湖南省永州市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高一直升班上學(xué)期拓

展研學(xué)(三)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足(l-i)(z+i)=4,其中i是虛數(shù)單位，則Z的虛部為()

A.jB,1C,2D.3i

2-已知向量3=(2,i)I=(〃?,—1),￡〃(￡_?，則實(shí)數(shù)()

A.-2B.3C.-1D.6

3.""BO的三內(nèi)角4B。所對邊長分別是知b,c,若sinB-sin"=缶+c,則角'

sinCa+b

的大小為()

A.—B.—C.-D.-

4634

4.已知函數(shù)f(x)=5sin［用，若存在也滿足兀且/(a)=/(0)=l,

則cos(/?-?)=()

A.gB."C.3D.-||

255525

5.在正方形43co中，已知=是/出的中點(diǎn)，現(xiàn)以為折痕將V/1Q￡折起到

△4QE的位置，當(dāng)三棱錐H-OEC的體積最大時，此時三棱錐W-外接球的體積為

試卷第11頁，共33頁

JrQ=

則()

6

I934

A.-B.-C.iD.-

5555

6-已知函數(shù)/(x)=c'+x，g(x)=lnx+x-若/(x/l)=g(X2)=f，則項(xiàng)12112〃的最

大值為()

917r\3e—1

AA.-BD.——C.2D.——

48e2

7.已知3M=4，4=2=3，Z)=4w-5?則()

A，a>0>bh>O>aC,a>b>0D,b>a>0

8.已知V48C的內(nèi)切圓圓心為0，半徑/?=1，且滿足3加=茄+%,P是V48C內(nèi)切圓

上一動點(diǎn)，則瓦取值范圍是（）

A-[-3^+6,372+6]B[-2百+6,2百+6]

C[-6N/2+3,6>/2+3]D?[6^-2,6>/3+2]

二、多選題

9.函數(shù)/（x）=Asing+eX/l>0,①>0,|#|<5）的部分圖象如圖所示，則（）

試卷第21頁，共33頁

A./（》）的最小正周期為加

B.（p=——

3

C.,⑶的一個對稱中心為哈,0）

D.要得到函數(shù)ga）=2c°s”的圖象，可以將"外的圖象先向左平移四個單位長度，再將

3

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）

10.已知V/4C中，麗=2皮，（沅+2萬）?而=0,4=60°，則下列說法正確的是（）

一1一2一

A.AD=-AB+-AC

33

B.cosB=

BC

CcosC=

14

D.撫在而上的投影向量為1而

2

H.如圖，已知正方體力8€7）-480］。1的棱長為2,耳。交平面力€7）1于點(diǎn)〃，則下列說法

試卷第31頁，共33頁

16.如圖，設(shè)Ox,Qy是平面內(nèi)相交成0且。工］角的兩條數(shù)軸，I,1分別是

與x軸、y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系工⑦為°斜坐標(biāo)系.若向量

t

OP=xei+ve^,則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量而在8斜坐標(biāo)系xQr中的坐標(biāo)，記為

方=(“)?已知在。斜坐標(biāo)系如中，3=(x”)，b=(x2,y2)-

75

⑵當(dāng)型時，而=(2,@,求|西;

⑶當(dāng)。=工時，若向量G=(cosx，2),5=(sinx,2),己知"x)="色求函數(shù)"》)的最值.

17.如圖，在四棱錐p—iaco中，QQ_L底面/8C0，￡是0°的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱40上，

且EFtBP'四邊形"CQ為正方形'PD=C'Q=2?

(1)證明:

試卷第51頁，共33頁

(2)求點(diǎn)F到平面BDE的距離；

(3)求二面角產(chǎn)的余弦值.

18.在V/傷。中，設(shè)角4B，C所對的邊分別是。，b,c,且滿足

V3/>sinC+Z>cosC=a+c

(1)求角氏

Q)若方=行，求VX8C面積的最大值;

⑶求的取值范圍.

19.設(shè)/(x)=N-蜀SeR),雙外=

⑴求當(dāng)*/一2,-口，g(x)=2的值域；

_39Jx+1

(2)若對任意的項(xiàng)G[0』，總存在招』_2,_斗，使得/1項(xiàng))=€(*2)成立，求實(shí)數(shù)"的取值

3'9

試卷第61頁，共33頁

《湖南省永州市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高一直升班上學(xué)期拓展研學(xué)（三）數(shù)學(xué)試題》參

考答案

題號12345678910

答案BAADBBBBACDABC

題受_11

答案AB1)

1.B

【分析】首先對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可得到答案.

【詳解】由題意得（l-i）（z+i）=4,

.44.4（I+i）.4（l+i）.,

1-i1-i（l-i）（l+i）2

則z的虛部為1，

故選：B.

2.A

【分析】可求出［—否=（2_〃?,2），然后根據(jù)共線向量坐標(biāo)運(yùn)算列式從而解出機(jī)的值即可.

【詳解】由題意可得,15=（2-肛2），且

所以2—〃？=2x2=>〃？=-2'

故選：A

3.A

【分析】利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，可得/+/_〃=_女“〈，然后利用余弦定理可知

結(jié)果.

【詳解】在V48c中，由正弦定理，_=_竺=_J=2R,可得：sin5=—,sin^=—,

sinAsinBsinC2R2R

答案第11頁，共22頁

sinC=——，

2R

sinB-sinA_41a+ct可得.b-a_拒a+c整理可得，c'+a'-b。=一五*

sinCa+bca+b

由余弦定理可得：CGSBJ+''j=_叵

2

BG(0,7t),B=—

4

故選:A.

4.D

【分析】由已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得署與于求出

夕-工的余弦，再利用角的變換得解.

6

【詳解】令/(x)=5sin1-看卜0，0<A<2n貝”二看或入二票,

令/⑺=5sin「」〕=5,°<X<2\則一,

I6)3

又0<av?v2兀，/(a)=/(p)=i，

由卜［兀2兀27177r.(7rMi.(_1

所以二<a<——</?<—,sina——|=—,sinB——=-，

6336I6)5V6j5

因?yàn)镺va—奧巴,一</?——<n,

6226

所以cos(a_m=^~^，cosf/?--1=-^^~?

I6)5r6j5

答案第21頁，共22頁

2&2后1123

------x-------+-x—=------

555525

故選：D

5.B

【分析】依據(jù)條件可知三角形OEC的外心為。即為球心，然后表示出半徑/?=』〃計(jì)算即

4

可.

【詳解】由題意，當(dāng)平面彳力石垂直平面QEC時，三棱錐H_Q￡C的高有最大值，此時體

積最大.

?.?△/。石是直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)G，則G為直角三角形4DE的外心，設(shè)等腰三

角形。EC的外心為°,連接。G,則直線OG_^F面力力￡，

則。/=OD=OE=OC?即。為三棱錐力'-的外接球的球心，

則cosNDEC=5+"4=之，得sinNDEC=-,

2xV5xV555

R二2a二5

由正弦定理可知，外接球半徑-不-4"

ZX—

5

答案第31頁，共22頁

則其體積為"蜂=—na=—.

365

故選：B

6.B

【分析】先由/（內(nèi)_1）=8（々）=/得玉+吃=，+「進(jìn)而由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值.

【詳解】由g（w）=E得比4+w=八得In/=?-%2，故x,=ef，

/-2

由/（$一l）=g&）得廣"+x,-1=Inx24-x2=Ine'f+e"=e"*+/-x2?

因/（x）=e、+x單調(diào)遞增，故/一1="/，即再+占=，+1，

2

故M+x2+\-2t=-2t~+t+2，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，=工時，得一2/+，+2的值最大為“，

48

故選：B

7.B

【分析】由作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式比較得

log,3>log,4>log45?即可判斷大小.

【詳解】由3"=4nw?=1嗚4，

明394避申H0財》4位聯(lián)3掌產(chǎn)導(dǎo)H4噎3年8g噎9醞83

1g21g3Ig24g3Ig24g34lg2Mg341g24g3

log.4冊45即筵延4醮34g5tH41g”哨15.十雨匕3

lg3lg41g3yg4Ig34g441g34g44lg34g4

A

log,3>log34>log45，

答案第41頁，共22頁

：?b=4,n-5>《知$—5=0，a=2m-3<21°8：3-3=0?

,/>0>4?

故選:B.

8.B

【分析】°是V/YC重心，也是內(nèi)心，v/l4c是等邊三角形，建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的

坐標(biāo)，設(shè)P(cos6，sin。)，求出0.加=6+2氐in仿+斗利用三角函數(shù)有界性求出

I6)

而?BP的取值范圍.

【詳解】由3怒=布+太，易知。是重心，

乂已知V4BC的內(nèi)切圓圓心為°，所以0也是YABC內(nèi)心，

由三線合一可知V,48c是等邊三角形.

如圖，以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，a所在直線為，軸，平行于8c的直線為x軸，

建、工平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,2),8(-百,一1),C(G,T),P(cose,sinO),

所以說=(6,3),而=(cosO+5/J,sin°+l)，

所以0?麗=(VJ,3)(cosO+VJ,sinO+l)=3+>/JcosO+3sinO+3

=6+2氐沿1+四］，

6J

當(dāng)sin(0+工］=-1時，*而取得最小值,最小值為6一2石

6

答案第51頁，共22頁

當(dāng)sin仿+工］=1時，莎麗取得最大值,最大值為6+26,

6

所以取值范圍是［6-2底6+2石］

故選：B

9.ACD

【分析】根據(jù)給定的圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出/J)判斷ABC；利用函數(shù)圖象的變換

判斷D.

【詳解】觀察函數(shù)“的圖象，得'=2,最小正周期才=2［(手車:)］=一，則/=2,

366y

S/(—)=2>得2x三力=—+2左，AN，而|8|<四，貝!8=-四，/(x)=2sin(2x--)?

332266

對于A，/&)的最小正周期為兀，A正確；

對于B,/=-巴，B錯誤；

6

對于C,/(巧=2sin(2x—--)=0,二二的一個對稱中心為(2,0),C正確;

1212612

對于D,以將"幻的圖象向左平移上個單位長度，得y=2sin［2(x+"-一］=2cos2x的圖

336

象.

答案第61頁，共22頁

再將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)g（x）=2cosx的圖象，

D正確.

故選：ACD

10.ABC

【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系化簡判斷A,再應(yīng)用圖形特征計(jì)算判斷B,C,應(yīng)用投影向量

定義計(jì)算判斷D.

【詳解】V/比,中，麗=2反，則而-方=2（配-而），所以而」而+2刀，A

33

正確；

延長力C至5使CE=2心連接附

因?yàn)榛?2%）.次=0,則皿叱不妨設(shè)則爪=2,

?/A=60°,/.E=30nAB=—AE=—?

22

9+7_1

由余弦定理得8c2=；+l-2xTxg=（,8C=?ncos8=qi^=%=^,所以B

2x—x——

22

正確；

97,1

——+-+1-G

過。作。/_1力5，交力8于產(chǎn)，NACF=NE=30、所以就1在而上的投影向量

—1—

AF=-AB,D錯誤.

3

答案第71頁，共22頁

故選：ABC.

11.ABD

【分析】對A,由正方體的性質(zhì)可知=〃c=，R,判斷可得；對B,作出圖形可得

BiH:HD=BQ1：DM；末。得到面力。"與正方體力88-481GA外接球的球心。之間

的距離，然后計(jì)算「二正二示■即可；對D,作出圖形，按照交線作出分類，求出弧線的長

度，然后求和即可.

【詳解】在正方體力8。。-44GA中

因?yàn)椤?=〃。=〃2，所以〃是△/(:〃的外心，由于〃是等邊三角形，所以點(diǎn)”也是

△ACD,的重心，則選項(xiàng)A正確：

由A可知：連接4,交4c中點(diǎn)于點(diǎn)M,

則8用：HD=BQ1：DM=2:1，B正確;

答案第81頁，共22頁

易得面ACD｝與正方體ABCD-4及GA外接球的球心。之間的距離d=2紇=且，

63

故其截外接球所得圓的半徑為〃=而彳=也，其圓的面積為弓，故C錯誤;

3，

如圖,

球面與止方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：?類在頂點(diǎn)力所在的三個面上，即

面力448、面力4。。和面力上；

另一類在不過頂點(diǎn)力的三個面上，即面88CC、面CC;DQ和面上?在面44避8上，

交線為弧止且在過球心力的大圓上，

因?yàn)?E=Jqj-22=￥，貝產(chǎn)/E哈同理的Y,

所以/￡4F=工，故弧七尸的長為迪?一亭3L,而這樣的弧共有三條.

6369

在面8&CC上，交線為弧EG且在一個小圓上，此時，小圓的圓心為8,半徑為

BF=AE=空，所以弧的長為名回一=4“，這樣的弧也有三條.

13323

于是，所得的曲線長3x迺黑電二=工，故D正確.

933

答案第91頁，共22頁

故選：ABD.

12.b8,；

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A，進(jìn)而根據(jù)集合間的子集關(guān)系求解.

xlo

【詳解】由，={|§2("2)<2}可得A={x\-2<x<2}t

由于=則也小

若3=0時，?m+l>2jM+r解得

8H0pW4-l<2/M-l<_[

若，則〃z+lN-2，解得f，

2m+1<2

綜上可得加<,，

2

m/1-I

所以的取值范圍為-8」

I2」

故答案為：-8,L

I2」

13.^-2,-2+c--

【分析】作出函數(shù)的圖象可得：X+x?=-2,七=_!_,進(jìn)而得到

x1+x,+-!—-=-2+--X3,求出事的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求解.

XyX4Xy

【詳解】如下圖所示：

答案第101頁，共22頁

方程/'(x)=4有四個不同的解"1、X2'X3、X4且X]</<X3<X4，且0<4K1，

由圖可知,點(diǎn)?聞)、(為,4)關(guān)于直線X=-l對稱,則』+0=-2,

由圖可得由MwbMzI可得足匕二一胃&二,，,可得S=，,

為X3

由a=M/|=Tn”(O/]可得上占<],

e

所以，^1+x2+---—=--x3-2,

因?yàn)楹瘮?shù)卜=：、y=一“-2在//)上均為減函數(shù)，報函數(shù)y=：-x-2在上為減函

數(shù)，

因?yàn)?4事<1,則一2<-!■—七一2￡—2+6—1，

ce

因此，西+&+，—■!"的取值范圍是1-2,-2+e」.

-x3x4Ie.

故答案為：[-2-2+c---

Ie.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)的對稱性、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將所求代

數(shù)式化簡，轉(zhuǎn)化為只含一個變量的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)求解.

14.1

【分析】利用分段討論，即可得到二次函數(shù)滿足的條件，從而可得參數(shù)范圍.

【詳解】因?yàn)閄>1，Igx>0，由/'(x)=12-6)1gx20,所以當(dāng)x>l時.

答案第111頁，共22頁

x~-ax+b>0'

因?yàn)?cx<1，lgx<0，由/(x)=(x2_or+b)lgrZ0，所以當(dāng)0<x<l時，Y-or+MO；

由上可得：當(dāng)x=l時，x2-ax+b=\-a+b=O=>b=a-\1

當(dāng)x=0時，x2-ax+b=b<Ot

所以有力=a-140naG,即。的最大值為1，

故答案為：L

15.(嗚

⑵

【分析】(1)由題，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得￡石=5,利用向量夾角公式求解;

(2)將向量的模長轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算得解.

【詳解】(1)由題意|i=26屏亞②+方石-35)=0,

所以2/-5〉否—3^=0,

艮口―2———2——,

3b+5ab-2a=3x5+5。b-2x20=0

:.a-b=5-

...cosGR==廠5廠=I-

\a\-\b\2V5xV52

I—i—TT

v<a,/>>e[0,n],:.{a,力=§.

,(2叫=府

(2)\2a+b\=+4a.坂+=>/80+4x5+5=J105?

答案第121頁，共22頁

16.（1）答案見解析

⑵I

（3）最小值,Cm=3,最大值“XL=3+夜

【分析】（1）將0/分別用，1的組合來表示，根據(jù)點(diǎn)乘的定義計(jì)算即可證明.

（2）將°尸用來表示，利用余弦定理可求|而|的長度.

（3）由（1）可得13的解析式，利用化簡以后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得/（X）的最值.

【詳解】⑴...[—）河j.+jd

?x

：.a-b=(X，+%62).(/9+^26)=西94?。+再J4G,6+)i/?g+yiy2e2-e2

q?4=cos0,ei-et=\,e2e2=1*

/.a-b=x,x2+y1y2+(x^2+x2yl)cos0?

⑵?.?麗=(2,我=2.+后,

如圖，YPOB中

匹卜廚乖而廚的cosNOBP=卜+網(wǎng)2-2x2xKcos^=

答案第131頁，共22頁

(3)vt/=(cosx,2),6=($inx,2),9=—

由(1)可得/(.丫)=25=cosxsinx+4+2(sinx+cosx)cos—=cosxsinx+sinx+cosx+4,

=sinx+cosx,/e—五,3],則sinxcosx=-——-

；?/(x)=+t+e[-應(yīng)，女],

當(dāng)3T時，〃x)血n=3.

當(dāng)"近時，/32號+6

17.(1)證明見解析

【分析】(1)先證0E_L平面P8C，再證3P_L平面06，即可證8P_LQ產(chǎn)；

(2)由>F-BDE=，E-BDF=弓^C-BDF可求；

(3)/麻尸為二面角/一DE-6的平面角，求出石尸,6￡，可求cos/BED

【詳解】(I)證明：因?yàn)槭琎J_底面ABCD,8。匚底面力3。。，所以p/j上BC'

因?yàn)樗倪呅瘟?co為正方形，所以oc18c'，

因?yàn)镻QcOC=O，PD,DCu平面PCD,所以8C_L平面PC。，

答案第141頁，共22頁

因?yàn)镺Eu平面PC。'所以8clOE，

在△PCQ中，因?yàn)镻Q=OT后是pc的中點(diǎn)，所以Q￡1P「

因?yàn)?CcPC=C，PC,BCu平面PCB，所以O(shè)E_L平面尸8C，

因?yàn)镻Bu平面。3。'所以DE上PB'

因?yàn)镋P_L3P,DEIEF=E,EF,DEu平面DEF,所以〃P_L平面。跖，

因?yàn)镈Fu平面DE產(chǎn)'所以8P_LO尸

（2）連接力c交80于點(diǎn)必，如圖所示：

則4CJ.8ZT又因?yàn)槭琙）_L底面48CZT4Cu平面X8CZT所以力。_1_如

因?yàn)镻DcBD=D，PD,DBu平面PBD，所以AC_L平面尸。8，則點(diǎn)。到平面尸08的距

離為|?！眧=拉，因?yàn)?是°C的中點(diǎn)，所以％收=嚷加=；小8,

乙

因?yàn)榈酌嬲叫瘟?co邊長為2，所以80=2五，

PB=\IPD?+DB2=,2?+僅可=2百，

答案第151頁，共22頁

所以DF=BD包=氈BFTBDJDF=更，

BP33

所以=-BFDF=—^

4oUr23

匕，8"=k迪Xa=3所以/“/)￡=：?

C-BDF3399

在NBDE中DE=五,BE=dCE'+BC?=疝8￡>=2能，滿足+夕爐=如，有

DEA.BE，

所以S△皿=3。以“=6,

設(shè)點(diǎn)廠到平面BOE的距離為〃,

—F-8DE=￡*SXhy迪

3BDE

由可得9

*DE

(3)由(1)可得。E_L平面尸3C,因?yàn)镋/u平面P8C,E8u平面P8C,

所以?！阓LE產(chǎn),OE_L￡8，所以/BEF為二面角F-DE-8的平面角，

PE=-PC=42,BE=ylCE2+BC2=^6,

2

因?yàn)?尸位=NPC8=900'ZFPE=ZCPB，所以APFEs.PCB，

所以鬻=惡’解得所生"工'

PBBCPB3

答案第161頁，共22頁

中乂EFLBP日“ZE必=9（）。由zEF1

因?yàn)椋?，所以cosZ.BEF==一，

BE3

故二面角F—DF一R的余弦值嗎1.

18.(1)2

3

⑵也

4

(3)--,-1

12

【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解即可;

⑶利用正弦定理邊角互化將原式轉(zhuǎn)化為匕產(chǎn).|解"』2sM晨

然后令工=4+2，將原式化為：竺W=&sin'-2sinx」，最后結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)

6/33

求解值域.

【詳解】（1）因?yàn)镴JbsinC+*osC=4+c，

根據(jù)正弦定理得：x/3sin5sinC+sin5cosC=sinJ+sinCJ

sinJ=sin(5+C)=sincosC+cosBsinC'

可得6sin8sinC+sin5cosC=sinBcosC+cos5sinC+sinC'

即百sinBsinC-cosBsinC=sinCJ

又因?yàn)镃e(0,7c)，則sinCwO,

答案第171頁，共22頁

可得Gsin"-cosB=l,整理可得如（8一e）=相

且共（0,兀），則8一罪

6V66J

可得8一包一，解得〃

663

2222

（2）由余弦定理得：b=a+c-2accosBfBp3=a4?-2acxl,

2

可得/+。2=3+收22訛，解得aW3,當(dāng)且僅當(dāng)〃=,=石時，等號成立，

所以V"8c的面積為：$八=1訛如B=Jc￡更，

z隊(duì)244

故V'BC面積的最大值為遞.

4

ac-ab-bc_sinAsinC-sinAsinB-sinBsinC

(3)根據(jù)正弦定理得:

b2sin2B

=gsinJsin(J+Z?)--(sin力一等sin(4+4)

=-I—sinJcosJ+-s?2/3.3>/3.J

inA——cosA--------sinA

3(22

44/

百?31

=—sin2J—cos2J-cosJ-V3sinJ+-

33

=^n(2A一l-2sii/

AdIH—，

3I6j16j3

令x=A+工，則24-四=2x—,

662

答案第181頁，共22頁

可得sin2J-^-J=sin(2x-yj=-cos2x=2sin2x-l

將原式化為：——絲——=—（2sin2x-l）-2sinx+-=—sin2x-2sinx--,

h23Vf33