?第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值

￡1知識點(diǎn)目錄/

【知識點(diǎn)1】函數(shù)奇偶性的判斷..........................................................2

【知識點(diǎn)2】利用奇偶性求值(解析式)...................................................5

【知識點(diǎn)3】利用奇偶性解不等式........................................................9

【知識點(diǎn)4】函數(shù)的周期性..............................................................14

-------------------------悔1基礎(chǔ)知識/

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

一般地，設(shè)函數(shù)Hx)的定義城為D,如果V

偶函數(shù)xGD,都有一x￡D,且H—x)=-x).那么關(guān)于p軸對稱

函數(shù)Hx)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)尸(x)的定義域?yàn)镈,如果V

奇函數(shù)x￡D,都有一D,且尸(一x)=—5(x),那關(guān)于原點(diǎn)對稱

么函數(shù)Hx)就叫做奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)Hx)的定義域?yàn)?。如果存在一個非零常數(shù)r,使得對每一個x

都有x+7￡。，且7都+7)=Hx),那么函數(shù)y=Hx)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫做這

個函數(shù)的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函數(shù)尸(x)的所有周期中存在一個量小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)

就叫做尸(x)的最小正周期.

【常用結(jié)論】

1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論

第1頁共17頁

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反

的單調(diào)性.

2.函數(shù)周期性常用結(jié)論

對Hx)定義域內(nèi)任一自變量x的值：

(1)若f(x+a)=—Hx),則f=2a(a>0).

1

⑵若Hx+a)=,則r=2a(a>0).

fx

■知識點(diǎn)1/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)1】函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

⑵判斷F(x)與H—X)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的

等J介等量關(guān)系式(H*)+五(一￡=0(奇函數(shù))或式(工)一外一功=0(偶函數(shù)))是否成立.

典型例題

【例1】(2025?普陀區(qū)三模)下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為()

A.=sinx-exB.y=xy-x2

C.y=cos(2x)D.y=log,

1-x

【答案】D

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性檢臉各選項即可判斷.

x

【解答】解：y-sinxety=-1為非奇非偶函數(shù),4B錯誤;

y=cos2x為偶函數(shù)，C錯誤；

14-r

y=/(x)=log2—,-1<X<1,

\-x

第2頁共17頁

貝lf(-x)=log，^~~-=-log,=-f(x),即/(X)為奇函數(shù)，。正確.

-1+X-1-X

故選：D.

【例2】(2025春?長寧區(qū)期中)下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()

A.y=x-sinxB.y=SinXC.y=x+s\nxD.y=x+cosx

X

【答案】c

【分析】先求出各個函數(shù)的定義域，再根據(jù)/(T)與"X)的關(guān)系即可做出判斷.

【解答】解：對于力，函數(shù)/口)的定義域?yàn)镽,

且f(-x)=(-x)-sin(-x)=xsinx=f(x),/(x)是偶函數(shù)，故力錯誤；

對于，，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?-8,())<J((),十8)

且g(-x)=sin(*=包2=g(x),所以g(x)是偶函數(shù),故8錯誤；

-XX

對于C,函數(shù)〃(刈的定義域?yàn)镽,

且b(x)=(-x)+sin(-x)=-(x+sini)=-力(x),所以〃(x)是奇函數(shù)，故C正確；

對于。，函數(shù)p(x)的定義域?yàn)镽,

且p(r)=(-x)+cos(-x)=-x+cosx,

p(-x)Wp(x),p(-x)H-p(.v),所以p(x)是非奇非偶函數(shù)，故。錯誤.

故選：C.

【例3】(2025?濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)〃》)=二_,則下列是奇函數(shù)的是()

?一早

A./(x+2)+1B./(x+1)-；C./(x+2)+3D./(x+l)-3

【答案】B

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性檢驗(yàn)各選項即可判斷.

【解答】解：因?yàn)?(%)=二

3-3X

所〃/(4+2)+1=—7+-=--J不是奇函數(shù)；

33-3231-3

第3頁共17頁

人/、〃I、121l+3v

1(幻=/(2)-5=丁-丁正7r

貝g(-x)=I=3'+1=一g(x)

63(1-3-')3(3r-l)與

即/'(x+1)為奇函數(shù)；

/(工+2)+3=三a+3=寫:不是奇函數(shù);

J-DJ-Z

0-A

不為奇畫數(shù).

故選：B.

【例4】(2025春?蘇州月考)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

Ae-xccosx+K

A.y=y=-^-r-

x~+\x~+1

sinx+4x

U.y=----D.y=

x+l

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【解答】解：對力，設(shè)/(外=三=，函數(shù)定義域?yàn)镠,但〃-1)=±1,/(1)=—,則/(-I)。/

x~+122

G),/⑴不是奇函數(shù)，故4錯誤;

對8,設(shè)g(x)=3"十八，函數(shù)定義域?yàn)镽,

X2+1

且g(T)=cos(r)：(Jcosj+/),則g(x)為偶函數(shù)，故8正確；

(-X)-+1X2+1

對C,設(shè)例》)=《二，函數(shù)定義域?yàn)椤皘.丫工-1},不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則/?(x)為非奇非偶函數(shù)，故

X+1

。錯誤；

r,c,、sinx+4xZ鑒彳、，/訃九八m八4、sin1+4,-sinl-4

對D,設(shè)*(x)=--------,函數(shù)小義域?yàn)镠,因?yàn)榕?)=-------,*(-1)=--------,

則0(1)工例-1),則Q(x)不是偶函數(shù)，故。錯誤.

故選：B.

【例5】(2025?虹口區(qū)二模)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

乳

A.y=\[xB.y-x~2C.j^=sin(x+—)D.y=tan(x+7r)

第4頁共17頁

【答案】D

【分析】分別判斷選項中的函數(shù)是否為定義域上的奇函數(shù)即可.

【解答】解：對于4,y=4的定義域?yàn)椋?,+oc),是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意:

對于4,了=婷是定義域?yàn)?ro,0)0(0,+8)上的偶函數(shù)，不滿足題意；

對于C,p=sin(x+$=cosx,是定義域區(qū)上的偶函數(shù)，不滿足題意；

對于。，y=tan(x+TT)=tanx,是定義域(-1+ATT,y+k;r),AwZ上的奇函數(shù).

故選：D.

?知識點(diǎn)2/

知識點(diǎn)

【知識點(diǎn)2】利用奇偶性求值(解析式)

一、利用奇偶性求值

1.直接運(yùn)用定義

奇函數(shù)性質(zhì)：若函數(shù)/'(X)為奇函數(shù)，則/(一刈=—/(X),且/(0)=0(若/(X)在x=0處有定

義).當(dāng)已知/伍)的值時，可根據(jù)此性質(zhì)求出/(一。)的值，即/(一。)二一/(。).

偶函數(shù)性質(zhì)：若函數(shù)/(原為偶函數(shù),則/(-x)=/(?),所以/(?)=/(-〃)，利用這一性質(zhì)，已

知/伍)可直接得出了(-。)的值.

2.構(gòu)造奇偶函數(shù)

當(dāng)所給函數(shù)不直接具備奇偶性時，可通過對函數(shù)進(jìn)行變形，構(gòu)造出具有奇偶性的新函數(shù).例如，

對于函數(shù)g(x)=/(x)+f(-x),無論/(x)原本的性質(zhì)如何，g(x)一定是偶函數(shù)；而函數(shù)

h(x)=/(工)一/(一x)則為奇函數(shù).

利用構(gòu)造出的奇偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件建立方程，進(jìn)而求解目標(biāo)值.比如，已知g(x)在

某點(diǎn)的值，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得到其在對稱點(diǎn)的值，從而輔助求解.

第5頁共17頁

3.利用奇偶性與其他性質(zhì)結(jié)合

函數(shù)的奇偶性常與周期性、對稱性等性質(zhì)綜合考查,若函數(shù)/(x)是周期為7的奇函數(shù)，那么

f(x+T)=f(x)JLf(-x)=-fix),通過這兩個性質(zhì)的結(jié)合，可將不在已知范圍內(nèi)的自變量轉(zhuǎn)化

到已知范圍內(nèi)進(jìn)行求值.

例如，已知/(口在［0,1］上的函數(shù)值，且/(x)是周期為2的奇函數(shù)，要求/(3.5)的值，可利

用周期性和奇偶性將/(3.5)轉(zhuǎn)化為/(-0.5),再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解.

二、利用奇偶性求解析式

1.已知對稱區(qū)間一端的解析式

若已知函數(shù)/(幻在區(qū)間［a,b\(?>0)上的解析式，要求其在對稱區(qū)間上的解析式，

可先設(shè)工￡［一力,一〃］,則一工￡［凡/)］.

因?yàn)橐辉谝阎馕鍪降膮^(qū)間內(nèi)，可先求出/(-X)的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.若

/(萬)是奇函數(shù)，則/(x)=;若/(x)是偶函數(shù)，則/(x)=/(—x),從而得到XE［—6,—Q］時

/(X)的解析式.

2.利用奇偶性的變形與恒等關(guān)系

對于一些復(fù)雜的函數(shù)，可能需要對奇偶性的定義式進(jìn)行變形.例如，對于寺函數(shù)了(X),

/(x)+/(-x)=0;對于偶函敬/(x),f(x)-f(-x)=0.

可根據(jù)已知條件，結(jié)合這些恒等關(guān)系建立關(guān)于/(X)的方程，通過解方程求出/(X)的解析式.有

時還需引入輔助函數(shù)，利用其奇偶性簡化計算過程.

3.分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)用

對亍分段函數(shù)，判斷奇偶性葉需要分別對每一段進(jìn)行分析.若分段函數(shù)1/(X)是奇函數(shù)或偶函

數(shù)，那么在每一段上都要滿足相應(yīng)的奇偶性條件.

已知分段函數(shù)在某幾段上的解析式，求其他段的解析式時，同樣利用奇偶性，通過在已知段和

未知段之間建立自變量的對稱關(guān)系，進(jìn)行解析式的推導(dǎo).同時要注意函數(shù)在定義域邊界處的取

值，青況，確保解析式的完整性和準(zhǔn)確性.

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典型例題

【例6】(2024秋?福貢縣期末)已知函數(shù)/3)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xW時，〃X)=X2_3X,

則當(dāng)x<0時，/(x)的解析式為()

A.x2-3xB.-x2-3xC.-x2+3xD.x2+3x

【客案】D

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)x<0歸，-x>0,可得/(t)的表達(dá)式，由函數(shù)的奇偶性分析可得答案.

【解答】解:根據(jù)題意，當(dāng)x<0時,-x>0,f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,

又由函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

貝”/(X)=/(-X)=X2+3X;

故當(dāng)xv0時，/(x)=x2+3x.

故選：D.

【例7】(2024秋?重慶期中)已知/(x)為火上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(》)=丁+2》+1,貝"x<0時,

〃工)的解析式為()

J

A./(x)=-?-2x-l(x<0)B./(x)=-x-2x+l(x<0)

C.f(x)=x3+2x-l(x<0)D.f(x)=-xy+2x+l(x<0)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，令-x>0,則r<0,求出/(r)的表達(dá)式，結(jié)合奇偶性分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，令r>0,則-x〈O,

貝qf(-x)=(-x)3+2(-x)+l=-/-2x+l,

又由/(x)為R上的奇函數(shù),

貝以(工)—)=工3+21.

故選：C.

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【例8】(2024秋?桃城區(qū)期中)已知函數(shù)〃外為火上的奇函數(shù)，當(dāng)時，/(x)=-3/+x,則

當(dāng)x>0時，/(x)的解析式為()

A./(x)=3x2+xB.f(x\=3x2-xC.f(x)=-3x2-xD.以上都不對

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)x>0時，-x<0,求出/(t)的表達(dá)式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意,當(dāng)x>0時，-x<0,

貝U/(T)=-3X2-X,

又由“X)為奇函數(shù)，貝U/(x)=-f(-x)=-(-3x2-x)=3X2+X.

古攵選：A.

【例9】(2024秋?錫山區(qū)期中)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)xw(-8,0)時，+則當(dāng)

xe(0,4-oo)時，/(x)解析式是()

A./(x)=l-x2-x3B./(x)=l-?+x3

0./(x)=-l-x2-xJD./(x)=-l-x2+x3

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出解析式即可.

【解答】解：，,當(dāng)xw(-8,0)時，f(x)=-\+x2-x3,

又函數(shù)/")為奇函數(shù)，

.?.當(dāng)x>0時，-A-<0,/(X)==-[-1+(-X)2-(-X)3]=1-X2-X3.

故選：A.

【例10】(2024秋?北珞區(qū)期中)函數(shù)/(X)是R上的奇藥數(shù)，且當(dāng)x>()時，函數(shù)的解析式為

2

/?=—1,則/(—1)=()

X

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A.-1B.1C.-3D.3

【答案】A

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)直接求出結(jié)果即可.

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?(x)是/?上的奇函數(shù)，

且當(dāng)x>0時，函數(shù)的解析式為f(x)=--1,

X

所切(-1)=-/⑴=-(*)=-1?

故選：A,

■知識點(diǎn)3/

知識點(diǎn)

【如識點(diǎn)3】利用奇偶性解不等式

步驟1:判斷奇偶性并分析單調(diào)性

奇偶性驗(yàn)證：

確認(rèn)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(必要條件)，再驗(yàn)證f(-x)=±f(x)是否成立.

單調(diào)性分析：

奇函數(shù)：只需分析x>0或x<0一側(cè)的單調(diào)性，另一側(cè)單調(diào)性與已知側(cè)相同.

偶函數(shù)：重點(diǎn)分析x>0時的單調(diào)性，x<()時單調(diào)性與x>0相反.

步驟2:利用奇偶性化簡不等式

奇函數(shù)：

若不等式含f(-x),/(-X)=-/(X)轉(zhuǎn)化為僅含f(x)的形式(如/(-〃)--/伍)).

偶函數(shù)：

利用f(x)=/(|x|),將不等式統(tǒng)一為/(|%|)的形式(如/⑷f/(|a|)).

步驟3：結(jié)合單調(diào)性脫去f

奇函數(shù)：

若已知f(x)在某區(qū)間遞增/遞減，直接根據(jù)單調(diào)性匕較自變量大小(注意x的符號).

第9頁共17頁

偶函數(shù):

若/(x)在x>0上遞增，則/(|。|)</(|回)，。|<|〃；

若遞減,則/(|。|)<〃|6|2|0>|".

步驟4：解代數(shù)不等式并驗(yàn)定義域

脫去f后，解絕對值、分式等代數(shù)不等式.

結(jié)合函數(shù)定義域，排除不滿足條件的解.

典型例題

【例11】(2024秋?吐魯番市期末)已知函數(shù)/(工)是定義在H上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f[x}=x-1,

則不等式必'*)<()的解集為()

A.(-00,,4-00)B.(-1,0)51,”)

C.(-1,0)50,1)D.S,7)50,1)

【答案】C

x<0

【分析】由不等式^(工”。等價于.求解.

I/O。

【解答】解：函數(shù)/(X)是定義在A上的奇函數(shù)，當(dāng)x>()時，/(x)=x-l,

所以x>l時，/(X)>0,0<x<l時，f(x)<0,

所Xxv—l時，/(x)<0,一1<工<0時，/(.Y)>0,

x<()

又不等式M\x)<o,等價于<

/(x)>0'

x>0%

所以,或〈,解得()<X<1或-1cx<().

0<x<1-l<x<()

故選：C.

【例12】(2023秋?永城市期末)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=/〃x+x-l,

則不等式/(x)<0的解集為()

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A.(-00,-1)51,+oo)B.(-1,0)1(1,+O0)

C.(-1,0)50,1)D.(-oo,-1)50,1)

【答案】D

【分析】首先判斷(0,+oo)時函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)，求/(x)<0的解集，然后根據(jù)奇函數(shù)的

性質(zhì)，求函數(shù)在(F,0)時，/(x)<0的解集，即可求解.

【解答】解：當(dāng)x>0時，/(x)=/〃x+x-l是增函數(shù)，且/(1)=0,

所次當(dāng)(0,1)時,f(x)<0,X€(l,+oo)Ht,f(x)>0,

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，xe(-l,0),/(x)>0,X€(-00,-1),/(x)<0,

所以不等式/(x)<0的解集是(-8,-1)U(O,1).

故選：D.

【例13】(2023秋?錫山區(qū)期末)已知函數(shù)“X)為火上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，/(x)=2'—則

8

〃工)<0的解集為()

A.(-3,0)U(0,3)B.(-3,3)

C.(-00,-3)50,3)D.(-oo,-3)U(3,+oo)

【答案】C

【分析】先由奇偶性求解/*),再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解不等式.

x

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)八用為/?上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=2--f

8

當(dāng)x>0時，-x<0,

所以/(-x)=2-x_：=_/(x),

O

所〃/(幻=:一］,

O/

又/(())=(),

x<0x>0

則/(幻<0可轉(zhuǎn)化1八或11A,

2--<0-----<0

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解得,x<-3或0<x<3.

故選：C.

【例14】(2024秋?姑蘇區(qū)期中)已知/(x)是定義在公上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/⑶=4+2,

則不等式/(x)>x的解集為()

A.(-co,-4)5。，4)B.(-4,0)54,+8)

C.(-4,0)50,4)D.(-co,-4)U(4,+00)

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)定義及性質(zhì)先求出/(X)的解析式，即可求解不等式.

【解答】解：因?yàn)?(X)是定義在7?上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=\[x+2,

則/(0)=0,

當(dāng)x<0時，-x>0,

則f(-x)=Q+2=-f(x),即/(x)=_2_Q,

2+\fx,x>0

古攵/(x)=?(),x=(),

-2-\[-x,x<0

當(dāng)x>0時，不等式/(X)=2+\/7>X,解得0<X<4,

當(dāng)x=0時，不等式/(x)=0>0不成立，

當(dāng)T<0時，不等式/(X)=-2-7^7>x,解得x<-4,

故。<*<4或x<-4.

故選：A.

【例15】(2023秋?東城區(qū)期中)已知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+00)上為增函數(shù),

/(-)=0,則不等式"L二!2<o的解集為()

3x

A?(O.loUg，”)B.(~oo,0)Uc|,g)

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C.居)D.(-O0,-1)J(1,+O0)

【答案】B

【分析】利用函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可解不等式.

【解答】解：/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+oo)上為增函數(shù)，/(1)=0,

由此畫出/(x)的大致圖象，如下：

將/⑴的圖象向右平移1個單位，得到/(X-1)的圖象,

f(x-1)

則不等式也二D<o,化為.xv0..x>0

或J,

Xl/Cv-i)>o/u-i)<o

結(jié)合圖象，可得解集為：(-8,0)U(|,^).

故選：B.

辱1知識點(diǎn)4/

知識點(diǎn)

第13頁共17頁

【知識點(diǎn)4】函數(shù)的周期性

(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

⑵利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知

區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.

典型例題

【例16】(2025?江西模擬)已知函數(shù)/(幻滿足/(工+1)=,0'/(力為偶數(shù)'若/(1)=3,則

3/(x)+lJ(x)為奇數(shù)

7(2024)=()

A.1B.4C.5D.2024

【答案】A

【分析】通過計算求得函數(shù)的周期即可得到答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/")滿足/(x+l)=丁'/(")為偶數(shù)，,

[3/(x)+l,/(x)為奇數(shù)

則/(1)=3,貝U/'(2)=10,/(3)=5,f(4)=16,f(5)=8,f(6)=4,

f(7)=2,f(8)=1,f(9)=4,

"10)=2,/(11)=1,/(12)=4,

/(13)=2,發(fā)現(xiàn)從第6項開始就是以3為周期的周期函數(shù)，

貝U/(2024)=/(8+672x3)=/(8)=1.

故選：A.

【例17】(2025?聊城模擬)已知/(外是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為g(x).若

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/(1+1)-2》為偶函數(shù)，且g(x)=g(4-x),則￡g(j)=()

r=l

A.60B.40C.20D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分析g(x)的對稱性和周期性，可得g(x)Ig(xI2)=4且g(xI4)=g(x),由此

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分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x+l)-2x為偶函數(shù)，則fa+l)-2x=/(r+l)+2x,

兩邊同時求導(dǎo)可得：//(x+l)-2=-H-x+l)+2,

變形可得：r(x+1)+r(-x+I)=4,則有g(shù)(2-x)+g(x)=4,

文由g(x)=g(4-x),即g(2-A)=g(2+x),

貝“有g(shù)(x)+g(x+2)=4①，

變形可得：g(x+2)+g(x+4)=4②，

①②聯(lián)立可得：g(x+4)=g(x),

由于g(x)+g(x+2)=4,即g(1)+g(3)=4,g(2)+g(4)=4,

貝"有g(shù)(1)+g(2)+g(3)+g(4)=8,

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Eg(，)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+...+g(20)=5[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]=40.

/=i

故選：B.

【例18】(2025?吉林四模)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(x)滿足/(x)+/(2-x)=2,則()

A.f(2)=0

B./(10)=10

C./(幻的最小正周期為2

D.x=1是曲線y=f(x)的一^對稱軸

【咨案】B

【分析】根據(jù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得到/(0)=0,再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，得到

/(x+2)=2+/(x),最后利用賦值法，對各選項逐一進(jìn)行分析判斷即可.

【解答】解：4選項，已知/")是定義域?yàn)椤ǖ钠婧瘮?shù)，則〃0)=0.

令x=0,代入/(x)+/(2-x)=2,可得/(0)+/(2)=2,因?yàn)?(0)=0,可得0+/(2)=2,即

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f(2)=2,所以力選項錯誤.

〃選項，因?yàn)?")是定義域?yàn)镠的奇函數(shù)，則/(-x)=-/(x).由/(x)+/(2-x)=2可得

f(x)=2-f(2-x).

用-x代替x可得/(-x)=2-/(2+x),又因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以-f(x)=2-f(2+x),即

/(x+2)=2+/(x)?.

用x+2代替x代入①可得/(x+4)=2+/(x+2)=2+2+/(x)=4+/(x).

同理可知：/a+6)=2+/'(x+4)=2+4+/(x)=6+/(x),/Q+8)=2+/(x+6)=2+6+/(x)=8+/(x),

/(x+10)=2+/(x+8)=2+