(2)

當(dāng)AOE廣為直角三角形時(shí)，存在以下兩種情況：

①若NOFE=90。，則NC。/=/OC/=45。

■:N008:90。，

工N"O=45°

又?：OA=OB

A^OAB=^ABO=45°,

JNA08=90°

是等腰直角三角形

②若NEOr=90。,

則ZOEF=ZCOF=Z()CF=30°

*/N008=90。，

???N4BO60。

又?：OA=OB

???△OA8是等邊三角形

：,AB=OB=3

(3)

①當(dāng)CF=OF=OB-BF=2時(shí)，

②當(dāng)CF=OF=OB+BF=4時(shí)，

【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)圓的知識(shí)的綜合題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵.

3.12023春?上海?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，等邊△A8c內(nèi)接于。0,2是A8上任一點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)小B重合),

連接AP、BP,過點(diǎn)。作CM〃8P交外的延長線于點(diǎn)M.

(1)求NAPC和N8尸C的度數(shù)；

(2)求證：XACMgABCP；

(3)若%=1,PB=2,求四邊形PBCM的面枳；

(4)在(3)的條件下，求A臺(tái)的長度.

【答案】⑴N4PC=60。，ZBPC=60°

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NA8C=N84C=NACB=60。，根據(jù)圓周角定理即可得到

ZAPC=ZABC=60°,ZBPC=ZBAC=60°：

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N3PM+NM=180。，NPCM—BPC,求得/M=N8PC=60。，根據(jù)圓周角定理

得到N%C+NPC5=180。，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論：

(3)作出/_LCM于從根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CP,AM二BP,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

(4)過點(diǎn)B作BQ_LAP,交人P的延長線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作八MLBC于點(diǎn)M連接0B,求得/P8Q=30。,

得到尸Q，根據(jù)勾股定理得到BQ和4N,根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論.

【解析】(1)解：???△ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

AZAPC=ZABC=60°,NBPC=NBAC=60。；

(2)證明：?:CM〃BP,

???NBPM+NM=180°,

NPCM=NBPC,

NB尸C=N84O60。，

???ZPCA/=ZBPC=60°,

/.ZM=180°ZBPM=180°(ZAPC+ZBPC)=180°120°=60°,

；?ZA/=ZBPC=60°,

又YA、P、B、C四點(diǎn)共圓,

.,.ZB4C+ZPCB=I8O°,

VZAfAC+ZB4C=18O°,

；?NMAC=/PBC,

VAC=BC,

在4401和^BCP中，

.'.△ACMg△BCP(A4S)；

(3)解：,:CM"BP,

???四邊形〃/3C用為梯形，

作PHLCMJ-H,

*/'ACMeXBCP,

/.CM=CP,AM=BP,

又NM=60。，

???△PCM為等邊三角形，

/.CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,

在RmPMH中，ZMPH=300,

（4）解：過點(diǎn)3作以2_LAP,交AP的延長線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作4V_L3C于點(diǎn)N,連接0B,

?.*NAPC=NBPC=60°,

，NBPQ=60。，

NPBQ=30。，

?\PQ=^PB-\,

???△ABC為等邊三角形，

??"N經(jīng)過圓心0,

：.BN=-AB=-,

22

VZBOA=ZBCA=120°,

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?上海金山?九年級(jí)期末）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.如圖1,

ZX=ZO.

已知：如圖2,AC是。。的一條弦，點(diǎn)。在。。上（與A、C不重合），聯(lián)結(jié)OE交射線A。于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)

3

OD,。。的半徑為5,tanNOAC=-.

4

（1）求弦AC的長.

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段04上時(shí)，若△。?！昱c^八￡。相似，求NQC4的正切值.

⑶當(dāng)0E=l時(shí)，求點(diǎn)人與點(diǎn)。之間的距離（直接寫出答案）.

【答案】⑴8

【分析】（1）過點(diǎn)。作0HL4C干點(diǎn)”，由垂徑定理可得AH=CH=^AC,由銳角三角函數(shù)和勾股定理可

求解；

（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求AG,EG,CG的長，即可求解；

（3）分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解.

（1）

如圖2,過點(diǎn)。作OH_LA。于點(diǎn)”，

由垂徑定理得：AH-CH-^AC,

???設(shè)O”=3x,人〃=4大，

?：OH2+AH2=OA2,

:.(3x)2+(4x)2=52,

解得：x=±l?(x=-1舍去)，

：.0H=3,A”=4,

??"C=2AH=8：

(2)

如圖2,過點(diǎn)。作0兒LAC于從過上作EG_LAC于G,

'：￡DEO=4AEC,

???當(dāng)△。。后與△AEC相似時(shí)可得：NOOE=NA或者NZ）OE=NACQ；

:.NACWNOOE

???當(dāng)△。?！昱cZiAEC相似時(shí)，不存在NQO￡=ZACD情況，

:.當(dāng)△OOE勺△AEC相似時(shí)，NDOE=ZA,

：,OD//AC,

f：OD=OA=5,4C=8,

NAGE=NAH0=9()°,

(3)

當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，如圖3,過點(diǎn)E作EG_L4C于G,過點(diǎn)。作O〃_LAC于“，延長A。交。。于M,

連接4。，DM,

由(1)可得OH=3,AH=4,AC=8,

*OE=1,

,AE=4,ME=6,

?EG//OH,

.?AEGs叢AOH,

MG=—,￡G=—,

55

.GC=y,

MM是直徑,

.ZADA/=90°=ZEGC,

乂；NM=NC,

:.ZEGCSRADM,

：.AD=245；

當(dāng)點(diǎn)正在線段AO的延長線上時(shí)，如圖4,延長AO交。。于M,連接4。，DM,過點(diǎn)E作EG_LAC于G,

圖4

同理可求EG=g,AG=—,AE=6,GC=—,

555

是直徑，

JZADM=90°=ZEGC,

又*?NM=NC,

???△七GC'SZXAOM,

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓

周角定理，正切的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(2)如圖2中，連接OP,過點(diǎn)P作PE_LQ4于E,PFIOB^F.利用全等三角形的性質(zhì)證明△PCB是等

腰直角三角形，可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)OC〃尸。時(shí)，如圖3-2中，當(dāng)PC〃。。時(shí)，分別求解即可.

【解析】解：(1)如圖1中，

圖1

???設(shè)00=3%0C=4k,則CO=5匕

???以CD為半徑的圓。與圓0相切,

:?CD=DB=5k,

：.。8=0。+。8=3左+5左=4,

T，

：.CD=-

2

(2)如圖2中，連接0P,過點(diǎn)P作PE_L0A于E,"_L08于尸.

圖2

JNA0P=/P0B,

???PE_L0A,PFLOB,

:?PE=PF,

■:NPEC=NPFB=90°,PD=PC,

PEgRmPFR(HL),

：?/EPC=NFPB,

,/4PE0=NEOF=/OFP=90。,

r.ZEPF=90°,

：?/EPF=NCPB=90。,

：.NPCB=NPBC=45。,

VOP=OB>N/>O〃=45°,

：?NOBP=NOPB=67.5。,

，ZCfiO=67.5°-45°=22.5o,

JZOCD=90°-22.5°=67.5°；

(3)如圖3T中，當(dāng)。?！ㄊr(shí)，過點(diǎn)C作CE_LPO,連接OP,

???々。0=乙4。0=90。，

VCE1PD,

AZCED=90°,

???四邊形OCEO是矩形，

：,0C=DE=2,CE=OD,

設(shè)產(chǎn)C=UO=x,EC=OD=y,

則有/+產(chǎn)=16,?=）2+（廠2）2,可得x=2#-2,（不合題意的已經(jīng)舍棄）,

:.PD=2瓜-2,

如圖3-2中，當(dāng)PC〃OO時(shí)，過點(diǎn)。作。E_LCP,連接OP,

'：PC//OD.

/.2COD=NOCE=NCED=90。,

二四邊形oc石。是矩形，

：.0C=DE=2,CE=OD,

;。尸=4,OC=2,

:,PD=PC=20

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

【解析】解：（1）C在AB弧線上，

?“為AB中點(diǎn)，

（3）圖2如下:

??"、E、C在半徑為2的另一個(gè)圓上，

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和

性質(zhì)、勾股定理等是解題關(guān)鍵.

7.（2022春?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）已知。O的直徑A8=4,點(diǎn)P為弧48上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)附、P。，點(diǎn)。為

劣弧AP上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、尸重合），聯(lián)結(jié)8c交出、PO于點(diǎn)￡＞、E.

（1）如圖，當(dāng)cosNCBO=：時(shí)，求8c的長；

O

（2）當(dāng)點(diǎn)C為劣弧AP的中點(diǎn)，且△EO尸與△AOP相似時(shí)，求NA3C的度數(shù)：

（3）當(dāng)A〃=2DP,且△6/O為直角三角形時(shí)，求四邊形的面積.

【答案】（1）人（2）18°；（3）|或

23o

【分析】（1）解法一：如圖I,過點(diǎn)。作OG_L3C于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理和余弦的定義可得BC的長：解法

7

二：如圖2,連接AC,根據(jù)圓周角定理可得NAC8=90。，根據(jù)cos/C6O=可得3c的長；

O

（2）如圖3,如圖3,連接OC,根據(jù)題意可知：△EQP與△AOP相似只存在一種情況：△OP￡s/\。心,

得設(shè)NA4C=a,則NAOC=NCOP=2a,在△中根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列方程可得

結(jié)論；

（3）當(dāng)△為直角三角形時(shí)，NOBE不可能是直角，所以分兩種情況：①如圖4,當(dāng)/石08=90。時(shí)，作

輔助線，作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算4從OH,BH的長,根據(jù)面積差可得結(jié)論；②如圖

5,當(dāng)NOE8=90。時(shí)，連接AC,證明N48C=30。，分別計(jì)算各邊的長，根據(jù)面積差可得結(jié)論.

【解析】解：（1）解法一：如圖1,過點(diǎn)。作OG_L8C于點(diǎn)G,

p

G

圖1

：.BG=gBC,

VXfi=4,

：,013=2,

7

:?BG=一,

4

7

:.BC=2BG=-；

2

解法一：如圖2,連接AC,

圖2

是OO的直徑，

/.NACB=90。，

7

：.BC=~；

2

(2)如圖3,連接OC,

圖3

,:乙P=4P,ZiEOP與4斗。尸相似,

:.\DPESXOPA,

:"DPE=NMO,

是AP的中點(diǎn)，

，ZAOC=ZCOP,

設(shè)NA3C=a,則NAOC=NCOP=2a,

?；OB=OC,

；?/OCB=NOBC=a,

???C是AP的中點(diǎn)，

：，OC1AP,

，/幺0=90。-2a,

???ZDEP=ZOEB=90°-2a,

在AOE8中，ZAOP=ZOEB+ZABC,

A4a=90°-2a+a,

???Q=18。，

Z.N4BC=18°；

（3）分兩種情況：

①如圖4,當(dāng)NEO8=90。時(shí)，過D作?！癑_A8于",

圖4

:.DH//PO,

，：AD=2PD,

:.AH=2HO,

*8=4,

428

：.AH=-OH=~,BH=~,

JnfJ

，：AO=OP,N4OP=90°,

:.ZA=45°,

4

：.AH=DH=-f

*：0E//DH,

：.0E=\,

:?S西功形AOED=SMBD-SAOEB

5

3

②如圖5,當(dāng)NOEB=90。時(shí)，連接AC,

???NC=NO￡8=90。，

：,AC//OE,CE=BE,

*：AD=2DP,

同理得AC=2PE,

'：AO=BO,

：.AC=20E,

：?OE=PE=』OP,

：.AC=^AB,

，NABC=30。，

???4B=4,

:,CE=B

*：AC//PE,

,:CD+DE=6,

：.S四屹形AOED=SJBC-S^OEB-S^ACD

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)

等.（1）中能借助定理構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵；（2）能借助相似三角形以及圓周角定理表示相關(guān)角是

解題關(guān)鍵；（3）中注意分類討論和正確構(gòu)造圖形.

圖1

分三種情況:

則此時(shí)圓。和。。相切，不合題意；

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí);

熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）