函數(shù)的最值重點(diǎn)考點(diǎn)專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.函數(shù)/(.￥)=2'+sfx的值域?yàn)?)

A.[0,1]B.[0,+e)C.(1,+8)D.[!,+<?)

2.若函數(shù)丁=/1,的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)镹,則A/nV=()

\J2x-x~

A.(0,-Ko)B.(2,-oo)C.(1,2]D.[1,2)

3.己知-3<x<0,則y=xj9—\2的最小值為()

993

A.--B.—C.--D.不存在

4.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若函數(shù)/G)-g(x)的值域?yàn)?/p>

則函數(shù)/(3x)+g(3x)的最大值為()

A.2B.3C.6D.9

5.若函數(shù)/(x)="的值域?yàn)閇0,+巧，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.[0,1]B.[-1,0]C.[0,1)D.(-10]

6.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+動(dòng),fi/(x+y)=/(x-y)/2(y),則下列結(jié)論不正確

的是()

A../(0)=1B.f(2x)=f2(x)

C./(x)+/(-.r)^2D./(“是增函數(shù)

7.對(duì)于復(fù)數(shù)z,如果復(fù)數(shù)z?同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:①加rR,且冊(cè)>0,使得z'=痛，②田z*|=4,

則稱z*為z的反演.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部等于1,盧為z的反演，則--i|的最小值為()

A.2B.3-石C.75-2D.2-72

8.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()

Y3

A./(x)=x3+1B.f(x)=xsinxC./*)=七D.f(x)=--x

eNx

二、多選題

9.函數(shù)'稱為狄利克雷函數(shù)，對(duì)于狄利克雷函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

0,工史。，

A.D(D(2))=D(D(V2))

B.O(x)的值域與函數(shù)空的值域相同

2x

C.O(X)H￡>(-X)

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有。(x+l)=。0)

10.設(shè)正實(shí)數(shù)機(jī)、〃滿足機(jī)+〃=1,則下列說法中正確的是()

A.2->1B.+?的最小值為坐

C.〃〃？的最大值為:D./+〃2的最小值為上

11.已知函數(shù)/(%)=不￡，則正確的是()

A./(X)的定義域?yàn)镽

B./(x)是非奇非偶函數(shù)

C.函數(shù)/(x+2024)的零點(diǎn)為0

D.當(dāng)x〉0時(shí)，/(切的最大值為g

三、填空題

12.已知函數(shù)/(》)=2--2"3,則/(x)的最大值是.

13.函數(shù)/(%)滿足：①/⑴4②，，"R,2'/(3，)-2，/(工)2(4、一41)/3/(_)，).則〃力的最大

值等于.

14.已知/(x)是定義域?yàn)榈玿wO｝的非常數(shù)函數(shù)，若對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，P均有

/W/V)=/(xv)+/-l,則：①/(1)=2：②/(X)的值域?yàn)椋?,+8)；③〃0=/(￡|：

④/(x)是奇函數(shù)，則上述結(jié)論正確的序號(hào)是.

15.已知不等式。+1)2。(/+*/-2》+5)對(duì)任意方€區(qū)恒成立，則實(shí)數(shù)7的取值范圍是.

16.已知。>0,bsR,若x〉0時(shí)，關(guān)于x的不等式3-2h2+云_4/0恒成立，則的最小

值為

四、解答題

17.已知2—+jJ-2町，一23一1=0.

(1)若求y的最大值，并求出此時(shí)X的值；

(2)若工>1且x>y,求2x-y的最大值.

18.若4b,c>0,且/+/=，，求〃的最大值，使得■+“*一〉￡恒成立.

abc

19.已知首項(xiàng)為十的等比數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S,，且-S2,%3s3成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列s“+1的最大項(xiàng).

RPy=Xy/9-X2的最小值為-

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)值域的意義求出最大值.

【詳解】由函數(shù)ia)-g(x)的值域?yàn)椋跿2］,^-3</(-x)-g(-x)<2,

由/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得/(T是一/(幻,由g(x)是定義在R上的偶函數(shù),得g(r)=g(x),

則-3<-/(x)-g(x)<2,則-2K/(x)+g(x)K3,而函數(shù)〃3x)+g(3x)與/(x)+g(x)的值域相同，

所以函數(shù)/(3x)+g(3x)的最大值為3.

故選：B

5.A

【分析】分別討論/(x)在X不同取值時(shí)得單調(diào)性；當(dāng)4<0歸，/(x)fF,不合題意；當(dāng)4=0時(shí)，

討論/(X)的最小值即可；當(dāng)時(shí)，由分析可知要求/(X)的最小值為0,先確定a的范圍，再根據(jù)

。的范圍確定xNa時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，從而求得其最小值即為/(1)=。符合題意.

【詳解】當(dāng)/(x)=9—3x+2.貝i」r(x)=3x2-3=3(x-l)(x+l),

此時(shí)/(X)在(-8,-1),(1,+8)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

當(dāng)a<0時(shí)，若X<a,/(x)=-aY+l當(dāng)Xf-co,/(X)f-co,不合題意；

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=］f-3：+2'造°,/(O)=2,/(l)=O,則“X)值域?yàn)椋?,+動(dòng)符合題意；

l,x<0

當(dāng)。>0時(shí)，要使/(X)的值域是［0，+8)，則要求/(力的最小值為0.

則必定先有一/+120,得-14a41,即OvaWI,

此時(shí)/(x)=d—3x+2在［a,+8)上單調(diào)性為(凡1)上單調(diào)遞減，。,+8)單調(diào)遞增，

有最小值/。)=0符合題意.改a?0,l］

故選：A.

6.D

【分析】取x=y=o,代入計(jì)算，即可判斷A,取y=x代入計(jì)算，即可判斷B,取y=-x代入計(jì)算,

結(jié)合基本不等即可判斷C,舉出反例，取/(X)=""即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,取x=1=o,則由已知等式得到/(o)=/(o)/2(o),yp/3(0)=/(0),

又因?yàn)橹涤驗(yàn)?o,+8)，所有/(0)>0，故/(0)=1，故A正確:

對(duì)于B,取寸=",則/(2力=〃0)[/(%)了,即/(2x)=[/(x)『，故B正確,

對(duì)于C,令'="則f(O)=f(2x)[/(r)y,BPl=/(O)=/(2x)[/(-x)]2=[4打[4-打，

注意到/(x)>0,所以/(一力=肅>°，

所以當(dāng)/(丫)=1取得等號(hào)，故c正確;

對(duì)于D,?/(x)=e-\貝ij/(：r+y)=eTr,/(x_y)/2(y)=ei-e-2，=eT-"

符合題意，但此時(shí)/(x)是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

7.C

【分析】設(shè)z=l+6i,beR,利用判別式法可求歸-i|的最小值.

【詳解】設(shè)z=l+bi力wR,則z*=〃?(l+bi),

._________444b

所以Jl+/x/〃xJl+/=4，故陽=1萬，故2*=1方+「了

設(shè)"普,則曲+泌+-6=。，其中匹R，

若Z=0,貝!)〃=2；

若"0,則△=64-4/(/一16)20即產(chǎn)一⑹―16W0，

故8-4萬工區(qū)8+4扁/0,

(\6-Sh,

故8-4石q48+4x6，故+1=9-4瓦

1-1-+-/r

min

故尸-iL=6",

故選：C.

8.D

【分析】利用奇函數(shù)排除AB：再求出函數(shù)值域即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,/(幻=/+1是非奇非偶函數(shù)，A不是；

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=xsinx值域?yàn)镽,/(-%)=-xsin(-A)=xsinx=f{x),是偶函數(shù),B不是;

對(duì)于C,函數(shù)/(M=定的定義域?yàn)镽，/(-R=三=-金~=-/(X)，是奇函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=4>求導(dǎo)得/'(x)=I-，當(dāng)O<X<1時(shí)，/'a)>()；

ee

當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,1)上遞增，在。,內(nèi))上遞減，/UU=/(1)=-,

e

而當(dāng)x40時(shí),/U)<0,即函數(shù)/(X)的值域不是R,C不是：

33

對(duì)于D,函數(shù)=的定義域?yàn)?一8,0)U?+8),f(-x)=—+x=-f(x),是奇函數(shù)；

X-X

當(dāng)x>()時(shí)，尸2,y=-x都遞減，則函數(shù)/(X)在(0,*o)上單調(diào)遞減，

X

函數(shù)/(外在(0J上值域?yàn)椋?,3),在［1,+8)上值域?yàn)?-8,(小因此函數(shù)/(X)在(0,內(nèi))上的值域是R，

同理函數(shù)/*)在(YO,0)上的值域是R,D是.

故選：D

9.ABD

【分析】由狄利克雷函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷即可：

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)狄利克雷函數(shù)定義可知力(。(2))=。(1)=1,力(。(&))=。(0)=1,即A正確；

對(duì)于B,易知函數(shù)/")=在二的定義域?yàn)?-oo,0)U(0,⑹，

2x

當(dāng)X€(Y,O)時(shí)，/。)=乜產(chǎn)=0；當(dāng)xe((),+8)時(shí)，r(x)=-^=l；

2x2x

即函數(shù)的值域?yàn)樗?｝，所以B正確；

2x

對(duì)于C,若xcQ,則-xeQ,則。(幻=。(一幻=1,

若工￡今。，則一xw4。，則。(幻=0(—x)=0,綜上可得：D(x)=D(-x)t故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,當(dāng)xcQ時(shí)，x+lw。，

此時(shí)￡)(x+l)=O(x)=l；

當(dāng)x史。時(shí)，x+1任。,此時(shí)。(x+l)=Q(x)=0,所以D正確.

故選：ABD

10.ACD

【分析】由題設(shè)得機(jī)-〃=2”?-le(-1,1),結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷A：應(yīng)用三角換元、輔助角公式及

正弦型函數(shù)性質(zhì)求向+?的范圍判斷B；應(yīng)用基本不等式求最值判斷C、D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)機(jī)，〃滿足“+〃=1,則m-n=w-(1-m)=2m-1e(-1,1),

故2i>2一］「，正確；

2

對(duì)于B,設(shè)J^=sina，Vw=cos??滿足正實(shí)數(shù)〃?，〃的關(guān)系式，〃+〃=1,

所以+〃=sina+cosa=75sina+色，

14)

由于aw(0,；),所以弓<sin(a+；)?l,所以1正，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由基本不等式得〃7〃/"1=,，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=1時(shí)等號(hào)成立，正確;

I2J42

可得"/+〃2之_[,當(dāng)且

對(duì)于D,因?yàn)?(〃?’+〃2)=(〃/+“2)+(〃/+〃2”/n~+〃2+2〃?"=(/〃+〃)2=]

2

僅當(dāng)〃?=〃=J時(shí)等號(hào)成立，正確.

故選：ACD

11.AD

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)研究.可以判斷A、B、C選項(xiàng)，對(duì)于D選項(xiàng)，利用基本不等式來求最值即

可.

【詳解】由』+9工0可得：函數(shù)〃》)=一當(dāng)?shù)亩x域?yàn)镽,故A正確；

X'+9

由八一”卜占樂=一式？=一/(力，結(jié)合定義域?yàn)镽，可知/("是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

由/(x+2024)="…\2]=0解得,x=-2024,所以零點(diǎn)為—2024,故C錯(cuò)誤；

(x+2024)+9

〃二2K二2.2=1

當(dāng)x>0時(shí)，彳=3八9―/+9工+9、西一鼠取等號(hào)條件為x=3,故D正確；

x

故選：AD.

12.16

【分析】求出f=-x2+2x+3的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】由/(必=2*+2'",而/=-1?+2X+3=TX-1)“+444,

因?yàn)閥=T單調(diào)遞增，所以j，=2Y2“，則/(x)的最大值是16.

故答案為：16

13.1/0.5

2

【分析】設(shè)/(x)a=，且/⑻=%，代入得：2丁2噂(￥-4)芻，令2Jp,則有關(guān)于P的不等式

JJ

"_〃+/40有解，利用判別式求解即可.

【詳解】解：設(shè)/(X)a=,且/(機(jī))=，

令x=〃?，y=1,

則有2*/'(1)-2/(.)之(#-4)./(〃?)./(1),

22

即]2皿_2，“4m_4》不，

22

設(shè)2"'=〃，貝1]]P一2/2(/—4)?《/,

HP2tp2-2p+2t<0,

所以伊2-P+/V0有解，A=I-4r2

所以/(x)的最大值等于9

故答案為：y

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答與抽象函數(shù)有關(guān)的題FI時(shí)，常川賦值法.

14.?@

【分析】利用賦值法判斷①和③的正誤：設(shè)/(x)=x+L,代入已知等式即可驗(yàn)證②的正誤；取

X

〃X)=X+L驗(yàn)證④的正誤會(huì).

X

【詳解】對(duì)于①，令y=l,可得/⑴/(x)=2/(x),因?yàn)?W是非常數(shù)函數(shù),所以/(力不恒為0,

所以/(1)=2,故①正確.

1[?

對(duì)于③，令x=i,則/(歹)/(1)=/。)+/-,可得/3=/二

<y)1歹

即/")=/(，],故③正確.

IX/

對(duì)于②，根據(jù)/")=/可取/(x)=x+J

可知/(X)是定義域?yàn)椋鹸|x^O)的非常數(shù)函數(shù),

且/(x)/3=(舊卜+J=(^4--1+-+-1=/(A>')+/-

xy)㈠x)Vy)

可知/(X)=X+L符合題意，但/(—1)=一2<0,故②錯(cuò)誤.

X

對(duì)于④，例如/(》)=工+m，可知/("是定義域?yàn)椋鹸lxwO｝的非常數(shù)函數(shù),

且小)/(加卜+*+j，卜+J+仔+￡，注意到職同號(hào),

可得/3/（加卜嗎卜停+小|1XX

xy-\—4.:葉"功+/[

xy

可知/（x）=x+：符合題意，但〃T）=11

一x+—x+-

-XX=/3,

即/（X）為偶函數(shù)，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

1

15.—,4-00

2

(A-+1)2

【分析】參變分離可得(x2+l)(x2-2x+5)對(duì)任意xwR恒成立，換元令x+l=f,整理得

(X+l)21

22

(x+l)(x-2x+5)-^+4_3J+r結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)分析求解.

【詳解】因?yàn)?*+1)2彳丸[2I1)12-2“+5),且/十1>0.2_2A+5>0,

可得(41知24+5產(chǎn)對(duì)任意'WR恒成立，

令X+1=f,則X=/-1,

(X+1)2八

若“一1,則"0,可得西產(chǎn)五可=0,

(x+l)2_r

若“工一1,則“。，可得儼+加2_2戈+5)=[(—1)2+]][(1)2_2(1)+5

=__________r_____________________1二]

-/4-6/3+lX/2-24/+16-,2」624-7""4""?~,

1+產(chǎn)-&-7+豬,+>3j+1

4

由對(duì)勾函數(shù)〃=/+-可知”之4或“K-4,

t

則/+2-321或/+2—3K—7,可得/+上-321,

tt\t

-^）1_=_!____efol

則（入燼-2X+5）（仔河］「：

…（工+1）2「八「

綜上所述：（X2+*X2-2X+5『［'5_|'

（A+l）2i1

即聲/許的最大值為9則壯于

-1、

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是3,田.

-L/

故答案為：*+8）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題

（1）分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

（2）函數(shù)思想法

第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值：

第三步：構(gòu)建不等式求解.

16.4

【分析】分析得到8=24-22,故6+上4=2〃+2￡,利用基本不等式求出最小值.

aaa

【詳解】若。>0,x>0,3-2）（一+隊(duì)一4"0恒成立，

即方x-4）20'恒成立，

所以二次式與一次式在0到正無窮有相同的解，

故—+加-4=卜一|）（工+2〃）才能滿足要求（因式分解后二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)一致），

2

,故6=2?！?

a

2

4,當(dāng)且僅當(dāng)24=：,即。=1時(shí)，等號(hào)成立，

4

故6+—的最小值為4.

a

故答案為：4

17.（1）?的最大值為3,此時(shí)工=2；

（2）3

【分析】（1）設(shè)三二攵€（0/），故x=如，代入2/+），2-29-2》-1=0>+.,2/A;2-（2/+2^）Z:+/-l=0,

設(shè)/任）=2），2&2-（2/+2J，）&+），2—1,根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到不等式，求出1<J，W3,進(jìn)而得到

的最大值為3,代入2—十/一2個(gè)一2入-1=0,求出x=2；

（2）i^2x-y=tf由于x〉］,x>y,^t=x+（x-y）>1,將2x—=y>（弋入等式中得

2X2-（2/+2）X+Z2-1=0,根據(jù)根的判別式得到l<fW3,驗(yàn)證當(dāng)/=3時(shí)滿足要求，從而得到最大值.

【詳解】（1）設(shè)±="￡（0/），故工=如，

y

2x2+y2-2xy-2x-\=0=>（2k2+\）y2-2ky--2ky-\=0,

22

即2A-（2/+2y）k+y-\=0t

令f（k）=272k2-（2/+2y*+y2_i,開口向上，

則/（0）=「-1>0,

要想0=2/3一(2/+2亦+/-1在心(o,|)上有解,

A>0

則要/⑴<0或,

/⑴“

由/⑴=）12），-1<0得1<”1+上,

A>0nJ（2r+24-8r（r-i）>o

叫/⑴20解得1+/KyK3,

-2y-l>0

綜上，1<^<3,故〉的最大值為3,此時(shí)4x+4=0,解得x=2.

（2）設(shè)2x-y=f,由于x>l,x>yt故/=x+（x-y）>1,

將2i=y代入2./+/一2町，-21=0中，得

2x2+（2x-t）2-2x（2x-t）-2x-\=0,即2x2-（2/+2）x+/2-1=0,

2X2-（2/4-2）X+/2-1=0,A=（2/+2）2-8（/2-1）=-4/2+8/+12,

要想方程在x?l,+8)上有解.，需要ANO,解得-14Y3,

又/>1,故1</S3,

當(dāng)，=3時(shí)，2x2-(2r+2).￥+/2-l=0=>2.￥2-8.v+8=0,

解得x=2,此時(shí)y=】，符合要求，

故2x-y的最大值為3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)土=々?0,1),故》=勿，轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的一元二次方程，結(jié)合根的分布與二

y

次函數(shù)圖象，得到不等式，求出最值；設(shè)2x->，=/,轉(zhuǎn)化為2——(Z+2)x+〃—1=0的解向題，利用

根的判別式得到不等式，求出答案.

18.2+V2

【分析】法一：采用特殊值探路，再證明結(jié)論即可：法二：利用三角換元，設(shè)

a=ccosa,b=csina,?G|0,-J.再設(shè)/=sina+cosa,求出，的范圍，再將“于"轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的

abc

式子，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出最值.

不妨設(shè)。=方=1,。=&代入《±￡土《2A?可得

【詳解】法一：由題意知/+/=c2,由“，力對(duì)稱

abc

k<2+>/2，

下證：/+/+<?之2+6

abc

事實(shí)上因?yàn)?^3+6'>3b3c3=3+abcCD，當(dāng)且僅當(dāng)巫°=〃=/)等號(hào)成立，

2

fl--L(a2+/72)>2fl-^\abc②，

當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號(hào)成立，

①+②得。3+〃+。32(2+a)必C,即N2+G%,