高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省新時(shí)代高中教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知拋物線，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中，，解得，故準(zhǔn)線方程為.故選：C.2.在等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.4 B.14 C.7 D.28【答案】A【解析】設(shè)公差為，由題意得，解得，故.故選：A.3.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，故，又，故.故選：D.4.已知向量，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】，故，解得，故，所以.故選：B.5.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)則，則，得,解得：則雙曲線的漸近線方程為故選：C.6.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F的兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，其中B，C兩點(diǎn)在x軸上方.若，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線CD的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，所以，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為，故選：D.7.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》.在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡問(wèn)題，例如：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（且）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，由于，故，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)的軌跡為圓心為的圓，由于點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，故圓心在上，故，解得.故選：A.8.在等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列.若，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，又，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，解得，所?因此，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，得，又，所以對(duì)任意的偶數(shù)都成立，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)有最大值，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，得，又，所以對(duì)任意的奇數(shù)都成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故，綜上所述，.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】AC選項(xiàng)，①，令得，當(dāng)時(shí)，②，則①-②得，即，故當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足，所以，A正確，C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是公比為3的等比數(shù)列，B正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，，故，由于，，故為首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，D正確.故選：ABD.10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的為（）A.直線與所成角的余弦值為 B.平面C. D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，則，設(shè)直線與所成角為，故，直線與所成角的余弦值為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，分別為棱，的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，B正確；C選項(xiàng)，，故，故，故，C正確；D選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，其中，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.橢圓的離心率為C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由得，，故，因?yàn)椋?，則在中，，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，，在中，，由橢圓定義知，，則，所以離心率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取線段的中點(diǎn)為，連接，如下圖：，故為等邊三角形，故，易知，，則，由，，則，，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則________.【答案】85【解析】設(shè)公比為，則，，聯(lián)立得到，解得，故，.13.如圖，二面角的平面角為，，，，且，.若，，則的長(zhǎng)等于_________.【答案】【解析】由題意，，，，，，因此，由二面角的平面角的定義知，則，所以，由，得，又，所以，故，即.14.已知離心率為的橢圓和離心率為的雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)，其中，分別為左、右焦點(diǎn)，是在在第一象限的公共點(diǎn).若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)半焦距為，，，為中點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，由，，則，，，所以，從而有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知中，頂點(diǎn)，，邊上的高線所在直線與直線平行，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）設(shè)點(diǎn)，所以線段的中點(diǎn)為，由點(diǎn)在直線上，得，又直線的斜率，則直線的斜率，即，聯(lián)立，解得，則.（2）因?yàn)檫吷系母呔€所在直線與直線平行，所以邊上的高線所在直線的斜率，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率，即，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立，解得，則.16.已知，直線：與圓C：交于A，B兩點(diǎn).（1）證明恒過(guò)定點(diǎn)，并求出原點(diǎn)到直線的最大距離；（2）已知點(diǎn)在圓C上，求的取值范圍.解：（1）由直線：，得，聯(lián)立，解得，所以恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為.（2）點(diǎn)在圓C上，的幾何意義為點(diǎn)到的距離，因?yàn)閳AC：，即，圓心，又因?yàn)?，所以在圓內(nèi)，所以到的距離的最大值為，到的距離的最大值為所以，所以取值范圍為.17.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），又，，故，故為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2，所以；設(shè)的公比為，則，又，故，解得，又，所以；（2），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，②，則①-②得，故18.如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，且平面平面.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面距離；（3）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.（1）證明：連接，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，所以⊥，因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，所以四邊形為菱形，故⊥，因?yàn)?，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，所以⊥，因，平面，所以平面；（2）解：連接，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，平面，所以⊥平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面法向量為，則，令，得，故，故點(diǎn)到平面的距離；（3）解：設(shè)，，設(shè)，則，故，故，，由（1）知，平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，則,設(shè)平面與平面夾角的大小為，則，令，因?yàn)椋?，則，因?yàn)椋?，，故，故平面與平面夾角的余弦值取值范圍為.19.已知，分別是雙曲線：的左、右頂點(diǎn)，，分別為其左、右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4，M，N為雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線與直線斜率之積為定值4.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線：，交雙曲線的左、右兩支于D，E兩點(diǎn).①求m的取值范圍；②設(shè)直線與直線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.解：由題意可得，則，設(shè)，則，且，由直線的斜率，直線的斜率，則，可得，由，則，解得，所以.（2）①由，則漸近線方程為，顯然直線，斜率存在，為，易得，解得或；②設(shè)，，聯(lián)立可得，消去可得，由①可得，，則，，兩式相除可得，即，由，，則直線的方程為，則，直線的方程為，則，聯(lián)立可得，則，即，所以，解得.綜上可得直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.黑龍江省新時(shí)代高中教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知拋物線，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中，，解得，故準(zhǔn)線方程為.故選：C.2.在等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.4 B.14 C.7 D.28【答案】A【解析】設(shè)公差為，由題意得，解得，故.故選：A.3.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，故，又，故.故選：D.4.已知向量，，若，則（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】，故，解得，故，所以.故選：B.5.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)則，則，得,解得：則雙曲線的漸近線方程為故選：C.6.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F的兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，其中B，C兩點(diǎn)在x軸上方.若，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線CD的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，所以，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為，故選：D.7.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》.在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡問(wèn)題，例如：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（且）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，由于，故，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)的軌跡為圓心為的圓，由于點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，故圓心在上，故，解得.故選：A.8.在等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列.若，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，又，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，解得，所?因此，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，得，又，所以對(duì)任意的偶數(shù)都成立，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)有最大值，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，得，又，所以對(duì)任意的奇數(shù)都成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故，綜上所述，.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】AC選項(xiàng)，①，令得，當(dāng)時(shí)，②，則①-②得，即，故當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足，所以，A正確，C錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是公比為3的等比數(shù)列，B正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，，故，由于，，故為首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，D正確.故選：ABD.10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的為（）A.直線與所成角的余弦值為 B.平面C. D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，則，設(shè)直線與所成角為，故，直線與所成角的余弦值為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，分別為棱，的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，B正確；C選項(xiàng)，，故，故，故，C正確；D選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，其中，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.橢圓的離心率為C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由得，，故，因?yàn)?，所以，則在中，，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，，在中，，由橢圓定義知，，則，所以離心率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取線段的中點(diǎn)為，連接，如下圖：，故為等邊三角形，故，易知，，則，由，，則，，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則________.【答案】85【解析】設(shè)公比為，則，，聯(lián)立得到，解得，故，.13.如圖，二面角的平面角為，，，，且，.若，，則的長(zhǎng)等于_________.【答案】【解析】由題意，，，，，，因此，由二面角的平面角的定義知，則，所以，由，得，又，所以，故，即.14.已知離心率為的橢圓和離心率為的雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)，其中，分別為左、右焦點(diǎn)，是在在第一象限的公共點(diǎn).若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)半焦距為，，，為中點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，由，，則，，，所以，從而有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知中，頂點(diǎn)，，邊上的高線所在直線與直線平行，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）設(shè)點(diǎn)，所以線段的中點(diǎn)為，由點(diǎn)在直線上，得，又直線的斜率，則直線的斜率，即，聯(lián)立，解得，則.（2）因?yàn)檫吷系母呔€所在直線與直線平行，所以邊上的高線所在直線的斜率，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率，即，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立，解得，則.16.已知，直線：與圓C：交于A，B兩點(diǎn).（1）證明恒過(guò)定點(diǎn)，并求出原點(diǎn)到直線的最大距離；（2）已知點(diǎn)在圓C上，求的取值范圍.解：（1）由直線：，得，聯(lián)立，解得，所以恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為.（2）點(diǎn)在圓C上，的幾何意義為點(diǎn)到的距離，因?yàn)閳AC：，即，圓心，又因?yàn)?，所以在圓內(nèi)，所以到的距離的最大值為，到的距離的最大值為所以，所以取值范圍為.17.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），又，，故，故為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2，所以；設(shè)的公比為，則，又，故，解得，又，所以；（2），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，②，則①-②得，故18.如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，且平面平面