14.3角的平分線（角平分線的判定定理）過關(guān)練習(xí)

2025?2026學(xué)年上期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)

一、單選題

I.在VABC中，點(diǎn)。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到V4BC三邊的距離相等.若4=40。，則/6OC的

度數(shù)為（）

2.如圖，是&48c中NB4C的角平分線，OE_LAC于點(diǎn)E,SABC=9,DE=2,4C=6,WOAB

長是（）

A.2B.3C.4D.5

3.縱橫交錯(cuò)的公路和鐵路將A,B,C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖所示的三角形區(qū)域.若建一個(gè)到三條道路

的距離相等的物流倉儲(chǔ)基地，則這個(gè)基地應(yīng)該建在（）

A.VA3c的三條高線的交點(diǎn)B.VA3C的三條中線的交點(diǎn)

C.VABC的三條角平分線的交點(diǎn)D.V/WC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)

4.如圖，在VAAC中，ZR4C=70°,AB=4,AC=2,若S?=2S““，則NC4D的度數(shù)為（）

C.35°D.30°

3

5.如圖，VA4c中，AO平分/B4C,A8=4,AC=2,若4c。的面積等于彳，則△A4O的面

積為（）

A

A.12

6.如圖，在△ABD和AACE中，AB=AD.AC=AE.AB>AC,ZDAB=ZCAE=50°,連接BE,CD交

于點(diǎn)F,連接版.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

D

A.BE=CDB.Z￡FC=50°C.必平分N。莊D./DAF=NEAF

7.如圖.點(diǎn)。是的邊BC卜一點(diǎn).連接AD,/VW/）與-Aa）的面積比是5:4,AB=\（）,AC=S,

ZBAC=50°,則28Ao的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30。D.35°

8.如圖，在V4BC中，CO是AB邊上的高，BE平分NABC,交CD于點(diǎn)E,BC=4,OE=1,則小BCE

的面積等于（）

二、填空題

9.如圖，在RtV人BC中，ZC=90°,N8=40。，點(diǎn)。在邊8C上，且CO=3,若點(diǎn)。到48的距離

為3,則ND4A=度.

A

10.如圖，。是-ABC內(nèi)一點(diǎn)，且。到三邊的距離O尸=OO=OE,若

ZBAC=70ZBOC=.

II.如圖，VA8C的三條角平分線交于點(diǎn)。，。到A8的距離為3,且VABC的周長為18,則V48c的

面積為.

12.在RtZ\48C中，44=90。，點(diǎn)。在AC上，OEJ_于點(diǎn)E,且OE=A4,連接。8.若NC=20。,

則ZDBE的度數(shù)為。.

13.如圖，在V4BC中，ZA=73°,NC=47。，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接4。，DEJ.AB于E,DF±BC

于尸，若DE=DF,則NOB/的度數(shù)是.

14.如圖，ZACD是V"C的外角，ZBEC=42Q,/ABC和ZACD的平分線相交于點(diǎn)區(qū)連接AE,

則NC4￡的度數(shù)是

A

19.如圖，已知RE尸分別是VA8C三邊上的點(diǎn)，CE=3E,且△力CE的面積與“加產(chǎn)的面積相等.求

證：AO平分-84C.

20.如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并

且到河流與公路交叉點(diǎn)A處的距離為1cm（指圖上距離）的地方，則圖中工廠的位置應(yīng)選在哪里？畫

圖并說明理由.

21.如圖，在V48C中，N46。和/AC8的平分線相交于點(diǎn)G,ZBAC=50°,連接AG.

⑴求/8GC的度數(shù)：

⑵求證：AG平分-84C.

22.角平分線判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

符號(hào)語言：\PC=PD,PC±OA,PD1OB,

點(diǎn)尸在NAO6的平分線上.

AAA

(1)小明認(rèn)為2。，。夕覺兩個(gè)條件可以替換^^^^二。。'',結(jié)論仍成立.即，若C、。兩

點(diǎn)分別在N4OB的兩邊。4、(用上，0C=。。，點(diǎn)尸在的內(nèi)部，PC=PD,則點(diǎn)尸在NAOB

的平分線上，請(qǐng)你給出證明.

(2)小紅認(rèn)為“PCJ_Q4,尸。_L08”這兩個(gè)條件可以直接去掉，結(jié)論也成立.即，若點(diǎn)尸在N4O8的內(nèi)

部，PC=PD,則點(diǎn)P在NA03的平分線上.小紅的想法對(duì)嗎？若對(duì)請(qǐng)給出證明，若錯(cuò)請(qǐng)用直尺和

圓規(guī)作出反例.(尺規(guī)作圖寫出必要的文字說明或作圖步驟)

(3)尺規(guī)作圖：用三種方法作NAO3的角平分線.(與出必要的文字說明或作圖步驟).

參考答案

題號(hào)12345678

答案ABCCCDBB

1.A

【分析】本題考查了角平分線的判定定理，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可推出。是ABC三條角平分線的交點(diǎn)，即80是乙48c的角平分線，CO

是Z4C8的角平分線，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出/B0C的度數(shù).

【詳解】。至ijVA3C-：邊的明離相等

???。是三條角平分線的交點(diǎn)

???B。是的角平分線，C0是角平分線

/.NCBO=NABO=-ZABC,NBCO=ZACO=-N4CB

22

vZA=40°

ZABC+Z4CB=180o-Z4=I80o-40o=140°

NCBO+NBCO=+ZACB)=1x140°=70°

22

Z50C=180°-700=110°

故選：A.

2.B

【分析】過點(diǎn)。作"_LA8于點(diǎn)尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=O/=2,根據(jù)三角形的面積公

式，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)。作于點(diǎn)產(chǎn)，

???AO是&4BC中NB4C的角平分線，。七_(dá)147于點(diǎn)后，

工DE=DF=2,

V54BC=9,AC=6

.\-A/?x2+-x6x2=9

22

解得：A8=3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)角平分線的性

質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即可得到答案.

【詳解】解：到三條道路的距離相等的物流倉儲(chǔ)基地，

??.這個(gè)基地應(yīng)該建在VA3c的三條角平分線的交點(diǎn)，

故選：C.

4.C

【分析】作于點(diǎn)￡,作DF上AC于點(diǎn)F,根據(jù)S人9=2S八⑺可證。石=。尸，從而可知A0是

N7MC的平分線，進(jìn)而可求出NC4力的度數(shù).

【詳解】解：如圖，作OE工人4于點(diǎn)E,作。尸/AC于點(diǎn)F,

?0ABD—乙”ACD，

：.-ABDE=2x-ACDF.

22

VAB=4,AC=2,

J4DE=4DF

，DE=DF,

，AO是28AC的平分線.

ZC4D=-ZBAC=-x70o=35°.

22

故選C.

5.C

【分析】過。點(diǎn)作DE/A6于bD尸于R利用角平分線的性質(zhì)得再根據(jù)三角形

11333

面積公式，利用SA6=7O6AC=q。尸x2=；得到。/二三，則OE=9,然后利用三角形面積公式

計(jì)算△A3。的面積即可.

【詳解】解：過D點(diǎn)作DE/AB于E,DFJ.AC于F,如圖，

???人￡＞平分/BAC,，

，DE=DF,

|13

V5./*1-/./=-2DFAC2=-DFx2=-,

/.DE=—.

2

113

:,S,=-ABDE=-x4x-=3.

AHB"I)222

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟知性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距

離相等.

6.D

【分析】此題重點(diǎn)考查全等三用形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式證明線段相等、角平分線的判定，首

先證明AAZX^AABE(SAS)，再在此基礎(chǔ)上逐個(gè)去判斷即可.

［詳解］AB=AD,AC=AE,AB>AC,NDAB=ZCAE=50°,

/.ZDAB+ABAC=ZEAC+ABAC,

即/D4C=N84E.

在△/4DC和ABE中，

AD=AB.

<ZDAC=ZBAE

AC=AE,

AAOCgzM阻SAS),

：.BE=CD,故選項(xiàng)A正確；

一ADC^ABE,

..ZJ\DC=zLABE.

?：AB=AD,ZDAB=50°,

NA￡>8+NABO=180°-50。=130°.

ZEFD=ZFDB+ZFBD=ZFDB+ZABD-VZABF=ZFDB+ZABD+ZADF=ZADB+ZABD=,

/.ZEFC=180°-ZEFD=50°,故選項(xiàng)B正確：

如圖，過點(diǎn)A作4P_LCO于點(diǎn)P，AQ，B石于點(diǎn)Q.

D

A

RC.

,,S,4/X'=SABE，=BE,

:.^DCAP^BEAQt

:.AP=AQt

.?.E4平分NDfE,故選項(xiàng)C正確；

???￡4平分/。/￡,

/.ZAFD=ZAFE.

\-AC=AE,AB>AC

AB>AE,

：.ZABE^ZAEF.即NAO尸HNAEF,

..ZDAF^ZEAF,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：D.

7.B

【分析】過點(diǎn)D作/泌_L/V），￡W_￡AC,根據(jù)已知由面積比可求出DM=DN,由此判定A。平分

ZBAC,即可得出/8AD=25°.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作。MJLAO,DN1AC,

???△48。與,4c。的面積比是5:4,AB=10,AC=8,

.AB-DM5

**AC-DN-4

XVAB=10,AC=8,

/.DM=DN,

，4。平分/8AC,

???NBA。=-NB4c=1x50°=25°.

22

故選B.

【點(diǎn)睛】本題上要考查了角平分線性質(zhì)和判定，根據(jù)面積比求邊長比從而得出=是解題關(guān)鍵.

8.B

【分析】過E作EF1BC于F,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=DE=8,根據(jù)三角形面積公式求出即可.

【詳解】解：過E作EF_LBC于F,

〈CD是AB邊上的高，BE平分NABC,交CD于點(diǎn)E,DE=1,

/.DE=EF=1,

VBC=4,

SAABC=-XBCXEF=-X4X\=2

22

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=DE=8是解此題的關(guān)鍵，注

意：在角的內(nèi)部，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

9.25

【分析】過點(diǎn)。作于點(diǎn)七，根據(jù)點(diǎn)。到A8的距離為3,則。E=CO=3,根據(jù)角平分線的

判定定理可知AD平分NC43,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NC44=50。，進(jìn)而可求出2048的度

數(shù).

【詳解】解：過點(diǎn)。作。于點(diǎn)￡,

丁點(diǎn)。到AB的距離為3,

：.DE=3,

??CD=3,

：.DE=CD,

ZC=90°,

：.DC±ACf

.?.力。平分/CAB,

*.ZC=90°,4=40。，

.-.ZG4^=50°,

ZDAB=-ZG4B=-x50°=25°,

22

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟記角平分線的判定定理并靈活運(yùn)用.

10.125。/125度

【分析】本題考查了角平分的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握在角的內(nèi)部到一個(gè)角兩邊距離相

等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上是解題的關(guān)犍.根據(jù)角平分線的判定定理得出平分N48C,C。平分

4CB,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N43C+NAC火=10：)。，進(jìn)而求出NO8C+N。圓的度數(shù)，

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N80C的度數(shù)即可.

【詳解】O到三邊AB.BC.CA的距離OF=OD=OE,

.?.80平分NA8C,CO平分ZAC6,

/.Z.OBC=L/ABC/OCB=-ZACB,

22

NZMC=70。，

.?.ZABC+ZACB=110°,

/.NOBC+NOCB=55。,

ZI3OC=180°-(ZOI3C+NOCB)=125°.

故答案為：125。.

11.27

【分析】作OELAC,OHBC,垂足分別為。、E、F,將△A6C的面積分為：

SZA/kSdOBc+SaOAc+SaOAB,而三個(gè)小三角形的高OD=OE=OF,它們的底邊和就是△ABC的周長，可

計(jì)算△人的面積.

【詳解】如圖，作OOJ_AB,0E1AC,OFLBC,垂足分別為。、E、F,

?：OB，OC分別平分NA8C和/ACB,

：?OD=OE=OF=3,

SAABC=SAOBC+SAOAC+S^OAB

=AB*OD+^-AC*OE+BC*OF=OD(AB+BC+AC)=^x3x18=27,

22222

故答案為27.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積；利用三角形的三條先平分線交于一點(diǎn)，將三角

形面積分為三個(gè)小三角形面積求和，發(fā)現(xiàn)并利用三個(gè)小三角形等高是正確解答本題的關(guān)鍵.

12.35

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線的判定定理，熟練應(yīng)用角平分線的判定定理是解題關(guān)

鍵，先證ZABD二NEBD,再求出/45。=90。-20°=70°即可求出結(jié)論.

【詳解】解：:/比_LA”，乙4=90°,且￡>￡=&1,

:.ZABD=/EBD,

N4=90。，ZC=20°,

/.ZABC=90°-20°=70°

\?DBE-W70=35?,

2

故答案為：35.

13.30。/30度

【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可得N/WC=60。，又易證80平分/A3C,然后利用角平分線的

定義即可解答.

【詳解】解：???ZA=73。,ZC=47°,

^4BC=1800-ZA-ZC=60°.

DEA.AB,DFA.BC,DE=DF,

/.8。平分/48C,

???ZDBF=-ZABC=30°,

2

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的判定和定義.熟練掌握角平分線的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

14.480/48度

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義列式并整理得到

^BAC工BEC,過點(diǎn)E作￡產(chǎn)_1_必交延長線于F,作EG_LAC于G,作EH_L4O于H,根據(jù)角平分

線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得砂="/,EG=EH,然后求出b=再根據(jù)到角的兩邊距

離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出AE是NC4/的平分線，再根據(jù)角平分線的定義解答即可.

【詳解】解：???/A3C和NACO的角平分線相交于點(diǎn)￡

???NCBE=-ZABC,4ECD=-NACO,

22

山三角形的外角性質(zhì)得，ZACD=ZABC+NBAC,

/ECD=/BEC+/CBE,

：.-Z.ACD=NBEC+-/ABC,

22

J-(NA4C+NBAC)=/BEC+-NABC,

22

整理得，？BAC2?BEC,

ZBEC=42°,

:.ZBAC=84°,

過點(diǎn)七作EF_L84交延長線于廣，作EG_LAC于G,作印18。于H,

*/BE平分NA6C,

EF=EH,

???CE平分NACO,

EG=EH.

/.EF=EG,

:.AE是NC4尸的平分線，

:.ZCAE=-(180°-ZBAC)=-(180°-84°)=48°.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理與角平分線的判

定定理，難點(diǎn)在于作輔助線并判斷出4E是VA8c外角的平分線.

15.50

【分析】本題考查了角的等分線計(jì)算，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.設(shè)ZA3C=3x,ZACB=3y,根

據(jù)三等分線的性質(zhì)，角的平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)ZA8c=3x,4cs=3），，

???點(diǎn)、M、N是NA3C與NAC6三等分線的交點(diǎn)，

???NCBN=NNBM=NMBA=-ZABC=x,4BCN=NNCM=ZMCA=-/ACB=y,

33"

VZA=60°,ZABC+Z4CB+ZA=180°,

???3x+3y=18O°-ZA=l20°,

Ax+>'=40°,

?,.ZBMC=180°-2(x+y)=1(X)°,

如圖，過點(diǎn)N作NGJLBC于G,NELBM于E,NF上CM于F,

?:點(diǎn)、M、N是2A4c與2AC8三等分線的交點(diǎn)，

?,.8N平分NMBC,CN平分乙MCB,

??.NE=NG.NF=NG、

:?NE=NF,

:?MN平分/BMC,

：.4BMN=-/BMC=50°,

2

故答案為：50.

16.證明見解析

【詳解】試題分析：過點(diǎn)O作OE_LAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=OB,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出

OE=OD,從而得出角平分線.

試題解析:過點(diǎn)O作OE_LAC,???OE=OB又二點(diǎn)O為BD的中點(diǎn).\OB=OD,

???OE=OD,I.OC平分/ACD.

17.是，見解析

【分析】利用等面枳法求得OE=C。，再根據(jù)角平分線的判定定理，即可求解.

【詳解】解：AO是N84C的平分線.理由如下：

VA^=10,△A4O的面積為15,DEJ.AB,

ADE=25^=2X15=3>

AB10

VCD=3,

/.DE=CD.

VZC=90°,DEJ.AB,

,4。是/B4C的平分線.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的判定定理.

18.見解析

【分析】根據(jù)。是的中點(diǎn)得8Z>CO,根據(jù)力及LAB,DF上AC得NBED=/DFC=90。,利用

AAS可證明/\BDE沿ACDF,即可得OE=￡>尸，

根據(jù)OE_L48,DF1AC,DE二DF即可得.

【詳解】解：是3c的中點(diǎn)，

???BD=CD,

VDEI.AB,DF±ACt

:?/BED=4DFC=W,

在一8。石和△COr中，

NBED=NDFC

<NEDB=NFDC

BD=CD

/.ABDE^ACDF(AAS),

，DE=DF,

VDEA.AB,DF1AC,DE=DF

???A。是“8C的角平分線.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意掌握角平分

線的判定，仝等三角形的判定與性質(zhì).

19.見解析

【分析】過點(diǎn)。作0M于點(diǎn)M,。a147于點(diǎn)汽，根據(jù)4。(主的面積與QBF的面積相等得

RF.DMCF-DN

=，根據(jù)得DW=DV,根據(jù)。M1AB,￡W_LAC,即可得.

22

【詳解】證明：如圖所示，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)M,DNJ.AC于點(diǎn)N,

,：ADCE的面積與.。M的面積相等

BFDMCEDN

/.--------=-------.

22

?.CE=BF,

/.DM=DN,

又jZ）M_L4RZ）N_L4C,

.?./V）平分NBAC.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的判定定理.

20.見解析

【分析】先根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作出圖，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：如圖，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交A￡、A”于點(diǎn)、B、C,分別以點(diǎn)8、C

為圓心，大于38c的長度為半徑畫弧，兩弧交一￡4尸內(nèi)部于點(diǎn)兒作射線AP,以點(diǎn)A為圓心，1cm

的長為半徑畫弧，交AP于點(diǎn)O,則點(diǎn)。即為所求，

理由：7由作圖步驟可知，"是/￡4”的角平分線，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，

.?.AP上的點(diǎn)到A尸的距離相等，

AD=1cm,

???工廠應(yīng)該選在點(diǎn)。處.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法

以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.（1）115°

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，ZCBG=^ZABC,4BCG=；/ACB,根據(jù)角之心的關(guān)系得

NCBG+NBCG=65。,即可得；

（2）過點(diǎn)G作GM_LAB,GN_L8C,G。_L4C,垂足分別為M,N,Q,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得GM=GN,

GN=GQ,根據(jù)GM_LARG0_LAC即可得.

【詳解】（1）解：：BE,CF分別平分^ABC,/ACB,

AZCBG=-ZABC,NBCG二L/ACB,

22

NCBG+乙BCG=-ZABC+-^ACB=-(ZABC+/ACB)=1x(180°-NBAC)=1x(180°-50°)