專題34軌跡類練習(xí)（基礎(chǔ)）

1.如圖，在等腰△ABC中，A8=AC,點(diǎn)P為底邊8c上一點(diǎn)，連接AP,在AP左側(cè)作等腰△APO,使以

=PD,ZAPD=ZBAC=\20°,連接8。，AB=4.

（1）當(dāng)點(diǎn)。由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，求運(yùn)動(dòng)過程中NP4。的大?。?/p>

（2）請(qǐng)求山在（1）情況下點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑K度.

【分析】（1）①如圖I中，在BC上截取一點(diǎn)凡使得8尸=人產(chǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，可證

/D4P=30°.②當(dāng)點(diǎn)P與尸重合時(shí)，NPB。不存在，當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)尸右側(cè)時(shí)，如圖2中，可證NPB。

=ZABD+ZABC=150°；

（2）如圖3中，易知，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段。.求出8D,BDf即可解決問題；

【解答】解：（1）①如圖1中，在8c上截取一點(diǎn)尸，使得5尸=AR當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)尸左側(cè)時(shí)，

f：AB=AC,PA=PD,ZBAC=^APD=\2Q°,

，NA8P=N4DP=30°,

VZABO=ZPDO=30°,ZAOB=ZPOD,

???△AOBS/\POD,

BOOA

OD~OP

BOOP

V/BOD=4AOP,

OA-OP

:.XBODSMAOP,

：.ZPBD=ZDAP=3()°.

②當(dāng)點(diǎn)P與尸重合時(shí)，/尸8。不存在，當(dāng)點(diǎn)夕在點(diǎn)尸右側(cè)時(shí)，如圖2中,

圖2

同法由△AOOSAPOB,推出可得NOBO=N八PO=I20°,

???ZPBD=ZABD+ZABC=\50°,

???當(dāng)點(diǎn)〃由點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，NP8。的值為30°或120°或不存在.

(2)如圖3中，易知，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段.

：,DD'=BD+BD'=12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討

論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

2.如圖，A(-3,0),B(0,3),C(-1,4),P,C,M按逆時(shí)針順序排列，動(dòng)點(diǎn)。在線段A4上，ZC

=9()。，ZCPM=300,請(qǐng)求出當(dāng)P點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑時(shí)什么？并求出M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

珞徑長度.

【分析】如圖當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，作于"，作”于Mi,連接BC,CH,BM\.取4M

的中點(diǎn)K連接KC、KH.當(dāng)P點(diǎn)從4運(yùn)動(dòng)到3點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是線段MMi,求出MMi即可解

決問題.

【解答】解：如圖當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，作M〃_LA8于，，作于Mi,連接8C,CH,8Ml.取

AM的中點(diǎn)K,連接KC、KH.

?:KM=KA=KC=KH,

???A、H、C、用四點(diǎn)共圓，

ZCHB=ZAMC=6()<>,

,:CB=g

.\B/7=BC-tan3O°=爭AH=AB?BH=30一造,

在RtAACB中，AC=>/BC2+AB2=275,

在中，4=j'/TS,

在中，HM=y/AM2-AH2=遍+加,

當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)M與Mi重合，易知=

-HM\=A/6,

???當(dāng)P點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)?，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是線段MMI,M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長度為遙.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡、坐標(biāo)與圖形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問題.

c

VZAMC=ZCNB=ZACB=90°,

.??NACM+N3CN=9(r,NACM+NC4M=90°,

：?4CAM=/BCN,

在△ACM和△BCN中,

(ZAMC=/BNC

j“AM=乙BCN，

L4c=BC

△AC3Z\8CM

:,BN=CM,

■一點(diǎn)c是直線l\外一定點(diǎn)，

???3N=CM是定值，

???點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線?。ㄈ鐖D所示），直線機(jī)到直線CM的距離等于線段CM的長.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、軌跡、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具體的關(guān)鍵性學(xué)會(huì)添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

5.如圖，在RlZVlBC中，NC=90°,/A=60°,BC=同明將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，

且使A,B,。三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)。經(jīng)過的最短路線的長度是多少？

【分析】點(diǎn)C經(jīng)過的最短路線的長度即以3c為半徑，以3為圓心的圓中，圓心角NC8U所對(duì)應(yīng)的弧

長.

【解答】解：二?在中，NC=90°,ZA=6()9,BC=6cm,

：,ZABC=30Q,BC=V3c?w,NCBC'=150°,

根據(jù)弧長公式￡=瑞二150x7rxv'35百

—180-=~n

【點(diǎn)評(píng)】此題考查軌跡問題，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出/CRU的度數(shù)，利用弧長公式求出即可.

6.如圖，一?束光線從點(diǎn)4(0,1)射出.經(jīng)過x軸上的點(diǎn)C(1,0)反射后經(jīng)過點(diǎn)3(5,4),試求光線從

點(diǎn)八到點(diǎn)8所經(jīng)過的路程.

【分析】根據(jù)坐標(biāo)得出線段的長，利用勾股定理計(jì)算4c和的長，相加即是所經(jīng)過的路程.

【解答】解：過B作BE_Lx軸于E,

VC(1,0),

??.OC=1,

VA(0,1)、B(5,4),

???。4=1,。。=5,EB=4,

；?CD=4,

由勾股定理得：AC=y/A02+0C2=Vl2+I2=V2,

BC=s/CD2+BD2=V42+42=4A/2,

：.AC+BC=V2+4或=5或，

答：光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的路程為5&.

【點(diǎn)評(píng)】本題是軌跡問題，考查了坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)和勾股定理，根據(jù)坐標(biāo)寫線段長時(shí)注意橫縱坐標(biāo)的區(qū)

別，本題確定線段的長是關(guān)鍵.

7.如圖，邊長為2的正六邊ABC/無產(chǎn)在直線/上按順時(shí)針方向作無滑動(dòng)的翻滾.

(1)當(dāng)正六邊形繞點(diǎn)以順時(shí)釬旋轉(zhuǎn)60度時(shí),A落在點(diǎn)Ai位置；

(2)當(dāng)點(diǎn)A翻滾到點(diǎn)A2的位置時(shí)，求點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長.

【分析】（1）A落在點(diǎn)4位置時(shí)，尸旋轉(zhuǎn)的角度就是正六邊形的外角的度數(shù)；

（2）利用弧長公式求得從A到4經(jīng)過的路徑長和從4到4經(jīng)過的路徑長，二者的和就是所求.

360°

【解答】解：（I）正六邊形的外角的度數(shù)是h=60°,

6

則正六邊形繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，A落在點(diǎn)4位置，

故答案是：60；

(2)ZBAF=I8O°-60°=120°,

連接作人G_L8產(chǎn)于點(diǎn)G,則NBAG=60。，8/=2BG=2X2sin60。=273.

607TX22

從A到4經(jīng)過的路徑長是F=A

607rx2百

從4到A2經(jīng)過的路徑長是

180

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的計(jì)算以及弧長的計(jì)算公式，正確確定從4到42經(jīng)過的路徑長是關(guān)鍵.

8.已知：如圖1,。。與射線M/V相切于點(diǎn)M,。。的半徑為2,AC是。。的直徑，A與M重合，AABC

是。。的內(nèi)接三角形，且NC=30°,求弦A8和麗的長度；（結(jié)果保留n）

探究：如圖2,若。。和△A3C沿射線MN方向作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，

（1）點(diǎn)8第一次在射線MN上時(shí)，圓心。所走過的路線的長；

（2）點(diǎn)“第二次在射線上時(shí)，圓心O所走過的路線的長.（結(jié)果保留IT）

【分析】探究：（1）利用弧長公式分別求出。點(diǎn)所走過的路線即可；

（2）利用弧長公式分別求出。點(diǎn)所走過的路線即可；

【解答】解:探究一：（1）點(diǎn)4第一次在射線MN上時(shí)，圓心。所走過的路線的長為X6的長度為:q祟=

2

/

2

（2）點(diǎn)8第二次在射線MN上時(shí)，圓心。所走過的路線的長為：-7T+2TTX2：

【點(diǎn)評(píng)】此題軌跡，主要考查了弧長公式的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是理解頂點(diǎn)。經(jīng)過的路線可得.

9.如圖，在直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)尸在線段。4上，以4P為半徑的圓〃周長為1.點(diǎn)

W從A開始沿圓尸按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，射線AM交x軸于點(diǎn)N（〃，0）,設(shè)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的路程為相（0

12

</?<!），隨著點(diǎn)M的轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)機(jī)從二變化到二時(shí)，求點(diǎn)N相應(yīng)移動(dòng)的路徑長.

【分析】當(dāng)〃?=/時(shí)，連接尸M,如圖I,點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周的5,從而可得到旋轉(zhuǎn)

2

-

用/APM為90八，根據(jù)力=產(chǎn)“可得/加M=/PMA=45八，則有"NO=AO=1,求得ON的長;3

2

時(shí)，連接PM，如圖3,點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周的￡從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240。，則/

4PM=120°,同理可求出ON的長，即可求解.

1

^

【解答】解：當(dāng)4

???布=PM,

：-ZPAM=ZPMA=45

:?NO=AO=\,

-

.'②./?=

當(dāng)

W寸

連接oM,如怪2,

2

NAPM=36()。一微x360°=120°，

J

同理可得：NO二堂.

綜合①、②可得：點(diǎn)N相應(yīng)移動(dòng)的路徑長2+

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段，

常常可通過考慮臨界位置(動(dòng)點(diǎn)的始點(diǎn)和終點(diǎn))來解決.

10.如圖，一個(gè)長為15〃?的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的距離為12加，

①如果梯子的頂端下滑了1加，那么梯子的底端也向后滑動(dòng)1〃?嗎？請(qǐng)通過計(jì)算解答.

②梯子的頂端從A處沿墻A。下滑的距禽與點(diǎn)8向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎？若有可能，請(qǐng)求出這個(gè)

距離，沒有可能請(qǐng)說明理由.

③若將上題中的梯子換成15米長的直木棒，將木棒緊靠墻豎直放置然后開始下滑改至直穴棒的頂端A

滑至墻角。處，試求出木棒的中點(diǎn)Q滑動(dòng)的路徑長.

【分析1①在直角△H08中利用勾股定理即可求解；

②求得OB的長，然后根據(jù)AW=59即可列方程求解:

③利用弧長公式即可.求解.

【解答】解：①在直角△A'O?中，A,B'=AB=\5m,A'O=\2-1=11（/?）.

則OB'=ylA'B'2-OA'2=V152-ll2=2\/26（〃?）；

②在直角△408中，OB=7AB2-0/2=”在-122=9（/?）.

設(shè)這個(gè)距離是mz,則O/V=l2-x,0B'=9+x,

在心NA'O夕中，根據(jù)勾股定理得，（據(jù)-x）2+（9+x）2=225

解得：x=0（舍）或x=3.

答：當(dāng)梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離是3〃?時(shí)，與點(diǎn)8向外移動(dòng)的距離有可能相等;

90X^7115

③木棒的中點(diǎn)Q滑動(dòng)的路徑長是：—^-=—n（〃?）.

1804

【點(diǎn)評(píng)】本題是勾股定理和弧長的公式的應(yīng)用，理解木棒的中點(diǎn)Q滑動(dòng)的路徑是以O(shè)為圓心的弧是關(guān)鍵.

11.如圖，直線），=*+3與x軸、），軸分別交于4、3兩點(diǎn).

（1）點(diǎn)A、8的坐標(biāo)是A（-4,（）是B（0,3）；

（2）把△AOA繞點(diǎn)八順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△人O'夕，請(qǐng)畫出圖形并求直線AP的解析式：

（3）在（2）中旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長是二

-2

【分析】（1）令x=0得y=3,令y=0得x=-4,由此即可解決問題.

（2）畫出圖形，求出點(diǎn)夕坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB'的解析式.

（3）旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)8所經(jīng)過的路徑是以點(diǎn)A為圓心，A8為半徑的弧，利用弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：（1）令x=0得），=3,令y=0得x=-4,

.?.點(diǎn)A（-4,0）,點(diǎn)3（0,3）.

故答案為A（-4,0）,B（0,3）.

(2)ZVIOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO'B',圖象如圖所示,

4

k=-

VA(-4,0),/<(-1,-4)設(shè)直線A)的解析式為尸履+〃，則有｛比"二：解律3

b=16'

；?直線AB'解析式為.y=—3r-學(xué).

(3)V(M=4,04=3,

y/OA2+OB2=V32+42=5,

???旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)4所經(jīng)過的路徑長是:x2n-5=.

4乙

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡、旋轉(zhuǎn)變換、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析

式，需要記住弧長公式，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，在直角/O的內(nèi)部有一滑動(dòng)桿AB=10cm,當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動(dòng)時(shí)，端點(diǎn)B會(huì)隨之自動(dòng)

地沿直線0B向左滑動(dòng).

(1)如果滑動(dòng)桿從圖中A8處滑動(dòng)到A'8'處，那么滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是一8

A.直線的一部分

B.圓的一部分

(2)若人B=10c/〃，點(diǎn)B從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)A從上向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，求滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到B'=0C',從而得出滑動(dòng)

桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是一段圓弧.

【解答】解：連接OC、OC,如圖，

???NAOB=90°,C為八8中點(diǎn),

：.OC=^AB=^A'B'=0C',

???當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動(dòng)時(shí)，AB的中點(diǎn)C到O的距離始終為定長,

，滑動(dòng)桿的中點(diǎn)。所經(jīng)過的路徑是?段圓弧.

故選8

?：AB=\Ocm,

90?亢?5

，滑動(dòng)桿的中點(diǎn)。所經(jīng)過的路徑的長度為一標(biāo)=2.59.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，圓的定義與性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)

健.

13.如圖，從等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)P,向兩腰48、AC作垂線，垂足分別為。、E,向底邊8C作垂線，垂足

為凡若PD+PE=PF.求適合條件的點(diǎn)。的軌跡.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得/3C=2OG,根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得〃G=A?cos/8,根據(jù)三角

形的面積的和差，可得5△”的SjPC+S"PC=S"8C,根據(jù)三角形的性質(zhì)，可得PE的長度，可得答案.

【解答】解：如圖：

Dt

連接AP、BP、CP,作AG_L8C與G,

由等腰三角形的性質(zhì)，得3c=2/3G.

由銳角三角函數(shù)，得

BG=AB*cosNB,

卻8c=2A8?cosN8.

由三角形的面積，得

SAAPH+SAAPC+SAHPC=SLABC,

即1B-PO+|AC-PE+^BC*PF=S^ABC,

由A8=AC,PD+PE=PF,8c=2A8?cosN8,得

1

AB*PF(-+cosZB)=SMBC.

2

△A8C是固定不變的，得

,48不變，cos/8不變，S^ABC不變，

PE的長度數(shù)不變的，

即P點(diǎn)軌跡為直線，平行于4C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，利用了等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的穩(wěn)定性.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（-3,0）.過點(diǎn)B的直線繞點(diǎn)3

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，過程中與y軸交于點(diǎn)C.過點(diǎn)4作AO_L8C于點(diǎn)D,求在點(diǎn)C坐標(biāo)由（0,百）到（0,

3V3）的過程中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【分析】由題意可得點(diǎn)。在以。為圓心，0A為半徑的圓上，利用銳角三角函數(shù)可求/30少=120°,

/4。。=60°,可求NQOZT=60°,由弧長公式可求解.

【解答】解：???點(diǎn)八的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-3,0），

：.OA=OB=3,

'：ADLBC,

???NAQB=90°,

???點(diǎn)。在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，

如圖，當(dāng)點(diǎn)。（0,V5）時(shí)，連接8c交。。于點(diǎn)〃，

??,lan//50O=需=4，

bU5

，/。'80=30°,

?:BO=D'O,

：.ZBOD'=\20°,

.../CRCCO3耳nz

.tanZCBO=麗==V3,

???NCBO=60°,

?:BO=DO,

AZZ/C；D=60°,

.??NOO/)'=60°,

???點(diǎn)C坐標(biāo)由(0,V3)到(0,3b〉,

???點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)的路徑長="熱q=n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出/。0少=60°是本題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知長方形A8C。中，邊A8=12,BC=8.以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OA、OC所在的直線為），軸和4軸

建立直角坐標(biāo)系.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,寫出從C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)夕從C點(diǎn)出發(fā)，以3單位/秒的速度向CO方向移動(dòng)（不超過點(diǎn)0）,點(diǎn)Q從原點(diǎn)0出發(fā)，以2

單位/秒的速度向OA方向移動(dòng)（不超過點(diǎn)A）,設(shè)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在它們移動(dòng)過程中，四邊形0P8Q

的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求變化范圍.

【分析】（I）根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的表示法即可得到；

（2）利用t表示出△4時(shí)和的面積，根據(jù)S四邊形OPBQ=S長方形A8co-SdABQ-S^BCP即可求解，根

據(jù)結(jié)果即可判斷.

【解答】解：（1）;長方形A8CO中，0C=AB=12,BC=8,

的坐標(biāo)是（12,8）,。的義標(biāo)是（12,0）；

（2）設(shè)0Q=2f,CP=3/,則AQ=8-2/；

SMBQ=梟8?4Q=1X12（8-2r）=48?⑵，

S&BCP=^BC?CP=1X8X3t=\2t,

則S四邊形OP3Q=S氏方形ABCD-S”BQ-SABCP=12X8-（48?12，）-12r=48,

故四邊形OPBQ的面積不隨/的增大而變化.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，長方形的性質(zhì)以及三角形的面積公式，正確表示四邊形OP/3Q的

面積是關(guān)鍵.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（0,遍）、（V3+I,I）.（I,0）,將△/IBC

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，點(diǎn)。恰好落在x軸的負(fù)半軸上，得到AAB'C1；

（1）直接寫出點(diǎn)"的坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，點(diǎn)8到點(diǎn)8經(jīng)過的路徑長；

（2）求△ABC掃過的面積.

【分析】（1）畫出AA"C,如圖所示，寫出4,C的坐標(biāo)，根據(jù)弧K公式即可得到結(jié)論;

（2）/XABC掃過的面積為扇形4BB'面積加上三角形ABC面積，求出即可.

【解答】解：（1）畫出△A8'C,如圖所示，

VA（0,V3）,B（V3+1,1）,C（1,0）,

：.AC=BC=2,△AHC為直角三角形，AC=AC=2,ACAC=ZBAB'=60°,

：ZAC為等邊三角形，即旋轉(zhuǎn)角為60°,

:.AB=2",

則C'（-I,0）,B'（V3-1,-1）,

???點(diǎn)B到點(diǎn)8經(jīng)過的路徑長=6嚅々=空：

1OUJ

2

（2）根據(jù)題意得：△A8C掃過的面積5=弛嗨包+；乂2義2=萼+2.

□OUL5

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

17.如圖，點(diǎn)尸、。分別是等邊AABC邊48、8c延長線上的動(dòng)點(diǎn)且BP=CQ,連接AQ、CP.線段PC的

延長線交AQ于點(diǎn)M.

（1）求證：△48Qg△CAP：

（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，/QMC大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù).

A

B

【分析】(1)由題意可得A8=AC,ZBAC=ZABC,AP=BQ,即可證aAB。g△CAP：

(2)由△A3。0△CAP可得/APM=NAQ8,即根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求NQMC=120°

【解答】證明：(I)???△48C是等邊三角形

：.AB=AC=BC,NABC=NACH=60°=ZBAC

?:BP=CQ

：.AB+BP=BC+CQ

：.AP=BQ^AB=AC,ZABC=ZBAC=60°

:.△NBQ^XCbP(SAS)

(2)不變

,?△ABQdCAP

???NAPM=NAQB

,/ZQMC+ZMCQ+ZMQC=180°

???NQMC+N4PM+N8CP=180°

???ZABC=NAPM+/8CP=60°

：,ZQMC=\20°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的

性質(zhì)和判定是本題的關(guān)鍵.

18.如圖，把RtZXAAC的斜邊/W放在直線/上，按順時(shí)針方向在I上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到B"C"的

位置，若BC=1,AC=U，則當(dāng)點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)A"的位置時(shí)，求點(diǎn)A兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程.

【分析［根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長公式即可求出點(diǎn)A兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程.

【解答】解：???BC=1,AC=V3,

tanZ/lfiC=募=A/3,

???N4BC=60°,

AZCAB=30°,

：.AB=2BC=2,

???點(diǎn)4兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為：

12OX7TX290XTTXV3

+

180180

4TTV3TT

=T+—

47rA/3TT

答：點(diǎn)A兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為w.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

19.如圖，拋物線），=/一會(huì)一箝直線尸廠2交于/1、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)

出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F,最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8.求使點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的總

珞徑最短的點(diǎn)￡,點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長.

3

121)點(diǎn)

-8

【分析】求出4（1一多），B（1,-I）,對(duì)稱軸為尸"，點(diǎn)4關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A（0,2,

關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)用（I,I）,連接48與對(duì)稱軸交點(diǎn)為E,與x軸交點(diǎn)為凡貝AE+EF+FB=4E+E尸+BT

=Ab最短，即可求解.

3

)

【解答】解:由題意可求A（1,-B(

2,

摘物線的對(duì)稱軸為k與

4

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A（0,-慨），8點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8（I,1）,

連接48與對(duì)稱軸交點(diǎn)為E,與x軸交點(diǎn)為F,

9：AE=A'E,BF=B'F,

：.AE+EF+FB=A,E+EF+B,F=A'B'^,

13

zz

E?---Fto

*\42),\

最短總路徑的長挈.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最如路線；熟練掌握利用軸對(duì)稱的方法，將折線段轉(zhuǎn)化為線段求最短距離是

解題的關(guān)鍵.

20.在邊長為1的正方形A8C。