2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與燈光渲染數(shù)學(xué)算法試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在光線追蹤算法中，光線與球體交點(diǎn)的計(jì)算需要求解二次方程。已知光線起點(diǎn)為$O(0,0,0)$，方向向量為$\vecz3jilz61osys=(1,1,-1)$，球體中心為$C(3,4,5)$，半徑$r=2$，則光線方程與球體方程聯(lián)立后得到的關(guān)于參數(shù)$t$的二次方程系數(shù)$a$的值為（）A.$\sqrt{3}$B.3C.2D.$\vecz3jilz61osys\cdot\vecz3jilz61osys$雙向反射分布函數(shù)（BRDF）$f_r(\omega_i,\omega_o)$描述了入射光線方向$\omega_i$與出射光線方向$\omega_o$的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是（）A.向量內(nèi)積B.概率密度函數(shù)C.矩陣變換D.傅里葉變換渲染方程$L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+}f_r(p,\omega_i,\omega_o)L_i(p,\omega_i)(\omega_i\cdot\mathbf{n})d\omega_i$中，$\Omega^+$表示的是（）A.所有可能的入射方向B.半球面空間C.光源集合D.物體表面法向量在計(jì)算光線與平面的交點(diǎn)時(shí)，若平面方程為$ax+by+cz+d=0$，光線起點(diǎn)為$O(x_0,y_0,z_0)$，方向向量為$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$，則參數(shù)$t$的計(jì)算公式為（）A.$t=-(ax_0+by_0+cz_0+d)/(av_x+bv_y+cv_z)$B.$t=(ax_0+by_0+cz_0+d)/(av_x+bv_y+cv_z)$C.$t=\sqrt{(ax_0+by_0+cz_0+d)^2/(a^2+b^2+c^2)}$D.$t=|ax_0+by_0+cz_0+d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}$某場景中一點(diǎn)光源強(qiáng)度為$I=1000\\text{cd}$，照射到距離$d=5\\text{m}$的物體表面，光線入射角與法向量夾角為$30^\circ$，則該點(diǎn)的入射輻射度$E$為（）A.$1000/(25\cos30^\circ)$B.$1000\cos30^\circ/25$C.$1000\sin30^\circ/25$D.$1000/(25\sin30^\circ)$在蒙特卡洛積分中，用隨機(jī)采樣估計(jì)$\int_a^bf(x)dx$時(shí)，若采樣點(diǎn)$x_i$服從均勻分布，則積分近似值為（）A.$(b-a)\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf(x_i)$B.$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf(x_i)$C.$\sqrt{(b-a)\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf(x_i)^2}$D.$\int_a^b\frac{f(x)}{p(x)}dx$（$p(x)$為概率密度）三維空間中，向量$\vec{a}=(1,2,3)$在平面法向量$\vec{n}=(0,0,1)$上的投影長度為（）A.3B.$\sqrt{14}$C.1D.0光線追蹤算法中，遞歸深度控制著光的彈射次數(shù)。若每次反射能量衰減系數(shù)為$k=0.5$，初始光強(qiáng)為$L_0$，則經(jīng)過3次反射后的光強(qiáng)為（）A.$L_0/8$B.$L_0/4$C.$L_0/2$D.$L_0(1-0.5^3)$對于球坐標(biāo)系下的立體角元$d\omega=\sin\thetad\thetad\phi$，當(dāng)$\theta$從$0$到$\pi/2$，$\phi$從$0$到$2\pi$積分時(shí)，結(jié)果為（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$4\pi$D.$\pi/2$簡單光照模型$I=k_aI_a+k_dI_p(\mathbf{n}\cdot\mathbf{L})+k_sI_p(\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})^n$中，$k_s$表示（）A.環(huán)境光系數(shù)B.漫反射系數(shù)C.高光反射系數(shù)D.折射率已知某三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，則該三角形的法向量為（）A.$(0,0,1)$B.$(1,1,0)$C.$(0,0,-1)$D.$(1,0,0)$在輻射度算法中，兩個(gè)表面間的形狀因子$F_{ij}$表示表面$i$發(fā)射的能量到達(dá)表面$j$的比例，其數(shù)學(xué)定義式為（）A.$F_{ij}=\frac{1}{A_i}\int_{A_i}\int_{A_j}\frac{\cos\theta_i\cos\theta_j}{\pir^2}dA_jdA_i$B.$F_{ij}=\frac{1}{A_j}\int_{A_i}\int_{A_j}\frac{\cos\theta_i\cos\theta_j}{\pir^2}dA_idA_j$C.$F_{ij}=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\thetad\thetad\phi$D.$F_{ij}=\mathbf{n}_i\cdot\mathbf{n}_j$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）光線與物體求交時(shí)，參數(shù)$t$需滿足______條件才表示有效交點(diǎn)。渲染方程中的自發(fā)光項(xiàng)$L_e(p,\omega_o)$在非光源物體表面的值為______。三維旋轉(zhuǎn)矩陣中，繞$z$軸旋轉(zhuǎn)$\theta$角的變換矩陣為$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\sin\theta&\cos\theta&0\0&0&1\end{bmatrix}$，則點(diǎn)$(1,0,0)$旋轉(zhuǎn)$90^\circ$后的坐標(biāo)為______。蒙特卡洛積分中，為降低方差可采用的采樣策略是______（列舉一種）。三、解答題（本大題共5小題，共70分）（12分）已知光線起點(diǎn)$O(1,2,3)$，方向向量$\vecz3jilz61osys=(2,2,1)$，平面方程為$2x+y-z=5$，求光線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)。若該平面為鏡面，反射系數(shù)$k_r=0.8$，計(jì)算反射光線的方向向量。（14分）在Blinn-Phong光照模型中，某點(diǎn)$P$的法向量$\mathbf{n}=(0,1,0)$，光源方向$\mathbf{L}=(0,1,1)$，觀察方向$\mathbf{v}=(0,1,-1)$，高光指數(shù)$n=32$，光源強(qiáng)度$I_p=100$，漫反射系數(shù)$k_d=0.5$，高光系數(shù)$k_s=0.3$。（1）計(jì)算$\mathbf{n}\cdot\mathbf{L}$和半程向量$\mathbf{h}=(\mathbf{L}+\mathbf{v})/|\mathbf{L}+\mathbf{v}|$；（2）求該點(diǎn)的漫反射分量$I_d$和高光分量$I_s$。（16分）渲染方程的離散化求解是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的核心問題?？紤]一個(gè)簡化場景：單個(gè)點(diǎn)光源$L_i=1000$，物體表面BRDF為常數(shù)$f_r=0.5$，法向量與入射光夾角$\theta=60^\circ$，且無自發(fā)光$L_e=0$。（1）寫出該場景下渲染方程的簡化形式；（2）若采用蒙特卡洛方法估計(jì)積分，每次采樣的入射方向$\omega_i$均滿足$\cos\theta=0.5$，求1000次采樣后的積分近似值。（14分）在三維空間中，光線從點(diǎn)$A(1,2,3)$出發(fā)，經(jīng)過平面$x+y+z=1$反射后到達(dá)點(diǎn)$B(4,5,6)$。（1）求反射點(diǎn)$P$的坐標(biāo)；（2）證明反射定律：入射角等于反射角（用向量內(nèi)積表示）。（14分）編程實(shí)踐題：某光線追蹤器需要實(shí)現(xiàn)球體與光線的相交檢測。已知光線起點(diǎn)$\mathbf{O}=(x_o,y_o,z_o)$，方向向量$\mathbfz3jilz61osys=(d_x,d_y,d_z)$，球體中心$\mathbf{C}=(c_x,c_y,c_z)$，半徑$r$。（1）推導(dǎo)光線與球體相交的判別式$\Delta$的表達(dá)式；（2）若$\Delta=0$，說明幾何意義，并計(jì)算此時(shí)交點(diǎn)到光源的距離。四、附加題（本大題共2小題，共20分）（10分）證明渲染方程$L_o=L_e+K_rL_i$在能量守恒條件下，當(dāng)$|K_r|<1$時(shí)，遞歸展開式$L_o=L_e+K_rL_e+K_r^2L_e+\cdots$