§7.5垂直關(guān)系課標(biāo)要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∩b＝A,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面的夾角(1)定義：平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面的夾角，一條直線垂直于平面，我們說它們的夾角是直角；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，就說它們的夾角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線的夾角稱為二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,AB⊥MN,AB?β))?AB⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直，則它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理若平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直．3．兩個相交平面同時(shí)垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(×)2．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案ABD解析若直線a垂直于平面α，則直線a垂直于平面α內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項(xiàng)均不正確．3．(2023·石嘴山模擬)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)，則下列說法錯誤的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形答案C解析因?yàn)镻A是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)，則PA⊥平面ABC，故A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則有BC⊥平面PAC，故B正確；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正確；假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正確，故C錯誤．4．過平面外一點(diǎn)P的斜線段是過這點(diǎn)的垂線段的eq\f(2\r(3),3)倍，則斜線與平面α的夾角是________．答案eq\f(π,3)解析如圖，連接AB，由PB⊥α，知∠PAB是線段PA與平面α所成的角，在Rt△PAB中，因?yàn)镻A＝eq\f(2\r(3),3)PB，所以sin∠PAB＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(\r(3),2)，∠PAB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAB＝eq\f(π,3)，即線段PA與平面α的夾角為eq\f(π,3).題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(2024·婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.(1)若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．(1)證明∵點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的投影是點(diǎn)C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1?平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)解如圖，延長BC至點(diǎn)E，使BC＝CE，連接C1E，則B1C1綊CE，四邊形B1CEC1為平行四邊形，則C1E綊B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE?平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝2eq\r(3)，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝eq\r(CE2＋C1E2)＝4，BC1＝eq\r(BE2＋C1E2)＝2eq\r(7)，∴△BCC1的周長為2＋4＋2eq\r(7)＝6＋2eq\r(7).思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.證明(1)如圖，連接A1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.(2)如圖，連接B1A，AD1.因?yàn)锽1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因?yàn)镸N⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因?yàn)镸N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．(1)證明因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90°，即AC⊥BC，因?yàn)锳1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因?yàn)锳1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設(shè)A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O(shè)為CC1中點(diǎn)，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因?yàn)锳1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時(shí)垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．跟蹤訓(xùn)練2(2023·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA?平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD∥BE，∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴EF∥PD，∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四邊形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點(diǎn)P是AD1上的動點(diǎn)．(1)試判斷不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)P為AD1的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AA1與B1P夾角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D夾角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA?平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴無論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.(2)過點(diǎn)P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E，如圖，則PE∥AA1，∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P的夾角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝eq\f(1,2)AD1＝2，∴A1E＝eq\f(1,2)A1D1＝1，AA1＝eq\r(3)A1D1＝2eq\r(3)，∴PE＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，B1E＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E2)＝eq\r(5)，∴在Rt△B1PE中，B1P＝eq\r(B1E2＋PE2)＝2eq\r(2)，∴cos∠B1PE＝eq\f(PE,B1P)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，∴異面直線AA1與B1P夾角的余弦值為eq\f(\r(6),4).(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1D的夾角，∴tan∠B1PA1＝eq\f(A1B1,A1P)＝eq\f(2,A1P)，∴當(dāng)A1P最小時(shí)，tan∠B1PA1最大，這時(shí)A1P⊥AD1，A1P＝eq\f(A1D1·AA1,AD1)＝eq\r(3)，得tan∠B1PA1＝eq\f(2\r(3),3)，即PB1與平面AA1D1D夾角的正切值的最大值為eq\f(2\r(3),3).cosθ＝cosθ1·cosθ2的應(yīng)用已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內(nèi)的投影，設(shè)AC是α內(nèi)的任一過點(diǎn)A的直線，且BC⊥AC，C為垂足，又設(shè)AO與直線AB的夾角為θ1，AB與AC的夾角是θ2，AO與AC的夾角為θ，則cosθ＝cosθ1·cosθ2.典例如圖，PA是平面α的斜線，∠BAC在平面α內(nèi)，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，則PA與平面α的夾角為________．答案45°解析作P在α內(nèi)的正投影O，則O在∠BAC的平分線上，∠PAO為PA與平面α的夾角，所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC，所以cos60°＝cos∠PAO·cos45°，所以cos∠PAO＝eq\f(\r(2),2)，故∠PAO＝45°，所以PA與平面α的夾角為45°.思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．跟蹤訓(xùn)練3(多選)如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體E－ABCD－F，且該八面體的各棱長均相等，則()A．異面直線AE與BC的夾角為60°B．BD⊥CEC．平面ABF∥平面CDED．直線AE與平面BDE的夾角為60°答案ABC解析因?yàn)锽C∥AD，所以∠EAD(或其補(bǔ)角)即為異面直線AE與BC的夾角，又AD＝DE＝AE，所以∠EAD＝60°，即異面直線AE與BC的夾角為60°，A正確；連接AC交BD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，連接EF，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知EF必過點(diǎn)O，且OE⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥BD，又BD⊥AC，OE∩AC＝O，OE，AC?平面ACE，所以BD⊥平面ACE，又CE?平面ACE，所以BD⊥CE，B正確；由對稱性可知OE＝OF，OA＝OC，所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以AF∥CE，又AF?平面CDE，CE?平面CDE，所以AF∥平面CDE，同理BF∥平面CDE，又AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，C正確；由AE＝AF，OE＝OF，得AO⊥EF，在正方形ABCD中，AO⊥BD，又BD∩EF＝O，所以AO⊥平面BEDF，所以∠AEO即為直線AE與平面BDE的夾角，設(shè)該八面體的棱長為2，則AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(2)，所以EO＝eq\r(AE2－AO2)＝eq\r(2)＝AO，所以∠AEO＝45°，D錯誤．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β答案B解析由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于平面β，因此A是真命題；過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B是假命題；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D是真命題．2．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的投影O是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心答案D解析如圖所示，因?yàn)镻A⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，則BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O(shè)是△ABC的垂心．3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC內(nèi)的投影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部答案A解析連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC內(nèi)的投影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上．4．(2023·景德鎮(zhèn)模擬)已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是()A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n答案C解析由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一個平面的兩條直線相互平行，故A正確；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因?yàn)閚∥β，則m⊥n，故B正確；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故C錯誤；如圖，設(shè)α∩β＝l，在平面β內(nèi)作直線c⊥l，又因?yàn)棣痢挺拢瑒tc⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因?yàn)閚⊥β，c?β，所以n⊥c，從而有m⊥n，故D正確．5．劉徽注《九章算術(shù)·商功》“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣．”如圖1解釋了由一個長方體得到“塹堵”“陽馬”“鱉臑”的過程．塹堵是底面為直角三角形的直棱柱；陽馬是一條側(cè)棱垂直于底面且底面為矩形的四棱錐；鱉臑是四個面都為直角三角形的四面體．在如圖2所示由正方體ABCD－A1B1C1D1得到的塹堵ABC－A1B1C1中，當(dāng)點(diǎn)P在下列三個位置：A1A中點(diǎn)，A1B中點(diǎn)，A1C中點(diǎn)時(shí)，分別形成的四面體P－ABC中，鱉臑的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析設(shè)正方體的棱長為a，則由題意知，A1C1＝AC＝eq\r(2)a，A1B＝eq\r(2)a，A1C＝eq\r(3)a，當(dāng)點(diǎn)P為A1A的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)镻A⊥平面ABC，則∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，即此時(shí)四面體P－ABC是鱉臑；當(dāng)點(diǎn)P為A1B的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)锽C⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以△PBC，△ABC為直角三角形．因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是正方形，所以AP⊥BP，則△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，又PC?平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，則此時(shí)四面體P－ABC是鱉臑；當(dāng)點(diǎn)P為A1C的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)PA＝PC＝eq\f(1,2)A1C＝eq\f(\r(3)a,2)，又AC＝eq\r(2)a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，則此時(shí)四面體P－ABC不是鱉臑．6．在正三棱錐A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角為60°，則AC與平面BCD夾角的正切值為()A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．1答案C解析取BC的中點(diǎn)為E，△BCD的中心為G，連接AE，DE，CG，AG，因?yàn)锳B＝AC，BD＝CD，則AE⊥BC，DE⊥BC，可得二面角A－BC－D的平面角為∠AED，即∠AED＝60°，因?yàn)槿忮FA－BCD為正三棱錐，則AG⊥平面BCD，且DE，CG?平面BCD，則AG⊥DE，AG⊥CG，可得AG＝eq\r(3)EG，CG＝DG＝2EG，由AG⊥平面BCD，可知AC與平面BCD的夾角為∠ACG，所以tan∠ACG＝eq\f(AG,CG)＝eq\f(\r(3)EG,2EG)＝eq\f(\r(3),2).二、多項(xiàng)選擇題7．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面答案AD解析如圖所示，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正確；因?yàn)镃D∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB與PC不垂直，故B錯誤；因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BD與AC不一定垂直，則BD與平面PAC不一定垂直，所以平面PBD與平面PAC不一定垂直，故C錯誤；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面，故D正確．8.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，以DE為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC＝2eq\r(3).則下列說法正確的有()A．CD⊥平面EDPB．四棱錐P－EBCD外接球的體積為4eq\r(3)πC．二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)D．直線PC與平面EDP夾角的正切值為eq\r(2)答案ABC解析對于A，∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形EBCD為平行四邊形，又AB⊥BC，∴四邊形EBCD為矩形，∴CD⊥DE.∵PD＝AD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，CD＝2，PC＝2eq\r(3)，∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，又PD∩DE＝D，PD，DE?平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正確；對于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，∴AE⊥DE，即PE⊥DE，∵CD⊥平面EDP，PE?平面EDP，∴CD⊥PE，又CD∩DE＝D，CD，DE?平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，∵矩形EBCD的外接圓半徑r＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，∴四棱錐P－EBCD的外接球半徑R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PE))2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，∴四棱錐P－EBCD外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，B正確；對于C，∵CD⊥平面EDP，PD?平面EDP，∴PD⊥CD；又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角為∠PDE，∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，∴∠PDE＝eq\f(π,4)，∴二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)，C正確；對于D，∵CD⊥平面EDP，∴∠CPD即為直線PC與平面EDP夾的角，∵CD⊥PD，PD＝2eq\r(2)，CD＝2，∴tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即直線PC與平面EDP夾角的正切值為eq\f(\r(2),2)，D錯誤．三、填空題9．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有________個．答案2解析在正方體中，側(cè)棱都和底面垂直，故在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共兩個．10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為eq\f(\r(5)－1,2)，則它的側(cè)棱與底面夾角的正切值約為________．答案eq\f(\r(10)－\r(2),2)解析畫出如圖所示示意圖，設(shè)底面邊長為a，則塔高EF＝eq\f(\r(5)－1,2)a，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)a，所以側(cè)棱與底面的夾角∠EAF的正切值為eq\f(EF,AF)＝eq\f(\f(\r(5)－1,2)a,\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(10)－\r(2),2).11.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DM⊥PC(或MB⊥PC)解析連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD各邊都相等，所以AC⊥BD，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因?yàn)镻C?平面PAC，所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，PC與平面MBD內(nèi)兩條相交直線垂直，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.12．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得EC1⊥ED，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.答案(0,1]解析因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，ED?平面ABCD，可得C1C⊥ED，由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C?平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，在矩形ABCD中，設(shè)AE＝a,0≤a≤2，則BE＝2－a，由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan∠DEA·tan∠CEB＝eq\f(AD,AE)·eq\f(CB,BE)＝eq\f(t2,a2－a)＝1，即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，當(dāng)a＝1時(shí)，t2取得最大值1，即t的最大值為1；當(dāng)a＝0或2時(shí)，t2取得最小值0，但由于t>0，所以t的取值范圍是(0,1]．四、解答題13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD.求證：(1)CD⊥平面PBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.證明(1)因?yàn)锳D＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因?yàn)锳D∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，所以CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD.又BP?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.14.如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，PD＝eq\r(2).(1)若M為PA的中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；(2)求直線PB與直線CD夾角的大?。?3)設(shè)平面PAD∩平面EBC＝l，試判斷l(xiāng)與平面ABCD能否垂直？并證明你的結(jié)論．(1)證明連接PC，交DE于點(diǎn)N，連接MN，∵四邊形PDCE為矩形，∴N為PC的中點(diǎn)，在△PAC中，M，N分別為PA，PC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，∵M(jìn)N?平面MDE，AC?平面MDE，∴AC∥平面MDE.(2)解∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AB∥CD，∴∠PBA是直線PB與直線CD的夾角．∵四邊形PDCE為矩形，∴PD⊥CD，∵平面PDCE⊥平面ABCD，又PD?平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD，∵AD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥AB，在Rt△PDA中，∵AD＝1，PD＝eq\r(2)，∴PA＝eq\r(3)，∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，∴AB⊥PA，在Rt△PAB中，∵AB＝1，∴tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，∴∠PBA＝eq\f(π,3)，從而直線PB與直線CD的夾角為eq\f(π,3).(3)解l與平面ABCD垂直．證明如下：∵四邊形PDCE為矩形，∴EC∥PD，∵PD?平面PAD，EC?平面PAD，∴EC∥平面PAD，EC?平面EBC，∵平面PAD∩平面EBC＝l，∴EC∥l，則l∥PD，由(2)可知PD⊥平面ABCD，∴l(xiāng)⊥平面A