2025年多元函數(shù)求導(dǎo)題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題（總共10題，每題2分）1.設(shè)函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2，則f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的梯度向量是？A.(2,2)B.(1,1)C.(4,4)D.(0,0)答案：A2.設(shè)函數(shù)g(x,y)=xy，則g(x,y)在點(diǎn)(2,3)處的偏導(dǎo)數(shù)g_x(2,3)是？A.2B.3C.6D.5答案：C3.設(shè)函數(shù)h(x,y)=e^(x+y)，則h(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)h_y(0,0)是？A.1B.eC.0D.2答案：A4.設(shè)函數(shù)k(x,y)=ln(x^2+y^2)，則k(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的梯度向量是？A.(1,1)B.(2,2)C.(1/2,1/2)D.(0,0)答案：B5.設(shè)函數(shù)m(x,y)=sin(x)cos(y)，則m(x,y)在點(diǎn)(π/4,π/4)處的偏導(dǎo)數(shù)m_x(π/4,π/4)是？A.0B.1C.-1D.√2/2答案：D6.設(shè)函數(shù)n(x,y)=x^3-3xy^2，則n(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù)n_y(1,1)是？A.-6B.6C.-3D.3答案：A7.設(shè)函數(shù)p(x,y)=tan(x+y)，則p(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的梯度向量是？A.(1,1)B.(0,0)C.(cos(0),cos(0))D.(sin(0),sin(0))答案：A8.設(shè)函數(shù)q(x,y)=x^2y^3，則q(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù)q_y(1,1)是？A.6B.3C.9D.12答案：A9.設(shè)函數(shù)r(x,y)=arctan(x/y)，則r(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的梯度向量是？A.(1,-1)B.(0,0)C.(1/2,-1/2)D.(1,1)答案：C10.設(shè)函數(shù)s(x,y)=x^2+y^2-2xy，則s(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù)s_x(1,1)是？A.0B.2C.-2D.4答案：A二、多項(xiàng)選擇題（總共10題，每題2分）1.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處可微？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,C2.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處梯度向量不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,C,D3.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,B,C4.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,B,C,D5.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(π/4,π/4)處梯度向量不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,C,D6.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)存在？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,B,C,D7.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處梯度向量不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：C8.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,B,C,D9.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(π/4,π/4)處梯度向量不為零？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,C,D10.下列哪些函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)存在？A.f(x,y)=x^2+y^2B.g(x,y)=xyC.h(x,y)=e^(x+y)D.k(x,y)=ln(x^2+y^2)答案：A,B,C,D三、判斷題（總共10題，每題2分）1.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(0,0)處可微。答案：正確2.函數(shù)g(x,y)=xy在點(diǎn)(0,0)處梯度向量為零。答案：正確3.函數(shù)h(x,y)=e^(x+y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在。答案：正確4.函數(shù)k(x,y)=ln(x^2+y^2)在點(diǎn)(1,1)處梯度向量為(2,2)。答案：正確5.函數(shù)m(x,y)=sin(x)cos(y)在點(diǎn)(π/4,π/4)處偏導(dǎo)數(shù)m_x(π/4,π/4)為√2/2。答案：正確6.函數(shù)n(x,y)=x^3-3xy^2在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)n_y(1,1)為-6。答案：正確7.函數(shù)p(x,y)=tan(x+y)在點(diǎn)(0,0)處梯度向量為(1,1)。答案：正確8.函數(shù)q(x,y)=x^2y^3在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)q_y(1,1)為6。答案：正確9.函數(shù)r(x,y)=arctan(x/y)在點(diǎn)(1,1)處梯度向量為(1/2,-1/2)。答案：正確10.函數(shù)s(x,y)=x^2+y^2-2xy在點(diǎn)(1,1)處偏導(dǎo)數(shù)s_x(1,1)為0。答案：正確四、簡答題（總共4題，每題5分）1.解釋什么是多元函數(shù)的梯度向量，并舉例說明。答案：多元函數(shù)的梯度向量是一個(gè)向量，其分量是該函數(shù)對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)。梯度向量的方向是函數(shù)值增加最快的方向。例如，函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(1,1)處的梯度向量為(2,2)，表示在該點(diǎn)函數(shù)值增加最快的方向是沿著向量(2,2)。2.解釋什么是多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并舉例說明。答案：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)對(duì)一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，而其他變量視為常數(shù)。例如，函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù)f_x(1,1)為2，表示在該點(diǎn)函數(shù)值沿x方向增加的速率。3.解釋什么是多元函數(shù)的可微性，并舉例說明。答案：多元函數(shù)的可微性是指函數(shù)在某點(diǎn)附近可以用一個(gè)線性函數(shù)來近似。例如，函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(1,1)處可微，因?yàn)樵谠擖c(diǎn)附近可以用線性函數(shù)2x+2y來近似。4.解釋什么是多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，并舉例說明。答案：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t是用來計(jì)算復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。例如，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)，其中x=g(t)，y=h(t)，則z對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為z_t=f_xg_t+f_yh_t。例如，設(shè)z=x^2+y^2，x=t，y=t^2，則z對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為2t+4t^3。五、討論題（總共4題，每題5分）1.討論多元函數(shù)的梯度向量和偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。答案：多元函數(shù)的梯度向量是由各變量的偏導(dǎo)數(shù)組成的向量，梯度向量的方向是函數(shù)值增加最快的方向。偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)沿某一變量方向的變化率，梯度向量的各分量正是對(duì)應(yīng)變量的偏導(dǎo)數(shù)。因此，梯度向量和偏導(dǎo)數(shù)之間有密切的關(guān)系，梯度向量可以看作是偏導(dǎo)數(shù)的向量表示。2.討論多元函數(shù)的可微性和偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系。答案：多元函數(shù)的可微性意味著函數(shù)在某點(diǎn)附近可以用一個(gè)線性函數(shù)來近似，而偏導(dǎo)數(shù)存在只是可微性的必要條件，不是充分條件。也就是說，如果函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微，但如果函數(shù)在某點(diǎn)可微，則該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)一定存在。3.討論多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t在什么情況下使用，并舉例說明。答案：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t主要用于計(jì)算復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)函數(shù)是多個(gè)變量的函數(shù)，而這些變量又是其他變量的函數(shù)時(shí)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t來計(jì)算復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。例如，設(shè)z=f(x,y)，其中x=g(t)，y=h(t)，則z對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為z_t=f_xg_t