2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)數(shù)應(yīng)用試卷一、選擇題（每題5分，共30分）若復(fù)數(shù)(z=(m^2-3m+2)+(m^2-5m+6)i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)(m)的值為（）A.1B.2C.1或2D.3復(fù)數(shù)(z=3-4i)的模與共軛復(fù)數(shù)的模之和為（）A.5B.8C.10D.12在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(z_1=2+i)與(z_2=1-3i)對(duì)應(yīng)的向量分別為(\overrightarrow{OA})和(\overrightarrow{OB})，則向量(\overrightarrow{AB})對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A.(1+4i)B.(-1-4i)C.(3-2i)D.(-3+2i)若(|z|=2)，且(z)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則復(fù)數(shù)(z)可以是（）A.(1+\sqrt{3}i)B.(-1+\sqrt{3}i)C.(-\sqrt{3}-i)D.(\sqrt{3}-i)復(fù)數(shù)(z=\cos60^\circ+i\sin60^\circ)的三角形式的輻角主值是（）A.(30^\circ)B.(60^\circ)C.(120^\circ)D.(300^\circ)已知(z_1=1+i)，(z_2=2-3i)，則(z_1\cdot\overline{z_2})的值為（）A.(-1+5i)B.(5+i)C.(-1-5i)D.(5-i)二、填空題（每題5分，共30分）計(jì)算：((1+i)^2=)__________。復(fù)數(shù)(z=-2+2i)的三角形式為_(kāi)_________。若復(fù)數(shù)(z)滿足(z+2\overline{z}=3+4i)，則(z=)__________。在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(z=-3+4i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_(kāi)_________。若(z^2=-4)，則復(fù)數(shù)(z=)__________。已知復(fù)數(shù)(z_1=a+bi)，(z_2=c+di)（(a,b,c,d\in\mathbb{R})），若(z_1=z_2)，則(a=)，(b=)。三、解答題（共40分）（8分）計(jì)算：（1）((3+2i)(1-i)+(2-i)^2)；（2）(\frac{2+i}{1-i})。（10分）已知復(fù)數(shù)(z=x+yi)（(x,y\in\mathbb{R})）滿足(|z|=5)，且(z-3)為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)(z)。（10分）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(A)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1+2i)，點(diǎn)(B)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)，點(diǎn)(C)為線段(AB)的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)(C)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）求(\triangleABC)的面積（提示：利用復(fù)數(shù)模的幾何意義）。（12分）已知復(fù)數(shù)(z_1=\cos\alpha+i\sin\alpha)，(z_2=\cos\beta+i\sin\beta)，其中(\alpha=30^\circ)，(\beta=60^\circ)。（1）求(z_1\cdotz_2)的三角形式，并指出其輻角主值；（2）利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，說(shuō)明(z_1\cdotz_2)對(duì)應(yīng)的向量與(z_1)、(z_2)對(duì)應(yīng)的向量之間的關(guān)系。四、附加題（共20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）（10分）已知復(fù)數(shù)(z)滿足(z^3=1)，且(z\neq1)，求(1+z+z^2)的值。（10分）設(shè)復(fù)數(shù)(z)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(P)，若點(diǎn)(P)在圓(x^2+y^2=4)上運(yùn)動(dòng)，求復(fù)數(shù)(z+1+i)的模的最大值和最小值。參考答案與解析一、選擇題A純虛數(shù)需滿足實(shí)部為0且虛部不為0。實(shí)部：(m^2-3m+2=0\Rightarrowm=1)或(m=2)；虛部：(m^2-5m+6\neq0\Rightarrowm\neq2)且(m\neq3)。綜上，(m=1)。C(|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5)，共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=3+4i)，(|\overline{z}|=5)，故和為(5+5=10)。B(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(z_2-z_1=(1-3i)-(2+i)=-1-4i)。B第二象限的復(fù)數(shù)滿足實(shí)部(<0)，虛部(>0)。選項(xiàng)B中(|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2)，符合條件。B復(fù)數(shù)(z=\cos60^\circ+i\sin60^\circ)的輻角主值即為(60^\circ)。B(\overline{z_2}=2+3i)，(z_1\cdot\overline{z_2}=(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=2+5i-3=-1+5i)？（注：此處原答案有誤，正確計(jì)算應(yīng)為((1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=2+5i-3=-1+5i)，故正確選項(xiàng)為A。）二、填空題(2i)((1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i)。(2\sqrt{2}(\cos135^\circ+i\sin135^\circ))模(r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2})，輻角主值(\theta=180^\circ-45^\circ=135^\circ)。(1-\frac{4}{3}i)設(shè)(z=x+yi)，則(\overline{z}=x-yi)，代入方程得：((x+yi)+2(x-yi)=3x-yi=3+4i\Rightarrowx=1)，(y=-4)？（注：原方程應(yīng)為(3x-yi=3+4i\Rightarrowx=1)，(-y=4\Rightarrowy=-4)，故(z=1-4i)。）(3-4i)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為((3,-4))，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(3-4i)。(\pm2i)設(shè)(z=a+bi)，則((a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=-4\Rightarrowa=0)，(b^2=4\Rightarrowb=\pm2)。(c)，(d)復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部與虛部分別相等。三、解答題（1）原式(=(3-3i+2i-2i^2)+(4-4i+i^2)=(3-i+2)+(4-4i-1)=(5-i)+(3-4i)=8-5i)；（2）原式(=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)。由(|z|=5)得(x^2+y^2=25)，(z-3=(x-3)+yi)為純虛數(shù)，則(x-3=0)且(y\neq0\Rightarrowx=3)，代入得(y^2=16\Rightarrowy=\pm4)，故(z=3+4i)或(3-4i)。（1）點(diǎn)(C)的坐標(biāo)為(\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+(-1)}{2}\right)=(2,0.5))，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(2+0.5i)；（2）(|AB|=|z_2-z_1|=|(3-i)-(1+2i)|=|2-3i|=\sqrt{13})，點(diǎn)(C)到(AB)的距離為0（因(C)為中點(diǎn)），面積為0？（注：正確思路應(yīng)為利用向量叉積或坐標(biāo)法計(jì)算面積，此處修正為：(A(1,2))，(B(3,-1))，向量(\overrightarrow{AB}=(2,-3))，向量(\overrightarrow{AC}=(1,-2.5))，面積(=\frac{1}{2}|2\times(-2.5)-(-3)\times1|=\frac{1}{2}|-5+3|=1)。）（1）(z_1\cdotz_2=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)=\cos90^\circ+i\sin90^\circ)，輻角主值為(90^\circ)；（2）幾何意義：(z_1\cdotz_2)對(duì)應(yīng)的向量是將(z_1)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(\beta=60^\circ)，模長(zhǎng)相乘（此處模長(zhǎng)均為1，故模長(zhǎng)不變）。四、附加題由(z^3=1\Rightarrow(z-1)(z^2+z+1)=0)，因(z\neq1)，故(z^2+z+1=0\Rightarrow1+z+z^2=0)。設(shè)(z=x+yi)，則(x^2+y^2=4)，(|z+1+i|=\sqrt{(x+1)^2+(y