函數(shù)與方程錯題歸納專題練

2026年高考數(shù)學一輪復習備考

類型梳理

易錯點：零點的定義

類型一：概念與理解辯錯因3函數(shù)零點概念與性質把握不當

心措施：牢記定義，注意辨別

函學型二：零點問題易錯點：畫圖錯誤

畫圖時存在問題辯錯因上畫圖不精確導致出錯

數(shù)

丁10措施：畫圖精確,減“偏差

與

方易錯點：情況考慮不全

辯錯因：斯參數(shù)的分類討論不完全

程類型三：零點的使用

補措施：考慮所有情況，避免遺漏

易錯點：零點存在性定理使用問題

類型四：存在性定理辯錯因：忽視零點存在性定理前提條件

補措施：在運用前優(yōu)先臉證使用條件

針對性訓練

一、單選題

1.當xw[0,2兀]時，曲線y=sin2x與y=2sin（2x-9）的交點個數(shù)為（）

4

A.3B.4C.6D.8

2.%=-1”是“函數(shù)y=，+2x-l只有一個零點”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.設㈤表示不超過實數(shù)1的最大整數(shù)，如[2]=2,[2.3]=2,卜2.3]=-3,則方程xfo&H=卜]解的個

數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

4.函數(shù)），=sin2/與），=si吟的圖象在區(qū)間卜2兀2司上的交點個數(shù)為（）

A.3B.5C.7D.9

5.己知函數(shù)/（",若在其定義域內存在實數(shù)上滿足/（—）=-/（力，則稱函數(shù)/⑺為“局部奇函數(shù)”,

若函數(shù)"=4'r〃?2'-3是定義在R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)用的取值范圍是（）

A.[―2⑵B.[-2.+O））C.（-00,2）D.[-4,-2）

6.已知函數(shù)/(1)=9+〃同+/-4和唯一零點，貝匹=()

A.0B.-2C.2D.±2

7.用二分法求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［2,4］上零點的近似解，經驗證有/(2)-/(4)<0.若給定精確度

6=0.01,取區(qū)間的中點玉=胃=3,計算得則此時零點與所在的區(qū)間為()

a

A.(2.3)B.(L2)C.(0,1)D.(3,4)

8.給出以下結論，其中正確結論的個數(shù)為

①函數(shù)/(x)的零點為工，則函數(shù)/(X)的圖象經過點(如0)時，函數(shù)值一定變號.

②相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

③函數(shù)f(x)在區(qū)間心，目上連續(xù)，若滿足/(〃)?〃〃)<(),則方程/(力=()在區(qū)間上以上一定有實

根.

④“二分法”對連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點都有效.

A.0個B.1個C.2個D.3個

9.若函數(shù)〃力在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則是

“我￡(〃,〃),/(%)=0”的(〕

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

10.已知奇函數(shù)/(X)的定義域為且/("在［0,2］上的圖象如圖所示，則函數(shù)

g(x)=［/(x)—x］［f(x)+x+l］的零點個數(shù)為()

11.已知函數(shù)/(“在R上連續(xù)，則“〃1)〃2)/(3)<0”是“方程〃力=0在(1,3)內至少有兩個解”的

()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.非充分非必要條件

12.已知函數(shù)/(6=|2'-3|,若關于％的方程"(力丁-2砌x)+3=0有4個不同的實數(shù)根，則加的

取值范圍是()

A.(—,-6卜(8,+8)B.(y,-x/5)u(x/5,2)

C.("+8)D.(X/3,2)

二、多選題

13.下列函數(shù)中，有零點且能用二分法求零點近似值的是()

.［-X+1,X>0

A.v=3x~-2x+5B.y=?

x+1,x<0

21,

C.y=—+l,xe(-oo.O)D.v=—,r+4x+8

x'2

14.已知函數(shù)/(x)=2sinx-l,則下列結論正確的是()

A./(x)的最小正周期為2兀B.是奇函數(shù)

C.〃力+1的零點是(配0),kcZD./(力在區(qū)間卜川上是增函數(shù)

15.己知定義在R上的函數(shù)〃力滿足/(一1)〃0)〉0,/(0)/(1)<0,且y=〃x)的圖象是一條連續(xù)

不斷的曲線，則()

A./(”在區(qū)間(TO)上可能存在零點B.〃力在區(qū)間(TO)上可能存在極值點

C./(x)在區(qū)間(0,1)上一定存在零點D./(同在區(qū)間(04)上一定存在極值點

三、填空題

16.若函數(shù))，=〃-￡-2〃+3在區(qū)間(0,3)有且僅有一個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是.

A

17.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應值表：

X123456

y124.433-7424.5-36.7-123.6

則函數(shù))，=/(4)在區(qū)間［1,6］上的零點至少有個.

四、解答題

18.已知函數(shù)/(x)=2Gsinscos@r+2cos%x(。>。)，且〃力的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離

峙

⑴求函數(shù)/(X)的解析式；

⑵求函數(shù)/(X)的單調遞減區(qū)間；

(3)當xw0,［時，方程/(“-2〃?+1=0恰有兩個不同的實數(shù)解.，求實數(shù)〃?的取值范圍.

O

參考答案

題號12345678910

答案BCBDBCABCB

題號1112131415

答案DDBCACDABC

1.B

【分析】根據(jù)五點法作圖，在司一坐標系中畫出函數(shù)圖形，判斷交點個數(shù).

【詳解】作），=sin2x圖像，列表：

71

03兀571In

2x2n兀4兀

T2a~23~2

7tn

13兀571lit

X027t2兀

TT~2T

sin2x010-1010-i0

作—sgj）圖像,列表:

n7t37t57r7冗15兀

2.x——0n2713x

4-42TTT

1in137r15兀

n3兀5n7TI9K

X02兀

8TTTT

2sin(2x-—)020-2020-2-近

4

在同一坐標系中畫出圖形，如下圖所示,

則兩個函數(shù)在1U,27d上有4個交點.

故選：B.

2.C

【分析】在。=-1時，求函數(shù)）="+2x-l的零點，判斷充分性，由函數(shù)y="+2x-l只有一?個零

點求。，判斷必要性，由此可得結論.

【詳解】當。=0時，函數(shù)），=2'-1只有一個零點;；

當a=T時，函數(shù)丁=0￥2+21-1=-/+2工-1只有一個零點1；

若函數(shù)5=01’+2x-1只有一個零點，則〃=一1或。=0.

所以是“函數(shù)），=?2+2..1只有一個零點”的充分不必要條件.

故選：C.

3.B

【分析】作出函數(shù)），=丫-卜］和的圖象，數(shù)形結合即可得解.

【詳解】方程xfog6M=3解的個數(shù)等價于函數(shù)二公k］和），=|除64的圖象交點個數(shù)，

作函數(shù)y=x-國和），=|iog6M的圖象如圖所示:

川

月1。刎「］

O123456X

由圖可知函數(shù)），=4-3和y=11ogv,M的圖象的交點個數(shù)為5.

方程xTlog(,M=［x］解的個數(shù)為5.

故選：B

4.D

【分析】在同一直角坐標系中畫出函數(shù)丁=如21和'=$1咤在區(qū)間［-2兀2可上的圖象，數(shù)形結合即可

求解.

【詳解】在同一直角坐標系中畫出函數(shù))』而2T和)，=s嗚在區(qū)間卜2兀2司上的圖象，如圖所示，

由圖可知，兩函數(shù)圖象有9個交點，

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)函數(shù)新定義計算在區(qū)間有解問題，列方程換元求解即可.

【詳解】根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，方程〃-力=-〃力有解即可，

即?2^-3=-(4'-〃??2’一3),所以4T+^x-m(Tx+2v)-6=0,

化為(27+2V)2一機(2-x+2,)-8=0有解，令2七+2'=/,

由基本不等式可知，=二+2。2、2-2，=2,當且僅當x=0時取等，故d2,

2X\2X

則有產一〃〃_8=0在⑵+00)上有解，設g(/)=〃-〃?/-8,對稱軸為/=崇.

①若〃此4,則△=〃/+32>0,滿足方程在［2,+oo)上有解;

m<4

②若〃?<4,要使戶—〃.8=0在時有解，則需<小.“八，

g(2)=-2m-4<0

解得-2W/〃<4.

綜上可得，實數(shù)加的取值范圍為［-2,+8).

故選:B.

6.C

【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)計算求參，再代入檢驗即可.

【詳解】定義域為R,

=-4=f+4聞+.2-4=〃力所以函數(shù)/(力為偶函數(shù),

乂因為函數(shù)/(同=丁+4耳+"-4有唯一零點，根據(jù)零點關于y軸對稱，得出/(())=/-4=(),所

以4=±2,

當〃=2時，函數(shù)”工)二犬+2兇=()有唯一零點，符合題意；

當〃=—2時，函數(shù)=Y-2國=()有零點0,2,不符合題意舍；

故選：C.

7.A

【詳解】由題意可知，對于函數(shù)1=/")在區(qū)間［2,4］上，有/(2)-/(4)<0,所以函數(shù)在(2,4)上有零點.取

區(qū)間的中點％=誓=3.因為計算得了'(2)-/(xJ<0,所以函數(shù)在(2,3)上有零點，故x°e(23).

8.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與工軸交點的橫坐標，來判定①②是否正確；根據(jù)函數(shù)的零點存

在定理，即函數(shù)/")在區(qū)間肉上連續(xù)，若滿足〃。/他)<0,則函數(shù)在(〃/)上存在零點，

來判斷③④是否正確.

【詳解】對于①，當函數(shù)的零點/為不變號零點時，則函數(shù)/")的圖象經過點(工,。)時，函數(shù)值不

變號，所以①不正確.

對于②，當函數(shù)的圖象不連續(xù)(即圖象斷開)，且在相鄰的兩個零點之間斷開時，則在這兩個零點間

的函數(shù)值不一定同號，如正切函數(shù)，所以②不正確.

對于③，由零點存在定理可得正確.

對于④，由于“二分法”是針對連續(xù)不斷的函數(shù)的變號零點而言的，所以④不正確.

綜上可得只有③正確.

故選B.

【點睛】本題考查函數(shù)零點的概念，解題的關鍵是正確理解零點的概念和零點存在定理,屬于基礎題.

9.C

【分析】由零點存在定理易判斷是“叫?。出),/小)=0”的充分條件，利用舉反例可

說明"〃。)/伍)<0"不是“飛⑼,/伍)=0”的必要條件即得.

【詳解】因/(X)是區(qū)間句上的連續(xù)曲線，由/(。)/(0)<0,利用函數(shù)零點存在定埋可知必

*w(9),/(廂)=0；

而由泳?姐),〃/)=0不能得出/⑷〃b)v0,如設/")=』,xQ—2,2],顯然/(0)=0,但

/(-2)/⑵=16>0.

故“/(。)/(9〈0”是“叫?。力),/(飛)=0”的充分不必要條件.

故選：C.

10.B

【分析】根據(jù)題意，即求函數(shù)/(“在[-2,2]上的圖象與直線了=乙)=-%-1公共點個數(shù).

【詳解】令g(x)=[/(x)—x][/("+x+l]=。得/(司=工或/(力=一工一1.

如圖，畫出/(“在卜2,2]上的圖象與直線y=x,直線)=7-1.

由圖可知，“X)的圖象與直線丁='有5個公共點，

/(力的圖象與直線>=-工-1僅有I個公共點，

則g(x)的零點個數(shù)為5+1=6.

故選：B.

11.D

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義和零點存在性定理判斷.

【詳解】根據(jù)題意，若/⑴"2)/⑶<0,

則/(l)J(2)J(3)中兩正一負，或者三負，

只有當〃1)>。，/(2乂0,/(3))0時，

才能得到方程〃司二0在(1,2)和(2,3)內至少各有一個解，

所以“/⑴/（2）/（3）<0"是''方程/（"=0在（1,3）內至少杓兩個解”的不允分條件；

反之,若方程八力=0在（1,3）內至少有兩個解,無法確定力。）,/（2）,/（3）的符號,

所以“/⑴/（2）〃3）<0”是“方程/（刈=0在（1,3）內至少有兩個解”的不必要條件，

所以“/⑴/⑵/⑶<0”是“方程/（x）=0在（1,3）內至少有兩個解”的非充分非必要條件.

故選：D

12.D

【分析】作出/（刈=|2'-3|的圖象，由題意知，=/（x）=|2:3|有兩個根再結合二次方程有兩個不同

的根A>0即可求得〃，的范圍.

【詳解】令/=/"）=,一3|,則令5（/）=/一2〃"+3,即5（/）=0有4個不同的實數(shù)根.

則$（/）要有兩個解八心，

gJ/

-3-2-1O\123^

由圖知，]工才2,0<4v3,0vq<3.

△=（2〃。"-4x3>0,得〃2V—75或〃？>G.

則/=2〃?±2”i=,〃±W5.

22

令t、=tn-\）nr-3,0<tn-\]m-3v3,得m>\JnT-3，則〃？>赤，t2=m+\lnr-3,0v/〃+\lm-3<3,

得3-機〉J"??-3，m<2?

則上<m<2.

故選：D.

13.BC

【詳解】對于A,由y=3f—2x+5知此函數(shù)的判別式A<0,故函數(shù)），=3.d—2x+5無零點；對于D.由

），=g./+4x+8知此函數(shù)的判別式△=（）,故無法用二分法求零點近似值；對于B,C,函數(shù)存在變號

零點，能用二分法求解.

14.ACD

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和函數(shù)奇偶性的定義可判斷AB；根據(jù)函數(shù)的零點定義和正弦函數(shù)的

單調性可判斷CD.

【詳解】對A,/(x)的最小正周期為牛=2n,故A正確；

對B,〃力的定義域為R,但〃0)=2sin0-l=-lH0,故“力不是奇函數(shù)，故B錯誤；

對C,由/(x)+l=2sinx=0,可得x=E,AeZ,故其零點為(桁,0),kwZ,故C正確；

對D,因為/(x)=2sinx-l在-弓怖上單調遞增，而［-1,1仁-,

故/(X)在區(qū)間卜川上是增函數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

15.ABC

【分析】假設/(力在區(qū)間(TO)上先減后增時，/(-1)>0,/(0)>0,/(1)<0,由零點存在性定理

與極值點的概念逐項判斷即可.

【詳解】當/(x)在區(qū)間(TO)上先減后增，且存在極值點小?T0)時，若/伉)<0，

則設/(一1)>0，/(0)>0,/(為)<0且)，=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

故由零點存在性定理，f(x)在(7，及)與(右0)上有兩個零點，故A正確；

此時存在極值點不￡(-M)),故B正確；

由/(。)/(1)<。，且y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

故由零點存在性定理可知/(X)在區(qū)間(。,1)上一定存在零點，故C正確；

若/(月在區(qū)間(0,1)上單調遞減，此時D無法滿足，故D錯誤.

故選：ABC.

3

16.。2—1或。=—

2

【分析】原問題可轉化為)，=("-3)("2)在區(qū)間@3)有且僅有一個零點,所以辦+3=0在區(qū)間

X

(0,3)沒有解或恰有一解x=2，按。的取值范圍分類討論即可.

【詳解】因為函數(shù))，=，3-g-2〃+3在區(qū)間(0,3)有且僅有一個零點，即)，=g+3)('—2)在區(qū)間(of)

xx

有且僅有一個零點，

所以心+3=0在區(qū)間(0,3)沒有解或恰有一解工=2,

①時，奴+3=0在區(qū)間(0,3)無解，合題意;

②avO且。工一3時，需滿足%+32(),即一1￡。<0：

2

③時，依+3=0在區(qū)間(0,3)恰有i解x=2,滿足題意.

綜上可知，實數(shù)〃的取值范圍是。2T或。=-；，

3

故答案為：或4二一萬

17.3

【分析】根據(jù)題意，得到/(2)f(3)<0J(3)/(4)<0J(4)/(5)<0,結合零點的存在性定理，即可得到

答案.

【詳解】根據(jù)題設表格中的數(shù)據(jù),可得/(2)>0J(3)<0J(4)>0J(5)<0,

則”2)/(3)<0,/(3)/(4)<0,/(4)/(5)<0,

根據(jù)零點存在性定理，可得/(x)在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一個零點，

所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口,6］上的零點至少有3個.

故答案為：3.

兀

18.(1)f(x)=2sin(6x+—)+1

6

、(knnkit2兀),丁

(2)+—UeZ

31839)

⑶的

【分析】(1)利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再由給定對稱性求出”即可得到/W的解析

式；

(2)由⑴知/*)=2sin(6.r+F)+l,寫出函數(shù)單調減區(qū)間即可；

6

(3)根據(jù)工［。,』，求出的范圍，結合圖象，根據(jù)尸2〃一與尸/⑴圖象有2個交點，即

可求解.

【詳解】(1)由已知，/(x)=2\/3sin6?xcosa)x+2cos2MX=-75sin2cox+1+cos2(ox=2sinIcox+—+1,

6)

因為/(x)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為g，

則/(X)的最小正周期勺=3,解得。=3,

2a)3

所以函數(shù)/(x)的解析式為f(x)=2sin(6.v+^)+l.

6

(2)由(1)知/(x)=2sin(6x+E)+l,

6

令2E+gW6x+煮-2反+弓J:GZ,

-_AJLTZAJL27t.r

解RNZFL得GW—+—次eZ,

31839

故/(X)的單調遞減區(qū)間為(g+春年+壽?卜€(wěn)Z.

(3)由(1)知/(4)=25巾(63+2)+1,

6

因為xjo,/］時，所以

6J666

.c.r兀7兀1

則rll)，=2sini,f￡［二,丁］,

OO

方程”力-2,〃+1=0恰有兩個不同的實數(shù)解，

即函數(shù)y=2sin//e￡,?]的圖像與直線)，=2〃?-2恰有兩個不同的交點,

66

如下圖：

3

結合圖像可知1?26-2<2,即V，〃<2,

綜上，實數(shù)〃?的取值范圍是看2).

19.(l)N=eT，G=e2；

⑵⑴(ii)證明見解析.

【分析】(I)由題設an.r)2-1lnx-l=O,解方程并結合指對數(shù)關系求解即可；

(2)(i)令〃=lnx,分類討論解"-,-〃+。=。及零點個數(shù)確定參數(shù)范圍；