2025年下學期初中數(shù)學競賽成長記錄試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2若關于x的方程x2+2mx+2m+1=0的兩個根均在區(qū)間(0,1)內，則m的取值范圍是（）A.(-1/2,-√2+1)B.(-∞,-√2+1)∪(√2+1,+∞)C.(-1/2,0)D.(-√2+1,0)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D在AB上，且AD=2DB，過點D作DE⊥AC于E，則DE的長度為（）A.4/3B.8/9C.2/3D.1已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為（）A.1B.2C.3D.4在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=√3，b=1，∠A=60°，則∠B的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.90°若正整數(shù)n滿足n2+2n-35能被n-3整除，則n的值為（）A.4B.5C.7D.8二、填空題（每題5分，共30分）計算：(20252-2024×2026)÷(√2025-√2024)=_________。若a、b為正實數(shù)，且a+b=1，則(a+1/a)2+(b+1/b)2的最小值為_________。如圖，圓O的半徑為5，弦AB=8，點P為AB上一動點，則OP的取值范圍是_________。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則a??=_________。若不等式|x-1|+|x+2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的最大值為_________。在平面直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，則△ABC的面積為_________。三、解答題（共40分）（10分）已知關于x的方程x2-(m+2)x+2m=0。（1）求證：無論m為何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的一個根是另一個根的2倍，求m的值。（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E。（1）求證：DE是圓O的切線；（2）若AB=10，BC=12，求DE的長。（10分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3（a為常數(shù)）。（1）若f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為-1，求a的值；（2）若f(x)在區(qū)間[1,3]上恒成立f(x)≥0，求a的取值范圍。（10分）某商店銷售一種商品，進價為每件20元，售價為每件x元（x>20），每天可賣出(100-x)件。（1）寫出每天的利潤y（元）與售價x（元）的函數(shù)關系式；（2）當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？四、附加題（共20分）（10分）在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，F(xiàn)為DE的中點，若BC=8，求AF的長度。（10分）已知a、b、c為正實數(shù)，且a+b+c=1，求證：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8。參考答案與解析一、選擇題C解析：A={1,2}，B={x|(x-1)(x-a+1)=0}，由A∪B=A得B?A。若B={1}，則a-1=1，a=2；若B={1,2}，則a-1=2，a=3。A解析：設f(x)=x2+2mx+2m+1，需滿足f(0)=2m+1>0，f(1)=4m+2>0，Δ=4m2-4(2m+1)≥0，對稱軸x=-m∈(0,1)，解得-1/2<m≤-√2+1。A解析：AB=5，AD=10/3，由△ADE∽△ABC得DE/BC=AD/AB，即DE=4×(10/3)/5=8/3。C解析：f(x)幾何意義為x到1和-2的距離之和，最小值為1-(-2)=3。A解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB得sinB=1/2，又b<a，故∠B=30°。C解析：n2+2n-35=(n-3)(n+5)+(-20)，由n-3整除-20得n-3=5（n為正整數(shù)），n=7。二、填空題4050解析：分子=20252-(2025-1)(2025+1)=1，分母=45-√2024，整體=1/(45-√2024)=45+√2024，化簡后得4050。25/2解析：(a+1/a)2+(b+1/b)2=a2+b2+4+1/a2+1/b2，由a+b=1得a2+b2=1-2ab≥1/2，1/a2+1/b2=(a2+b2)/a2b2≥8，故原式≥25/2。[3,5]解析：圓心到弦AB的距離為3，OP最小值為3，最大值為半徑5。1023解析：a?+1=2(a?+1)，{a?+1}為等比數(shù)列，a?=2?-1，a??=1023。3解析：f(x)=|x-1|+|x+2|最小值為3，故a≤3。8解析：用坐標公式S=1/2|(1×4+3×0+5×2)-(2×3+4×5+0×1)|=8。三、解答題（1）Δ=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0，故方程總有兩實根；（2）設根為x?、2x?，由韋達定理x?+2x?=m+2，x?·2x?=2m，解得m=2或m=3。（1）連接OD，OD=OB，∠ODB=∠B=∠C，OD∥AC，DE⊥AC得OD⊥DE；（2）BD=CD=6，AD=8，S△ADC=1/2×AC×DE=1/2×CD×AD，DE=48/10=4.8。（1）對稱軸x=a，若a≤1，f(1)=4-2a=-1，a=5/2（舍）；若1<a<3，f(a)=3-a2=-1，a=2；若a≥3，f(3)=12-6a=-1，a=13/6（舍）。綜上a=2。（2）f(x)≥0等價于2a≤x+3/x，x∈[1,3]，x+3/x最小值為2√3，故a≤√3。（1）y=(x-20)(100-x)=-x2+120x-2000；（2）對稱軸x=60，y_max=(60-20)(100-60)=1600元。四、附加題連接AE，DE=4，DF=2，由中位線定理AE=4√3，AF=√(AE2+EF2-2AE·EF·cos∠AEF)=2√5。原式=(b+