2025年下學期高中數學第二課堂活動試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.(\varnothing)函數(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和對稱軸方程分別為（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.3B.5C.7D.9某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4函數(f(x)=\frac{\lnx}{x})的單調遞增區(qū)間是（）A.((0,e))B.((e,+\infty))C.((0,1))D.((1,e))已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)從5名男生和4名女生中選出3人參加數學競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知函數(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.3D.(\sqrt{11})執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25已知函數(f(x)=x^3-3x^2+mx+1)在區(qū)間((-1,1))上單調遞減，則實數(m)的取值范圍是（）A.((-\infty,-3])B.((-\infty,0])C.([0,+\infty))D.([3,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(z=(1+i)(2-i))，則(|z|=)________．已知(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________．在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(\angleC=60^\circ)，則(\triangleABC)的面積為________．已知函數(f(x)=e^x-ax-1)在(x=0)處取得極值，則(a=)，此時(f(x))的最小值為．（第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)．（1）求數列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求數列({b_n})的前(n)項和(T_n)．（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數學學習情況，隨機抽取了100名學生進行數學成績調查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中(a)的值；（2）估計這100名學生數學成績的平均數和中位數（精確到0.1）；（3）若從成績在([80,90))和([90,100])的學生中隨機選取2人，求至少有1人成績在([90,100])的概率．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點．（1）求證：(A_1D\perpBC)；（2）求二面角(A_1-BD-C_1)的余弦值．（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦點分別為(F_1)，(F_2)，離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))．（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）過點(F_2)的直線(l)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點，若(\triangleAF_1B)的面積為(\frac{4\sqrt{3}}{5})，求直線(l)的方程．（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）當(a=1)時，求函數(f(x))的單調區(qū)間；（2）若函數(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實數(a)的取值范圍．（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，已知點(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動點(P(x,y))滿足(|PA|+|PC|=4)．（1）求動點(P)的軌跡方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與動點(P)的軌跡交于(M)，(N)兩點，若(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0)（(O)為坐標原點），求證：直線(l)恒過定點，并求出該定點的坐標．四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分．選做其中一題，若兩題都做，按第一題計分）（選做題）在平面直角坐標系(xOy)中，曲線(C_1)的參數方程為(\begin{cases}x=2\cos\theta,\y=\sin\theta\end{cases})（(\theta)為參數），以坐標原點為極點，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線(C_2)的極坐標方程為(\rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2})．（1）求曲線(C_1)的普