專(zhuān)題62事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

知

考綱要求

識(shí)

考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題型一：相互獨(dú)立事件與互斥事件

題

題型二：獨(dú)立事件的乘法公式

型

題型三：計(jì)算條件概率

歸

類(lèi)題型四：條件概率性質(zhì)的應(yīng)用

題型五：利用全概率公式求概率

題型六：利用貝葉斯公式求概率

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測(cè)

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1:解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.

2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.相互獨(dú)立事件

(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件4與如果P(AB)=P(A)P(8),則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)

稱(chēng)為獨(dú)立.

(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與3_,A與8,A與5也都相互獨(dú)立.

2.條件概率

P/AD)

(1)概念：一般地，設(shè)A,8為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,我們稱(chēng)P(8|A)=而7?「為在事件A

1xZ1/

發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.

(2)兩個(gè)公式

①利用古典概型，P(8|A)=〃(管)；

IIX/

②概率的乘法公式：P(A8)=P(A)P(B|4).

3.全概率公式

一股地，設(shè)4,Az,…，A〃是一組兩兩互斥的事件，4UA2U???LM〃=。，且P(4)>0,i=l,

2,…，〃，則對(duì)任意的事件8G。，有P(B)=￡P(guān)(Ai)P(8如)，我們稱(chēng)上面的公式為全概

率公式.

【常用結(jié)論】

p(

1.計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)=外,還可以利用縮減公式法，即P(B|A)=

I7

〃票,其中〃(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，〃(AB)為事件A8包含的樣本點(diǎn)數(shù).

nz

2.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在

不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.

【方法技巧】

1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法

(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.

2.求條件概率的常用方法

p(AB)

(1)利用定義，分別求P(A)和P(A8),得P(Wl)=p(A).

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)〃(A),再在事件A發(fā)生的條件下求

事件區(qū)包含的基本事件數(shù)，即〃(45),得P(陰A)=

3.利用全概率公式的思路

(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件A&=1,2,…，〃)；

(2)求P(4)和所求事件8在各個(gè)互斥事件4發(fā)生條件下的概率P(B\Ai);

(3)代入全概率公式計(jì)算.

二、【題型歸類(lèi)】

【題型一】相互獨(dú)立事件與互斥事件

【典例1】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))A、8為兩個(gè)事件，下列說(shuō)法正確的是()

【解析】【答案】BCD

所以，后相互獨(dú)立，故A、8相互獨(dú)立，B對(duì)；

故選：BCD.

【解析】【答案】BD

故選:BD.

【典例3】（2023?湖南常德?統(tǒng)考i模）以下說(shuō)法正確的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位數(shù)為95

C.相關(guān)系數(shù)/?的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)

【解析】【答案】ACD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解；

對(duì)于B選項(xiàng)：結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)即可求解；

對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；

對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)互斥事件的定義和事件的相互獨(dú)立性即可求解.

對(duì)于C選項(xiàng)：若兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)〃的絕對(duì)值越接近于1，所以

C選項(xiàng)正確；

則事件A與B相互獨(dú)立，所以事佇A與8不互斥，所以D選項(xiàng)正確；

故選：ACD.

【題型二】獨(dú)立事件的乘法公式

【典例1】（2023?湖北?武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6,5,7,9,6,8,9,9,7,5,

這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8

【解析】【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,利用百分位數(shù)的定義判斷即可；對(duì)于B,利用對(duì)立事件和條件概率的公式，結(jié)合獨(dú)立事件

的定義判斷即可；對(duì)于C,根據(jù)隨機(jī)變量的均值與方差公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；對(duì)于D,

利用正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)判斷即可.

故選：BCD.

【典例2】（2023?吉林?統(tǒng)考一模）口袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的白球和黑球各2個(gè)，從中不放問(wèn)的依次

取出2個(gè)球，事件A="取出的兩球同色“，事件8="第一次取出的是白球”,事件C="第二次取出的是白球”，

事件。=”取出的兩球不同色〃，則（）

C.A與3相互獨(dú)立D.A與?；閷?duì)立

【解析】【答案】ACD

【分析1利用古典概型的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的事件的概率即可判斷A,根據(jù)互斥事件的概率即可判斷B,

【詳解】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件A,3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之枳為偶數(shù)為事件4,

故選:C.

【解析】【答案】C

故選：C.

【題型四】條件概率性質(zhì)的應(yīng)用

【典例1】（2023?新疆?校聯(lián)考二模）下列有關(guān)事件的說(shuō)法正確的是（）

B.事件A,8中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A,8中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義，條件概率的定義判斷.

對(duì)于B,若事件A和8都為不可能事件，則B錯(cuò)誤；

故選：C.

【典例2*2023?云南昆明?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)化回答技術(shù)是為調(diào)查敏感性問(wèn)題特別設(shè)計(jì)的問(wèn)卷調(diào)查技術(shù)，

其基本特征是被調(diào)查者對(duì)所調(diào)查的問(wèn)題采取隨機(jī)回答的方式，避免在沒(méi)有任何保護(hù)的情況下宜接回答敏感

性問(wèn)題，從而既對(duì)被調(diào)查者的隱私和秘密加以保護(hù)，又能獲得所需要的真實(shí)信息.某公司為提升員工的工

作效率，規(guī)范管理，決定出臺(tái)新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對(duì)新方案是否滿(mǎn)意，決定

采取如下隨機(jī)化回答技術(shù)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查：所有員工每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，約定"若結(jié)果為一次

正面朝上一次反面朝上，則按①回答問(wèn)卷，否則按②回答問(wèn)卷、

①：若第一次拋擲硬幣出現(xiàn)正面朝上，則在問(wèn)卷中畫(huà)“V”,否則畫(huà)"X”：

?：若你對(duì)新考勤管理方案滿(mǎn)意，則在問(wèn)卷中畫(huà)，〃，否則畫(huà)"X".

當(dāng)所有員工完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫(huà)V,畫(huà)x的比例為3：2,用頻率估計(jì)概率，則該公司員工對(duì)考勤管理方

案的滿(mǎn)意率為（）

A.50%B.60%C.70%D.80%

【解析】【答案】C

【分析】計(jì)算出回答①對(duì)于畫(huà)V號(hào)的貢獻(xiàn)率，進(jìn)而得到回答②對(duì)于畫(huà)V號(hào)的貢獻(xiàn)率，由貝葉斯概率公式進(jìn)行

求解.

【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，共出現(xiàn)以下情況，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

共4種情況，

其中結(jié)果為一次正面朝上一次反面朝上為事件A,則共有2種情況滿(mǎn)足要求，

設(shè)回答②且畫(huà)V號(hào)為事件C，

故選:c

A3c9一3c3

A.B.C?-D.-

10020054

【解析】【答案】D

【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為2〃和〃，

設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件A,肥胖者為男性為事件5,

故選：D.

【題型五】利用全概率公式求概率

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)全概率公式列出關(guān)于〃m和P,之間的關(guān)系式，再利用基本不等式求解即可.

【詳解】第〃次就餐去“公寓食堂〃的概率為P”，第〃次就餐去“風(fēng)味餐廳〃的概率為統(tǒng)，

故選：C.

【典例2】（2023?云南大理?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）"狼來(lái)了"的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽(tīng)說(shuō)過(guò)：小孩第一次喊“狼來(lái)

了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第二次喊“狼來(lái)了〃，大家乂信了，但去了之后乂發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第

三次狼真的來(lái)了，但是這個(gè)小孩再喊狼來(lái)了就沒(méi)人信了.從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠(chéng)實(shí)的，

則他出于某種特殊的原因說(shuō)謊的概率為0.1：小孩是不誠(chéng)實(shí)的，則他說(shuō)謊的概率是0.5.最初人們不知道這

個(gè)小孩誠(chéng)實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠(chéng)實(shí)的概率是。9.已知第一次他說(shuō)謊了，那么他是誠(chéng)實(shí)的

小孩的概率是（）

A—B.&C.1D.2

571014

【解析】【答案】D

【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)事件A表示“小孩誠(chéng)實(shí)、事件8表示"小孩說(shuō)謊”，

故選：D

【典例3】（2023?廣東深圳??？级＃┮阎幪?hào)為1,2,3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，

一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球：2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2

號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放入球的

盒子中任取一個(gè)球，設(shè)事件A為第一次取出的球?yàn)閕號(hào)，事件均為第二次取出的球?yàn)??號(hào)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤

的是（）

【解析】【答案】C

【分析】利用條件概率及全概率公式即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析

故選：c

【題型六】利用貝葉斯公式求概率

【解析】【答案】D

C選項(xiàng)，利用條件概率公式求解即可.

故事件事件A與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤，D正確；

故迄D

【典例2】（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一堆蘋(píng)果中大果與小果的比例為9:1,現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩

選.已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為5%,把小果篩選為大果的概率為2%.經(jīng)過(guò)?輪篩選后，

現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果〃里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果〃是真的大果的概率為（）

【解析】］答案】A

【詳解】記事件A：放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為大果，事件4:放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為小果，

記事件5:水果分選機(jī)篩選的蘋(píng)果為“大果〃，

故選:A.

【解析】【答案】A

【分析】根據(jù)貝葉斯概率公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)用該瓜劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事件8,被檢測(cè)者患病為事件A,未患病為事件了，

故選：A.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】（2023?山西臨汾?校考模擬預(yù)測(cè)）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄

爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競(jìng)速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未

衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方.三

階魔方形狀通常是止方體，由有彈性的硬塑料制成.常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)

原.廣義的魔方，指各類(lèi)可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)打亂和復(fù)原的幾何體.魔方與華容道、法國(guó)的單身貴族（獨(dú)立鉆石

棋）并稱(chēng)為智力游戲界的三大不可思議.在2018WCA世界魔方芫湖公開(kāi)賽上，杜宇生以3.47秒的成績(jī)打破

了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動(dòng)的冠軍，并成為世界上第一個(gè)三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選

手.

3——2

⑴小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為小吳每局比賽獲勝的概率均為彳，

JJ

若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了X局比賽，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為C.5,若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽

的概率為0.6,若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5,為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝

制"還是"三局兩勝制〃？

【解析】【答案】⑴分布列見(jiàn)解析；黑

（2）小王應(yīng)選擇“五局三勝制”

【分析】（1）依題意得到X的可能取值，再利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式求得其對(duì)應(yīng)的概率，從而

得解；

（2）分類(lèi)討論小王不同選擇下對(duì)應(yīng)的獲勝概率，從而得解.

【詳解】（1）因?yàn)椴捎萌謨蓜僦?，所以X的可能取值為2,3,

所以X的分布列為：

（2）若小王選擇"三局兩勝制〃，

則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝；

若小王選擇"五局三勝制”，

則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負(fù)勝；勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝勝；勝勝負(fù)負(fù)勝；勝負(fù)勝負(fù)勝；勝負(fù)負(fù)勝勝；

負(fù)負(fù)勝勝勝；負(fù)勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝負(fù)勝；

所以小王應(yīng)選擇"五局三勝制

【訓(xùn)練二】（2023?河北?石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某排球教凍帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練排球

的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動(dòng)員，然后該運(yùn)動(dòng)員再傳回教練.每次教練接球

后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動(dòng)員，則這次有（I的概率再傳給該運(yùn)動(dòng)員，有2;的概率傳給另

一位運(yùn)動(dòng)員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動(dòng)員，且教練第"次傳球傳給甲運(yùn)動(dòng)員的概率為幾.

⑴求〃2，〃3；

（2）求幾的表達(dá)式:

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件和獨(dú)立事件概率公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件概率公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；

（3）利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式進(jìn)行證明即可.

【訓(xùn)練三】（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做

傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的

任何一人，每次必須將球傳出.

⑴記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

①直接寫(xiě)出片，區(qū),6的值；

【解析】【答案】⑴分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為L(zhǎng)8

【分析】1）由離散型隨機(jī)變量的分布列可解;

【詳解】（1）X的所有可能取值為1,2,3.則

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

記人表示事件“經(jīng)過(guò)〃次傳球后，球在甲手中

⑴小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題

得5分的概率為《，求P；

（2）①

【分析】⑴根據(jù)條件概率事件求解即可；

（2）分別分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根據(jù)得分情況選擇方案；

【詳解】（1）記一道多選題”有2個(gè)選項(xiàng)正確〃為事件A，"有3個(gè)選項(xiàng)正確〃為事件4,"小明該題得5分”

為事件B,

（2）若小明選擇方案①，則小強(qiáng)的得分為2分.

⑴若第二題只選了“C一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望;

（2）求第〃題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；

【解析】【答案】⑴分布列見(jiàn)解析；y

⑶證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）設(shè)JL件表示正確選項(xiàng)為2個(gè)，J1件G表示正確選項(xiàng)為3個(gè),

設(shè)事件C表示選項(xiàng)“C為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變曷X表示第二題得分.

依趣得，X可能取值為0,2.

所以X的分布列為：

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高中階段的馬爾科夫鏈類(lèi)型的概率問(wèn)題解決關(guān)鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式,

然后用數(shù)列手段去處理求解.

【訓(xùn)練六】（2023?湖南郴州?統(tǒng)考一模）隨著春季學(xué)期開(kāi)學(xué)，郴州市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全

管理，助力推廣校園文明餐桌行劭，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌〃帶動(dòng)“大文明〃，同時(shí)踐行綠

色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每大都會(huì)提供48兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)

統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇人套餐的概率為:，選擇從套餐的概率為!.而前一天選擇了人套餐的學(xué)生

第二天選擇4套餐的概率為：，選擇4套餐的概率為:；前一天選擇〃套餐的學(xué)生第二天選擇人套餐的概

44

率為;，選擇B套餐的概率也是:，如此往復(fù).記同學(xué)甲第〃天選擇/?套餐的概率為2.

⑴求同學(xué)甲第二天選擇8套餐的概率；

【解析】【答案】⑴:

⑵證明見(jiàn)解析

（3）33

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解;

則A="第1天不選擇"套安”

12

由題意可得：同學(xué)甲第二天選擇4類(lèi)套餐的概率為g，則不選擇4類(lèi)套餐的概率為彳，

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.（2023?江西撫州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一袋中有大小相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)

球，記事件A:“3個(gè)球中至少有一個(gè)自球〃，事件8:“3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球“，事件C:"3個(gè)球中有紅球也

有白球"，下列結(jié)論不正確的是（）

A.事件A與事件。不為互斥事件B.事件A與事件C不是相互獨(dú)立事件

【解析】【答案】D

【分析】根據(jù)題意，取出的3個(gè)球的可能情況為：3個(gè)紅球：1個(gè)紅球2個(gè)白球；2個(gè)紅球1個(gè)白球；3個(gè)白

球，進(jìn)而依次分析事件A、事件5、事件C,及其概率，再討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，取出的3個(gè)球的可能情況為：3個(gè)紅球；1個(gè)紅球2個(gè)白球；2個(gè)紅球1個(gè)白球；3個(gè)白

球.

故選：D.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)事件互斥，對(duì)立，獨(dú)立的關(guān)系得出即可.

故選:C

3.（2021?山東泰安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在17世紀(jì)，有兩個(gè)賭徒向法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊爾?帕斯卡提出了這樣一

個(gè)問(wèn)題：他們二人賭博，采用五局三勝制，賭資為400法郎.賭了三局后，甲贏了2局，乙贏了1局，時(shí)

間很晚了，他們都不想再賭下去了，但是他們期望獲得部分賭貨，數(shù)學(xué)期望這個(gè)詞由此而牛..假設(shè)每局兩

賭徒獲勝的概率相等，每局輸贏相互獨(dú)立，那么這400法郎比較合理的分配方案是（）

A.甲200法郎，乙200法郎B.甲300法郎，乙100法郎

C.甲250法郎，乙150法郎D.甲350法郎，乙50法郎

【解析】【答案】B

【分析】分別求甲、乙獲勝的概率，根據(jù)概率計(jì)算兩人賭資的分配方法.

故選：B

【解析】【答案】B

【詳解】依題意，甲，乙隨機(jī)選擇一條線(xiàn)路去研學(xué)的試驗(yàn)有32個(gè)基本事件,

故選:B

【解析】【答案】A

【分析】根據(jù)條件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.

故選:A.

I299

A.-B.-C.—D.—

552520

【解析】【答案】B

故選:B.

7.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知有兩箱書(shū)，第一箱中有3本故事書(shū)，2本科技書(shū)；第二箱中有2

本故事書(shū)，3本科技書(shū).隨機(jī)選取一箱，再?gòu)脑撓渲须S機(jī)取書(shū)兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第

一次取到科技書(shū)的條件卜，第二次取到的也是科技書(shū)的概率為（）

1127

A.-B.—C.-D.—

410512

【解析】【答案】C

故選：C

8.（2023?湖北武漢?湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為2:1,

貨車(chē)中途停車(chē)修理的概率為0.02,客車(chē)為0.01,今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，則該汽車(chē)是貨車(chē)的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D,0.3

【解析】【答案】A

今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，該汽車(chē)是貨車(chē)的概率為：

故選：A

【多選題】

c.A與人相互獨(dú)立D.4與&相互獨(dú)立

【解析】【答案】ACD

【分析】根據(jù)占典概型概率公式計(jì)算概率判斷AB,根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義結(jié)合概率的求法判斷CD.

【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為-戶(hù)

故選：ACD.

10.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有紅、黃、綠三個(gè)不透明盒子，其中紅色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球和

一個(gè)綠球；黃色盒子內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，一個(gè)綠球；綠色盒子內(nèi)裝有三個(gè)紅球，兩個(gè)黃球.小明第一次先從

紅色盒子內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)球，將取出的球放入與球同色的盒子中；第二次從該放入球的盒子中隨機(jī)抽取一

個(gè)球.記抽到紅球獲得1塊月餅、黃球獲得2塊月餅、綠球獲得3塊月餅，小明所獲得月餅為兩次抽球所

獲得月餅的總和，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.在第一次抽到綠球的條件下，第二次抽到紅球的概率是g

B.第二次抽到紅球的概率是］

C.如果第二次抽到紅球，那么它來(lái)自紅色盒子的概率最大

D.小明獲得4塊月餅的概率是!

【解析】【答案】AC

【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出事件，根據(jù)題意求出概率；B選項(xiàng)，由全概率公式求出答案；C選項(xiàng)，由貝葉斯公式

求出答案；D選項(xiàng)，小明獲得4塊月餅可能的情況有二種，求出對(duì)應(yīng)的概率，相加后得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，記紅球?yàn)?,黃球?yàn)?,綠球?yàn)?,

故A正確.

C選項(xiàng)，依題意，第二次的球來(lái)自與第一次取的球的顏色相同的盒子，

故在第二次抽到紅球的條件下，它來(lái)自紅色盒子的概率最大，故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，小明獲得4塊月餅可能的情況有三種：

故選：AC.

【解析】【答案】AB

【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.

故選:AB.

12.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某市場(chǎng)供應(yīng)多種品牌的N95口罩，相應(yīng)的市場(chǎng)占

有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表：

品牌甲乙其他

市場(chǎng)占有率

優(yōu)質(zhì)率

【解析】【答案】AC

【分析】對(duì)于A,利用互斥事件的概率公式求解判斷，對(duì)于BD,由條件概率公式計(jì)算判斷，對(duì)于C,由全

概率公式計(jì)算判斷.

故選：AC

【填空題】

13.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)過(guò)程依次為進(jìn)貨檢驗(yàn)（IQC）、生產(chǎn)過(guò)程檢驗(yàn)（IPQC）、

出貨檢驗(yàn)（OQC）三個(gè)環(huán)節(jié).已知某產(chǎn)品IQC的單獨(dú)通過(guò)率為:，IPQC的單獨(dú)通過(guò)率為規(guī)定上一類(lèi)檢

54

驗(yàn)不通過(guò)則不進(jìn)入下一類(lèi)檢驗(yàn)，未通過(guò)可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次（修復(fù)后無(wú)需從頭檢驗(yàn)，通過(guò)率不變且每類(lèi)檢

驗(yàn)最多兩次），且各類(lèi)檢驗(yàn)間相互獨(dú)立，則一件該產(chǎn)品能進(jìn)入OQC環(huán)節(jié)的概率為.

Q

【解析】【答案】^/0.9

【分析】利用獨(dú)立事件和互斥事件概率求解即可.

9

故答案為：—.

14.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）1886年5月1日，芝加哥的二十一萬(wàn)六千余名工人為爭(zhēng)取實(shí)行八小時(shí)

工作制而舉行大罷工，經(jīng)過(guò)艱苦的流血斗爭(zhēng)，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運(yùn)動(dòng)，1889年7月由

恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的笫二國(guó)際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國(guó)際勞動(dòng)節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安

排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，己知甲在五一長(zhǎng)假期間值

班2天，則甲連續(xù)值班的概率是

【解析】【答案】*04

【詳解】設(shè)4="甲在五一假期值班兩天"，8="甲連續(xù)值班”，

因?yàn)橐阎自谖逡婚L(zhǎng)假期間值班2天，

所以丙和乙分別值班一天、兩天或兩天、一天，

又因?yàn)榧自谖逡婚L(zhǎng)假期間連續(xù)值班兩天，可以是第1,2兩天或第2,3兩天或第3,4兩天或第4,5兩天，

2

故答案為：

1Q

【解析】【答案】0.38琮

【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.

故答案為：0.38.

【解析】【答案】

oU

【分析】先求得這個(gè)學(xué)生來(lái)自每個(gè)學(xué)校并且選擇了物理的概率，最后由分類(lèi)加法算出總概率.

【詳解】設(shè)：事件A：這個(gè)學(xué)生來(lái)自甲學(xué)校；事件3：這個(gè)學(xué)生來(lái)自乙學(xué)校；事件C：這個(gè)學(xué)生來(lái)自丙學(xué)校；

事件R：甲學(xué)校學(xué)生選了物理；事件。2：乙學(xué)校學(xué)生選了物理；事件鼻：丙學(xué)校學(xué)生選了物理；

47

故答案為：—.

Ov

【解答題】

17.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考一模）某學(xué)校組織競(jìng)賽，有A,B,C三類(lèi)問(wèn)題可供選擇，其中4問(wèn)題答對(duì)可得5

分，答錯(cuò)。分，8問(wèn)題答對(duì)只可得3分，但答錯(cuò)只有2分，C問(wèn)題答對(duì)得4分，答錯(cuò)。分，現(xiàn)小明與小紅參

加此競(jìng)賽，小紅答對(duì)3種問(wèn)題的概率均為0.5,小明答對(duì)A,8,C問(wèn)題的概率分別為0.3,0.7,0.5.

⑴小紅一共參與回答了3題，且該3題分為為A、4和C這3類(lèi)題，記X為小紅的累計(jì)得分，求X的分布列；

⑵小明也參與回答了3道問(wèn)題，3道問(wèn)題可以是同一類(lèi)，也可以不是同一類(lèi)，記丫為小明的累計(jì)得分，求該

如何分配問(wèn)題，使得最大.

【解析】【答案】⑴

X236781112

11111

P

8884888

（2）3道題均為8類(lèi)

【分析】（1）列出X的所有可能取值，計(jì)算出X各值的概率即可列出分布列;

（2）列出所有選擇情況，計(jì)算比較即可；

【詳解】（1）X的可能取值為2、3、6、7、8、11、12、，

所以X的分布列為：

X236781112

111112

P

8884888

若3道題分別為A、A.B.

若3道題分別為A、A、C,

若3道題分別為〃、B、A,

若3道題分別為4、B、C,

若3道題分別為C、C、A,

若3道題分別為C、C、8,

若3道題分別為A、B、C,

⑴求恰好在兩輪比賽后比賽結(jié)束的概率；

（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，共進(jìn)行了X輪比賽，且當(dāng)進(jìn)行了四輪比賽后仍無(wú)人贏得比賽則通過(guò)抽簽決出勝負(fù)，不再

進(jìn)行第五輪比賽，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，

【解析】【答案】⑴舁

【分析】（1）求出在一蛇比賽中，無(wú)人贏得兩場(chǎng)比賽的概率，進(jìn)而求出恰好在兩輪比賽后比賽結(jié)束的概率;

【詳解】（1）設(shè)在一輪比賽中，無(wú)人贏得兩場(chǎng)比賽為事件A,恰好在兩輪比賽后比賽結(jié)束事件為8,

事件A包含兩種情況，一是甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲，二是乙勝甲，甲勝丙，丙勝乙，

事件8則表示第一輪比賽無(wú)人贏得兩場(chǎng)比賽，第二輪比賽有人羸得兩場(chǎng)比賽，

所以X的分布列為：

X1234

1365

P

324

19.（2023?廣東?統(tǒng)考二模）多巴E安是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開(kāi)心的信息.近期很火的多巴胺穿

搭是指通過(guò)服裝搭配來(lái)營(yíng)造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過(guò)色彩艷麗的時(shí)裝調(diào)動(dòng)正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)

想〃小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用"抽小球''的方式?jīng)Q

定衣物顏色，現(xiàn)有一個(gè)箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取

出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅

色，再選連衣裙的可能性為0.6,而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為05

⑴寫(xiě)出小李同學(xué)抽到紅球個(gè)數(shù)的分布列及期望；

（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.

【解析】【答案】⑴分布列見(jiàn)解析，!

【詳解】（1）設(shè)抽到紅球的個(gè)數(shù)為X,則X的取值可能為4,3,2,

所以X的分布列為：

X432

182

P

L5

（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則,表示穿藍(lán)色衣物，8表示穿連衣裙，則后表示穿套裝.

所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為1今4.

20.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）為了增強(qiáng)中學(xué)生的體質(zhì)、豐富中學(xué)生的課余生活，某中學(xué)開(kāi)設(shè)了籃球、足球、

排球、羽毛球四種球類(lèi)運(yùn)動(dòng)社團(tuán)，要求每位學(xué)牛每周必須詵釋參加兩種運(yùn)動(dòng)社團(tuán).若該學(xué)期共有20周，現(xiàn)

對(duì)甲、乙兩名同學(xué)每周選擇參加的運(yùn)動(dòng)社團(tuán)組合情況及周數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

周數(shù)

學(xué)生

12周6周2周

甲籃球、