L7角平分線的性質(zhì)浙教版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級上冊同步練習(xí)

分數(shù)：120分；考試時間：120分鐘；；命題人：

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，在△力BC中，AB=AC,力。是A4BC的角平分線，過點。分別作DEJL48,DFLAC,垂足分別

是E,尸，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.LADC=90°B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

2.若a、b、c是直角三角形48c的三邊長，Ka2+b2+c2+200=12a+16b+20c,則△4BC三條角平分

線的交點到一條邊的距離為（）

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，直線a,b,c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相

C.3處D.4處

4.如圖，在A/IBC中，AB=AC,4D平分，BAC,DELAB,DFLAC,垂足分別是E,F.給出下列四個結(jié)

論：①4D上任意一點到48,AC的距離相等；②4。上任意一點到8,C兩點的距離相等；③4D18C且

BD=CD；④NBOE=4C0F.其中，正確的個數(shù)是（）

5.三條公路將力，B,C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使

集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（）

A.三條高線的交點B,三條中線的交點

C.三條角平分線的交點D.三邊垂直平分線的交點

6.如圖，在AABC中，P、Q分別是8C、AC上的點，過P作PR14B,PS1.AC,垂足分別為R、S,若

AQ=PQtPR=PS,貝ij

①力P平分乙B4C;

②/S=AR；

③QP〃4R;

?△BRPCSP

這四個結(jié)論中，正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.在正方形網(wǎng)格中，NAOB的位置如圖所示，到NAOB兩邊距離相等的點應(yīng)是（）

A.點MB.點NC.點PD.點Q

8.如圖，直線。、八c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相

等，則可供選擇的地址有（）

A.1處B.2處C.3處D.4處

9.如圖，在RtZiABC中，△8=90。，以點力為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交48、AC于點D,E,再分

別以點。、E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點心作射線4尸交邊8c于點G,若BG=1,AC=

4,則△4?G的面積是（）

A.2B.3C.4D.5

10.如圖，在中，△8=90。，以點4為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交48、AC于點D,E,再

分別以點。、E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點F,作射線A廣交邊8C于點G,若BG=1,AC=

13.如圖，在44BC中，4D平分NE4C,0E14艮若4c=2,DE=1,貝！

14.如圖，在△48C中，Z.C=90°,ZF=30°,40是乙84c的角平分線，DELAB,垂足為E,DE=1,則

BC=

15.如圖，在％、y軸上分別截取OA、OB,使。力=。氏再分別以點力、8為圓心，大于的長為半徑畫

弧，兩弧交于點。.若C的坐標為（3a,Q+10），則。=

力。平分2口力C,DELAB.^AC=2,DE=1,則

S△4CD=

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，如圖所示（點M,N表示大學(xué)，力。，8。表示公路），現(xiàn)計劃在

的內(nèi)部修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等.你能確定

倉庫應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計方案.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

18.(本小題8分)

如圖，在△力8C中，力。是AABC的角平分線，DE1AB于點E,"在邊AC上，月.8。=。尸.

圖①圖②

(1)如圖①，若乙C=90。，求證：XFCD^BED；

(2)如圖②，若NC<90。，試探究線段AB,AF,8E之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

19.(本小題8分)

下面是小明設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,直線BC及直線BC外一點P.

圖1圖2

求作：直線PE,使得PE〃8C.

作法：如圖2.

①在直線8c上取一點4連接24；

②作乙PAC的平分線力。；

③以點P為圓心，P力長為半徑畫弧，交射線4。于點E；

④蚱直線PE.

所以直線PE就是所求作的直線.根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：???AD平分/P4C,

:./.PAD=Z.CAD.

vPA=PE,

:./.PAD—______,

Z.PEA=,

???PE//BC\_____）（填推理依據(jù)）.

20.（本小題8分）

如圖，在口48CD中，乙4DC的平分線交力8于點E.

（1）尺規(guī)作圖：作N4BC的平分線，交C。于點“保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）求證：四邊形DE8F是平行四邊形.

21.（本小題8分）

已知：如圖，力。是A/WC的角平分線，DE1AB于點E,DF14C于點尸，BE=CF.求證:AD是BC的中垂

線.

22.（本小題8分）

如圖，四邊形中，AB=AC.^0=90°,5E1于點F,交CD于點、E,連接及4,EA平分匕DEF.

A

D

E

BC

（1）求證：AF=AD；

(2)若BF=7,DE=3,求CE的長.

23.（本小題8分）

如圖，點M在，B/1C的48邊上，用直尺與圓規(guī)分別按下列要求作圖:

（2）在圖②中作。。，使。。與小。相切，且與48相切f點M.（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）

24.（本小題8分）

如圖，四邊形力BC。中，CD=CB,4C平分乙。力氏。/_148于點?，CEJ.710的延長線于點E.

（2）若40=2,AB=7,請直接寫出人廠的長.

25.（本小題8分）

如圖，在△4BC中，。是418。，乙4cB的平分線的交點，。'是乙4鳳:，乙4c8外角的平分線的交點.

(1)點。'在4/1的平分線上嗎？為什么？

(2)求證：Z.BOC+Z-BO'C=180°.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：???4B=4C，/D是△ABC的角平分線，

???AD1.BC,BD=CD,乙B=乙。,

ALADC=900,

在48?！旰推虲OF中，

Z.B=乙C

乙BED=乙CFD,

BD=CD

：.^BDE^ACDF(AAS),

：.DE=DF,

故選:C.

由等腰三角形的性質(zhì)可得40IBC,BD=CD,乙B=LC,由“A4S”可證△CD"，可得DE=

DF.

本胭考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰「角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】B

【解析】a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,???a2-12a4-36+b2-16b+64+c2-20c+100=

0.???(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0.a-6=0,b—8=0,c—10=0.'?a=6,b=8,c=

10,.?.。2+匕2=62+82=100=。2..?.乙4。8=90°.如圖，設(shè)G為△ABC的三條角平分線的交點，過G作

GDLAB,GF1BC,GH1AC,垂足分別為。、F、H,^]GD=GF=GH,而底.點=?AC=gab=

24,又S&ABC=SAAGC+SHBGC+SMGB=\^^ABC'GD????1(6+8+10)-GD=24,???GD=2.故選B.

3.【答案】D

【解析】【分析】

此地考查了角平分線的性質(zhì).注意掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,

小心別漏解.

由三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點滿足條件；然后利用

角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可

供選擇的地址有4個.

【解答】

解：???△ABC內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，

??.△ABC內(nèi)角平分線的交點滿足條件；

如圖：點P是△ABC兩條外角平分線的交點，

過點P作PE1AB,PD1BC,PF1AC,

:.PE=PF,PF=PD,

PE=PF=PD,

.?.點「到^ABC的三邊的距離相等，

.?.△ABC兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點有3個；

綜上，到三條公路的距離相等的點有4個，

???可供選擇的地址有4個.

故選

4.【答案】D

【解析】略

5.【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可。

【解答】

解：在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)

市場應(yīng)建在N/1、乙B、”的角平分線的交點處。

故選Co

6.【答案】B

【解析】①148,PSLAC,PR=PS,

.?"P平分乙&4C,故①正確

②易證△力PR=^APS,

AS=AR,故②正確；

③如圖，

vAQ=PQ,

Zl=Z.APQ,

:?乙PQS=41+乙4PQ=2Z1,

???力。平分484。，

Z.BAC=2Z.1,

???乙PQS=Z.BAC,

QP//AR,故③正確；

@vPR1AB,PS1AC,

.?.乙BRP=MSP,雖然PR=PS,但是48/?。與△CSP不一定全等（只具備一角一邊分別相等的兩個三角形

不一定全等），

故④不正確.

故選B.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本地主要考查的是角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.角的平分線上的點到角的兩

邊的距離相等.

【解答】

解：觀察圖形可知點M在2A08的角平分線上，???點M到乙4。8兩邊距離相等.

故選A

8.【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了角平分線的性質(zhì).注意掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

小心別漏解.

由三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點滿足條件；然后利用

角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可

供選擇的地址有4?個.

【解答】

解：???△ABC內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，

??.△ABC內(nèi)角平分線的交點滿足條件；

如圖：點P是△ABC兩條外角平分線的交點,

過點P作PE1AB,PD1BC,PF1AC,

APE=PF,PF=PD,

APE=PF=PD,

???點「到^ABC的三邊的距離相等,

.?.△ABC兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點有3個;

綜上，到三條公路的距離相等的點有4個,

???可供選擇的地址有4個.

故選。.

9.【答案】A

【解析1解：由作法得4G平分乙84C,

G點到力C的距離等于BG的長，即G點到力C的距離為1,

所以△ACG的面積=1x4x1=2.

故選：A.

利用基本作圖得到AG平分48AC,利用角平分線的性質(zhì)得到G點到AC的距離為1,然后根據(jù)三角形面枳公

式計算△ACG的面積.

本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知

線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）是解題的關(guān)鍵.也考查了角平分線

的性質(zhì).

10.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知

線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.也考查了角平分線的性質(zhì).

利用基本作圖得到AG平分，8/1C,利用角平分線的性質(zhì)得到G點到AC的距離為1,然后根據(jù)三角形面積公

式計算△4CG的面積.

【解答】

解：由作法得/G平分乙8力C,

???G點到4。的距離等于8G的長，即6點到力C的距離為1,

所以△ACG的面積=1x4x1=2.

故選：C.

11.【答案】C

【解析】解：

Z^/1C+ZC=1800,

??"何=180°—70°=110°,

由作法得力E平分4B4C,

A，BAE=Z.CAE=1x110°=55°,

???￡AED=4。+^CAE=700+55°=125°.

故選:C.

先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NB4C=110。，再利用基本作圖得到乙B4E=^CAE=55。，然后根據(jù)三角形外角

性質(zhì)可計算出乙4ED的度數(shù).

本題考查了平行線的性質(zhì)，作一個角的平分線以及三角形外角的性質(zhì)，掌握用尺規(guī)作圖作一個角的平分線

的作法是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】D

【解析】略

13.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查角平分線的性質(zhì)，通過倫輔助線求出三角形4CD中4c邊的高是解題的關(guān)鍵.

作DF_LAC于點F,由角平分線的性質(zhì)推出。尸=/)￡1=1,再利用三角形面積公式求解即可.

【解答】

解：如圖，作。于點尸,

平分48AC,DE1AB,DFLAC,

???DF=DE=1,

^S,ACD=^AC-DF=1x2xl=l.

故答案為：1.

14.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查了角的平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，理解性質(zhì)定理是關(guān)鍵.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長，然后在直角ABDE中，根據(jù)30。的銳角所對的直角邊等于斜邊的一

半，即可求得8。長，則BC即可求得.

【解答】

解：???力。是△力8c的角平分線，DE1A8,LC=90°,

ACD=DE=1,

乂???直角ABDE中,=30°,

:.BD=2DE=2,

；.BC=CD+BD=l+2=3.

15.【答案】5

【解析】由尺規(guī)作圖可知，交點C是乙4。8的平分線上的一點,

?.?點C在第一象限，

???點C的橫坐標和縱坐標都是正數(shù)，且橫坐標等于縱坐標，

.??3Q=Q+10,解得。=5.經(jīng)檢驗，a=5符合題意.故填5.

16.【答案】1

【解析】解：過點。作1AC,垂足為廣，

???力0平分N8AC,DELAB,DFLAC,

DE=DF=1,

-AC=2,

1

:?S&ACD=2AC'DF

1

=2X2X1

=1?

故答案為：1.

過點。作D~14C,垂足為尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF=1,然后利用三角形的面積進行計算即

可解答.

本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

17.【答案】解：點P即為所求.

【解析】見答案

18.【答案】【小題1】

解：證明：??TO是角平分線，DELAB."=90。，=在RM"。和RtZkBEO中，史￡=??

ICD=ED,

Rt&FCDSBED(HL).

【小題2】

48-AF=2BE.證明如下：如圖，過點。作DGJ.4C于點4)是角平分線，DELAB,DGLAC,???

r)p—r)R

{二I-?*-Rt△FGD^Rt△BED(HL),：.FG=BE.在Rt△AGD

DU=L/c,

與RCA4E0中，ARtAAGD^Rt△AEDf<HL),：.AG=AE,：.AB-AF=AB-(AG-FG)=

AB-(AE-BE)=AB-AE+BE=BE+BE=2BE.故線段48,AF,8E之間的數(shù)量關(guān)系為48-AF=

2BE.

【解析】1.略

2.略

19.【答案】解：(1)如圖所示：直線PE即為所求.

(2)"區(qū)4,Z.CAD,內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【解析】解：(1)見答案；

(2)證明：rAD^^PAC,

???/.PAD=Z.CAD.

PA=PE,

:./.PAD=Z.PEA,

AZ.PEA=/.CAD,

.?.PE〃8C.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).

故答案為：乙PEA,Z.CAD,內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

(1)根據(jù)要求作圖即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定及用平分線的定義求解可得.

本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定及角平分線的定義.

20.【答案】【小題1】

證明：?.?四邊形力BCO是平行四邊形，.??4A。。=CD//AB.：.乙CFB=CABFJ：DE,BF分別平分

Z/1DC,乙ABC,CDE=1z/IDC,iABF=g乙ABC.：.乙CDE=Z.ABF.：,乙CDE=Z.CFB.DE//BF.又?:

CD//AB,即尸D〃E8,.??四邊形。EBF是平行四邊形.

【解析】1.略

2.略

21.【答案】證明：因為4。是△48C的角平分線，DEA.AB,DF1AC,

所以。E=Dr,/-ADE=Z.ADF.

又因為BE=C/，Z-BED=A.CFD=90°,

所以△BED=^CFD(SAS).

所以8。=CO,乙BDE=cCDF.

所以iBDE+4ADE=乙CDF+Z.ADF,即心408=Z.ADC.

又因為4408+乙40。=180。，所以4408=90。，^AD1BC.

所以4D是8c的中垂線.

【解析】見答案

22.【答案】(1)證明：???4。=90。，8￡14。于點尸，

:.LD=Z.AFE=90°

???E4平分NDEF,

:.Z.AED=Z.AEF

在hAFE和〉A(chǔ)DE中

乙D=^AFE=90°

/-AED=^AEF

AE=AE

.-.△/IFF三△ADEQ4AS),

:.AF=AD.

(2)解：???BE_L4C于點產(chǎn)，

:./.AFB=90°.

在RCA/IFB和山△ADC中，

(AB=AC,

lAF=AD,

:.RtAAFB三RtAADC(HL).

???BF=CD.

vBF=7,

CD=7.

vDE=3,

:.CE=CD-DE=7—3=4.

【解析】(1)運用角平分線的性質(zhì)定理證明A4FE三△4DE,進而可得結(jié)論；

(2)先證明團三團ADC可得BF=CD,即CD=7,最后根據(jù)線段的和差即可解答.

本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點運用HL證得團?!尸B三口力DC是解題的

關(guān)鍵.

23.【答案】【小題1】

如圖所示，。