岳陽市2025年高二教學質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學試卷

本試卷共4頁，19道題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、考號和姓名填寫在答題卡指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應的標號涂黑，如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.

3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改

動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無

效.

4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

之

1,已知集合〔xTJ,8={0J2,3},則Ap|3=（）

A{0}B.{2,3}C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】化簡集合，即可根據(jù)交集定義求解.

【詳解】A==或xW-l）,

故4nB={2,3},

故選：B

2.若復數(shù)z滿足（l+z）（l+i）=-l,則1所在象限為（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題目所給的關(guān)于z的等式，運用復數(shù)的除法，計算出z,再寫出其共擾復數(shù)［，根據(jù)］的實部

與虛部得到［在復平面內(nèi)對應的點，判斷該點所在象限即可.

【詳解】由(l+z)(l+i)=-1可得：

-1,-l(l-i),-l+ii-1+iI3I.

1+i(l+i)(l-i)1-i2222'

-313I

因此z=------i,且)在復平面內(nèi)所對應的點為(一二,一二)，

2222

31

位于第三象限，

22

故選：C.

3.己知等差數(shù)列{q},%=3,a3+a5=10,則%空出=()

A.-3B.3C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】等差中項的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化可求解

【詳解】???{4}為等差數(shù)列，=2%,％-2%=-生=-3

故選：A

4.已知向量3=(1,3),向量否=(-2,1),則向量"在向量7+役上的投影向量的模為()

非11V17「116n折

AA?--DR.’'V.---D.---

517517

【答案】B

【解析】

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的坐標運算即可求解.

【詳解】因為向量2=(1,3),向量日=(-2,1),所以￡+方=(1,3)+(—2,1)=(-1,4)

7僅+7)=+而

向量3在向量Z+B上的投影向量的模為a+b|(-14)|||Vf7I17

故選：B.

5.若sinfa+四=-,則sin(4-2a=()

k6/5k6J

766

A?SB.一一-C.—D.-----

252525

【答案】A

【解析】

【分析】應用誘導公式結(jié)合二倍角余弦公式計算求解.

【洋解】因為sina+g=3

\6）5

、2

則sin-兀-2a\=cos—71+2a=1-2sin2|cr+—TC=1-2xf—

16136J25~25

故選：A.

6.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（30,62）,y服從正態(tài)分布N（34,22）,下列說法中蕾考的是（）

A.P（24<X<36）=P（32<K<36）B.P（X<34）>P（K<34）

C.P（X<24）>P（y<24）D.P（X<38）>P（y<38）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，隨機變量X服從正態(tài)分布N（30,62）,4=30,。=6,

丫服從正態(tài)分布N（34,2?）,“=36,k=2,

A選項：P（24<X<36）=P（30-6<X<30+6）=P（//-a<X<//+o-）,

P（32<y<36）=P（34-2<X<34+2）=P（//,-o-,<X<X+cr，）>

故P（24WX?36）=，（32wy436）,命題正確;

B選項：P（X<34）=P（X<30）+P（30<X<34）>

P（K<34）=1,所以P（X<34）>P（y<34）,命題正確：

C選項：P（X<24）=P（X<30-6）=P（X<//-0-）,

P（Y<24）=P（Y<34-10）=P（Y<〃一56,

所以尸（XK24）>P（y<24）,命題正確；

D選項：P（X<38）=P（X<30+8）=P（X<//+cr+2）,

P（y<38）=P（y<34+2）=叩《"+2"）,

所以P（XK38）<P（y<38）,命題錯誤.

故選:D

7.已知直線/與拋物線V=4工交于A8兩點，且滿足|A回=3,ZAFB=120，則線段中點到軸

距離的最大值為（）

A.73B.73-1C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】做輔助線，結(jié)合拋物線的定義可得|MN|二M4；忸用，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得

|M/V|<>/3,即可得結(jié)果.

【詳解】取線段A8的中點A/，設(shè)A艮河在準線x=1的投影分別為CD,%,

則|Aq=|A月陽=忸尸可得|MN|=眄；|陽=M;陽,

因為|AB|=3,ZAFB=120，

由余弦定理可得|A8「二|AF|2+1B/f—21A斗忸尸|cosNAFB

=(|AF|+1BF|)2-21AF|?|-21AF|?|BF|cosZAFB,

即9=(|A3+忸F『_2|A斗忸H+M斗忸曰=(|A丹+忸日)2_恒日.忸可,

2

可得|AF|.忸尸|=(|AF|+忸尸|J—9工也上產(chǎn)D-，

解得(|A曰+忸用丫<12,可得恒丹+忸青工2>/5,

當且僅當|AF|=|BF|=G時，等號成立，

可得|MN|=網(wǎng);陽<&,

又因為線段的中點M到）'軸距離的為|/WN|-1WG-1,

所以線段AB中點到》軸距離的最大值為V3-1.

故選:B.

8.如圖，E、尸、G,〃是邊長為4的正方形紙片的各邊中點，將紙片沿虛線剪開，折成一個正四棱錐

P-ABCD（E，F(xiàn)，G,〃四點重合于點P）,則此正四棱錐體積最大時，底面正方形A6CD的邊長

為（）

F

9「8

B.-C.-D.1

55

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正方形A3C3的邊長為。，則可表示出四棱錐。一ABC。的體積，利用導數(shù)可求出最值.

【詳解】如圖，取CO的中點M，設(shè)正方形八BCO的中心為。，連接AW，OM,P0,

所以PO=dpM?-OM?=＞4一2〃(其中0＜。＜2),

所以四棱錐P—ABCD的體積

V=gs四邊形AB。?尸O=54-2。=，4。4-2爐.

設(shè)力(a)=4/-2a5,得h'(a)=l6a3-1Oa4.

QQ

令力'（a）＞0,得0＜〃＜一，令〃（a）＜0,得2＜〃V2,

55

（8、（2、

故”a）在0.上單調(diào)遞增，在22上單調(diào)遞減.

I5J\5

Q

所以當。=不時，〃（。）取得最大直，即體積V取得最大值.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第70百分位數(shù)為16

B.已知隨機變量X?8（〃,p）,若E（X）=36,D（X）=9,則九=48

C.在經(jīng)驗回歸方程$=-0.8工+2.3中，解釋變量x每增加1個單位時，預測值》減少1.5個單位

D.已知隨機事件A,B,若尸⑷=0.8,P（B|A）=0.6,p（A）=0.1,則P（8）=0.55

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義計算H判斷A：根據(jù)二項分布期望和方差公式計算可判斷B；根據(jù)回歸直線方

程解析式可判斷C；由全概率公式，求得尸（3）可判斷D.

【詳解】對于A,該組數(shù)據(jù)共10個，則10*70%=7,

所以笫70百分位數(shù)為誓=16,故A正確,

對于B,隨機變量所以E(X)=〃p=36,￡>(X)=〃p(l-p)=9,

3

解得〃=—,〃=48,故B正確；

4

對「C,根據(jù)經(jīng)驗回歸方程解析式可知，當解釋變量x每增加1個單位時，

預測值9減少0.8個單位，故C錯誤；

對于D,由全概率公式可得P（B）=尸（4）P（8|A）+P（可尸（8M）=0.8X0.6+0.2X0.1=0.5,故D錯

誤.

故選：AB.

10,若函數(shù)），=/"）在區(qū)間以上連續(xù)，稱J?/（x）dx為函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［凡目上的定積分.定積

b

分的計算可以利用牛頓―萊布尼茲公式：，u）出:二b3|：=*〃）一爪〃），其中方'（x）=/（x）.又

a

（戈）dx的幾何意義是函數(shù)y=/（x）的圖象和直線x=。，K=b及x軸所圍成的圖形的有向面積（上

113

方為正，下方為負），如圖，EKU=；；X2X2-7xlxl=7.下列說法正確的是（）

222

A.fo(2x4-l)dv=6/2+?

B.JQy/a2-x2dx=—a2

c上賓卜=。

D.若過函數(shù)“"二%2"2。）上一點作切線，該切線與函數(shù)），=/"）的曲線及x軸圍成的圖形面積為

則此切線方程為：y=2x-\

12

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)定義即可求解A,根據(jù)幾何意義即可根據(jù)圓的性質(zhì)求解B,根據(jù)奇函數(shù)的對稱性即可求解C,

求解切線方程，結(jié)合所給定義即可求解D.

a

【詳解】對于A,J（2x+l）dr=（x2+x+c）「=a2+a,故A王確，

o

對于B,令則丁+丁=〃2（）,之0）,表示以坐標原點為圓心，以半徑為〃的上半圓，故

以，〃2一工2dx表示圓在第一象限的部分的面積,即為四分之一的圓的面積，故J；；五―二%2,故

B錯誤，

對于C,由于函數(shù)/（X）二;一；，“-）=；：一；二一：'11）=_/（0,故函數(shù)〃力為奇函數(shù)，則其圖

（2*_1'

象關(guān)于原點對稱，因此根據(jù)幾何意義可得上（5節(jié)Js=0,C正確，

對于D,設(shè)函數(shù)/（司=/（笆0）的切點為A（x°,片），則/'（工）=2］，因此切線方程為

（\\

），一片=2%（1一司），即），=2%一片，設(shè)切線與x軸交于C,則C3與，°，過A作x軸的垂足為

127

B,則切線與函數(shù)y=/（x）的曲線及工軸圍成的圖形面積為

J,/CL—SAABC=］丁3-5X5X0?/：=內(nèi)%=E，則/=1,則此切線方程為：y=2x-\,故D正

確，

故選：ACD

11.已知正方體ABCO-AMGA的棱長為4,點P為正方形ABCO（包括邊界）內(nèi)的一個動點，Q為

cq的中點，M為四邊形AMCR的中心，下列結(jié)論正確的是（）

A.若P4+P8=6,則點〃的軌跡是橢圓的一部分

B.PA+PQ的最小值為2而

c.BA+PA+PO的最小值為6應

D.若M尸=JTf，則“3夕周長的最小值為2石+4

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,利用橢圓的定義可判斷；對于B,利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點間的距離最小，對于C,可用特值

法排除；對于D,由題可知，點尸在以。圓心，半徑為I的圓上，利用橢圓與圓相切時取最小可解.

【詳解】對于A,?.?/%+依=6>A3=4,所以點〃的軌跡是橢圓的一部分，故A正確；

對干B,延長。C,使QC=CE=2,

根據(jù)對稱性得PQ=PE，則QA+PQ=也+莊KAE=J16+36=2屈,故B正確;

對于C,易知當點。在點A處時，PA+PB+PD=8<6B故C錯誤；

對于D，設(shè)底面A8CD的中心為0,則（力以=4,

又MPHOM^+OP1=Ji6+c尸=717,所以0尸=1，

即點P在以。圓心，半徑為I的圓上，設(shè)A3中點為尸，以尸為原點建立平面直接坐標系,

設(shè)凡4+/%=2。>4時取最小，即P在以A8為焦點的橢圓上，故相切時取最小，

由對稱性可知，切點/>在>軸時取得最小值，即PA+P8=26，

所以△43P周長的最小值為2逐+4，故D正確;

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

+—)的展開式中W的系數(shù)是

12.(x-3)51

【答案】-180

【解析】

【分析】利用乘法分配律及二項展開式的通項公式即可求得系數(shù).

【詳解】(x-3)'的通項公式加=(-3)'=G(-3)'產(chǎn)「,

則(不_3)'(1+~!~

的展開式中x2的系數(shù)是C；x(—3)3+C；x(-3)2=-180.

故答案為：-18().

13.已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其漸近線方程為3、=±3工，則此雙曲線的離心率e=

【答案】M

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線方程即可求解離心率.

22

【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為:一/二/1(/1>0),

故0=早=加

故答案為：VTo

14.已知Wnx+"n)，=e3若不等式二十1/一3工一。20恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是___(用區(qū)

x2

間表示).

e9

【答案】

272

【解析】

【分析】首先通過對數(shù)運算法則對已知等式進行變形，構(gòu)造函數(shù)/(x)=xe',x>0,利用導數(shù)判斷其單調(diào)

PV?

性，再根據(jù)函數(shù)值相等及單調(diào)性得到ln?=x,進而構(gòu)造函數(shù)g3=*+；x2-3x,(x>。)，通過求導判

斷其單調(diào)性來求解最小值.

［詳解］y\nx+ylny=ev,.\xy\nxy=xex=Inxy-e,nAy，

由干x>0,y>0,則lnxy=￡->0,

y

設(shè)/(x)=jcex,x>0,則上式表明/(lnxy)=/(x),

求導得r(x)=(l+x)e",當戈>0時，/'(x)>0"(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增,

e

進而可得肛=e'=>》=一

x

-4+-X2-3X=-^-+-X2-3X,

x22x32

、CX\

令［+)則(l)ee.

g(x)=1x2-3x,(x>0,g'(x)=+x-3=(x-3)—r+1，

【九)

當3Vx時，8'(力>0超(力在(3,-8)單調(diào)遞增；當0cx<3H寸，g'(x)<0,g(x)在(0,3)單調(diào)遞減,

3

eo

Yd=g(3)=方一$

乙tXr

要使人2-3人一4之0恒成立，則aS2+,人2—3人恒成立，故口48(人)而」

x2x2

即Je」9

272

e39

故答案為:一8,--------

272

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記VA3C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,。.己知ucosA=—Z?cosC+—ccos3.

22

（1）求A;

⑵若a=幣,4M是NB4C的角平分線，AM二竺，求VA3c的周長.

5

【答案】（1）g

（2）5+"

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解,

（2）利用等面積法，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

由ac.os.A=—hcosC+—rcos/?和正弦定理可得

22

2sirt4cosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA,

vsiaA^O.:.cosA=-,由于AE（O,兀），故A=].

【小問2詳解】

??4

rtlT5A/AfiC=S^A/+S^wc,故5〃csiM=5S+c）|AMsin”

走」（〃+上逆」

222'’52

=bc、=43+c）

乂〃2=7=/+/-2bccosA=b2+c2-be?

綜合可得：（b+C）2-3反=3+c『一葭伍+c）=7,

5（/?+C）2-18（/?+C）-35=0,解得〃+c=5或（舍去）

.?.△A3C的周長為5+J7.

在臨床上，病毒的感染十分常見.假設(shè)某人感染砂病毒的概率為若感染病毒,

16.g.檢測結(jié)果呈

919

陽性的概率為一；若未感染病毒，檢測結(jié)果呈陰性的概率為二.檢測結(jié)果相互獨立.

1020

（1）求某人病毒檢測結(jié)果呈?陰性的概率；

（2）現(xiàn)有4人參加此項EB病毒檢測，用X,y分別表示這4個人中所病毒檢測結(jié)果呈陽性和陰性的人

數(shù)，記z=|x-y],求隨機變量z的分布列及均值.

【答案】（1）-

3

148

（2）分布列見解析，一.

o1

【解析】

【分析】（1）分別計算感染與未感染下檢測結(jié)果呈陰性的概率，再相加

（2）找出Z的所有可能取值，再分別計算對應概率，得出分布列

【小問1詳解】

設(shè)某人感染所病毒為事件A,某人病毒檢測結(jié)果呈陰性為事件3,則：

P（用加喘P（購得

依題意有:

P（B）=P（AB）+P（AB）=-xfl-—K-x—

v7'Jv73I10J320303

【小問2詳解】

因為X—0,1,2,3,4,又X十丫=4，所以Z=|X—了|=|2X=。，2,4x+y—4,

設(shè)“這4個人中有女人￡4病毒檢測結(jié)果呈陰性”為事件&（A=0,1,2,3,4）

由干4與4互斥，4與人互斥，故

P（Z=0）=P⑷*??唱端

P（Z=2）=P（A）+P（4）=嗡）?+4內(nèi)嗤

（IA4（2V17

尸（Z=4）=P（4）+P（A4）=咱+咱

Z024

84017

P

27818?

所以E（Z）=0x*+2x"+4xU=148

\）278181ITT

17.如圖，三棱柱ABC-A4G中，P,M，O分別為AC,48和A4的中點，N在G。上，且

C、N=2ND.

（1）證明：MV//平面8C/；

（2）若四邊形8CGS是邊長為4的菱形，/CBB、=60,AC_L平面8CG4，AC=2,求直線8N

與平面8Gp所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵3V385

385

【解析】

【分析】（1）只需證明平面AEBJ/平面8GP,再結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理即可得證；

（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線8N的方向向量與平面BGP的法向量，然后結(jié)合向量夾角的

余弦公式即可求解.

【小問1詳解】

?.?0為A片中點，且GN=2N。，所以N為△A4G的重心.

連B|N延長交AG于點E,.?.f為AG中點，又尸為AC中點，

則AP//EC）,且AP=ECX,

所以APC￡為平行四邊形，有AE/iPC],

又AEa平面8C」,PC|U平面BGP,

AE//平面8Gp.

同理PEgB為平行四邊形，有用E//8P,

又B|E<z平面3cP,BPu平面BC7,

.?.4七〃平面8。1尸.

vAE^\BiE=E,

.?.平面AEBJ/平面8C|P,

又MVu平面AEB1,

CG所在直線為)'軸，C4所在直線為z

軸，建立空間直角坐標系,

vB(2^,-2,0),C,(0,4,0),尸(0,0,1),A(0,0,2),4((),4,2),4(2后2,0)

則D(G,3,1),又而=；砥=/一班,1,一1),

.?.麗=防+而=［后5,1)+'-G』,-1)=r-473162、

3，5,3r

設(shè)面8Gp的法向量為沆=(x,yz),南二(-26,6,0),pq=(O,4,-l)

黑二：,抗=網(wǎng)，4)

3x/385

385

二.直線BN與面8Gp所成角的正弦值為主壁.

385

18.已知函數(shù)/(x)=q+lnx+l-〃，676R.

.X

(1)若a=2,求曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)當xNl時，/(x)>0恒成立，求正整數(shù)。的最大值；

+

(3)證明：ln(21-l)+ln(22-1)+…+ln(2"-nGN

【答案】(1)x+y-2=0

(2)。的最大正整數(shù)為3

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)當。=2時-，求出/。)、/'(1)的值，結(jié)合點斜式可得出所求切線的方程；

(2)對實數(shù)。的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)/(月在［1,48)上的單調(diào)性，只需/(X%E>0,

在。>1時，可得出/(x)mm=lM+2-a>U,再構(gòu)造函數(shù)雙/)=欣+2—x,其中X>1,利用導數(shù)分析

其單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出。的最大整數(shù)值；在時，結(jié)合單調(diào)性驗證/(x)>0即可，綜合可

得出〃的最大整數(shù)值；

(3)由(2)可得12〉2—3，可得出ln(2”-1)>2--g,再利用不等式的基本性質(zhì)以及等比數(shù)列的求

和公式可證得結(jié)論成立.

【小問1詳解】

2

當〃=2時,/(x)=-+lnr-l,/(1)=1,則切點為(1』)，

仆)=4+：卡，r(i)=T

人人人

\/(X)的圖象在點(1,/(1))處的切線方程為：y-l=-(x-l),即x+y-2=0.

【小問2詳解】

當工21時，/(x)=—+iiu+i-w,f(x)=~~r~?

AX

當時，?.,XE0M),/'(x)vO；XG(?,+co),//(x)>0,

函數(shù)/(r)在［1,6/)上單調(diào)遞減,在(〃,網(wǎng)上單調(diào)遞增,

\/(x)在工=。時取得最小值,只需/(x)111nl=/(〃)=lna+2—a>0.

令g（x）=lnx+2—x,其中式>1,-1

人久

g（X）在（1,+8）單調(diào)遞減，

又g⑶=ln3-1>0,^（4）=ln4-2=21n2-2<0,

二存在為w（3,4）,使得g5）二。，

一.只要/（x）>0恒成立，。的最大正整數(shù)為3.

當〃《1時，r（x）=^>0,/（“在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

X

.?./（%）之/⑴=1>0恒成立.

綜上，。的最大正整數(shù)為3.

【小問3詳解】

33

由（2）可知，工之1時，一+lnr-2>0恒成立=>Inr>2——0,

xx

又???〃N1時，（2"—1）—2"T=21—120,

令“2"一1，由①有l(wèi)n（2〃—l）>2—占22—磊，

Z—1Z

In（21—1）+In（2?—1）+…+In（2"-1）>2〃—+…+

1-1

即ln（2i—l）+ln（22—l）+...+ln（2"—l）>2〃—3x—%—I>27?-6.

X）

19.已知橢圓+我們稱圓心在原點，半徑為行了的圓為橢圓E的“準圓”.若

橢圓￡的離心率為今，石上的點到它的焦點的最大距離為3.

（1）求橢圓E方程及橢圓E的“準圓”方程；

（2）已知點。是橢圓E的“準圓”上的動點，過點尸作橢圓的兩條切線4，/2,證明：/,1/2；

（3）過橢圓E的上頂點/作。。:（工-6『+）,2=產(chǎn)的兩條切線，與橢圓分別交于A,8兩點.問：是否

存在OC,使得直線與之相切，若存在，求出OC的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）三十二二1，/+2=7

43

2

（2）證明見解析（3）存在，卜一6『+），2=75-12月.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率及點到焦點的最大距離列式計算求出。=