專題12不等式選講1．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】已知函數(shù)．(1)畫出的圖像；(2)求不等式的解集．【解析】(1)由題設(shè)知的圖像如圖所示．(2)函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像．的圖像與的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為．由圖像可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的圖像在的圖像上方，故不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=|x?a2|+|x?2a+1|．(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，因此，不等式的解集為．(2)因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，．所以當(dāng)a≥3或a≤-1時(shí)，．當(dāng)-1<a<3時(shí)，，所以a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、利用絕對(duì)值三角不等式求解最值的問題，屬于常考題型.3．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．(1)證明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【解析】(1)由題設(shè)可知，a，b，c均不為零，所以.(2)不妨設(shè)max{a，b，c}=a，因?yàn)椋詀>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.4．【2020年高考江蘇】[選修4-5：不等式選講](本小題滿分10分)設(shè)，解不等式．【解析】當(dāng)x>0時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得．綜上，原不等式的解集為． 1．【2020·廣東省湛江二十一中高三月考】已知函數(shù).(1)解不等式；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)由得，當(dāng)時(shí)，得，所以；當(dāng)時(shí)，得，所以；當(dāng)時(shí)，得，所以；綜上，此不等式的解集為：；(2)由，由絕對(duì)值不等式得，又因?yàn)橥?hào)，所以，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式解法，以及合理應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式和基本不等式求最值是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，考查了學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力.2．【2020·黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考】設(shè)a、b、c均為正數(shù)，(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若，證明.【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】(Ⅰ)因?yàn)?，，均為正?shù)，由重要不等式可得，，，以上三式相加可得，即；(Ⅱ)因?yàn)?，?Ⅰ)可知，故，所以得證．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和變形，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【2020·四川省瀘縣第二中學(xué)高三二模】已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最小值記為，設(shè)，，且有.求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)因?yàn)閺膱D可知滿足不等式的解集為.(2)由圖可知函數(shù)的最小值為，即.所以，從而，從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式以基本不等式求最值的問題，是一道中檔題.4．【2020·遼寧省高三三?！吭O(shè)函數(shù)．(1)解不等式；(2)若最小值為，實(shí)數(shù)、滿足，求的最小值．【答案】(1)或；(2)．【解析】(1)，由得或或，得或或，∴不等式解集或．(2)根據(jù)圖象知：，∴，所求可看做點(diǎn)到直線的距離的平方，．∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式，求函數(shù)最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵.5．【2020·山西省高三其他】已知函數(shù)，.(1)求不等式的解集；(2)若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，得，平方得，得，得，得，解得或.故不等式的解集是.(2)若恒成立，即恒成立.只需即可.而，所以，得，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對(duì)值不等式的解法、含參不等式的恒成立問題，考察了數(shù)學(xué)運(yùn)算技能和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.6．【2020·河北省高三其他】已知函數(shù)，.(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；(Ⅱ)對(duì)于任意，存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由題意知，對(duì)任意，存在使得成立，則，即，所以，解得：，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分類討論和單調(diào)性求函數(shù)的最值，絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)和根據(jù)不等式恒成立問題求參數(shù)取值范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．7．【2020·山西省太原五中高三月考】已知函數(shù)，.(1)解不等式：；(2)記的最小值為，若實(shí)數(shù)，滿足，試證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1).,或或,或或,,不等式的解集為;(2)因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立),所以的最小值,即,所以(當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和利用基本不等式求最值,屬于中檔題.8．【2020·河北省河北正中實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他】已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若關(guān)于的不等式的解集包含，求的取值集合.【答案】(1)；(2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，由得：；由得：；由得：，綜上所述：的解集為.(2)由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，，，當(dāng)時(shí)，，，，，在上恒成立，，又，可解得：，的取值集合為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、恒成立問題的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)解集的子集將問題轉(zhuǎn)化為在不等式在子集范圍內(nèi)恒成立問題的求解，進(jìn)而通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為所求變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系求解問題.9．【2020·廣東省湛江二十一中高三月考】函數(shù)，其中，，．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為3，求證：．【答案】(1)．(2)見解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)，不等式，即，即．當(dāng)時(shí)，化為，解得；當(dāng)時(shí)，化為，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，化為，解得．綜上可得，不等式的解集為：．(2)由絕對(duì)值三角不等式得．由基本不等式得，，，三式相加得，整理即得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值三角不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.10．【2020·銀川高級(jí)中學(xué)高三月考】已知，不等式的解集為.(1)求集合；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)，所以等價(jià)于或或，或或，；(2)當(dāng)時(shí)，即，，.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式求解、不等式的證明，分類討論去絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵，利用作差法證明不等式，屬于中檔題.11．【2020·黑龍江省哈爾濱三中高三其他】已知函數(shù)，.(1)當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為2，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，解得成立，即，當(dāng)時(shí)，，解得，即，綜上所述，不等式的解集為.(2)，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.12．【2020·重慶高三月考】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，不等式可化為或或或或故不等式的解集為(2)當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，則不等式因此的解集為空集等價(jià)于，解得故實(shí)數(shù)b的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解含絕對(duì)值不等式、絕對(duì)值三角不等式應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬中檔題.13．【2020·四川省綿陽南山中學(xué)高三一模】已知，，均為正實(shí)數(shù)，求證：(1)；(2)若，則.【答案】證明過程詳見解析【解析】(1)要證，可證，需證，即證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，由已知，上式顯然成立，故不等式成立．(2)因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，由不等式的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，以上三式相加，得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的證明問題，在求解過程中可以運(yùn)用基本不等式、對(duì)要證明的不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)等方法來求證，關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用基本不等式等方法求證結(jié)果．14．【2020·河南省高三三?！筷P(guān)于x的不等式|x﹣2|＜m(m∈N*)的解集為A，且∈A，?A．(1)求m的值；(2)設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c＝3m，求的最大值．【答案】(1)m＝1；(2)最大值為3．【解析】(1)∵∈A，?A，∴|2|＜m，|2|≥m，∴m，∵m∈N*，∴m＝1；(2)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c＝3，∴．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)．∴的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式的解集確定參數(shù)值，以及利用基本不等式求最值，屬綜合基礎(chǔ)題.15．【2020·寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三其他】已知，.(1)解不等式；(2)若方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)不等式，即為.當(dāng)時(shí)，即化為，得，此時(shí)不等