專題58排列與組合

知

考綱要求

識(shí)

考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題型一：排列與排列數(shù)公式

題型二：組合與組合數(shù)公式

題

題型三：元素有限制排列

型

題型四：排列相鄰問(wèn)題

歸

類題型五：排列不相鄰問(wèn)題

題型六：分組分配問(wèn)題

題型七：其他組合問(wèn)題

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測(cè)

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.排列與組合的概念

名稱定義

并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)

排列從n個(gè)不同元素

元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

中取出m(mSn)

作為組，叫做從n個(gè)不1司兀素中取出m

組合個(gè)元素

個(gè)元素的一個(gè)組合

2.排列數(shù)與組合數(shù)

(1)從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取

出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A!?表示.

⑵從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取

出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C#表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

n!

⑴A，,一〃(〃1)(//2)—(/?6+1)—(〃_/〃)！.

AMn(〃一1)(〃一2)…(//-/n+1)

公式⑵。夕一A，“一向

-.z、1(〃，且"W，2).特別地C9—1

(1)0!=1；A*=〃！.

性質(zhì)

(2)a=c-

【常用結(jié)論】

1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)

一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.

2.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.

【方法技巧】

1.排列應(yīng)用問(wèn)題的分類與解法

(1)對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)

一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多

的問(wèn)題可以采用間接法.

⑵對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件

的排列問(wèn)題的常用方法.

2.組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元

素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”

這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)

雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

3.對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的

排列問(wèn)題的常用方法.

4.對(duì)于分堆與分配問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)

①處理分配問(wèn)題要注意先分地再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆時(shí)要注意是否均勻.

二、【題型歸類】

【題型一】排列與排列數(shù)公式

【典例1】（多選）（2021卜??山東?高二統(tǒng)考期中）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配

到甲、乙、丙、丁4個(gè)小區(qū)開(kāi)展工作，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.共有625種分配方法

B.共有1024種分配方法

C.每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有240種分配方法

D.每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有480種分配方法

【解析】【答案】BC

【分析】選項(xiàng)AB：根據(jù)題意并結(jié)合乘法原理即可求解：選項(xiàng)CC：利用部分均勻分組消序的方法進(jìn)行分組,

然后進(jìn)行全排列即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB:若需要將5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4個(gè)小區(qū)開(kāi)展工作，則每個(gè)志愿者都有4種

可能，根據(jù)計(jì)數(shù)原理之乘法原理，則有45=1024種不同的方法，故A錯(cuò)誤，B正確，

對(duì)于選項(xiàng)CD：若每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有一個(gè)小區(qū)有兩名志愿者，其余小區(qū)均有1名志愿者，

由部分均勻分組消序和全排列可知，

故C止確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【典例2】（多選）（2023下?山東棗莊?高二棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于排列組合數(shù)的等式或

說(shuō)法正確的有（）

【解析】【答案】ABD

A正確；

B正確；

故選：ABD

【典例3】（多選）（2023下?江蘇常州?高二常州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于排列組合數(shù)的等式或

說(shuō)法正確的有（）

【解析】【答案】ACD

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用累和法、逆用組合數(shù)公式、裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵.

【題型三】元素有限制排列

【典例1】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）2023年7月28日至8月8H，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在四川成

都成功舉辦.某中學(xué)積極響應(yīng)，舉辦學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì).小趙、小錢、小孫、小李、小周5位同學(xué)報(bào)名參加3個(gè)

項(xiàng)目，每人只報(bào)名1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少1人，小趙和小錢不參加同一個(gè)項(xiàng)目，則不同的報(bào)名方法共有

（）

A.72種B.114種C.120種D.144種

【解析】【答案】B

先分組再將不同組分配去參加運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目：

方法二：不考慮小趙與小錢的特殊要求，5位同學(xué)報(bào)名參加3個(gè)項(xiàng)目，

假如小趙與小錢參加同一個(gè)項(xiàng)目，分為他們都在2人組和都在3人組兩種情況，

故選：B.

【典例2】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙，丙、丁，戊5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名

的名次.甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，裁判說(shuō)："很遺憾，你倆都沒(méi)有得到冠軍.但都不是最差的.”從回答分析，5

人的名次排列的不同情況可能有（）

A.27種B.72種C.36種D.54種

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列數(shù)的計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，甲、乙都沒(méi)有得到冠軍，也都不是最后一名，

故選:C

1299

A.—B.-C.-D.—

552520

【解析】【答案】B

故選:B.

【題型四】排列相鄰問(wèn)題

【典例1】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球

混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分3:0戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后

在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

【解析】【答案】C

【分析】分別計(jì)算內(nèi)站在左端時(shí)和內(nèi)不站在左端時(shí)的情況，即可得到答案.

當(dāng)丙不站在左端時(shí)，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，

故選：C

【典例2]（2023?湖南益陽(yáng)?安化縣第二中學(xué)?？既＃┠硞€(gè)單位安排7位員工在“五?一〃假期中1日至7日

值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，

丁不排在5月7FI,則不同的安排方案共有（）

A.504種B.960種C.1008種D.1200種

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用間接法，即可求解.

故選:C.

A.36種B.42種C.48種D.60種

【解析】]答案】A

【分析】利用捆綁法和插空法可求出結(jié)果.

將C車插入，不與A車相鄰，又3種插法，

故選：A

【題型五】排列不相鄰問(wèn)題

【典例1】（2024?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考一模）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬9月14日在浙江臺(tái)州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線

以“和合臺(tái)州活力城市”為主題，全長(zhǎng)8公里.從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地

標(biāo)建筑.假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，

則不同的傳遞方案共有（）

A.288種B.360種C.480種D.504種

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)以及插空法的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】先安排甲乙以外的4個(gè)人，然后抽空安排甲乙兩人，

故選:C

A.180B.210C.240D.360

【解析】【答案】C

【分析】用插入法求解.

故選：C.

A.160B.288C.336D.480

【解析】【答案】C

【分析】先排兩人不相鄰，再減去。或h在排頭的排法即可.

故選:C.

【題型六】分組分配問(wèn)題

【典例1】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的

旺季，他們?cè)诰皡^(qū)附近訂購(gòu)了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，但最多住2人，

男女不同住一個(gè)房間，則女生甲利女生乙恰好住在同一間房的概率是（）

1-1-23

A.-B.-C.—D.—

46710

【解析】【答案】C

【分析】先利用排列組合知識(shí)求解總的事件個(gè)數(shù)及所求事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型概率公式求解即可.

【詳解】3名女生需要住2個(gè)歷問(wèn)或3個(gè)厲問(wèn).

故選：C

【典例2】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）2023年成都大運(yùn)會(huì)期間，5名同學(xué)到4個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去

1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【解析】【答案】C

【分析】按照先分組，再分配的方法，即可求解.

故選:C.

【典例3】（2023?四川自貢?統(tǒng)考一模）2023年成都大運(yùn)會(huì)招募志愿者，現(xiàn)從某高校的6名志愿者中依次選

出3名擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)，2名擔(dān)任人員引導(dǎo)，1名擔(dān)任應(yīng)急救助.每名志愿者只能擔(dān)任一項(xiàng)，則甲乙不參與同一

項(xiàng)志愿服務(wù)的選法有（）種.

A.28B.36C.40D.44

【解析】【答案】D

【分析】先求出總的選法數(shù)，再求出甲乙參與同一項(xiàng)的可能選法，采用間接法，即用總數(shù)減去不符合要求

的選法數(shù)，即可求得答案.

【詳解】從6名志愿者中依次選出3名擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)，2名擔(dān)任人員引導(dǎo)，1名擔(dān)任應(yīng)急救助，

故選：D

【題型七】其他組合問(wèn)題

【典例1】（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）過(guò)去的一年，我國(guó)載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人

航天事業(yè)發(fā)展中的重要?環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測(cè)試，主要包括前庭功能、超重耐

力、失重飛行、飛行跳傘、著陸汨擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測(cè)試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛

行須安排在相鄰兩天測(cè)試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測(cè)試，則選拔測(cè)試的安排方案有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

【解析】【答案】B

【分析】根據(jù)特殊元素"失重飛行〃進(jìn)行位置分類方法計(jì)算，結(jié)合排列組合等計(jì)數(shù)方法，即可求得總的測(cè)試的

安排方案種數(shù).

此恃況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；

此恃況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；

故選:B.

【典例2】（2022?山東濰坊?二模）某學(xué)校為增進(jìn)學(xué)生體質(zhì)，擬舉辦長(zhǎng)跑比賽，該學(xué)校高一年級(jí)共有6個(gè)班，

現(xiàn)將8個(gè)參賽名額分配給這6個(gè)班，每班至少1個(gè)參賽名額，則不同的分配方法共有（）

A.15種B.21種C.30種D.35種

【解析】【答案】B

【分析】采用隔板法直接求解即可.

【詳解】將8個(gè)參賽名額分配給這6個(gè)班，名額之間并無(wú)區(qū)別，將8個(gè)參賽名額采用“隔板法”分成6份即可,

每份至少一個(gè)名額，

故選:B.

【典例3】（2022?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某國(guó)家級(jí)示范高職院校為做好春季高考招生工作，決定邀請(qǐng)

省內(nèi)部分高中優(yōu)秀高三學(xué)生到校進(jìn)行職業(yè)生涯體驗(yàn).若育才高中籽獲得的6個(gè)體驗(yàn)名額隨機(jī)分配給高三年級(jí)

4個(gè)班級(jí)，則每個(gè)班均獲得體驗(yàn)名額的概率為（）

655A195165

A.—B.—C.-----D.-----

8442512256

【解析】【答案】B

【分析】先根據(jù)題意，利用隔板法，分別計(jì)算名額分到1個(gè)班、2個(gè)班、3個(gè)班、4個(gè)班的情況，然后根據(jù)

滿足題意條件的情況，使用古典概型即可完成求解.

【詳解】由題意可知，將6個(gè)體驗(yàn)名額隨機(jī)分配給高三年級(jí)4個(gè)班級(jí)，一共會(huì)出現(xiàn)以下4種情況：

故選:B.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

A.-1B.3C.1D.----

99;

【解析】【答案】A

依次可得：

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)對(duì)稱性與周期性的判斷如下：

A.C；oB.C；C.D.C；

【解析】【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，

故選：B.

【訓(xùn)練三】（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考三模）教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)部分大學(xué)培養(yǎng)教育專業(yè)公費(fèi)師

范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去

任教，則（）

A.甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的概率為（

B.甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為2二5

42

C.每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為與

D.乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生旦丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為:

【解析】【答案】C

【分析】計(jì)算出將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教共有的分法種數(shù)，再

結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)里的具體要求求出符合其要求的分法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得相應(yīng)概率，

可判斷A,B,C,利用對(duì)立事件計(jì)算可判斷D.

【洋解】將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，

對(duì)于A,甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生，從5名男大學(xué)生選3人分到甲學(xué)校，

對(duì)于B,甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的情況包括恰有兩女大學(xué)生和恰有三女大學(xué)生，

人數(shù)11的2組分到男生人數(shù)為2,2的兩組，2名女生的一組分到男生1人的那一組，再分到3所學(xué)校，

故選:C

A.3B.4C.5D.6

【解析】【答案】A

【詳解】若有一根8cm的尺子，量出長(zhǎng)度為1cm到8cm且為整數(shù)的物體，

則當(dāng)尺子有3個(gè)刻度時(shí)滿足條件

故選:A

816-32、2

AA.—nB.—C.-D.一

3939795

【解析】【答案】B

【分析】按照要求分類討論計(jì)算艮」可.

【詳解】由題意可分以下四種情況討論：

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查集合與占典概型，較為新穎，屬于較難題.關(guān)鍵在于分類討論要不重復(fù)不遺漏，需要較高

的邏輯思維.

【訓(xùn)練六】（2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每

場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（）

A.48B.54C.60D.72

【解析】【答案】C

【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.

【詳解】將5名大學(xué)生分為122三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，

由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，

故選:C.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）品牌電商服務(wù)商是指專門為品牌方提供包括運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服

務(wù)等內(nèi)容的綜合電子商務(wù)服務(wù)的商家.某品牌方準(zhǔn)備與甲、乙、丙3家服務(wù)商進(jìn)行合作，為此對(duì)這3家服

務(wù)商的運(yùn)營(yíng)、IT、營(yíng)銷、倉(cāng)儲(chǔ)物流、客戶服務(wù)這5項(xiàng)內(nèi)容進(jìn)行考察，并根據(jù)考察結(jié)果對(duì)每項(xiàng)內(nèi)容按照從優(yōu)到

劣分為A，B,C3個(gè)等級(jí)，則甲服務(wù)商的這5項(xiàng)內(nèi)容等級(jí)均高于乙服務(wù)商和內(nèi)服務(wù)商的所有可能情況的種數(shù)

為（）

A.3125B.360C.256D.30

【解析】【答案】A

【分析】先根據(jù)排列組合列舉出一項(xiàng)符合題意的種數(shù)，再得出這5項(xiàng)所有可能情況的種數(shù).

【詳解】每項(xiàng)內(nèi)容甲服務(wù)商的等級(jí)都高于乙服務(wù)商和丙服務(wù)商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）

有ABB,ABC,ACB,ACC,BCC,共5種.

故選:A.

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，A,B,C,D，E共5名同學(xué)參加比賽，決

出第1名到第5名的名次.A和3去向教練詢問(wèn)比賽結(jié)果，教練對(duì)A說(shuō)：“你和8都沒(méi)有得到冠軍.〃對(duì)8說(shuō):

“你不是最后一名.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（）

A.54種B.72種C.96種D.120種

【解析】【答案】A

【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論：

當(dāng)A是最后一名，8可以為第二、三、四名，剩卜的三人安排在其他三個(gè)名次；

當(dāng)A不是最后■名，A,8需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，由加法計(jì)數(shù)原理

可得.

【詳解】根據(jù)題意可知A和8都沒(méi)有得到冠軍，且6不是最后一名，分兩種情況：

①A是最后一名，則B可以為第二、三、四名，即8有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，

故選A.

3.（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥(niǎo)島濕地門口五名同

學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（）

A.12種B.24種C.48種D.96種

【解析】【答案】B

【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的一人共“2人〃排

列，再插空排丙和丁.

故選：B.

4.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三位數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8,則我們稱M是一個(gè)“叔同

數(shù)"，例如"125,710〃都是“叔同數(shù)〃.那么所有“叔同數(shù)”中的偶數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）

A.17個(gè)B.19個(gè)C.20個(gè)D.29個(gè)

【解析】【答案】C

【分析】先寫出三位數(shù)各位數(shù)的和為8的所有可能的組合，再分類求出“叔同數(shù)〃中偶數(shù)的個(gè)數(shù)，相加可得結(jié)

果.

【詳解】三位數(shù)各位數(shù)的和為8的可能的組合有116,125,134,224,233,017,026,035,044,008,

由044,可排出2個(gè)“叔同數(shù)〃，且都是偶數(shù),

由008只能排出800一個(gè)“叔同數(shù)”，且為偶數(shù)，

所以它們排出的“叔同數(shù)”的偶數(shù)個(gè)數(shù)共有20個(gè)，

故選：C.

5.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）從兩名醫(yī)生、兩名教師和一名警察中任選兩名參加社會(huì)服務(wù)活動(dòng)，則兩人職業(yè)不

同的概率為（）

2134

A.-B.-C.-D.-

5255

【解析】【答案】D

【分析】首先求兩人職業(yè)相同的概率，再利用對(duì)立事件求解.

【詳解】?jī)扇瞬煌殬I(yè)的對(duì)立事件是兩個(gè)人的職業(yè)相同，

【解析】【答案】A

【分析】根據(jù)涂色問(wèn)題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可得總的方法數(shù).

故選:A.

7.（2023?江西?校聯(lián)考二模）圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，任意選這8個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則四邊形

為櫛形的概率是（）

10121416

A.——B.—C.—D.—

35353535

【解析】【答案】B

【分析】求出構(gòu)成的四邊形個(gè)數(shù)，再求出構(gòu)成的梯形個(gè)數(shù)，利用占典概率公式計(jì)算作答.

故選:B

8.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）6本不同的課本分給甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，每位同學(xué)至少分得1本，則甲、

乙分得的課本數(shù)量一樣的概率是（）

【解析】【答案】B

【詳解】利用部分平均分組分配法，分別求得總的基本事件件數(shù)與甲、乙分得的課本數(shù)最一樣的基本事件

件數(shù)，從而得解.

【分析】由題意得，分配方案有兩種：第一種方案：三個(gè)人各1本，一個(gè)人3本，

第二種方案：兩個(gè)人各1本，另外兩個(gè)人各2本，

因此共有1560種方法.

若甲、乙各得1本，則丙、丁可能按一人1本、一人3本分配或者每人2本分配，

因此共有600種方法，

故選：B.

【多選題】

9.（2023下?廣東清遠(yuǎn)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將A,B,C,。這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人

分得一張卡片，則（）.

A.甲得到4卡片與乙得到A三片為對(duì)立事件

B.甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對(duì)立事件

C.甲得到4卡片的概率為，

D.甲、乙2人中有人得到4卡片的概率為g

【解析】【答案】BCD

【分析】由互斥、對(duì)立事件的概念可判斷選項(xiàng)A、B；由排列組合和古典概型，可求甲得到AW片甲、乙2

人中有人得到A卡片的概率.

【詳解】甲得到4卡片與乙得到八卡片不可能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生，

所以甲得到4卡片與乙得到4卡片為互斥但不對(duì)立事件，A不正確，B正確.

故選：BCD

10.（2023?山東威海?統(tǒng)考二模）以下說(shuō)法正確的是（）

A.將4封不同的信全部投入3個(gè)郵筒，共有64種不同的投法

B.將4本不同的數(shù)學(xué)書和2本不同的物理書排成一排，且物理書不相鄰的排法有480種

【解析】【答案】BC

【詳解】對(duì)于A：第1封信可以投入3個(gè)信箱中的任意一個(gè)，有3種投法；

對(duì)于B：先排4本不同的數(shù)學(xué)書有A：種排法，再將2本不同的物理書插空有A；種排法，

故選：BC

11.（2023?黑龍江大慶?大慶市東風(fēng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的有（）

B.假定生男孩、生女孩是等可能的，在一個(gè)有兩個(gè)孩子的家庭中，兩個(gè)孩子都是女孩的概率是!

4

C.4份不同的禮物分配給甲、乙、丙三人，每人至少分得一份，共有72種不同分法

D.10個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額分配給4所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配一個(gè)名額，則共有C；種不同分法

【解析】【答案】ABD

【分析】對(duì)A,利用均值方差的性質(zhì)即可得到判斷；對(duì)B,利用列舉法即可判斷；對(duì)C,根據(jù)先分組，再排

列即可判斷；對(duì)D,利用隔板法即可.

對(duì)干B,假定生男孩、生女孩是等可能的，在一個(gè)有兩個(gè)孩子的家庭中，

設(shè)兩個(gè)孩子為甲和乙，則兩個(gè)孩子的性別可能為：①甲為男孩，乙為男孩；②甲為男孩，乙為女孩；

③甲為女孩，乙為男孩：④甲為女孩，乙為女孩，共4種情況，

兩個(gè)孩子都是女核只占其中1種情況,故兩個(gè)孩子都是女核的概率是:.B正確：

對(duì)于D,10個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額分配給4所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配一個(gè)名額，

采用擋板法可知在9個(gè)空格里放置3個(gè)空格，共有C；種不同分法，D正確.

故選：ABD.

12.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有兩批種子，甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%,乙批種子10粒，能

發(fā)芽的占70%,則下列說(shuō)法正確的有（）.

A.從甲批種子中任取兩粒，至少一粒能發(fā)芽的概率是京

B.從乙批種子中任取兩粒，至多一粒能發(fā)芽的概率是上

C.從甲乙兩批中各任取一粒：至少一粒能發(fā)芽的概率是部

19

D.如果將兩批種子混合后，隨機(jī)抽出一粒，能發(fā)芽的概率為三

【解析】【答案】ACD

【分析】由題意可知甲批有12粒發(fā)芽，乙批有7粒發(fā)芽.結(jié)合古典概率的概率公式、對(duì)立事件的概率公式以

及組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】甲批種子15粒，能發(fā)芽的占80%,乙批種子10粒,能發(fā)芽的占70%,

故選:ACD.

【填空題】

13.（2023上?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）將8個(gè)人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，

則不同的分組方法種數(shù)為.

【解析】【答案】280

【分析】組合問(wèn)題中既有均分又有非均分，先從8個(gè)人中選出3人為一組，再?gòu)?人中選出3人為一組，

注意均分分組中的順序問(wèn)題，剩余兩人為一組.

【詳解】先從8個(gè)人中選出3人為一組，再?gòu)?人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.

故答案為：280.

【解析】【答案】266

故答案為：266.

15.（2023?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考一模）現(xiàn)有A,B,C,D,E五人排成一列，其中A與B相鄰，C不排在兩邊，

則共有種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.

【解析】【答案】24

【分析】法一：先將A6捆綁，再排除C以外其他人，最后插空即可；

法二：先將A3捆綁，進(jìn)行全排列，再減去。在兩邊的情況.

故答案為：24.

16.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一條沿江公路上有18盞路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)打算關(guān)掉其中4盞路燈，

為安全起見(jiàn)，要求公路的頭尾兩盞.路燈不可關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰兩個(gè)路燈之間至少有3盞亮著的路燈，則不

同的方案總數(shù)共有種.

【解析】【答案】35

【分析】先將15盞路燈，按要求順序排好，再將剩余的3盞燈放入，考慮三盞燈在?起，分成兩組，三盞

燈均不在一起三種情況，計(jì)算得到答案.

【詳解】先拿出15盞路燈，按如下順序排好，（⑥表示燈亮；O表示燈滅）

再將剩下的三盞燈放進(jìn)去，

所以共有35種方法.

故答案為：35

【解答題】

17.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某食品公司在八月十五來(lái)臨之際開(kāi)發(fā)了一種月餅禮盒，禮盒

中共有7個(gè)兩種口味的月餅，其中4個(gè)五仁月餅和3個(gè)棗泥月餅.

⑴一次取出兩個(gè)月餅，求兩個(gè)月餅為同一種口味的概率：

⑵依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，求第1次、第2次取到的都是五仁月餅的概率:

⑶依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，求第2次取到棗泥月餅的概率.

【解析】【答案】⑴]

*

（吟

【分析】（1）根據(jù)組合知識(shí)，利用古典概型概率公式求解即可；

（2）根據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及排列知識(shí)，利用古典概型概率公式求解即可；

（3）根據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及排列知識(shí)，利用古典概型概率公式求解即可；

18.（2023?江西九江?統(tǒng)考二模）現(xiàn)有編號(hào)為2至5號(hào)的黑色、紅色卡片各一張.從這8張卡片中隨機(jī)抽取

三張，若抽取的三張卡片的編號(hào)和等于10且顏色均相同，得2分；若抽取的三張卡片的編號(hào)和等于10但

顏色不全相同，得1分；若抽取的二張卡片的編號(hào)和不等于10,得。分.

⑴求隨機(jī)抽取三張卡片得0分的概率；

⑵現(xiàn)有甲、乙兩人從中各抽取三張卡片，且甲抽到了紅色3號(hào)卡片和紅色5號(hào)卡片，乙抽到了黑色2號(hào)卡

片，求兩人的得分和X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】【答案】⑴《

7

⑵分布列見(jiàn)解析，-

【分析】（1）先研究三張卡片編號(hào)和等于10的情況，然后根據(jù)對(duì)立事件之間的概率關(guān)系得出所求概率；

設(shè)“隨機(jī)抽取三張卡片得分為0分”為事件A,

即隨機(jī)抽取三張卡片得0分的概率為普.

14

（2）得分和X的可能值為0,1,2,3,4

即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），有1種情況.

即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+4（紅）+4（黑）有1種情況.

若甲得2分乙得0分，則甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），對(duì)應(yīng)乙有4種情況：2（黑）+3（黑）+4（黑），2

（黑）+3（黑）+4（紅），2（黑）+4（黑）+5（黑），2（黑）+4（紅）+5（黑）；

若乙得2分甲得。分，則乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），對(duì)應(yīng)甲有2種情況：3（紅）+4（紅]+5（紅），3

（紅）+4（黑）+5（紅）.

即乙為2（黑）+4（紅）+4（黑），對(duì)應(yīng)甲有2種情況：3（紅）+3（黑）+5（紅），3（紅）+5（黑）+5（紅）.

???得分和X的分布列為：

X01234

2111

P

31?53030

19.（2023?全國(guó)?模擬領(lǐng)測(cè)）某商場(chǎng)在2023年元R舉辦了一場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng),并且設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)

和三等獎(jiǎng)，其中三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，每種獎(jiǎng)品都有若干個(gè)，凡是在該商場(chǎng)消費(fèi)的人均可參與抽獎(jiǎng)，

消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)后可從4種獎(jiǎng)品中隨機(jī)選擇一種，每種獎(jiǎng)品被選中的可能性相同，且每位消費(fèi)者抽中三

等獎(jiǎng)的概率均為g.

⑴求甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的概率；

（2）若有4位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)，記三等獎(jiǎng)的4種獎(jiǎng)品中無(wú)人挑選的獎(jiǎng)品種數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】【答案】⑴2

10

Q1

⑵分布列見(jiàn)解析，2

（2）依次求得離散型隨機(jī)變量的分布列取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而求解分布列與期望.

【詳解】（1）設(shè)事件M為“甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣〃,

因?yàn)槊课幌M(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為3，

（2）由題，X的所有可能取值為0,1,2,3,

由題知，4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，共有44種情況，

所以X的分布列為

X0123

39211

P

32記6464

20.（2023?河南開(kāi)封?開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）某平臺(tái)為了解某地區(qū)不同年齡用戶在該平臺(tái)觀看文娛新聞等

的同時(shí)是否從平臺(tái)上推薦的購(gòu)物車購(gòu)物的情況，在該地區(qū)隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果整理如下：

年齡段20以下70以上

購(gòu)物人數(shù)20302628680

未曾購(gòu)物人數(shù)105141224125

【分析】（1）根據(jù)組合的知識(shí)，結(jié)合占典概型求解即可；

21.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年河南、陜西、山西、四川、云南、寧夏、青海、內(nèi)蒙古8省區(qū)公布新高

考改革方案，這8省區(qū)的新高中生不再實(shí)行文理分科，今后將采用“3+1+2〃高考模式."3+1+2〃高考模式是指考

生總成績(jī)由全國(guó)統(tǒng)一高考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3個(gè)科目成績(jī)和考生選擇的3科普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試

科FI成績(jī)組成，滿分為750分.“3〃是三門主科，分別是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，這三門科目是必選的；“1〃指的是

要在物理、歷史里選一門，按原始分計(jì)入成績(jī);“2〃指考生要在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理