專題7.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積

目錄

目錄......................................................1

一、5年高考?真題感悟.....................................2

二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析....................................4

【課程標(biāo)準(zhǔn)】......................................................4

【考情分析】......................................................4

【2026考向預(yù)測】..................................................4

三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí)......................................5

知識點(diǎn)一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點(diǎn)、線、面...................s

知識點(diǎn)二、簡單凸多面體-棱柱、棱錐、棱臺...........................5

知識點(diǎn)三、簡單旋轉(zhuǎn)體-圓柱、圓錐、圓臺、球.........................6

知識點(diǎn)四、組合體..................................................6

知識點(diǎn)五、表面積與體積的計(jì)算公式.................................6

知識點(diǎn)六、空間幾何體的直觀圖......................................7

四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破....................................8

考點(diǎn)1空間幾何的結(jié)構(gòu)特征........................................8

考點(diǎn)2柱體的表面積與體積........................................9

考點(diǎn)3椎體的表面積與體積.......................................10

考點(diǎn)4臺體的表面積與體積.......................................11

考點(diǎn)5組合體的表面積與體積......................................11

考點(diǎn)6表面積與體積中的最值問題.................................13

五、必考題型?分層訓(xùn)練...................................14

A、基礎(chǔ)保分........................................................14

B、綜合提升........................................................16

一、5年高考?真題感悟

1.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-/WC￡>中，底面A4CO是邊長為4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2>/2?該棱錐的高為（）.

A.1B.2c.V2D.x/3

2.（2024?天津?高考真題）在如圖五面體"C-OEF中，棱A。,8瓦。廠互相平行，且兩兩之間距離均為1.若

AO=LBE=2,CF=3.則該五面體的體積為（）

GV3IGn3>/31

642242

3.（2024?新課標(biāo)回卷?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為豆，則

圓錐的體積為（）

A.2底tB.36式C.6GD.9G%

4.（2023?全國乙卷?高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為G，。為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，

404=120。，若二皿的面積等于生8,則該圓錐的體積為（）

4

A.冗B.瓜九C.34D.3瓜兀

5.（2023?新課標(biāo)0卷?高考真題）（多選題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,四為底面直徑，ZAPB=\200,

尸4=2,點(diǎn)。在底面圓周上，旦二面角尸一AC—O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為入B.該圓錐的側(cè)面積為4百幾

C.AC=2亞D..?,尸4c的面積為6

6.（2025?全國二卷?高考真題）一個(gè)底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）

內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

7.（2025?上海?高考真題）如圖，在正四棱柱ABC。-A瓦GA中，=472,DB.=9,則該正四棱柱的體

積為_______

8.（2025?北京?高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其

中ABCDEF是一個(gè)平面多邊形,平面AFR，平面ABC,平面C。?；：1平面ABC,AB1BC,AB//EF//RS//CD,

7

BC//DE//STn//A/.若4K=8C=8,A/=CO=4,ZM=Rb=7J）C==工，則該多面體的體積為.

9.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量〃是畬、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升

量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容枳成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依

次為65mm,325mm,325mm,且斛.量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

10.（2023?上海?高考真題）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C,滿足AB=AC=8C=1,在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不

計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí)

知識點(diǎn)一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點(diǎn)、線、面

（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間

圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）.

知識點(diǎn)二：簡單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每用鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱;

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱;

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱;

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱;

(5)直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體;

(6)長方體：底面是矩形的直平行六面體;

(7)正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱

錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的

棱臺叫做正楂臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

正

時(shí)

棱

直校欄正棱柱柱

三棱柱四棱柱

凸

多

面斜平行六面體長方體

體

梗錐一正梗錐正四面體

正

方

正多面體體

知識點(diǎn)三：簡單旋轉(zhuǎn)體一圓柱、圓錐、圓臺、球

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫

做圓錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面

距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）.

知識點(diǎn)四：組合體

由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

知識點(diǎn)五：表面積與體積計(jì)算公式

表面積公式

=chi2stit

S科檢柱=c7+2s耗(<?'為直截面周長

柱體

)

4I//,

UE2"

S閔鈾=2^r2+=2^r(r+/)

錐體

表2

SlrJW=Trr+7trl-7tr[r+/)

面k

積

，：枝臺=；〃3+4)力+51.+5卜

臺體

5品=欣產(chǎn)+r2+r'l+rl)

球S=4/rR2

體積公式4

柱體匕=Sh

ftLi

匕=卜

錐體

加3

體4

積

匕=%+盡+S)h

臺體

347\

球V=-7[Ry

3?

知識點(diǎn)六：空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主耍步驟如下：

（1）建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的3,Oy,建立直角坐標(biāo)系.

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對立圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在

直觀圖中畫成平行于OY,0^,使NfO'.y'=45（或135）,它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于V軸的線段，且長度保持

不變；在已知圖形平行于），軸的線段，在直觀圖中畫成平行于），'軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫

不變，縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去￡軸、），'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為拒:4.

2、平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn).

四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1、（2025?江蘇南通?模擬預(yù)測〕過正方體的中心作與AG垂直的平面則平面。截正

方體A8CO-ABGA所得的截面是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

例2、（2025?陜西安康?模擬預(yù)測）（多選題）如圖，已知正方體的外接球表面積為12兀,

A.正方體ABC。-A4GR的棱切球（球與正方體的棱均相切）表面積為6兀

B.067/平面人MG

C.在該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中狂選4個(gè)構(gòu)造一個(gè)三棱錐，則該三楂錐體枳的最大值為?

D.平面4MC截正方體ABCD-A4CQ所得的截面的面積為2戈

【變式訓(xùn)練1】、（2025?內(nèi)蒙占包頭?模擬預(yù)測）如圖，正方體A8C。-AMG2的楂長為2,瓦尸分別是楂

AROA的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是底面A8CO內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（）

D

]G

A.不存在點(diǎn)尸，使得分"平面ABCQ

B.過仇￡尸三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是五邊形

C.三棱錐G-AB/的體積為4

D.三棱錐尸-4C。的外接球表面積為加

【變式訓(xùn)練2】、（2025?全國?模也預(yù)測）（多選題）在棱長為2的正方體八八四CQ中，"，N分別

為a/xcq的中點(diǎn)，則（）

A.MNLCB、

B.若過MN的平面。與線段AB（不含端點(diǎn)）相交于點(diǎn)產(chǎn)，則平面1截正方體所得截面是五邊形

C.若已知過"的平面夕平行于平面8MN,則平面/截正方體所得截面的周長為阻它

2

D.若丁為正方體A3C。-A4GR表面或內(nèi)部一點(diǎn)，且DXJ.MN,則三校錐7-8DC體積的最大值為

4

3

考點(diǎn)2柱體的表面積與體積

例3、（2025?甘肅白銀?三模）已知圓柱的高為4,它的表面積與體積的數(shù)值之比為2,則該圓柱的體積為（）

16K64n16兀

A.

~9~B-V

例4、（2025?上海寶山?二模）已知圓柱的底面積為9兀，側(cè)面積為18兀，則該圓柱的體積為

【變式訓(xùn)練3】、（2025?貴州貴陽?模擬預(yù)測）半徑為1的球。內(nèi)切于正三棱柱ABC-A4G，則該正三棱

柱的體積為（）

A.2石B.4x/3C.6行D.86

【變式訓(xùn)練4】、（2025?北京?模擬預(yù)測）正四面體A8C。中，棱長為4,則此四面體的表面積為；

點(diǎn)加為8。中點(diǎn)，過例的截面。與棱A8平行，點(diǎn)P在截面。上，若P到棱A8和棱C力的距離都為4,則

d的一個(gè)取值為.

考點(diǎn)3錐體的表面積與體積

例5、（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積為2兀，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的而為

（）

A.6B.—C.2D.3

2

例6、（2025?浙江?模擬預(yù)測）已如三楂錐的側(cè)棱兩兩夾角都等于60，三個(gè)側(cè)面三角形的面積分別為

%%S3,滿足5；=2S2=2S；=6,則三棱錐的體積是.

【變式訓(xùn)練5】、（2025?陜西西安?二模）已知正四棱錐的底面邊長為6,體積為48,則該四棱

錐的側(cè)面積為

【變式訓(xùn)練6】、（2025?海南海口?模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長等于底面的圓半徑的2倍，那么該圓錐的

表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之匕為（）

3瓜27

AB-7Lr?------D.

-I4T

考點(diǎn)4臺體的表面積與體積

例7、（2025?湖南湘潭?一模）如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，AC=6,若底面48C水平放置時(shí)，水面

恰好過側(cè)棱AA的中點(diǎn)，當(dāng)側(cè)面期8/水平放置時(shí)，水面恰好與AC交于點(diǎn)。，則AO等于（）

c.3yliD.6-3及

例8、（2024?遼寧?模擬預(yù)測）己知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4,母線與下底面所成的角為45。，則

該圓臺的側(cè)面積為

【變式訓(xùn)練7】、（2025?四川成都?模擬預(yù)測）已知正四楂臺的上、下底面面積分別為4和16,側(cè)棱長為通，

則該正四棱臺的體積為（）

A.—B.C.56D.28?

33

【變式訓(xùn)練8】、（2025?山東臨沂?三模）一圓臺的上、下底面半徑分別為2、4,體積為生蟲兀，則該圓

3

臺的側(cè)面積為（）

A.12兀B.187rC.247rD.36n

考點(diǎn)5組合體的表面積與體積

例9、（2025?北京?模擬預(yù)測）攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、

四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.蘭州市著名景點(diǎn)三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu).如圖所

示是某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱

臺的組合體.已知正四棱臺側(cè)棱、卜.底的長度（單位：dm）分別為4,6,側(cè)面與底面所成二面角的正切值為

祀,正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為（）

A.346+8(10?B.3473+44dm2

C.34>/3+48dm2D.346+8dm?

例10、（2023?廣東?模擬預(yù)測）沙漏是古代的?種計(jì)時(shí)儀器，根據(jù)沙子從?個(gè)容器漏到另??容器的時(shí)間來計(jì)

時(shí).如圖，沙漏可視為上下兩個(gè)相同的圓錐構(gòu)成的組合體，下方的容器中裝有沙子，沙子堆積成一個(gè)圓臺，

若該沙漏高為6,沙子體積占該沙漏容積的二，則沙子堆積成的圓臺的高（）

16

【變式訓(xùn)練9】、（2022?河南安陽?模擬預(yù)測）正多面體是指多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各

個(gè)多面角都是全等的多面角.在古希臘時(shí)期人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正多面體僅有5種，分別是正四面體、正六面體、

正八面體、正十二面體和正二十直體.如圖是一個(gè)正八面體，其每一個(gè)面都是正三角形，六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的

【變式訓(xùn)練10】、（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四

棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面邊長為2cm,這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的八面體體積為cm3

考點(diǎn)6表面積與體積中的最值問題

例11、（2025?江蘇?模擬預(yù)測）已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為2,。為線段封上一點(diǎn)，SD=2DC,

SALBD.設(shè)三棱錐S-A8c外接球?yàn)榍?,過。點(diǎn)作球0的截曲a,則截曲a面積的最小值為（）

4加、8兀c4冗c8%

AA.—B.—C.—D.—

9933

例12、（2025?湖南?二模）在正三棱柱ABC-中，48=懼=6,E為線段C0上的動(dòng)點(diǎn)，D為BC邊

上靠近8的三等分點(diǎn)，則三棱錐人-瓦坦的外接球體積的最小值為（）

A.32&B,幽&C.”述D.10873K

2727

【變式訓(xùn)練11】、（2025?湖南?模擬預(yù)測）如圖，正方形A4c。的邊長為4點(diǎn).現(xiàn)沿對角線8。將△A3。翻

折到“V3O的位置，使二面角A—4。-C成直二面角.瓦尸分別為人'。1。的中點(diǎn)，點(diǎn)4,8,仁。四點(diǎn)都在

球。的表面上，則過直線律的平面截球。所得截面圓面積的最小值是.

【變式訓(xùn)練12】、己知正六楂柱AHSEF-A8c2EE的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為A的球面上，一個(gè)能放進(jìn)該正

R

六棱柱內(nèi)部的最大的球的半徑為若他=2,則當(dāng)￡最小時(shí)，該正六棱柱的體積為

r

五、分層訓(xùn)練

基礎(chǔ)保分

1.12025?北京大興?三模）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)名著，書中記載了一類名為“羨除”的五面體.如

圖，在羨除A8CD所中，底面A6c。是正方形，EF回平面438,EF=2,其余棱長都為1,則這個(gè)幾何

體的體積為（）

2.（2024?四川成都,模擬預(yù)測）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行

平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過

高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為

t

V=^h（S+4S（l+S）,其中S,S'分別是上、下底面的面積，S。是中截面的面積，〃為擬柱體的高.一堆形為擬

柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的

長、寬比下底的長、寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運(yùn)，則至少

需要運(yùn)（）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

A.51車B.52車C.54車D.56車

3.（2025?福建漳州?模擬預(yù)測）在菱形ABC。中，AB=26,NBA。=60。，將△ABO沿對角線4。翻折至

△P8D,則當(dāng)三棱錐P-8C。表面積最大時(shí)，三棱錐P-BCD外接球的體積為（）

A.9底兀B.187tC.8X/6KD.24幾

4.（2025?北京海淀?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體A4CO-A4GA中，若P為線段A/上的動(dòng)點(diǎn)

（不含端點(diǎn)）.

給出下列四個(gè)結(jié)論:

①直線。尸與AC所成的角可能是

0

②平面，平面AAP

③三棱錐A-8P的體積為定值

④平面。截正方體所得的截面可能是直角三角形

其中所有正確結(jié)論的序號是.

5.點(diǎn)〃,N分別為三楂柱A8C-44G的棱BC,網(wǎng)的中點(diǎn)，設(shè)的面積為九平面AMN截三棱柱

45C-AMG所得截面面枳為s,五棱錐.A-CCMNM的體枳為乂，三楂柱A6C-A8c的體積為匕則

K-工=