高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市協(xié)作體2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線和直線的位置關系為（）A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】直線和直線的斜率分別為，，因為，所以.故選：A.2.已知向量，，且，則（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】因為，故，即.故選：C.3.已知直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因為直線l的一個方向向量為，所以l的斜率，又，所以，因為，所以.故選：D.4.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為（）A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82【答案】C【解析】設摸出紅球的概率為，摸出白球的概率為，摸出黑球的概率為，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76．故選C．5.如圖，已知是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點，點P為平面ABC外一點，且，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】因為，所以，則，所以.故選：B.6.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，，則向量在向量上的投影向量為：.故選：D.7.若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l【答案】A【解析】①當時，可得，，由，則此時不符合題意；②當時，可得直線的斜率，直線的斜率，由，整理可得，則，解得或，當時，可得，，整理方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時不符合題意；當時，可得，，整理的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時符合題意.綜上可得.故選：A.8.在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個頂點均在以O為球心的球面上，設點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標系，則A1,0,0，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，則點到平面的距離，所以，故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，則（）A.不過原點 B.在x軸上的截距為C.的斜率為 D.與坐標軸圍成的三角形的面積為【答案】ACD【解析】因為，所以不過原點，所以A正確；令，得，所以在軸上的截距為，所以B錯誤；把化為，所以的斜率為，所以C正確；把化為，所以直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為，所以D正確.故選：ACD.10.甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同外其余完全相同的號簽.其中甲袋中有編號為1，2，3的三個號簽；乙袋中有編號為1，2，3，4，5，6的六個號簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號簽1；事件B：從乙袋中抽取號簽5；事件C：抽取的兩個號簽和為4；事件D：抽取的兩個號簽編號不同，則下列說法正確的是（）A. B.C.事件C與D互斥 D.事件A與事件D相互獨立【答案】ABD【解析】對于A，樣本點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18種可能的結果，則，，A正確；對于B，事件C包含的樣本點有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3種可能的結果，則，故B正確；對于C，事件D包含的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15種可能的結果，故事件C與D不互斥，C錯誤：對于D，，由，得A，D相互獨立，D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的有（）A.，，，四點共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點，使得平面D.在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設，則，所以，解得，故，即，，，四點共面，故A正確；因為，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯誤；假設在線段上存在點，符合題意，設（），則，若平面，則，,因為，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點，使得平面，故C錯誤；因為，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線的方程為，則坐標原點到直線的距離為______.【答案】【解析】將直線化為一般方程可得，由點到直線距離公式可得坐標原點到直線的距離為.13.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若，則直線BD1與CD之間的距離為________.【答案】【解析】以為軸，為軸，為軸建立空間直線坐標系，則，，，設與，都垂直的一個向量，則，取，則，，所以與BD1，CD都垂直的一個向量，所以直線與之間的距離為.14.九宮格數(shù)獨游戲是一種訓練推理能力數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個小格子中填上1~9中不重復的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個小格子中的準確數(shù)字，a，b，c，d，e這5個數(shù)字未知，且b，d為偶數(shù)，則的概率為________.9a7bcd4e6【答案】【解析】這個試驗的等可能結果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有種等可能的結果，其中的結果有種，所以的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標系中，的頂點，，，關于原點O對稱.（1）求邊上的高所在直線的一般式方程；（2）已知過點B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程.解：（1）因為B，C關于原點O對稱，所以，，所以邊上高所在直線的斜率為，因為，所以BC邊上高所在直線的方程為，所以BC邊上高所在直線的一般式方程為.（2）因為過點的直線平分的面積，所以直線l經(jīng)過邊AC的中點12,1，又，所以直線l的方程.16.如圖，在三棱柱中，，，，點滿足.（1）用表示；（2）若三棱錐的所有棱長均為，求及.解：（1）因為，所以，所以（2）因為三棱錐的所有棱長均為，所以，所以，所以，所以，所以.17.在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時．（1）求證：平面平面；（2）若點是的中點，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為四邊形是菱形，，所以與均為正三角形，取的中點，連結，，則，因為，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為是的中點，所以，所以，，，設為平面的一個法向量，則令，得，，所以，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學科綜合能力，促進學生全面發(fā)展，某校數(shù)學組舉行了數(shù)學學科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關形式．現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學學科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是和．假設兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．（1）若乙回答了4個問題，求乙至少有1個回答正確的概率；（2）若甲、乙兩人各回答了3個問題，求甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率；（3）假設某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率．解：（1）記“乙至少有1個回答正確”為事件，所以，即乙至少有1個回答正確的概率是．（2）記“甲答對i個問題”為事件，“乙答對i個問題”為事件，則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件，所以，即甲回答正確個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率是．（3）記“甲答對第i個問題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是．19.在空間直角坐標系中，定義：過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為；過點，且法向量為的平面的點法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）求經(jīng)過的直線的點方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大小．解：（1）由得，直線的方向向量為，故直線的點方向式方程為．（2）由平面可知，平面的法向量為，由平面可知，平面的法向量為，設交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知，平面的法向量為，因為，即，且，所以．（3）因平面經(jīng)過三點，可得，設側(cè)面所在平面的法向量，則，令，解得，可得，由平面可知，平面法向量為，設平面與平面的交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知，平面的法向量為，因為，解得，即，則，故平面與平面夾角的大小為．湖北省宜昌市協(xié)作體2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線和直線的位置關系為（）A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】直線和直線的斜率分別為，，因為，所以.故選：A.2.已知向量，，且，則（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】因為，故，即.故選：C.3.已知直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因為直線l的一個方向向量為，所以l的斜率，又，所以，因為，所以.故選：D.4.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為（）A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82【答案】C【解析】設摸出紅球的概率為，摸出白球的概率為，摸出黑球的概率為，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76．故選C．5.如圖，已知是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點，點P為平面ABC外一點，且，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】因為，所以，則，所以.故選：B.6.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，，則向量在向量上的投影向量為：.故選：D.7.若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l【答案】A【解析】①當時，可得，，由，則此時不符合題意；②當時，可得直線的斜率，直線的斜率，由，整理可得，則，解得或，當時，可得，，整理方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時不符合題意；當時，可得，，整理的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時符合題意.綜上可得.故選：A.8.在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個頂點均在以O為球心的球面上，設點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標系，則A1,0,0，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，則點到平面的距離，所以，故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線，則（）A.不過原點 B.在x軸上的截距為C.的斜率為 D.與坐標軸圍成的三角形的面積為【答案】ACD【解析】因為，所以不過原點，所以A正確；令，得，所以在軸上的截距為，所以B錯誤；把化為，所以的斜率為，所以C正確；把化為，所以直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為，所以D正確.故選：ACD.10.甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同外其余完全相同的號簽.其中甲袋中有編號為1，2，3的三個號簽；乙袋中有編號為1，2，3，4，5，6的六個號簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號簽1；事件B：從乙袋中抽取號簽5；事件C：抽取的兩個號簽和為4；事件D：抽取的兩個號簽編號不同，則下列說法正確的是（）A. B.C.事件C與D互斥 D.事件A與事件D相互獨立【答案】ABD【解析】對于A，樣本點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18種可能的結果，則，，A正確；對于B，事件C包含的樣本點有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3種可能的結果，則，故B正確；對于C，事件D包含的樣本點有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15種可能的結果，故事件C與D不互斥，C錯誤：對于D，，由，得A，D相互獨立，D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的有（）A.，，，四點共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點，使得平面D.在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設，則，所以，解得，故，即，，，四點共面，故A正確；因為，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯誤；假設在線段上存在點，符合題意，設（），則，若平面，則，,因為，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點，使得平面，故C錯誤；因為，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線的方程為，則坐標原點到直線的距離為______.【答案】【解析】將直線化為一般方程可得，由點到直線距離公式可得坐標原點到直線的距離為.13.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若，則直線BD1與CD之間的距離為________.【答案】【解析】以為軸，為軸，為軸建立空間直線坐標系，則，，，設與，都垂直的一個向量，則，取，則，，所以與BD1，CD都垂直的一個向量，所以直線與之間的距離為.14.九宮格數(shù)獨游戲是一種訓練推理能力數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個小格子中填上1~9中不重復的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個小格子中的準確數(shù)字，a，b，c，d，e這5個數(shù)字未知，且b，d為偶數(shù)，則的概率為________.9a7bcd4e6【答案】【解析】這個試驗的等可能結果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有種等可能的結果，其中的結果有種，所以的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標系中，的頂點，，，關于原點O對稱.（1）求邊上的高所在直線的一般式方程；（2）已知過點B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程.解：（1）因為B，C關于原點O對稱，所以，，所以邊上高所在直線的斜率為，因為，所以BC邊上高所在直線的方程為，所以BC邊上高所在直線的一般式方程為.（2）因為過點的直線平分的面積，所以直線l經(jīng)過邊AC的中點12,1，又，所以直線l的方程.16.如圖，在三棱柱中，，，，點滿足.（1）用表示；（2）若三棱錐的所有棱長均為，求及.解：（1）因為，所以，所以（2）因為三棱錐的所有棱長均為，所以，所以，所以，所以，所以.17.在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時．（1）求證：平面平面；（2）若點是的中點，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為四邊形是菱形，，所以與均為正三角形，取的中點，連結，，則，因為，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為是的中點，所以，所以，，，設為平面的一個法向量，則令，得，，所以，設直線與平面所成角為，所以，所以直