（2）函數與導數

——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】

易混重難知識

1.函數的奇偶性

（1）奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.

（2）確定函數的奇偶性，務必先判斷函數的定義域是否關于原點對稱.

（3）對于偶函數而言，有/（—）=/*）=/（|x|）.

2.客函數的性質

1

幕函數y=xy=x2y=xyy=x2y=.

定義域RRR。內）(-oo,0)L(0,+x>)

值域RR[0,-KO)(f0兒(0,心)

在［0,a）上在（0,e）上

單調遞增，單調遞增，

單調性增增增

在（YO，。）上在（YO,0）上

單調遞減單調遞減

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

公共點都經過點（口）

3.指數函數的圖象和性質

0-<.a<\(7>1

x

r=ay二廠

\

圖象

1

H尸L__

001r

定義域IW

性值域(0,-1-00)

質過定點(0,1),即4=0時，y=1

單調性祠1函數埴屈數

奇偶性非奇非偶

4.對數函數的圖象和性質

0<?<1a>\

k

1一y一=iogM

圖象

。1Jx

07(i,o)

!y=log/

定義域(0,--co)

值域I

單調性減函數增函數

過定點過定點（1，。），艮］x=l時，y=o

5.函數零點存在定理：如果函數y=/（x）在區(qū)間［。，句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

＜0,那么，函數y=/（x）在區(qū)間（〃"）內至少有一個零點，即存在。€（。方），使得

/（c）=0,這個。也就是方程/（尤）=。的解.

6.月導數求函數的單調區(qū)間的方法：

（1）當不等式或/'（幻＜0可解時，確定困數的定義域，解不等式/'"）＞（）或

求出單調區(qū)間.

（2）當方程尸"）=0可解時，確定函數的定義域，解方程廣。）=0,求出實數根，把函數

的間斷點（即/（X）的無定義點）的橫坐標和實根按從小到大的順序排列起來，把定義域

分成若干個小區(qū)間，確定（（外在各個區(qū)間內的符號，從而確定單調區(qū)間.

（3）不等式（。）＞0或尸（x）v0及方程尸（x）=0均不可解時求導數并化簡，根據/（此的結

構特征，選擇相應基本初等函數，利用其圖象與性質確定（（用的符號，得單調區(qū)間.

7.已知函數單調性，求參數范圍的方法：

（1）利用集合間的包含關系處理：y=/（x）在（〃/）上單調，則區(qū)間（〃/）是相應單調區(qū)間的

子集.

(2)轉化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數單調遞增，則/'(x)20；若函數單調遞

減，則/'(x)WO”.

(3)可導函數在區(qū)間(a,〃)上存在單調區(qū)間，實際上就是尸(x)>0(或r(x)vO)在該區(qū)間

上存在解集，從而轉化為不等式問題，求出參數的取值范圍.

8.已知函數求極值：求r(x)T求方程r(x)=O的根，列表檢驗尸(x)在尸(x)=0的根的附近

兩側的符號，下結論.

9.求函數/(X)在口,勿上的最大值和最小值的步驟：

(1)若所給的閉區(qū)間團,切不含參數，

①求函數在(4,勿內的極值；

②求函數在區(qū)間端點的函數值/(〃)，f(h);

③將函數/(x)的極值與/(a),/S)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)若所給的閉區(qū)間［a勿含有參數，則需對函數求導，通過對參數分類討論，判斷函

數的單調性，從而得到函數/(x)的最值.

易錯試題提升

1.定義在R上的函數/(幻為奇函數，且/(x+1)為偶函數，當x￡［O,l］時，/*)=2'-1，則

/(3)+/(8)=()

A.-lB.OC.lD.2

2.函數(7二Ayosi的圖象大致為()

<3+1,

c.D.

3?若@=16(人=*144,=】og?,則()

3

^b<a<cC.a<b<cD.cvav〃

log,x+2x,x>0

4.若函數/")=?71有4個零點,則正數。的取值范圍是（）

sinCOX+—,-71<X<0

3J

R「7W7f710

D.

A、??335

5.已知點（32

在幕函數/（x）=x,的圖象上,設a=/(log5)，b=/(ln2)，c=/[tan]J,

I9J2

則。，b,c的大小關系為（）

A,a>b>c^b>a>cC.a>c>bD.〃>c>q

6.牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為7；,則經過一

￡

定時間/（單位：分鐘）后的溫度7滿足了.《二仁/口一1）,其中7；是環(huán)境溫度，〃為常

數，現有一杯80℃的熱水用又泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現在55c.經測量

室溫為25℃,茶水降至75℃大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約

需要等待（參考數據：1g2ko.30,愴3之0.50,lg5t0.70,近11之1.04.）（）

A.4分鐘B,5分鐘C.6分鐘D.7分鐘

7.若存在正實數x,使得不等式Lnx>2Q.ln2S>0）成十（e是自然對數的底數），則實數〃

a

的最大值為（）

A.—B.—C.—!—D.—

in2eeln22

8.設函數的導函數為（（⑼，若“X）在其定義域內存在與,使得/（不）=/'（/），則稱

為“有源”函數.已知〃x）=lnx-2x-a是“有源”函數，則。的取值范圍是（）

A.|—co,—1JB.(—C.(-co,-]n2—1]D.(—ln2-l,+oo)

9.(多選)奇函數,f(x)與偶函數g(x)的定義域均為R,且滿足〃力七(6=23則下列判

斷正確的是()

A./(x)+^(x)>0B./(X)=￡^

C.f(x)在R上單調遞增D.g(x)的值域為(-「I]

10.(多選)給定函數/(x)=a+l)e'.下列說法正確的是()

A.函數/(%)在區(qū)間(-8,-2)上單調遞減，在區(qū)間(—2,+8)上單調遞增

B.函數/(x)的圖象與x軸有兩個交點

C.當-±vavO時，方程/(x)=a有兩個不同的根

e~

D.若方程/*)=〃只有一個根，則a"

11.已知函數/(幻=斤北；[則不卜小包的值為_________.

I/(x+l)+l,x<0,\3JI3J

12曲于我國與以美國為首的西方國家在科技領域內的競爭日益激烈，美國加大了對我國一些

高科技公司的打壓，為突破西方的技術封鎖和打壓，我國的一些科技企業(yè)積極實施了獨立自

主、自力更生的策略，在一些領域取得了驕人的成績.我國某科技公司為突破“芯片卡脖子”

問題，實現芯片制造的國產化，加大了對相關產業(yè)的研發(fā)投入.若該公司2020年全年投入芯

片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎上，計劃以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增

長9%,則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元的年份是_______年.參

考數據：lgl.09x0.0374,Ig2x0.3010,lg3?0.4771.

13.對任意不￡。,+8),函數人x)=優(yōu)111〃-〃1心-1)之0(0>1)恒成立，求。的取值范圍

14.已知函數f(x)=--\nx+x-a.

x

(1)若/(尤)之0,求。的取值范圍；

(2)證明：若/(%)有兩個零點X],x2,貝2Vl.

15.已知函數f(x)=(x-l)ev-lnx-iz(x-l),其中實數。20.

(1)當。=?-1時，求函數/。)的單調性；

(2)若函數/(/)有唯一零點，求實數。的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析:因為/(%)為奇函數,所以-/(幻=/(-?,

因為/(/+1)為偶函數，所以f(l+X)=/(lT),W/(24-%)=/(-%),

從而/(2+x)=-f(x),得f(x+4)=-f{x+2)=f(x),

所以/(x)以4為周期的周期函數，

/(8)=/(4x2+0)=/(0)=2°-l=0,

〃3)=〃2+1)=_/⑴=-(2J)=T,

所以〃3)+f(8)=—l.

故選：A.

2.答案：B

解析：/U)=-COSJ,則/(X)的定義域為R，

<3+1,

又=卜。s(T=12、

-cosx=-/(x)，

3r+lJI7TL

所以/(“為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除CD,

(?9

當工二兀時，f(Tt)=1------C0S7T=-1+------<0,故排除A.

故選：B.

3.答案：C

解析：因為々=]6鳥=(2“尸=2叱=2^=及，/ylcg"144=lcgs/22=hg.512，

-,

c=log19=log3_,3一2=2

3

所以只需比較。與〃的大小即可.

因為〃=V^<Q=log553=】ogsVi^=log512二^，

所以av〃vc

故選:c

4答案:B

解析:當%>0時，令/（力=0，BPlog2x+2x=0,BPlog2x=-2x,

因為函數y=log2X與y=-2x的圖象僅有一個公共點，如圖所示,

所以工〉0時，函數y=只有一個零點,

log3x+2x,;r>0

又由函數/(工)=,/兀、有4個零點,

sin6yx+—,-n<x<0

、v3）

所以XW[-TT,O]時，方程/(x)=sin(s+?有三個零點，如圖所示,

因為可得5+]E[-5：+]申，則滿足-3/<-m:+14-2兀,

解得即實數0的取值范圍為日).

故選：B.

5.答案：D

解析：???點03）在幕函數八月二尸的圖象上，

二?3。=La=-2,

9

:.f（x）=x2,在（0,+00）上單調遞減,

??,log,5>log24=2,0=lnl<ln2<lne=I?tan-^=>/3，

0<ln2<tany<log,5，

/\

/./（In2）>/tan^>/（log25）,即力>c>a

故選：D.

6.答案：C

t

解析：根據題意可知（=25久，7；=80℃,

因為茶水降至75℃大約用時一分鐘，即/=1，7=75。0

所以75-25=（，*（80-25），解得:==皿’，則

e"

/

所以要使得該茶降至55。0即7=55。0則有55.25=（1了（80-25），

得7=logi77=logi；7，

/?-55-11

log]-I2A

故』。g'、〃==^=飛Jg6-lgllJg2+lg3-IgM5一口6,

1。2W12IglO-lgH1-lgH1-1.04

gilll§e11

e

所以大約需要等待6分鐘.

故選：C.

7.答案：C

解圻：當。>0時，-lnx>2a,ln2<=>—>?-2av

aIn2

<=>xlog2x><zx-2"'<=>2^^.log2x>or?2“'.

設f(X)=x?2則f'(r)=2*+x?2Fn2=2"(1+%?In2)>0對,w(0,+oo)恒成立，

rtV

則f(x)在(0,+co)上單調遞增,W>]x-log2x.ar-2<=>/(log2x)

g2V

>/(or)olog2x>ax<^>1°>a.

x

1X—IOgzX1

設g(x)二鳴A,則g(r)=AJn.2「------=,nX，當xe(0,e)時，g'(x)>0,當

xxx\n2

xe(e,+oo)時,gf(x)<0,所以g(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減,則當x=e

時，g(x)取得最大值g(e)=^"=—匚，,因此實數。的最大值為'.故選C.

eeln2eln2eln2

8.答案：A

解析：vf^x)=\nx-2x-a?/.f\x)=--2?

x

由是“有源”函數定義知，存在/,使得ln%-2x0-〃=L-2,即。=卜%-2%-■^+2有

%與

解，

記g(玉))=1”-0-2.%-+2,(x0>0),所以a的取值范圍是就是函數g(x0)的值域，

不

則,(不)=,一2+4=-2%二/+1=-(2/+乎O-I),

小玉)/玉)~

當0</<1時，&(%)>°，此時g(x。)單調遞增，

當%>1時，<(司)〈0,此時g(毛)單調遞減，

所以g(%))Kg(l)=lnl-2-l+2=-l,所以〃工一1?

即a的取值范圍是

故選：A

9.答案：BCD

解析:因為“X)為奇函數,g(x)為偶函數,所以〃T)=-f(X),g(T)=g(X)，

因為“x)-g(x)=2x①，所以〃T)_g(T)=2,即-〃x)-g(x)=2T②，

所以由①②解得一(力=上二，g(x)=_5二故B正確；

22

/(x)+^(x)=-2-*<0?故A錯誤；

),=2,在R上單調遞增，)，=2-、在R上單調遞減，則在R上單調遞增，故C正確；

因為&")=_三二瀉21=_1，當且僅當工=0時取等號，

所以g(x)的值域為1],所以D正確.

故選：BCD.

10.答案:AC

解析：/'。)=(1+2)?”.當工<一2時，f\x)<0,/(x)單調遞，或，當x>-2時，f\x)>0,

/⑴單調遞增，故A正確..幾必訪=/(—2)=—?"VO,jf(0)=l>0,x<—2時，/(x)<0,因

此/(x)只在(-2,0)上有一個點，即/(x)的圖象與x軸只有一個交點，故B不正確.上面討論

知，當x<-2時，/(幻單調遞減，/U)e(-e-2,0),當大￡(-2,0)時，/⑴單調遞增，

/a)e(-e-2,l)作出/(x)的大致圖象和直線y=。(如圖)，知當-±<。<0時，方程/(%)=。

若方程/1)=〃只有一個根，則。之?；?。=-[,故D不正確.

e

11.答案：3

A?,,(4)4兀兀1

用牛?rT：f—=-cos—=cos—=—,

\3J332

44P0+1)+1=O+i=/H+i]+i+i=/?+2

2兀3H_1-5

=-cos—+2=cos—+2=—+2=—,

3322

所以同+(§*+|=3.

12.答案：2026

解析：設還需要〃年，該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元,

根據題意可得120(1+9%)">2(X)，

故討gl.09>lg*，所以,解得〃>5.9，

3lg1.09

所以還需要6年，即2026年該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元,

故答案為：2026

-1、

13.答案：ee,+co

解圻：由題意得ax1ln?>ln(A-l)?

因為xw(1,+8),所以(x-l)a'TlnaN(x-l)ln(x-l),

即ax~1Inax~]>(x-l)ln(x-l),

令b(。="n//>0，則/(優(yōu)t)之方(工一1)恒成立,

F(r)=l+lnr,

令〃'(Z)>O得，ceL/⑺二八皿單調遞增,

令/⑺<0得，/⑺=Hn/單調遞減,

且當Ov/Wl時,恒成立,當"1時,r(?！?恒成立,

因為々>1，尤>1，所以a-〉1恒成立，故尸(Q)>0，

當?時，廠(x—l)K0，此時滿足尸Ri)之尸(x—l)恒成立,

當x-1〉1，即工〉2時，由于/(f)="nf在小9,+00)上單調遞增,

由網〃1)之尸。一1)得人之1n如〃之當、

令〃=*一1>1,g(〃)=^^'

則/(〃)=■!—坐?，當ww(l,e)時，g1〃)>0，g(u)="電單調遞增,

ZIH

當以w(e,+8)時，g'(〃)vO，g(〃)=見^單調遞減，

/?/

故式〃)=邛在〃=?處取得極大值，也是最大值，g(e)=U”=J

故…卜加3

的取值范圍是ec,+oo

故答案為：ee,-i-oo

14.答案:(1)(―

(2)證明見解析

解析：(1)/(x)=-——Inx+A-t/=—+ln-——a,^/=—(x>0),貝卜'=^―^―-

XXXXx~

當0<x<l時，f<0,r=J在(0,1)上單調遞減；

X

當X>1時，f>0,/=曰在（1,+00）上單調遞增.

X

所以z=￡_（x>0）在工=1處取得最小值e,故de.

x

于是/（x）之0等價于z+lnr-在fw[e,+oo）上恒成立，即。W/+ln/在/w[e,+8）上恒成立.

乂顯然y=z+In/是增函數，故。<e+l.

所以實數a的取值范圍為（-oc,e+l].

（2）證明：由（1）可得/（X）有兩個零點n，%等價于y=/+in-。在e+oo）上有一個零點

小即a〉e+l,

此時，0=—有兩個解X1,X,,不妨設$<工2，則0<%<1<々，

X

巨

M=

所以“兩式相除，可得e'2r=2

M=

故x,-X=Inx2-In%,即一———=1,

Inx2-InX)

令1),故1-Ji/3

因為*_恒大十（），故只需考慮〃-'―21n〃的止負.

21nuu

記/?(〃)=u----21n>1),故h'(u)=l+-v--=-——彳"=1=(">0,

uu~uu~ir

故版〃）在（1,+oo）上單調遞增.

又當“fl時，〃(〃)7()，所以〃(〃)>(),故l-JxR>0,故X/2<L

15.答案：(1)在(0,1)上單調遞減，在(1,+00)上單調遞增

(2)tz=e-l

解析:(1)va=e-l,/.f(x)=(X-l)ev-Inx-(e-1)(x-1),

??(x)=eA-x---e+1.

x

令g