絕對(duì)值函數(shù)與絕對(duì)值不等式重點(diǎn)考點(diǎn)專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知關(guān)于X的不等式|x-l|+|x+l|2左恒成立，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是()

A.k<0B.k>0C.k<2D.k>2

2.已知函數(shù)=若函數(shù)g(x)=/(x)-k—4恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.[-l,e)B.]L[e,+oo)

C.(-1,1]D.

3.函數(shù)/*)=|2x-3|-8sinMxeR)的所有零點(diǎn)之和為()

A.9B.10C.11D.12

4.已知A,B,C是函數(shù)/(x)=|log2x|的圖象上的三點(diǎn)，且4在大軸上，8C〃x軸，BC=^，則A&AC=

()

25-15-7卜5

AA.—B.—C.—D.—

4444

5.若不等式k+l|+|x-3|>/〃恒成立，則正實(shí)數(shù)，〃整數(shù)解的個(gè)數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

6.已知函數(shù)=2a2,若當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0,則〃的取值范圍是()

A.(~°°,1]B.[-2.i]C.[-1⑵D.1—1,-HO)

X?+2(40

7.已知函數(shù)/("=?；'一；記函數(shù)g(x)=/(/(x))-f(x)-2的〃個(gè)零點(diǎn)為百(』,2,M，

[log2困，X>U,

則中2乙二()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

8.對(duì)任意實(shí)數(shù)%,卜+1|+|3-目的最小值為一.

9.方程|24+2|+|3-2*=5的解集為.

10.已知/(力是定義在R上的增函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，若關(guān)于工的不等式

/(卜+4)+/(卜一4)<2方■解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

II.若對(duì)于任意。力eR,總存在xeU,5]使得|V+aY+〃但〃?，則實(shí)數(shù)〃1的取值范圍是.

/、[6x-2,x<1/、

12.已知函數(shù)/(1人根―x〉[，若存在實(shí)數(shù)。、b、c(a<b<c),滿足乃=〃+c且

〃同)=7(例)=/(同)，則j=—.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=l-|2x-〃Qe[05，若函數(shù).71(1)圖像關(guān)于直線x=g對(duì)稱，求曲線)=/(/(”)的

長(zhǎng)度為.

14.不等式卜+3|+卜，-聞>6對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

rIr4-11r<1

15.已知函數(shù)/")=L"；,若函數(shù)g(x)=〃x)-如有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍

為.

三、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=U+l|.

(I)求不等式.f(x}-2f(x-3)vx的解集：

⑵若關(guān)于x的不等式/(x+3)+/*-a)Nl恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

17.已知函數(shù)〃x)=|2x+l|+|axT|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(')<3的解集；

(2)當(dāng)。22時(shí)，存在xeR,使得/Oq+l成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=2|x+l|十卜-2|.

(I)解不等式/(力>4；

(2)當(dāng)xNO時(shí),不等式/(%)<奴恒成立,求2="的最小值.

19.已知/(x)=|x+l|+|2x—4|

⑴求不等式/。)工6的解集.

⑵若不等式/。)4/一的解集中包含區(qū)間口，3],求f的取值范圍.

參考答案

題號(hào)1234567

答案CCDCBBA

1.C

【分析】利用三角絕對(duì)值不等式求出k=i|+k+i|的最小值，結(jié)合不等式恒成立，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?-1|+k+1以X-1-(X+1)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)(x-l)(x+l)WO,即—1W1時(shí)取等號(hào)，

故&W2.

故選：C

2.C

【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)億為方程的根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)圖象觀察，分類討論即得.

【詳解】解：由題意知,要使得g(x)=〃6Tx-H恰有2個(gè)零點(diǎn),即g(x)=o有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

當(dāng)x>0時(shí),^(x)=|liu|-|x-Z:|,令g(x)=O,可得|則二,一年

當(dāng)x<0時(shí)，^(x)=ev-|x-A:|,令g(x)=O,可得,一用二?二

在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù))，=|1時(shí)，)，=/和y=的圖象，

由函數(shù)y=lnx,可得);=1,可得x=l時(shí)，>,=0,川4]=1,

x

故函數(shù))=14.在x=l處的切線方程為y=xT,

乂由函數(shù)丁=-12一，可得)/=一,，可得x=l時(shí)，、=。，yis】=T

X

故函數(shù)y=-hiv在X=I的切線方程為y=—X+1,

所以函數(shù)y=|問與y=|x-i|只有一個(gè)公共點(diǎn)，

結(jié)合圖象得：當(dāng)攵1時(shí)，g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)-ivzwi時(shí)，恰有2個(gè)零點(diǎn)；

o\1X

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，所以A(1,O).

15

因?yàn)樗栽O(shè)網(wǎng)司32m，貝logx+

24

根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的對(duì)稱性，log2x=-log2fx+^l所以，=不\

14Jx+-

化簡(jiǎn)得：4/+15X—4=0,解得x=~4(舍去)或］=：.

4

所以8(；,2),C(4,2).

所以A"［-.),AC=(3,2).

所以4BAC=-2x3+2x2=’.

44

故選：C.

5.B

【分析】令"x)=k+l|+|x-3|,利用分段函數(shù)的性質(zhì)，得到的最小值為4,求得0<加<4,結(jié)

合/〃為正實(shí)數(shù)，得到/”的整數(shù)解的個(gè)數(shù)，得到答案.

2—2x,x<-I

［詳解］令/(X)=|X+1|+|X-3"4UK3,

2x-2,x>3

當(dāng)x<-l時(shí),函數(shù)/(x)=2—2r單調(diào)遞減，所以〃力>/(—1)=4；

當(dāng)一時(shí)，函數(shù)〃x)=4；

當(dāng)x>3時(shí)，函數(shù)”x)=2x—2單調(diào)遞增，所以〃力>〃3)=4,

綜上可得，函數(shù)“X)的最小值為4,

要使得不等式|x+l|+|x-3|>，〃恒成立，則滿足/〃<4,

因?yàn)椤盀檎龑?shí)數(shù)，所以0<〃?<4,所以用的整數(shù)解取值為L(zhǎng)2,3,共有3個(gè).

故選:B.

6.B

【分析】分類討論，去掉絕對(duì)值，結(jié)合一元二次不等式的求解即可得解.

【詳解】當(dāng)a>2,x>2時(shí)，/*)=小一4-2/,

-x~+ax-2a~,2<x<a

當(dāng)2vxva時(shí)，f(x)=-x2+ax-2a2,此時(shí)△=〃-4x2/=-7/<o，

所以“<0,不滿足當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0,故。>2不符合題意；

當(dāng)0vaM2,x>2時(shí)，f(x)=x\x-a\-?a2=.x-2-ax-2a2=(.r-2^)(.r+^/)>0,解得

由于x>2時(shí)，/U)>0,故2aW2,解得0<aWl；

當(dāng)a=0,x>2時(shí)，/(幻=/>0恒成立，符合題意；

當(dāng)av0,x〉2時(shí)，f(x)=x\x-c^-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x〉一〃，

由于％>2時(shí),f(x)>0,故nM2,解得-2Wa<0.

綜卜—2K〃KI.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)〃分類討論，結(jié)合因式分解方法有針對(duì)性求解工>2時(shí)的

f(x)=x\x-d\-2cr=x2-ax-2a2=(工一2?乂4+4)>0的解集，從而可求解.

7.A

【分析】令/(x)=，N。，則饞)="/)——2,/=0時(shí)，求出力⑴的零點(diǎn)八=0；0<Yl時(shí)，利用零

點(diǎn)存在定理得存在零點(diǎn)/>1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研窕其單調(diào)性，進(jìn)而得的)在(1，y)上無(wú)零點(diǎn)，

則硝)有兩個(gè)零點(diǎn)乙=0/2m從而求出函數(shù)儀月的零點(diǎn)，即可得解.

4)

x?+2T<0

【詳解】由題可知/3=|隧乂］；0,83=/(/(1))—73-2,

令/(司二壯0,則〃⑺=〃/)T—2,

當(dāng)f=0時(shí),A(0)=/(0)-0-2=0,此時(shí)〃(f)有唯一的零點(diǎn)0=0；

-log2/-/-2,0</<1

當(dāng)/〉0時(shí),Z:(/)=|log2/|-/-2=^

log2r-/-2j>1

當(dāng)0W1時(shí)，〃(/)=_log2，_/_2單調(diào)遞減，且/0=(〉0,/(；)=_；<(),

所以存在f2cm，使得根)=0；

當(dāng)/>1時(shí)，/z(/)=log2/-Z-2,則力=

令力1<z<log2e,令“'(/)<0,^r>log2e,

所以〃(/)在(1,嚏2?)上單調(diào)遞增，在(1鳴&*°)上單調(diào)遞減，

X1<log2e<2,所以力⑺K//(log2e)=log,(log2e)-log2e-2<0,

所以在(1,口)上無(wú)零點(diǎn)，

(|1A

所以％)=〃/)-―2在其定義域［0,”)上有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)〃力=”0時(shí),因?yàn)閅+222,所以由f(x)=0,得降2)=0(”>0),解得x=l;

當(dāng)/(1)=，2時(shí)，由4€得|唾2可=，2(工>0)，工=2土或x=2〃，

所以函數(shù)g(x)=/(/(r))-/(x)-2共有3個(gè)零點(diǎn)，分別為$=也=2-"3=2"，

所以內(nèi)中3=1.

故選：A.

8.4

【分析】方法1：利用絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)易得；方法2：利用分類討論去絕對(duì)值法即得.

【詳解】方法1：由絕對(duì)值三角不等式，可得|X+1|+|3-MW(X+1)+(3-X)|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)(X+1)(3-X)N0,即-1分43時(shí),k+1|+上一3|取得最小值4.

力法2：設(shè)/(x)=k十1|十|3—X=卜十1|十打一3|,

當(dāng)xv-1時(shí)，/(X)=-x-l-(x-3)=-2(x-l)>4；

當(dāng)-1W3時(shí)，/(x)=x+l-(x-3)=4；

當(dāng)x>3時(shí)，/(x)=x+l+(x-3)=2x-2>4.

綜上，可得?+1|+|3-八|的最小值為4.

故答案為：4.

3一

9.-L-

L2J

【分析】根據(jù)零點(diǎn)，分區(qū)間討論去絕對(duì)值，即可求解.

【詳解】原方程等價(jià)于|2x+2|+|2x-3|=5,

33

當(dāng)xN1時(shí)，2x+2+2x-3=5i=

當(dāng)xW-1時(shí)，-2x-2-2x+3=5,得x=-l,

當(dāng)T<x<|時(shí)，2x+2+3—2x=5恒成立，

綜上可知，方程的解集為-1,].

「3-1

故答案為：

10.(-2,2)

【分析】根據(jù)對(duì)稱性，將不等式化為/(|X+。|)</(4-卜-。|),問題化為卜+4+H—4<4有解，應(yīng)用

絕對(duì)值的幾何意義有2時(shí)<4,即可求范圍.

【詳解】由題意/(4一力+〃力=2,所以/(卜+。|)<2-/(卜-4)=/(4-卜一如，

因?yàn)?(X)單調(diào)遞增,所以|x+d<4-|x-4,

即上+4+上一汁<4有解，而,一+4+,一422同，

所以2同<4,得-2<a<2.

故答案為:(-2,2)

11.(-8,2]

【分析】設(shè)/(1)=/+辦+人令/⑴=_〃3)=/(5),求出/(X)的最大值，進(jìn)而確定加取值，再就

確定的范圍說明對(duì)任意〃力wR符合題意.

【詳解】]SLf(x)=x2+ax+b,

一方面，令/'(1)=一/(3)=/(5),即1+。+〃=一9一3。一〃=25+5。+人，解得“=-6,〃=7,

此時(shí)/(%)=.——61+7=。-3>2,"(x)l在上的最大值為2,因此〃?《2；

另一方面，當(dāng)〃區(qū)2時(shí)，考慮/⑴=1+。+8，f(3)=9+3a+b,/⑸=25+5〃+〃，

則8H/(I)-2/(3)+/(5)兇/(I)|+21/(3)|+|/(5)|,

于是"⑴1,1”3)1,1/(5)|中至少有一個(gè)不小于2,符合題意，

所以實(shí)數(shù)初的取值范圍是(-8,2].

故答案為:(-8,2]

【分析】作出函數(shù)f(IX)的圖象,當(dāng)re(0,4)時(shí)，方程川x|)=，的解分別為31、再、

$(內(nèi)<毛<玉<兀)，根據(jù)題意可知，〃、b、C,對(duì)應(yīng)的數(shù)為不、工2、匕或工2、工3、幾，不妨取“、/八

。為對(duì)應(yīng)的七、七、匕，可得出〃=F,進(jìn)而得出6〃-2=23-2，令y一1=〃，則2"=22-“，構(gòu)造函數(shù)

2u

g(lt)=2--2u,結(jié)合函數(shù)的些調(diào)性求出〃的值，可得出力、。的值，即可得解.

6x-2,x<I

【詳解】函數(shù)/(1)=I”，

函數(shù)/(可)的圖象是保留函數(shù)”力在［。，不動(dòng)上的圖象，并去除函數(shù)“X)在(YO,0)上的圖象,

再將函數(shù)/(可在［0,xo)上的圖象關(guān)于)'軸翻折，可得到函數(shù)/(H)的圖象，

作出函數(shù)/(附的圖象如下圖所示：

-2J

當(dāng)fw(0,4)時(shí)，方程/(k|)=，的解分別為七、々、匕、兒(4<%<$<七)，

由/(|。|)=/(性|)=/(M)，得〃、b、C為4、占、七、%中的三個(gè)數(shù)，

而2/?="+C,且W-$=七一七，則〃、b、。對(duì)應(yīng)的數(shù)為4、為、毛或戈2、13、%，

根據(jù)對(duì)稱性，不妨取4、b、C為對(duì)應(yīng)的/、%3、％，

由工3=一再，得6=-*又a+c=2b,則c=3b,

而6.一2=2”。，因此劭一2=2小，令初一1=〃，貝1」2〃=22-"，

函數(shù)gQ)=22T-2u為減函數(shù),且g⑴=0,

則方程2〃=2?-"的解為〃=1,即38—1=1,解得》=：2,?=-21,所以力-〃=14.

故答案為：々4

13.V17

【分析】首先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求出機(jī)的值，然后將/(/(H)的解析式表示出來(lái)，進(jìn)而可求出曲線的長(zhǎng)

度.

【詳解】???函數(shù)/(x)圖像關(guān)于直線x=g對(duì)稱，

：?q=:,即〃?=1，所以/(x)=l—|2x-l|,x?0』，

4X,XG10,-)

4

2x,xe0,-^j2-4.r,xe[i,i)

所以/%)=?1，那么>=/(f(x))=,

13

2-2x,xe—J4x-2,xe[-,-l

2

3

4-4A；xe(-,H

4

畫出圖象如圖所示,

所以曲線段y=/(/(x))的長(zhǎng)度為|OA|+|A8|+忸C|+|cq=4y+(；J=布.

故答案為：Vl-7.

14.(一一叭(3,a)

【分析】由絕對(duì)值的幾何意義和結(jié)合三角不等式分析即可.

【詳解】卜+3|表示x到-3的距禽，|。一聞二卜一4表示x到。的距於i，它們的和為x至IJ-3和.)至ija的距

離之和，

根據(jù)三角不等式，當(dāng)工位于-3和。之間時(shí)，距離和取得最小值，即兩點(diǎn)之間的距離為卜-(-3)|=|〃+3],

所以不等式k+3|+|a-,v|>6對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立等價(jià)于若最小值|〃+3|>6,則原式對(duì)所有T恒成立,

所以。+3>6或。+3<-6,解得a>3或av-9.

故答案為：(―oo,-9)(3,+8).

15.(0,1)52收)

【分析】分離變量，轉(zhuǎn)化成)，=犯與y=〃?的交點(diǎn)問題，作出y=犯的圖像，即可得到答案.

XX

【詳解】易知X=O為g(%)的零點(diǎn),當(dāng)XW0時(shí)，令x(x)=/("-g=0,得犯=〃?，

X

|x+l|,x<

令力(切=與

可得到MM=*,作出的圖像，

---,x>1

X

如卜圖，依題意，只需y=，〃與y="(x)有兩個(gè)交點(diǎn)即可.

由圖可得加￡(0,1)D(2,+8).

故答案為:(0,1)52+8)

(2)(^o,-4](J[-2,-KO)

【分析】(I)依題意可得卜+1卜2k-2|<]，再利用零點(diǎn)分段法分類討論，分別求出不等式的解集,

即可得解；

(2)利用絕對(duì)值三角不等式求出/*+3)+/@-幻的最小值，即可得到,+3|之1,從而解得.

【詳解】(I)由./?(%)-2/(工-3)〈“得卜+1卜2,一2|<》,

x<-\-l<x<2x>2

所以原不等式等價(jià)于或，或，

-x-l+2x-4<xx+\+2x-4<xx+\-2x+4<x

35

解得xW-1或一1vx<7或,

22

所以不等式的解集為卜8m)u(m，+8)

(2)因?yàn)?(x+3)+/(x-a)=x4-4|+|x-f/+l|>|(x+4)-(x-tz+l)|=p/+3|,

當(dāng)且僅當(dāng)(x+4)(x—a+l)W0時(shí)等號(hào)成立，

所以/(x+3)+/(X-〃)的最小值為M+3|,

因?yàn)?*+3)+/(%-。)21恒成立，

所以卜+3|21,所以a+3?1或Q+34—I,解得〃之一2或

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍(FT][-2,+OO).

17.(1)[-1,1]；(2)(2,+oc).

【分析】(1)利用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后解不等式組即可得解;

(2)利用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后對(duì)〃分a=2兩種情況進(jìn)行討論，即可得到實(shí)數(shù),的取

值范圍.

3x,x>1,

【詳解】解：⑴a=l時(shí)，/(x)=|2x+l|+|x-1|=.x+2,-1,

-3x,x<—,

2

1_x<一；，

[r>1-----<-v<

則不等式/(x)K3可化為《-'或2或j2

1"-J[x+2<3-3x<3,

解得—IKxWl,即不等式/(同43的解集為

(a+2)x,xN—,

(2)當(dāng)時(shí)，/(x)=|2x+l|+|ar-l|=>(2-￡/)x+2,--^<x<—,

-(a+2)x,x<——.

當(dāng)a=2時(shí)，2-a=0,/(x)在卜叱-耳上單調(diào)遞減，在一5巧)上恒為2,在—,+°°上單調(diào)遞增,

/(x)的最小值為2,此時(shí)不存在xeR,使得4%)<%1=2,不滿足題意；

當(dāng)。>2時(shí)，2-a<0,/'(X)在'雙目上單調(diào)遞減，在，+8)上單調(diào)遞增，/(%)的最小值為

/f-1=—+1,令2+1<3+1,得〃>2.

\a)aa2

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,+").

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：絕對(duì)值不等式的常見解法：

①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

②利用“零點(diǎn)分段法“求解，體現(xiàn)了分類討論的思想：

③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的組象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

18.(1)卜8，-gU(0,-KO).(2)最小值為12.

【解析】(1)利用分段討論法去掉絕對(duì)值，再求不等式/(力>4的解集;

(2)畫出.CO時(shí)函數(shù)“X)的圖象，結(jié)合圖象求出xNO時(shí)不等式恒