高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列一個通項公式可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項，當(dāng)時，，故A錯誤；B選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故B正確；C選項，當(dāng)時，，故C錯誤；D選項，當(dāng)時，，故D錯誤．故選：B．2.若直線與平行，則（）A. B.2 C.－5 D.－5或2【答案】C【解析】因為直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時，，重合，不符合題意，所以舍去．所以．故選：C．3.已知圓與圓內(nèi)切，則（）A. B.±2 C. D.【答案】C【解析】由圓與圓內(nèi)切，可得，即，．故選：C.4.已知曲線表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A．5.某學(xué)校廣播站有6個節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A.108種 B.90種 C.72種 D.36種【答案】A【解析】第一步，從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個，同學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出，共有種；第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的2個節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A.6.等比數(shù)列的前項和，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，從而，由于是等比數(shù)列，故，顯然且，解得，所以．故選：C．7.已知拋物線C：的焦點為F，點P是拋物線C上的一點，，過點P作y軸的垂線，垂足為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由拋物線C：，得焦點，設(shè)，所以，由，解得，所以，所以.故選：D.8.已知是數(shù)列的前項和，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（）A.479 B.480 C.291 D.290【答案】B【解析】因為是數(shù)列的前項和，，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，令，可得，所以，所以．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于二項式的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式所有系數(shù)和為1 B.展開式的第4項二項式系數(shù)最大C.展開式中不含項 D.展開式的常數(shù)項為240【答案】ABD【解析】對于A選項：令，可得二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，故A正確；對于B選項：因為指數(shù)為偶數(shù)，即，所以展開式的第項二項式系數(shù)最大，故B正確；展開式通項為，對于C選項：令，解得，所以展開式中含項，故C錯誤；對于D選項：令，可得，故展開式中常數(shù)項為，故D正確.故選：ABD.10.A，，，，五個人并排站在一起，下列說法正確的是（）A.若A，不相鄰，有72種排法 B.若A，不相鄰，有48種排法C.若A，相鄰，有48種排法 D.若A，相鄰，有24種排法【答案】AC【解析】A，，，，五個人并排站在一起，若A，不相鄰，則先讓，，自由排列，再讓A，去插空即可，則方法總數(shù)為（種）.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；A，，，，五個人并排站在一起，若A，相鄰，則將A，“捆綁”在一起，視為一個整體，與，，自由排列即可，則方法總數(shù)為（種）.則選項C判斷正確；選項D判斷錯誤.故選：AC.11.設(shè)為雙曲線右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓M與圓O：交于，兩點，若，則下列選項正確的是（）A.曲線的離心率為B.圓心到雙曲線的漸近線的距離為C.所在直線方程為D.直線被雙曲線的漸近線截得的線段長為【答案】ACD【解析】依題意，以為直徑的圓M：，與圓O：聯(lián)立得，，故由知，垂直x軸，也是圓M的一條直徑，過圓心，即，故，即，故A正確；由知，雙曲線的漸近線為，圓心到雙曲線的漸近線的距離為，故B錯誤；，垂直x軸，故所在直線方程為，故C正確；由代入雙曲線的漸近線得，故截得的線段長為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點是圓外的一點，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又點是圓外的一點，所以，解得，即的取值范圍是．13.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則_____．【答案】【解析】因為等差數(shù)列的前項和為，所以，，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以，所以，解得.14.如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓左焦點的直線與橢圓相交于兩點，，，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)，則由條件及橢圓的定義可知：，在中，根據(jù)余弦定理可知，解之得或（舍去），則，即，解之得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點是圓C的圓心，直線與圓C相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點的直線l與圓C有且只有一個公共點，求直線l的方程．解：（1）聯(lián)立方程，解得所以圓的圓心的坐標(biāo)為，又由圓與直線相切，可得圓的半徑為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由直線與圓有且只有一個公共點，可得直線與圓相切，①若直線斜率不存在，此時直線方程為：，與圓相切，合題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑可得，得，所以此時直線的方程為，綜上，直線的方程為或．16.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，令得，因為，所以，兩式相減得，又滿足上式，所以；（2）由（1）可得，所以．17.已知橢圓的離心率為，上的點到其一個焦點的距離的最大值為3．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，為的左、右頂點，（異于左、右頂點）為上一動點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值．（1）解：根據(jù)題意得，解得，的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：由（1）得，，設(shè)點，則，，，，，為定值．18.在的展開式中．（1）求二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？（3）求系數(shù)最大的項．解：（1）二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，；（2）的展開式的通項為，，，設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，顯然，則，整理得，即，解得，而，則或，所以系數(shù)的絕對值最大的項是第6項和第7項；（3）由（2）知，展開式中的第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大，而第6項的系數(shù)為負(fù)，第7項的系數(shù)為正，所以系數(shù)最大的項為第7項．19.已知點是拋物線上的一點，點，是上異于點的不同的兩點.（1）求的方程；（2）若直線，的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值，并求出此定值；（3）若直線，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.解：（1）因為點是拋物線上的一點，所以，解得，所以的方程為；（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，則，所以，解得，同理可得，所以，即直線的斜率為定值，該定值為；（3）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，所以，，，所以，，因為，所以，所以，即，所以，所以或，即或，若，則，，則，過定點，與點重合，不符合題意；若，則，，則，過定點，綜上，直線過定點.甘肅省多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數(shù)列一個通項公式可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項，當(dāng)時，，故A錯誤；B選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故B正確；C選項，當(dāng)時，，故C錯誤；D選項，當(dāng)時，，故D錯誤．故選：B．2.若直線與平行，則（）A. B.2 C.－5 D.－5或2【答案】C【解析】因為直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時，，重合，不符合題意，所以舍去．所以．故選：C．3.已知圓與圓內(nèi)切，則（）A. B.±2 C. D.【答案】C【解析】由圓與圓內(nèi)切，可得，即，．故選：C.4.已知曲線表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A．5.某學(xué)校廣播站有6個節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A.108種 B.90種 C.72種 D.36種【答案】A【解析】第一步，從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個，同學(xué)習(xí)經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出，共有種；第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的2個節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A.6.等比數(shù)列的前項和，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，從而，由于是等比數(shù)列，故，顯然且，解得，所以．故選：C．7.已知拋物線C：的焦點為F，點P是拋物線C上的一點，，過點P作y軸的垂線，垂足為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由拋物線C：，得焦點，設(shè)，所以，由，解得，所以，所以.故選：D.8.已知是數(shù)列的前項和，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（）A.479 B.480 C.291 D.290【答案】B【解析】因為是數(shù)列的前項和，，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，令，可得，所以，所以．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于二項式的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式所有系數(shù)和為1 B.展開式的第4項二項式系數(shù)最大C.展開式中不含項 D.展開式的常數(shù)項為240【答案】ABD【解析】對于A選項：令，可得二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，故A正確；對于B選項：因為指數(shù)為偶數(shù)，即，所以展開式的第項二項式系數(shù)最大，故B正確；展開式通項為，對于C選項：令，解得，所以展開式中含項，故C錯誤；對于D選項：令，可得，故展開式中常數(shù)項為，故D正確.故選：ABD.10.A，，，，五個人并排站在一起，下列說法正確的是（）A.若A，不相鄰，有72種排法 B.若A，不相鄰，有48種排法C.若A，相鄰，有48種排法 D.若A，相鄰，有24種排法【答案】AC【解析】A，，，，五個人并排站在一起，若A，不相鄰，則先讓，，自由排列，再讓A，去插空即可，則方法總數(shù)為（種）.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；A，，，，五個人并排站在一起，若A，相鄰，則將A，“捆綁”在一起，視為一個整體，與，，自由排列即可，則方法總數(shù)為（種）.則選項C判斷正確；選項D判斷錯誤.故選：AC.11.設(shè)為雙曲線右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓M與圓O：交于，兩點，若，則下列選項正確的是（）A.曲線的離心率為B.圓心到雙曲線的漸近線的距離為C.所在直線方程為D.直線被雙曲線的漸近線截得的線段長為【答案】ACD【解析】依題意，以為直徑的圓M：，與圓O：聯(lián)立得，，故由知，垂直x軸，也是圓M的一條直徑，過圓心，即，故，即，故A正確；由知，雙曲線的漸近線為，圓心到雙曲線的漸近線的距離為，故B錯誤；，垂直x軸，故所在直線方程為，故C正確；由代入雙曲線的漸近線得，故截得的線段長為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點是圓外的一點，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又點是圓外的一點，所以，解得，即的取值范圍是．13.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則_____．【答案】【解析】因為等差數(shù)列的前項和為，所以，，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以，所以，解得.14.如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓左焦點的直線與橢圓相交于兩點，，，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)，則由條件及橢圓的定義可知：，在中，根據(jù)余弦定理可知，解之得或（舍去），則，即，解之得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點是圓C的圓心，直線與圓C相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點的直線l與圓C有且只有一個公共點，求直線l的方程．解：（1）聯(lián)立方程，解得所以圓的圓心的坐標(biāo)為，又由圓與直線相切，可得圓的半徑為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由直線與圓有且只有一個公共點，可得直線與圓相切，①若直線斜率不存在，此時直線方程為：，與圓相切，合題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑可得，得，所以此時直線的方程為，綜上，直線的方程為或．16.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，令得，因為，所以，兩式相減得，又滿足上式，所以；（2）由（1）可得，所以．17.已知橢圓的離心率為，上的點到其一個焦點的距離的最大值為3．（1）求