2024-2025學(xué)年高二第二學(xué)期期末調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試

卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

若集合“小陣小N={T。"則即'=()

A.{0}R{-1,0}C{0,2}D.{-1,0,2)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集的概念，可得答案.

【詳解】由知=卜卜區(qū)1}二卜卜1工工41},則/cN={-l,0}.

故選：B.

2.復(fù)數(shù)z=上?在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.

、、4-3i(43i)(l2i)-2-1li211.

［詳解］因?yàn)閆=-—―=-r"~~=~~~—1?

1+21(1+21)(1-21)555

所以，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.

故選：C.

3.用4種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂法有()種

【答案】D

【解析】

【分析】按照②-③-①-④分步進(jìn)行即可，計(jì)算出每個(gè)區(qū)域的涂色種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得

結(jié)果.

【詳解】區(qū)域②有4種選擇，區(qū)域③有3種選擇，區(qū)域①和④各有2種選擇，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂法種數(shù)為4x3x2x2=48種.

故選:D.

4.^-4]展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.40B.60C.80D.120

【答案】B

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式定理寫(xiě)出括號(hào)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，利用賦值法，可得答案.

【詳解】叫x—彳的展開(kāi)式通項(xiàng)為&]=晨尸-彳=晨（-2）「產(chǎn)%

則令6—3〃=0,即1=2,常數(shù)項(xiàng)為7；=C：x（—2『=60.

故選：B.

5.如果隨機(jī)變量X~N（2,『），且p（X40）=0.3,則P（XK4）=（）

A.0.3B.0.4C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】利用正態(tài)密度曲線的對(duì)?稱(chēng)性可求得P（X<4）的值.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X~N（2.b2）,且P（XK0）=0.3,

則P（XK4）=l-P（XN4）=l-P（X<0）=l-0.3=0.7.

故選：C.

6.在正方體—中，Q為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段。石上，且

BM=-BA.,B,N=-B,D.,則MN與BP（）

33

A平行B.垂直

C.所成的角的余弦值為:D.所成的角的余弦值為與

3

【答案】A

【解析】

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為工、N、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空

間向量法可得出結(jié)果.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、DC.?？谒谥本€分別為x、丁、z軸建立如下圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

（3

不妨設(shè)正方體ABC。-44GQ的校長(zhǎng)為3,則笈（3,3,0）、M（3,2J）,N（2,2,3）、P彳,3,3

___/3、__3

麗=（-1,0,2）,--,0,3,故旃=一而，結(jié)合圖形可知3P〃MN,

I2/2

故選：A.

7.甲盒中有3道代數(shù)題和4道幾何題，乙盒中有1道代數(shù)題和2道幾何題.現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)抽取2道題放

入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)抽取2道題，則從乙盒中取出的是2道幾何題的概率為（）

【答案】C

故C]Q=wA。，^c,QN=TX-AGX,C[BIxsinNA]G8[=—,

■JJ1J

故四邊形4QNM的面積s=9$"*,

]11414

故四棱錐A-A內(nèi)NQ的體積為M=-S1-M=-x-SWi-M=-V4flC_A/?iCi,

設(shè)矩形3CG4的面積為s2,

故SR.WV=-B、N?B、M——x—B[C]x—B,B=—S，

2??23??2?612

=

故匕-用MNTS4VN.A5=—VA-CBKJ

~>V/

又匕-A4G=§匕sc-A4G，故匕-CHS1G=§匕IBC-A與G，

=X

故匕-B1MzTT匕8C-AMG=Q匕8C-'B￡，

匕

14一

=19一

胚fG

故小部分幾何體的體積等于乂+VA/MN.t.

4545

凱…G=*

故大部分幾何體的體積等于匕BCfM-

故小部分的體積和大部分的體積匕為7T.

26

故選：A

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)。、夕、7表示三個(gè)不同的平面，/〃、〃表示兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若機(jī)//a,n/!a,則m//n

B.若m//a,n.La,則〃2_Ln

C.若a_L〃，m1p,maa,則m//a

D.若a-Ly,。Ly,a。/=相，則m_L7

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用線面、線線的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用線面平行的性質(zhì)定理可判斷B選項(xiàng)；利用線面平

行和線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C選項(xiàng)；利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若若〃z//a,nila,則川、〃平行、相交或異面，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃〃/。，過(guò)直線加作平面夕，使得ac/=a,

由線面平行的性質(zhì)定理可知4〃m，因?yàn)椤╛La,aua,則〃J_〃，故〃?J_〃，B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，若a上0,m10,maa,設(shè)ac4=a,

在平面。內(nèi)作直線〃_L。，由面面垂直的性質(zhì)定理可得〃，力,

因?yàn)橄郷1_4，故〃?〃??,因?yàn)椤?<Za,〃ua,故帆//a,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示:

因?yàn)閍_Ly,QJLy,ar\P=m,

設(shè)ac/=〃，在平面a內(nèi)作異于直線，〃的直線〃，使得〃_!_〃，

由面面垂直性質(zhì)定理得〃由C選項(xiàng)可知〃〃?，

因?yàn)椤╱a,aQ/?=w,則〃〃加，故機(jī)_L/,D對(duì).

故選：BCD.

10.用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字，可以組成()

A.180個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B.75個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為奇數(shù)的三位數(shù)

C.3()個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù)D.480個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比130()大的四位數(shù)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)分步乘法原理，由選項(xiàng)中的限制條件，逐項(xiàng)計(jì)算，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,無(wú)重復(fù)數(shù)學(xué)的三位數(shù)的情況數(shù)為6x6x5=180,故A正確；

對(duì)于B,為奇數(shù)的三位數(shù)的個(gè)位可選的數(shù)字有1,3,5,則無(wú)重復(fù)數(shù)學(xué)且為奇數(shù)的三位數(shù)的情況數(shù)為

3x5x5=75,故B正確；

對(duì)于C,能被25整除的四位數(shù)的最后兩位有25,50,則無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù)的情況數(shù)有

4x4+5x4=36,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)千位比1大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的情況數(shù)有5x6x5x4=600；

當(dāng)千位為1且百位比3大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的情況數(shù)有1x3x5x4=60；

當(dāng)千位為1、百位為3且十位比0大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的情況數(shù)有1x1x4x4=16；

當(dāng)千位為1、百位為3、十位為0且個(gè)位比0大的無(wú)重好數(shù)字的四位數(shù)的情況數(shù)有4.

綜上可得600+60+16+4=680,故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

11.在長(zhǎng)方體ABCD-AgGR中，AA,=8,底面ABC。是邊長(zhǎng)為3的正方形，AE=AM（O<A<1）,

則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.V2G[0,1],三棱錐僅一ECD的體積是定值

B.當(dāng)成?星=0時(shí)，，存在唯一的/I使得。七_(dá)1_平面口。盧

C.尸為棱。已的中點(diǎn)，當(dāng)/=■!■時(shí)，△8E廠的周長(zhǎng)取最小值

4

D.當(dāng)直線。4與CE所成角的余弦值為回2時(shí)，見(jiàn)的值為延

4110

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用錐體體積公式可判斷A選項(xiàng)：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、DC.?？诮⒖臻g直角坐標(biāo)系,

利用空間向量法可判斷BD選項(xiàng)；將平面ADRA延展為同一個(gè)平面，分析可知當(dāng)5、E、F三

點(diǎn)共線，BE+石尸取最小值，可得出48萬(wàn)尸的周長(zhǎng)取最小值，可判斷C選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)檐?4麗（0W4W1）,即點(diǎn)E在棱AR,則點(diǎn)E到平面CGQ。的距離等

于AO=3,

因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?；CO-O，=；x3x8=12,

故%-"=二%-5?4O=gxl2x3=12,A對(duì)：

對(duì)干B選項(xiàng)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA>DC、0A建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。（0,0,0）、￡（3,0,82）,A（0,0,8）、C,（0,3,8）,

則詼=（3,0,82）,9=（3,0,8之一8）,

因?yàn)楹?（0,3,0）,則瓦1?而*=0,所以DE上RG，

當(dāng)詼EC；=0時(shí)，DE上EC、,

因?yàn)锳GcEG=C，DG、EGu平面。GE,所以O(shè)E_L平面

因?yàn)镽Eu平面"GE,所以DE上RE,

則屣?庭=9+84（8/1—8）=6442-^4+9=0.

因?yàn)镺KzlKl,解得義二土?二且或％=匕笈，所以，存在兩個(gè)zl,使得DEJLRE,

88

因此當(dāng)屣?匿=0時(shí)，存在兩個(gè)％使得OE1,平面ACE,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，將平面48片4、延展為同一個(gè)平面，如下圖所示：

由題意可知，當(dāng)B、E、尸三點(diǎn)共線時(shí),

BE十石尸取最小值BF=yjBD2+DF2=A/62+42=2>/13，

因?yàn)锳E〃。尸，所以"二任=3=,，故故％二1,

DFBD6224144

在長(zhǎng)方體A3C。-4AGR中，當(dāng)時(shí)，4E+族取最小值，而的長(zhǎng)為定值，

4

此時(shí)戶的周長(zhǎng)取最小值，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng),由題意得。（0,0,0）、4（338）、。（0,3,0）、E（3,0,82）,

西=（3,3,8）,Cg=（3,-3,8A）,

回.西64/1165/2

所以cosDB1,CE|=

R3>/82XV64A24-1841

因?yàn)?W2W1,解得a=逑，D對(duì).

10

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.為了鑒定新疫苗的效力，將60只小白鼠隨機(jī)地分為兩組，在其中一組接種疫苗后，兩組都注射了病源

菌，其結(jié)果如下面的列聯(lián)表.根據(jù)此列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得才2=

發(fā)病未發(fā)病合計(jì)

接種32730

未接種171330

合計(jì)204060

參考公式：Z2=---------------—-，其中〃=

(a+b)(c+dX〃+c)(Z?+d)

【答案】14.7

【解析】

【分析】根據(jù)公式計(jì)算得解.

【詳解】26O(3xl3-27x17)23(13-9x17)"-

20x40x30x3040x100

故答案為：14.7

1

13.若+axx+a^x+…+4/",則q+4+…的值為.

【答案】11

【解析】

【分析】利用賦值法及二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)求解可得結(jié)果.

詳解】令戈=0,可得力=一1,

令工=1,可得%+/+%+…+4i=。.

由晨1=93~(-1)「可得，4=C；x(T)=Tl,卬=仁=1,

所以q++??,+4/y=0+1+11—1=11.

故答案為：11.

14.已知四面體A4C力中，DA=DB=DC=\,DAYDB^D4_LDC,且D4與平面ABC所成角的

余弦值為逅，則該四面體外接球的半徑為.

3

【答案】縣

2

【解析】

【分析】由題意證明出OA。。兩兩互相垂直，由題意可知四面體A8CD的外接球即為正方體的外接

球，求解外接球的半徑即可.

【詳解】因?yàn)閆M=O8=DC=1,DALDB,DAJLOC,所以48=AC=0，

如圖所示:

取8c的中點(diǎn)E，連接則3CJLAE,BC1DE,AE\]DE=Ef

所以平面AOE，作力O1AE于0,又BCJ_平面ADE，

2）0（=平面4力石，則BC工DO,AEcBC=E,

所以Z）O_L平面A8C,則—D4E是直線D4與平面ABC所成角,

即cosND4E=Y6,在直角三角形△?1￡中,

3

AE=-AO=-ADcosZDAE=-x\x—=—.

22232

則BE=./2--=—?BC=Q，則BC?=。82+。。2，故。3J.OC.

V22

所以DA,DB,DC兩兩互相垂直，四面體的外接球的半徑R='+1+1=2.

22

故答案為：@

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中有4個(gè)紅球、6個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出2個(gè)球作為樣本，用X

表示樣本中紅球的個(gè)數(shù).

（1）若有放回摸球，求X的分布列；

（2）若不放回摸球，求X的分布列.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由條件判斷X服從二項(xiàng)分布，運(yùn)用概率計(jì)算公式計(jì)算即得分布列；

（2）先由條件判斷X服從超幾何分布，由概率計(jì)算公式計(jì)算即得分布列.

【小問(wèn)1詳解】

若有放回摸球，每次摸到紅球的概率為之二且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的,

105

（2、

因此X?82,-.

<5，

（2丫，3丫-人

卅目七°」2

即P（X=0）=C；x（|）吟

P"）心|x|啥P（X=2）心（|卜

X的分布列為:

X012

9124

p

252525

【小問(wèn)2詳解】

若不放回摸球，則X服從超幾何分布,

2-k

故P（X=k）=\；A次=0,1,2,

工r1e0

2

P（x=o）=r°C15I

'745453

P（X=l）=哭啥唳=2）=塞/

X的分布列:

X012

\82

p

3T?15

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，$4=4+5,672?=2an+1.

（1）求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式：

11I

（2）求和：——+——+…+-----；

（3）若〃=2小，設(shè)％=4求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】（1）=2/2-1

⑵2

19

⑶（2〃-3）-2〃+3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)和公差，由此可得｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和可得結(jié)果;

（3）根據(jù)錯(cuò)位相減求和法可得結(jié)果.

【小問(wèn)I詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

44+6d=4+5d+5

依題意有“

q+（2〃-l）d=2々1+2（〃-l）d+l'

解得4=1,1=2,

所以=2〃-1.

【小問(wèn)2詳解】

]=]=j_/_!_______1_\

由①得,⑼山一（2〃一1）（2〃+1）-2\2n-\2n+ll，

1111（111

所以-----1------h…H-----=-X1----1------F

《勺azas2I335

【小問(wèn)3詳解】

由題意，%=。也=（2〃-1）2"“，

設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為（，

則7；=1X20+3X2、???+（2〃—1）X2"T,

27；=1x2+3x2?+…+（2〃-1）x2”，

4“一2'f

兩式相減得一］=1+22+2、…+2”-（2〃-1）?2"=1+」------^-（2〃-1）-2”

1—2

=-3+（3-2n）-2\

所以7；=（2〃一3）-2〃+3.

17.已知awR,函數(shù)/（x）=ae'+（a-2）e'-x.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求曲線/（x）在點(diǎn)（1J（1））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（3）當(dāng)〃>0時(shí)，求函數(shù)/（工）在區(qū)間［0,1］上的最小值.

【答案】（1）y=（2e2-e-l）x-e2

（2）答案見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，可得/（1）,r（i）,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)斜式求切線方程：

（2）求導(dǎo)可得/'（月=（2/+1）（，官—1）,分和。>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性:

（3）分類(lèi)討論-Ina與區(qū)間［0』的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最小值即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，則/（x）=e2、—o'—x,/f（x）=2e2'-ev-l,

nj^/（l）=e2-e-l,r（l）=2e2-e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（he?-e-l）,切線斜率左=2e?-e-l，

所以/（x）在x=0處的切線方程為：y=（2e2-e-l）（x-l）+e2-e-l.

即切線方程為y=(2e2—e—l)x—e?.

【小問(wèn)2詳解】

由題意可得:/'(x)=2ae"+(〃-2)e，-l=(2ev+,

注意至|甘>0,21+1>0,

①若aWO,/'(“VO’則在(—,48)上單調(diào)遞減，

②若a>0,令/"(x)=O時(shí)，解得x=-lna,

當(dāng)K>-lna,/z(x)>0；當(dāng)x<-lna,/'(x)<。；

所以/(x)在(-ln〃,E)上單調(diào)遞增，在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減.

綜上，aWO時(shí)，/(犬)在(YO,+X>)上單調(diào)遞減：

。>0時(shí)，/(1)在(一111。,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,一In㈤上單調(diào)遞減.

【小問(wèn)3詳解】

由(2)知4>0時(shí)，/(同在(一卜。,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減,

①當(dāng)一InaWO時(shí)，即時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，

所以/(力而n=/(°)=2a—2；

②當(dāng)()<—hiacl時(shí)，即，<〃<1時(shí)，函數(shù)/(外在區(qū)間［0,-Ina］上單調(diào)遞減，

e

在上單調(diào)遞增，所以/(x)而°=/(一lna)=l+lna-：；

③當(dāng)一InaNl,即時(shí)，函數(shù)〃力在區(qū)間［0』上單調(diào)遞減，

e

所以〃x)min=/(l)=/+(a-2)eT

綜上，白之1時(shí)，f(x).=2a—2,—時(shí)，f(x).=1+Inci—,

ne''mm。

2

時(shí)，/(x)inin=ae+(tz-2)e-l.

e

18.已知雙曲線C:，—￡=l(a>0/>0)的離心率為手，且過(guò)點(diǎn)(2&,1卜

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）,

①若直線/與雙曲線C的左支相切，求直線/的方程；

②若雙曲線C的右頂點(diǎn)為P,直線/與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線%的斜率為占，直線P3的斜率為

電,證明：勺+&為定值.

【答案】（1）---V2=1

4

（2）①5x-8y+6=0②證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率得出。，力關(guān)系，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出/,從,寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用判別式為0求解；

②根據(jù)直線與方程聯(lián)立后根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式，求和后化簡(jiǎn)即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

由e=￡=立，可得《二?^1^=1+與=』，即/=46，

a2a2a2a24

所以雙曲線方程為12一4），2=4巴代入點(diǎn)（2萬(wàn)1）,

可得從=1,1=4,

2

所以雙曲線方程為三-_/=].

4-

【小問(wèn)2詳解】

①由題意，直線斜率存在，設(shè)直線/的方程為），-2=攵（工一2）,

y-2=k（x-2）

聯(lián)立,消元可得：

---y2=l

14

（1-4公卜2+16（二一女卜一1622+32%-20=0,

由直線與雙曲線相切，則△=?（公一,一16（1-4A2）（-422+以一5）=0,

即一8k+5=0,解得出二』，

8

所以直線/的方程為），-2二氧X-2）,即5x-8y+6=0.

8

②由題意知，戶（2,0）,

設(shè),4（與,）［）,3（毛，）’2），直線/的方程為y-2=〃?（x-2）,

聯(lián)立雙曲線方程，化簡(jiǎn)可得，

（1一4，〃2）%2+160/—〃7）x—16，〃2+32m—20=0,

由①知，〃>*,

8

16機(jī)。〃-1）16/n2-32/H+20

所以％+x=----------,xX,=--------------,

1-2W-11-W-1

-2出22含

y.義m(x.-2)+2m(x^-2)+2f1I

所以4+%2=」-+2-='---+—^~--=2/77+2-----+-----

-V]-2X,-2X]—2X,—21%—2x2-2y

16W7(?/Z-1)

=2〃7+2(…J_4=2m+2(…尸’=?___________4〃J一，

2

(x1-2)(x2-2)X}X2-2(X]+X2)+416/ZJ-32/H+2032/w(//?-l)

4m2-1477/2-1

-16m+4

=2/n+2-=2m-2m+-=-

1622t

4"/-1

即勺為定值

19.如圖，幾何體OAB-QA蜴是圓柱的四分之一部分，其中底面Q4B是半徑為1的扇形，母線長(zhǎng)為2,

。是OQ的中點(diǎn)，。為A8的中點(diǎn)，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（尸不與A、N重合），PE是圓柱的母線.

cP

(l)證明：CO〃平面33；

(2)求三棱錐B-AEP的體積的最大值；

(3)求二面角B-AE-尸余弦值的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)

【分析】(1)以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OQ所在直線分別為工、V、z釉建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量法可證得結(jié)論成立；

(2)設(shè)點(diǎn)月(cos6,sina0),其中。利用空間向量法求出點(diǎn)B到平面4。石的距離d,再利用飾

體的體積公式以及三角函數(shù)的有界性可求得三棱錐8-4石。的體積的最大值；

(3)利用空間向顯法可求得二面角8一4七-。余弦值的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知，OALOB,0Q1平面。以3，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA.0B、。。1所在直線分別為犬、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(I,0,2)、8(0,1,0)、C(0,0,l)、1所以cz5二

I，Z/212

易知平面OA3的一個(gè)法向量為彳=(0,0,1),則仁方.￡=(),即加_L￡，

又因?yàn)镃Da平面OW,所以CO〃平面OAB.

【小問(wèn)