菱形的性質與判定（知識清單+9大題型+好題必刷）

出題型梳理

畫畫二…莉雨妾形的桂廟泉鬲皮..............................................j

題型二利用菱形的性質求線段長:

題型三利用菱形的性質求面積?

題型四利用菱形的性質證明:

題型五添一個條件使四邊形是菱形:

題型六證明四邊形是菱形:

題型七根據(jù)菱形的性質與判定求角度:

題型八根據(jù)菱形的性質與判定求線段長I

題型九根據(jù)菱形的性質與判定求面積1

逐知夜清單....................................

知識點1：菱形的定義

有?組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

知識點2：菱形的性質（重難點）

菱形除具有平行四邊形的一切性質外，還有一些特殊性質：

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

（3）菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.

注意:

（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等

的兩部分；

（2）菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心；

（3）菱形的面積有兩種計算方法：

一種是平行四邊形的面積公式：底x高：

另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.

實際上，任何?個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的?半.

知識點3:菱形的判定（重難點）

菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形

菱形的判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

要點詮釋：前一種方法是在四邊形的基礎上加上四條邊相等.后兩種方法都是在平行四邊形的基礎上外加一個條件來判

定菱形，

出題型方法

【題型一】利用菱形的性質求角度

【例1】（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習）如圖，在菱形札連接/1C,過點8作4OL4C.若

ZDJC=36°,則N08C的度數(shù)為（）

A.36°B.54°C.56°D.64°

【答案】B

【知識點】利用菱形的性質求角度

【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握菱形的性質.根據(jù)菱形的性質可得

AD//BC,推出NOa=ND4C=36。，結合即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形是48C。菱形，

AD//BC,

/./OCB=/DAC=36°,

,/BOLAC,

N8OC=90。，

/.ZOBC=90°-NOCB=54°,

故選：B.

【舉一反三】

1.（24二5九年級上?河南鄭州?期中）如圖，在菱形力8CO中，4E工BC于點E,月E1CO于點/.若=40。，則/以尸

的度數(shù)為（）

A.50°B.42°C.40°D.30°

【答案】C

【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、三角形內角和定理的應用、利用菱形的性質求角度

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形的內角和定理，角的和差，解題的關鍵是掌握菱形的性質.由菱形的額性質

可得：AD//BC,NB=ND=400,推出N4/1。=】80。一/4=140。，由垂吏的定義可得：NAEB=AAFD=9/,進而

得到NBAE=NDAF=50°,最后根據(jù)角的和差求解即可.

【詳解】解：???四邊形48。是菱形，

AD//BC,N8=/O=40。，

?.,菱形繞點0逆時針旋轉，每秒旋轉45),

360。+45。=8,

每旋轉8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置(11)，

???20+8=2?一4,

，第20秒時是把菱形繞點。逆時針旋轉了2周回到原來位置后，又旋轉了4秒，即又旋轉了4乂45。-180。，

.??點D的對應點落在第三象限，且對應點與點D關于原點。成中心對稱，

???第20秒時，菱形的對角線交點。的坐標為(-1,-1).

故答案為：

3.(24-25九年級上?廣東汕頭?期末)如圖，ZU4c中，AB=AC=2,/員4c=45°,是由"AC繞點A按逆

時針方向旋轉得到的，連接8氏B相交于點。.

(1)求證：BE=CF；

(2)當四邊形48。廠為菱形時，求C”的長.

【答案】(1)見解析

(2)2五

【知識點】利用菱形的性質求角度、根據(jù)旋轉的性質求解、全等的性質和SAS綜合(SAS)、用勾股定理解三角形

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質得到力七二力/二力臺二次：二？，=可證A/iBEgA/C尸(SAS),由此即可求

解；

(2)根據(jù)菱形的性質得到/1=4％。=4。，Z2=Z1=45°,△NCF為等腰直角三角形，由勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：???由△/AC繞點A按逆時針方向旋轉得到△力?,

F

：,AE=AF=AB=AC=2,ZEAF=ZBAC=45°,

.?.NB4C+N3=N"F+N3,HPZBAE=ACAF,

在“BE和AJCF中，

AB=AC

<NBAE=ACAF,

AE=AF

：eABE/ACF（SAS）,

:.BE=CF；

（2）解：,??四邊形"雙W為菱形，

:.DF//AB,

.?.N1=N8.4C=45°,

???AF=AC,

.-.Z2=Z1=45°,

.?.△NCF為等腰直角三角形，

'CF=>jAC2+AFz=>/2JF=2>/2.

【點睛】本題主要考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理,

掌握旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的性質是解題的關健.

【題型二】利用菱形的性質求線段長

【例2】（24-25九年級上?廣東深圳?期中）如圖所示，在菱形48CQ中，AC=6cm,8O=8cm,則菱形/出邊上的高

CE的長是（）

D

A.2.4cmB.4.8cmC.9.6cmD.IOcm

【答案】B

【知識點】利用菱形的性質求線段長、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了菱形面枳的計算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中根據(jù)勾股定理計算48的值

是解題的關鍵.對角線4C,8。交于點。，則△力80為直角三角形，在RtZkZBO中，己知4。，8。根據(jù)勾股定理即

可求得力8的長，根據(jù)菱形面積不同的計算方法可以求得CE的長度，即可解題.

【詳解】解：對角線4C,8。交于點。，則△力8。為直角三角形

則40=0C=3cm.BO=DO=4cm,

AB=y/AO2+BO2=5cm，

菱形的面積根據(jù)邊長和高可以計算，根據(jù)對角線長也可以計算，

即S=gx6x8=5xCE,

:.CE=4.8cm,

故選：B.

【舉一反三】

1.(23-24九年級上?陜西寶雞?階段練習)如圖，菱形力8c。的周長為4(),面積為8(),2是對角線8。上一點，分別

作點P到直線48,的垂線段PE,PF,則PE+廢的值為()

AFD

EZ/

R

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【知識點】利用菱形的性質求線段長、利用菱形的性質求面積

【分析】本題主要考查了菱形的性質，三角形面積的計算，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.連接力由菱形的性

質得到48=4。=1（）,再根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】解：連接〃，

?.?菱形48C。，

AB=AD，

???菱形488的周長為4（）,

AB=AD=10,

：.PE1AB,PF1AD,

菱形/BCO的面枳

=25/血=2x（S“b+S”°p）=2x（；?！辏?；力。?Qb）=2x（；xIOxPE+；xlOxP尸）=10（夕上+尸尸）=80,

:.PE+PF=8,

故選B.

2.（2024?海南省直轄縣級單位?二模）如圖，在菱形中，AB=4,ZBAD=60°,對角線力。與8。相交于點

。.將邊彳。沿力。方向平移到尸E,連接OE.當點廠是的中點時，四邊形4。a的面積為.

B

【答案】2/

【知識點】用勾股定理解三角形、等邊三角形的判定和性質、利用平移的性質求解、利用菱形的性質求線段長

【分析】由菱形的性質得/1。="=4,OB=OD,OA=OC,AC1BD,再證明是等邊三角形，得

BD=4B=4,則。。=2,進而由勾股定理得。/=26，然后證明四邊形/OEF是平行四邊形，即可解決問題.

【詳解】解：???四邊形彳BC。是菱形，AB=4,

AD=AB=4,OB=OD,OA=OC,ACJ.BD,

.?.400=90。，

NB4D=60°,

.?.△Z8O是等邊三角形，

*'?BD=AB=4?

OD=2,

??OA=4.4D2-OD2="-22=25

???點/是。4的中點，

：.AF=-OA=-x2y/3=43,

22

???將邊AD沿AC方向平移到FE,

???EF//AD,EF=AD，

四邊形/DM是平行四邊形，

:.SADFF=AF＜）D=&2=26,

???四邊形4DE尸的面積為2G.

故答案為：2G.

【點睛】本題考杳了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、平移的性質、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理等

知識，熟練掌握菱形的性質和平移的性質是解題的關鍵.

3.（24-25九年級上陜西咸陽階段練習）如圖，在菱形中，對角線4c交于點。、K是4C上的點，連接

BE,DE.

B

(1)求證：/CBE=NCDE；

⑵若BE工DE,^BAD=60°,48=2,求CE的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)CE=73-1

【知識點】用勾股定理解三角形、等邊三角形的判定和性質、利用菱形的性質求線段長、全等的性質和SAS綜合

(SAS)

【分析】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質等知識，掌握相關知識是解題

的關鍵.

(1)由菱形的性質得到CB=CO,NBCE=NDCE,再證明△BCEgAOCE,即可得出結論；

(2)根據(jù)菱形的性質判定△48。是等邊三角形，得到50=48=2,03=00=1,再根據(jù)勾股定理求出

OC=OA=?,即可求解.

【詳解】(1)證明：,??四邊形48co是菱形，

:.CB=CD,NBCE=NDCE,

在ABCf和△OCE中，

BC=CD

/BCE=ZDCE,

CE=CE

:.^BCE^DCE(SAS),

/.NCBE=/CDE；

(2)解：?.?四邊形力4c。是菱形，AB=2,

:.AB=4D，AO=OC,OB=OD=、BD,AC上BD,

2

???ZBJD=60°,

是等邊三角形，

HD=AH=2,OB=OD=1,

：.OC=OA=^AB1-OB1=V22-12=V3?

???BELDE,

OE=OB=OD=\,

:.CE=OC-OE=y/3-\.

【題型三】利用菱形的性質求面積

【例3】（24-25九年級上?廣東佛山?期中）將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，使得右

側菱形的頂點與左側菱形的對稱中心重合.若這些菱形的邊長為2,銳角為60,則陰影部分的面積總和等于（）

A.101（）B.2020C.10100D.202073

【答案】C

【知識點】含30度角的直角三角形、圖形類規(guī)律探索、利用菱形的性質求面積、用勾股定理解三隹形

【分析】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定及性質，菱形的面積計算，關鍵是求出陰影菱形的邊長和個

數(shù).先通過菱形的性質和等邊三角形的判定及性質可知七是等邊三角形，可知E為。C的中點，得

Sgoc=&8D='\ODOC=q,進而得一個陰影菱形的面積為2%咖=勺再計算2020個陰影菱形的面積總和便

22242

可.

【詳解】解：根據(jù)題意知，將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，得到2020個陰影菱形,

且這些陰影菱形的大小完全一致，

如圖，由題意知，OA=OC,AB=BC=CD=AD=2,/BAD=/EOF=60。,AC1BD,則△48。，△8CO均為等邊

三角形，

則N8QC=60。，BD=2,00=1,0C=y/CD2-0D2=75，

由菱形的對角線平分一組對角可知/EOC=ZDAO=NECO=30。,

.?.NDEO=60。,OE=CE,

??.△ZRE是等邊三角形，

:.OE=DE=CE,即E為。C的中點，

:'woe=m2coD=gx；0D，"=當,

???一個陰影菱形的面積為：2s△￡?=日，

???陰影菱形的面枳總和為：立x2020=101()6，

2

故選：C.

【舉一反三】

1.(24-25九年級上?貴州黔東南?階段練習)如圖，菱形力8C。的邊長為5,對角線把=8cm,BD=6cm,DHA.AB

于點〃，則()

【答案】A

【知識點】利用菱形的性質求線段長、利用菱形的性質求面積

【分析】此題考杏了菱形的性質，根據(jù)菱形的面積計算公式即打求出熟練堂握菱形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：???四邊形/也CQ是菱形,

AC1BD

vAB=5.DHLAB

???菱形的面積=,4。4。=4，

2

」x6x8=5?！?/p>

2

:.DH=—

5

故選：A.

2.（24-25九年級上?廣東深圳,階段練習）如圖，菱形4月6的兩條對角線力C,BD交于點、O,若4C=8,BD=4,

則菱形ABCD的面積為.

【答案】16

【知識點】利用菱形的性質求面積

【分析】本題主要考查r菱形的性質.根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的?半進行求解即可.

【詳解】解：???菱形/8CO的兩條對角線力C，4。交于點。，AC=8,40=4,

???S菱形加⑺=；4C.80=gX4X8=16，

故答案為：16.

3.（24-25九年級上?貴州遵義?期末）如圖，四邊形力4?！辏┑膶蔷€/。與80相交于點。，AB//CD,Zl=Z2.有下

列條件：①4B=BC；②力C18Q.

AD

（1）從①②中任選一個作為條件，求證：四邊形是菱形；

（2）在（I）的條件卜，若48c=60。,,43=66,求菱形4北。的面積.

【答案】（1）見解析

⑵546

【知識點】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、證明四邊形是菱形、利用菱形的性質求面積

【分析】本題考查菱形的判定和性質，含30度角的直角三角形，勾股定理：

（1）先證明四邊形力8co為平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形或對角線垂直的平行四邊形為菱形,

即可得證；

（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，求出/。,8。的長，進而求出力。潭。的長，再根據(jù)菱形的面枳公式進行計

算即可.

【詳解】（1）解：?.?N1=N2,

:.AD〃BC、

-AB//CD,

二四邊形.48CO為平行四邊形；

當選擇①時：

???AB-BC,四邊形ABCD為平行四邊形，

???四邊形4BC。為菱形；

當選擇②時：

.；ACJ.BD,四邊形48CO為平行四邊形，

四邊形為菱形;

(2)?四邊形/沿CQ為菱形，乙4BC=6()。,

???8。平分/48C,AC1BD,

.?.440=30。，

：.AO=-AB=3j3,

2

???08=640=9，

：.AC=2.40=65BD=2OB=T8,

；.菱形ABCD的面積為LACBD=LX6舟18=54G.

22

【題型四】利用菱形的性質證明

【例4】(24-25九年級上?湖南株洲?階段練習)下列命題是真命題的是()

A.同位角相等

B.菱形的四條邊相等

C.正五邊形的其中一個內角是72°

D.單項式空Q的次數(shù)是4

3

【答案】B

【知識點】利用菱形的性質證明、正多邊形的內角問題、單項式的系數(shù)、次數(shù)、判斷命題真假

【分析】本題主要考查了真假命題，根據(jù)平行線的性質，菱形的性質，多邊形的內角和，單項式的定義逐項分析判斷

即可求解.

【詳解】解?：A、兩直線平行，同位角用等，原命題是假命題：

B、菱形的四條邊相等，是真命題；

C、正五邊形的其中一個外角是72。，內角是108。，原命題是假命題；

D、單項式皿的次數(shù)是3,原命題是假命題；

3

故選：B.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?河南鄭州?期中）菱形力8CQ中，［4=1（）,8。=12,菱形48co的面積為（）.

A.60B.120C.192D.96

【答案】D

【知識點】利用菱形的性質證明、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查菱形的性質，勾股定理，熟記菱形的面積公式是解題的關鍵.根據(jù)菱形的性質可得

BD1AC,OA=OC,OB=OD,在Ra*O8中，根據(jù)勾股定理可求得4。的長，得出力。的長，最后根據(jù)菱形的面積公

式計算即可.

【詳解】解：連接4C,交80于點O,

???四邊形.4BCQ是菱形，

BD±AC,OA=OC,OB=OD,

???80=12,

：.OB=OD=6,

在中，AO=\IAB2-OB2=VlO2-62=8*

:.AC=20/1=16,

???菱形的面積為：-x16xl2=96.

故選：D.

2.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，四邊形力8c。是平行四邊形，過點力作于點E,于點

F,連接E尸，下列說法：①若4E=",則平行四邊形44CO是菱形；②若△4EF是等邊三角形,則/4=60。；③若

平行四邊形ABCD是菱形，則AAEF=/AFE.其中說法正確的是.（只需填寫正確結論的序號）

【答案】①②③

【知識點】利用菱形的性質證明、證明四邊形是菱形、等邊三角形的判定和性質、利用平行四邊形的性質證明

【分析】利用平行四邊形的面積工"若4E=AF,則8C=CO,即可由菱形的判定得出平行四

邊形力4c。是菱形，可判定①正確；止△力E尸是等邊三角形，得/￡"=60。，由四邊形內角和可求得NC=12（）。，再

利用菱形的性質求出/8=60。,可判定②正確；利用菱形的面積S芟形=產(chǎn)，可得出/七=/尸，再

利用等腰三角形的性質可得出NAEF=/AFE,可判定③正確.

【詳解】解：?^S^^BCAE^CDAF,

又???AE=AF.

??BC-CD,

???平行四邊形44s是菱形，故①正確;

②?.?"M是等邊三角形，

ZEJF=60°,

又?；AE_BC,AF上CD,

ZC=120°,

v四邊形/8CO是平行四邊形，

AB//CD,ZC=Z5JD=120°,

/.Z5=180°-ZC=600,故②正確;

③???平行四邊形/出co是菱形

■.BC=CD

交涉46小cL=2-BCAE=-2CDAF

:.AE=AF

:.NA七卜=/A卜E,故③正幣角；

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的性質，菱形的判定與性質，等腰三角形的性質，四邊形內角和,

熟練掌握等邊三角形和菱形的判定與性質是解決問題的關鍵.

3.(24-25九年級上?福建漳州?期中)已知：如圖，在菱形48c。中，E,尸分別是邊C8,CO上的點，且

BE=DF.求證：“BESAADF.

【答案】見解析

【知識點】利用菱形的性質證明、全等的性質和SAS綜合(SAS)

【分析［此題考查了菱形的性質，全等三角形的判定，

根據(jù)菱形的性質得出力8=AO,N8=NO,然后證明△ABEg/X/。尸(SAS)即可.

【詳解】證明：?.?四邊形是菱形

???AB=AD,Z.B=ND

vBE=DF

.-.△J5^AJDF(SAS).

【題型五】添一個條件使四邊形是菱形

【例5】(24-25九年級上?四川成都?期末)在下列條件中選取一個作為增加條件，能使口力8CO成為菱形的是()

A.AC-BDB.AB-DCC.AC1BDD.AD//BC

【答案】C

【知識點】添一個條件使四邊形是菱形

【分析】本題考查了菱形的判定方法，解決此題的關鍵是熟練掌握菱形的判定方法：根據(jù)菱形的判定可知，對角線互

相垂直的平行四邊形是菱形，即可得到答案。

【詳解】解：AC=BD,可判斷。川9CD是矩形，不能判斷口是菱形，故選項A錯誤，不符合題意；

AB=DC,是口48co」具有的性質，不能判斷口48。。是菱形，故選項B錯誤，不符合題意；

力對角線互相垂直，可知判斷。A8CQ是菱形，故選項C正確，符合題意；

AD//BC,是。力8C。已具有的性質，不能判斷口川9c。是菱形，故選項D錯誤，不符合題意；

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?河南?階段練習）在口/13C。中，如果只添加??個條件即可證明0月是菱形，那么這個條件可

以是（）

A./A=90°B.AC=BDC.ZB=60D.BD平分NABC

【答案】D

【知識點】添一個條件使四邊形是菱形

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關鍵.

根據(jù)菱形的判定方法逐一判斷即可.

【詳解】解：由題意可作出圖形：

當N84D=90時，則口/出。。為矩形，故A錯誤;

當時，貝IJ口兒?。為矩形，故B錯誤；

當48C=6（X時，不能判定出口48co是菱形，故C錯誤;

當8。平分NdBC時，則ZABD=ZCBD,

???四邊形.48CZ）為平行四邊形，

-.AD//BC,

：./ADB=2LCBD,

A/ABD=ZADB,

AB=AD,

??.□ABCD為菱形,故D1E確；

故選：D.

2.（24-25九年級上?山西太原?期末）已知，四邊形力8C。是平行四邊形，對角線力。，80交于點。.若增加一個條

件，將它邊的數(shù)量關系特殊化，可使力。上則增加的一個條件可以是.（寫出一個即可）

【答案】AB=BC（答案不唯一）

【知識點】添一個條件使四邊形是菱形、利用菱形的性質證明

【分析】本題考查菱形的判定和性質，根據(jù)菱形是特殊的平行四邊形，只需要增加菱形所特有的性質即可.掌握菱形

的判定是解題的關鍵.

【詳解】解：???四邊形458為平行四邊形，

.?.當=時，口力BCD為菱形,

此時AC1BD.

.??增加的一個條件可以是AB=BC.

故答案為：AB=BC（答案不唯一）.

3.（23-24九年級上?陜西西安?階段練習）如圖，在中，E,產(chǎn)分別是邊CQ,8C上的點，連接8E,DF,BE

與“'交于點尸，BE=DF.添加下列條件之一使口/出C'。成為菱形：①CE=CF；②BELCD,DFLBC.

（1）你添加的條件是（填序號），并證明.

⑵在（1）的條件下，若/4=45。，/孑的周長為4,求菱形的邊長.

【答案】（1）②，見解析

（2）4

【知識點】靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）、添一個條件使四邊形是菱形、等摟三角形的性質和

判定

【分析】（1）可證△C77）g/XCEB,可得CD=CB,即可求證；

（2）連接CP,可證RLCE/%RtAC”,可得PE=P/r,再證8E=CE,BE=PF,即可求解.

【詳解】（1）解：②.

證明：?；BE工CD,DF1BC,

/CFD=NCEB=90°,

在和ACE8中

NCFD=/CEB

<NC=NC,

DF=BE

；ACFD知CEB（AAS）,

:.CD=CBf

???四邊形49co是平行四邊形，

???四邊形49CQ是菱形.

（2）解：如圖，連接CP,

由（1）知ACFD@ACEB,

:.CF=CE，

在RtzsCE尸和Rt^Cb

CP=CP

CE=CF'

：.RtAC￡P^RtACFP(HL),

/.PE=PF,

在菱形48?！辏局校琙J=45°,

/.Z^CD=45°,

?.?NCFD=NCEB=9。。,

/BFP=NDEP=900,

NCBE=Z.BPF=NBCD=45°,

BE=CE,BF=PF?

???△80的周長為4,

/.BP+PF+BF

=BP+PE+Bf

=BE+BF

=CE+BF

=CF+BF

=8C=4.

即菱形的邊長為4.

【點睛】本題考查了菱形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，等腰三角形的判定及性質，掌握相關的判定方法

及性質是解題的關鍵.

【題型六】證明四邊形是菱形

【例6】(24-25九年級上?山西晉中?期末)在校園藝術節(jié)中，同學們準備制作4個邊長為l()()cm的菱形畫框.完成后,

他們決定通過測量來驗證畫框的形狀，根據(jù)下列測量結果,其中不能判定畫框為菱形的測量方式是（)

【答案】B

【知識點】證明四邊形是菱形

【分析】本題考查了菱形的判定，根據(jù)菱形的判斷定理逐項判斷即可求解，掌握菱形的判斷定理是解題的關鍵.

【詳解】解：A、由圖可得，四邊形的對角線垂直且互相平分，所以四邊形是菱形，又由勾股定理可得菱形的邊長為100cm,

能判定畫框為邊長100cm的菱形，該選項不合題意；

B、由同旁內角互補，兩直線平行，可得四邊形是平行四邊形，但由圖得不到鄰邊相等，所以不能判定畫框為菱形，

該選項符合題意；

C、由四邊形都等于100cm,能判定畫框為邊長為100cm的菱形，該選項不合題意；

D、由同旁內角互補，兩百線平行，可得四邊形是平行四邊形，由根據(jù)鄰邊相等為100cm,能判定畫框為邊長為100cm

的菱形，該選項不合題意：

故選：B.

【舉一反三】

1.（2024?廣東深圳?一模）如圖，在N4的基礎上用尺規(guī)作圖：①以點力為圓心，任意長為半徑作弧，與/力的兩邊

分別交于點從D；②分別以點8。為圓心，力。長為半徑作弧，兩弧相交于點C；③分別連接OC，BC.可以直接

判定四邊形力8C。是菱形的依據(jù)是（）

A.四條邊相等的四邊形是菱形B.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

【答案】A

【知識點】證明四邊形是菱形、作線段（尺規(guī)作圖）

【分析】本題考查了菱形的判定，熟記菱形的判定定理是解題關鍵.由作法可知，①可得力〃=力力，②可得

AD=CD=BC,貝IJ48=4Q=4C=CO,即可得到答案.

【詳解】解：由作法可知力8=力。=8。=8,

則判定四邊形45C。是菱形的依據(jù)是四條邊相等的四邊形是菱形，

故選：A.

2.（24-25九年級上?遼寧沈陽?期中）如圖，在四邊形力8C力中，石、F、G、，分別是月樂BC、CD、D4的中點，/C、BD

滿足條件時，四邊形EFG”是菱形.

【答案】AC=BD/BD=AC

【知識點】證明四邊形是菱形、證明四邊形是平行四邊形、與三角形中位線有關的證明

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，中位線性質定理，連接片C、笈。，由石、F、6、”分別是4仄BC、CD.DA

的中點，得EF=GH=；4C,==則四邊形E產(chǎn)G”是平行四邊形，故當AC=BD時，再邊形EFGH

是菱形，菱形的判定，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接4。、BD,

???￡、F、G、〃分別是48、BC、CD、D4的中點,

：.EF=-AC,GH=-AC,EH=-BD,FG=-BD,

2222

.-.EF=GH=-AC,EH=FG、BD,

22

???四邊形EFGH是平行四邊形，

.?.當AC=BD時,EF=GH=EH=FG,

四邊形EFG”是菱形，

AAC.4D滿足條件/C=8Q時，四邊形EPG〃是菱形，

故答案為：AC=BD.

3.（2025?山東濟寧?三模）如圖，在△48C中，AB=AC.

（1）求作菱形力BQC（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）：

（2）在（I）的條件下，若44=13,8c=10,求菱形的面積.

【答案】（1）見解析

⑵菱形48。。的面積為120.

【知識點】利用菱形的性質求面積、證明四邊形是菱形、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了菱形的性質與判定，勾股定理，尺規(guī)作圖等等，熟知菱形的性質與判定定理是解題的關鍵.

（1）分別以8、。為圓心，力。的長為半徑畫弧，二者交于點。，連接C。，BD,則四邊形力8。。即為所求；

（2）連接4）交4C于點E,利用菱形的對角線互相垂直平分得到BE=；BC=5,利用勾股定理求出4E

的長，進而求出力。的長，再根據(jù)菱形面積等廣其對角線乘積的一半即可得到答案.

【詳解】（1）解-；如圖所示，四邊形45OC即為所要作的菱形:

（2）解：如圖，連接力。交8c「點E,

?**AE=LB，-BE，==12,

AD=2AE=24,

??^l^ABDC=-X10x24=120.

【題型七】根據(jù)菱形的性質與判定求角度

【例7】（24-25九年級上?山西太原?開學考試）如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形月58,

若/ABC=50。,則NO/1C的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【知識點】根據(jù)菱形的性質與判定求角度

【分析】本題考查了菱形的判定與性質，熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵，根據(jù)題意得出四邊形4AC。為菱形，由

菱形的性質可得48。+/m8=180。，得到/。力8的度數(shù)，再由=即可得到/ZX4C的度數(shù)，從而得

到答案.

【詳解】解：由題可得：在四邊形中，AB=BC=CD=DA,

.??四邊形為菱形，

.-.ZJBC-ZDJZ?=180°,ZDAC=-ZDAB,

2

???/ABC=50°,

.-.ZDJ5=180°-50°=130°,

.?.ZD^C=-xl30°=65°.

2

故選：C.

【舉一反三】

1.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，以點力為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧，交兩邊于點M,N,再分別以〃、N

為圓心，4”的長為半徑畫弧，兩弧交于點心連接MB,NB.若4=40。，則NMBN=（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【答案】A

【知識點】作角平分線（尺規(guī)作圖）、根據(jù)菱形的性質與判定求角度

【分析】本題考查「菱形的判定和性質.證明四邊形如是菱形，即可求解.

【詳解】解：由作圖知mW=4N=8M=8N,

四邊形4M8N是菱形，

vZJ=40°,

:"MBN=NA=40°,

故選：A.

2.（23-24九年級上?四川成都?期末）如圖，在△力8c中，AB=AC,分別以C、4為圓心，的長為半徑畫弧，兩

弧交于點。，連接80、AD、CD.若乙44。=130。，則NCD4=°.

【答案】25

【知識點】根據(jù)菱形的性質與判定求角度

【分析】根據(jù)作圖，得到力8=/lC=AO=C。，得到菱形力"CO,根據(jù)菱形的性質解得即可.

本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，熟練掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)作圖，得到48=ZC=8O=CQ,

故四邊形48CO是菱形，

：.BD//AC,Z.CDA=-ZBDC=-Z.BAC,

22

.?.48O+N84C=180°,

?.ZB。=130°,

/.Zi?JC=50°,

："CDA=工NBAC=25。,

2

故答案為：25.

3.（24?25九年級上?四川宜賓?階段練習）如圖，在RtZUBC中，4c4=90。，AC=BC,D為AB邊上一點,連接

CD,過點8作8EJLC。交CO的延長線于點E.

A

CB

③

（1）如圖①，若NBCE=2NDBE,BE=2,求的面積；

（2）如圖②，延長E8到點凡使EF=CE,分別連接C產(chǎn)，"，"交EC于點、G.求證：BF=2EG；

（3）如圖③，若4c=4D,M是直線/C上的一個動點，連接將線段繞點。順時針方向旋轉90。得到線段

MD,P是4。邊上一點，4P=3PC,0是線段CO上的一個動點，連接尸。，當P0+MD的值最小時，請求出

NP。”的度數(shù).

【答案】（1）8

（2）見解析

(3)45°

【知識點】根據(jù)菱形的性質與判定求角度、全等的性質和SAS綜合（SAS）、與三角形中位線有關的求解問題、根據(jù)

旋轉的性質求解

【分析】（1）設NQ8E=x,則N8CE=2x,利用三角形的內角和定理列出方程求出工值，再利用直角三角形的性質

求得8C值，依據(jù)三角形的面積公式即可求得結論；

（2）延長收到〃，使￡〃=",連接力H,CH,利用線段垂直平分線的性質和全等三角形的判定與性質得到

AH=BF,NAHC=NBFC=45。,進而得出/4///=乙4〃。+/?！?=45。+45。=90。，再利用三角形的中位線定理解

答即可得出結論；

（3）過點作。K//。，交4。的延長線于點K,作點/關于8的對稱點尸，，連接PC,P'Q，P'A/',/AT,利用

旋轉的性質和全等三角形的判定與性質得到得到點在過點力且垂直JFC的宜線上運動；由三角形的三

邊關系定理得到。P+2M〉P'M',從而得到當P，Q，在一條直線上時，QP+QW'=P"',此時尸。+QV/'的值

最??；由題意畫出圖形后，通過說明四邊形PCP'。是菱形，再利用菱形的對角相等得出NP2P'=NPCP'=135。，則結

論可求.

【詳解】（1）解：???N4C8=90。，AC=BC,

4=ZABC=45°.

設4DBE=x,則/8CE=2x,

/ACE=90°-ZBCE=90°-2x,

???BELCD,

:"BDE=90°-/DBE=90°-xt^ADC=180°-ZACD-ZA=2x+45°.

???NBDE=ZJDC,

.-.90°-x=45°+2x,

.-.A=15°,

：2BCE=3H

???BELCD,

BC=2BE=4,

AC=BC=4,

LABC的面積=,力。./(7=8：

2

(2)證明：延長尸石到〃，使E//=EF,連接AH,CH,如圖2,

?：EF=CE,BELCD,

.-.ZECF=ZEFC=45°.

vBE±CD,EH=EF,

??CK垂直平分尸〃，

..CH=CF,

："CHF=/CFH=45。,

:"HCF=900.

?.ZC8=90°,

：.NACB=4HCF,

:./ACH=NBCF.

在“?！ê虯BC尸中，

AC=BC

<Z.ACH=ZBCF,

CH=CF

：."C"知BCF(SAS),

:.AH=BF,NAHC=NBFC=45。.

："AHF=Z.AHC+Z.CHF=45°+45°=90°,

:.AHA.HF,

?；CDA.EF,

：.CE//AH,

?：EH=EF,

??.GE為的中位線，

AH=2GE,

BF=2EG；

(3)解：NPQM'的度數(shù)為45。.理由如下:

過點。作。E/ZO,交力C的延長線于點E,作點尸關于CO的對稱點尸，連接PC,P。，P'M,，AM',如圖,

圖3」

???/切C=45。，DEIAD,

NE=NB4C=45。,

???AD=DE.

???將線段，W。繞點D順時針方向旋轉90。得到線段MD,

DM'=DM,ZMDM'=90。，

??ZDE=900,

："ADE=NMDM',

：ZDM'=NMDE.

在和△EDM中，

DM=DM'

ZADM=ZFDM,

AD=ED

"DMWAEDM(SAS),

???ADAM=4DEM=45°，

:"EAM=NEAB+/DAM'=90°,

???點A/'在過點力且垂直于彳C的直線上運動.

???點尸關于CD的對稱點/，

:.CP=CF,QP=QP'.

:PQ+QM'=QP+QM’.

???QP'+QM'NPM',

.?.當P,。，M'在一條直線上時，0P'+Qir=P'M',此時夕。+。河'的值最小.

如圖，八。，在一條直線J_,

E

圖3.2

???ZM/1C=90°,Z/1C5=90°,

：.AM7/BC.

：.P'M」BC.

vZCJi?=45°,AC=AD,

1800-45°

ZACD=NADC=————=67.5°,

2

???。4CP'關于a）對稱，

："DCP=NDCA=675°,

.,.4CP=135。,

.?./ECP=450.

???ZA=Z￡CA=45°?

ZP'QC=180°-NQCF-"'=67.5°=NQCP,

：.CP'=QP',

:.PC=PC=PQ=QP，

???四邊形PCP。是菱形，

:"PQP'=NPCP=135。,

：2PQM'=180°-4PQP=45°.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的中

位線定理，三角形的內角和定理，菱形的判定與性質，充分利用旋轉的性質解答是解題的關鍵.

【題型八】根據(jù)菱形的性質與判定求線段長

【例8】（24-25九年級上?山東青島?期中）如圖，兩張等寬的紙條交又疊放在一起，重疊的部分為四邊形，若測得力,

C之間的距離為3,B,。之間的距離為4,則線段力4的長為（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

【答案】A

【知識點】根據(jù)菱形的性質與判定求線段長

【分析】本題主要考查菱形的判定和性質，作力于A,于S,根據(jù)題意先證出四邊形/4CQ是平行四邊

形，再由=得平行四邊形力片。＞是菱形，再根據(jù)勾股定理求出力4即可.

【詳解】解：如圖.作力R_L4C干/?.AS1CDS.連接力。，4。交于點O.

由題意知，AD//BC,AB//CD,

???四邊形4BC。是平行四邊形.

???兩張紙條等寬，

AR-AS.

-ARBC=ASCD,

:.BC-CD,

???平行四邊形力4c。是菱形，

ACJ.BD.

在Rt△力。8中，。月=之，。8=2,

2

：.AB=y/AO2+0B2=-.

2

故選:A.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?山西運城,期中）已知口力BCD中，對角線力C,8。相交于點.若4cB8。，則下列結論中一

定成立的是（）

A.AC=BDB.AB=BC

C.^BAD=90°D.AB=41AO

【答案】B

【知識點】根據(jù)菱形的性質與判定求線段長、利用平行四邊形的性質求解

【分析】本題考查菱形的判定和性質，根據(jù)平行四邊形對角線垂直得到。48CD是菱形，再根據(jù)性質進行判斷即可.

【詳解】解：?.七48。。中，對角線力C,60相交于點0,AC1BD,

:.口ABCD是菱形，

A.菱形對角線不一定相等，此選項結論不一定成立；

B.由菱形的四邊相等，得到力3=4。，此選項結論一定成立：

C.菱形48CO的內角不一定等于90。，此選項結論不一定成立；

D.由題可得口48CQ是菱形，AB=>!0A~+0B1?當。力=04時，AB=血40,此選項結論不一定成立.

故選：B.

2.(22-23九年級上?遼寧錦州?階段練習)如圖，四邊形/4CQ是平行四邊形，以點8為圓心，6c的長為半徑作弧交

力。于點E,分別以點C,￡■為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點Q,作射線8P交力。的延長線于點尸,

ZC5￡=60°,BC=6,則8*的氏為.

【答案】6也

【知識點】利用平行四邊形的性質求解、根據(jù)菱形的性質與判定求線段長、含3()度角的直角三角形、用勾股定理解三

角形

【分析】連接CE交6廠『G,連接CF.根據(jù)平行四邊形的性質，平行線的性質確定=廣，根據(jù)題目中作圖

過程確定BP是ZCBE的平分線，根據(jù)等角對等邊和等量代換思想確定8。=,根據(jù)菱形的判定定理和性質確定

BF1CE，BF=2BG,根據(jù)角平分線的定義，3()。所對的直角邊是斜邊的一半，勾股定理求出8G的長度，進而即可

求出8戶的長度.

【詳解】解：如圖，連接CE交8/于G,連接

:.AD〃BC,即所〃BC,

AEbU=4cB卜,

???以點〃為圓心，8C的長為半徑作弧交力。r點E,

/.BC