高一數(shù)學(xué)重點知識點講解與習(xí)題集親愛的同學(xué)們，進(jìn)入高中，數(shù)學(xué)的世界變得更加廣闊和深邃。高一數(shù)學(xué)不僅是對初中知識的延續(xù)，更是未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基石。這份重點知識點講解與習(xí)題集，旨在幫助大家梳理核心內(nèi)容，鞏固基礎(chǔ)知識，提升解題能力。希望大家能沉下心來，認(rèn)真研讀，勤于練習(xí)，真正將知識內(nèi)化為自己的能力。一、集合與常用邏輯用語集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，是我們研究函數(shù)等后續(xù)內(nèi)容的工具。常用邏輯用語則幫助我們更準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)思想和進(jìn)行推理。1.1集合的概念與表示核心知識點：*集合的定義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。集合中的每個對象叫做這個集合的元素。*集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性。*確定性：對于一個給定的集合，任何一個對象是否屬于這個集合是明確的。*互異性：一個集合中的元素是互不相同的。*無序性：集合中的元素沒有先后順序。*元素與集合的關(guān)系：屬于(∈)或不屬于(?)。*集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法（Venn圖）。*列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來。例如：{1,2,3}。*描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。例如：{x|x是小于5的正整數(shù)}。*常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集(N)、正整數(shù)集(N*或N?)、整數(shù)集(Z)、有理數(shù)集(Q)、實數(shù)集(R)。要點提示：*在用描述法表示集合時，要注意代表元素的選取和共同特征的準(zhǔn)確描述。例如，{y|y=x2}與{(x,y)|y=x2}表示的是完全不同的集合，前者是數(shù)集，后者是點集。*空集(?)是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。1.2集合間的基本關(guān)系核心知識點：*子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作A?B或B?A。*真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作A?B或B?A。*相等集合：如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么就說集合A等于集合B，記作A=B。重要結(jié)論：*任何一個集合是它本身的子集，即A?A。*空集是任何集合的子集，??A；空集是任何非空集合的真子集，??A(A≠?)。*對于集合A、B、C，如果A?B且B?C，那么A?C。1.3集合的基本運算核心知識點：*并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。*交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。*補集：設(shè)U是一個全集，A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在U中的補集，記作?UA，即?UA={x|x∈U，且x?A}。運算性質(zhì)：*A∪A=A，A∩A=A。*A∪?=A，A∩?=?。*A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。*(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。*A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。*?U(?UA)=A，?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)。1.4常用邏輯用語核心知識點：*命題：可以判斷真假的陳述句叫做命題。*全稱量詞與全稱命題：“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。*形式：“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可簡記為?x∈M，p(x)。*存在量詞與特稱命題：“存在”、“至少有一個”、“有些”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。*形式：“存在M中的一個x?，使p(x?)成立”，可簡記為?x?∈M，p(x?)。*充分條件與必要條件：*如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。*如果p?q，則p是q的充要條件。*簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且”(∧)、“或”(∨)、“非”(?)。*p∧q：當(dāng)p、q都為真時，p∧q為真；否則為假。*p∨q：當(dāng)p、q至少有一個為真時，p∨q為真；當(dāng)p、q都為假時，p∨q為假。*?p：當(dāng)p為真時，?p為假；當(dāng)p為假時，?p為真。要點提示：*判斷充分條件、必要條件時，首先要分清條件和結(jié)論。*全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。2.1函數(shù)的概念核心知識點：*函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。*其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。*構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域。（定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，值域隨之確定）*函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法。*分段函數(shù)：在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，不是多個函數(shù)。要點提示：*求函數(shù)定義域時，要考慮：分式的分母不為零；偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)；對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零；零次冪的底數(shù)不為零等。如果函數(shù)是由實際問題抽象出來的，還要考慮實際意義。*判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，必須同時滿足定義域相同和對應(yīng)關(guān)系相同。2.2函數(shù)的基本性質(zhì)核心知識點：*單調(diào)性（增減性）：*設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?：*當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。*當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。*判斷方法：定義法（取值、作差、變形、定號、下結(jié)論）、圖像法。*復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：“同增異減”（內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增；內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性不同，則復(fù)合函數(shù)為減）。*奇偶性：*偶函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。*奇函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱。*判斷步驟：首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則是非奇非偶函數(shù)；若對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。*最值：函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值或最小值。要點提示：*函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)，描述時要指明區(qū)間；奇偶性是整體性質(zhì)，定義域必須關(guān)于原點對稱。*奇函數(shù)若在x=0處有定義，則f(0)=0。2.3基本初等函數(shù)（I）——指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)核心知識點：*指數(shù)與指數(shù)冪的運算：*根式：如果x?=a，那么x叫做a的n次方根。當(dāng)n為奇數(shù)時，a的n次方根是√[n]{a}；當(dāng)n為偶數(shù)時，a的n次方根是±√[n]{a}(a≥0)。*分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a^(m/n)=√[n]{a?}(a>0,m,n∈N*,n>1)；a^(-m/n)=1/a^(m/n)(a>0,m,n∈N*,n>1)。*有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：a^r·a^s=a^(r+s)；(a^r)^s=a^(rs)；(ab)^r=a^rb^r(a>0,b>0,r,s∈Q)。*指數(shù)函數(shù)：*定義：一般地，函數(shù)y=a?(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。*圖像與性質(zhì)：a>10<a<1------圖像經(jīng)過點(0,1)圖像經(jīng)過點(0,1)在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1值域為(0,+∞)值域為(0,+∞)a>10<a<1------圖像經(jīng)過點(1,0)圖像經(jīng)過點(1,0)在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0值域為R值域為R*對數(shù)與對數(shù)運算：*對數(shù)的定義：如果a?=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log?N，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。*常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，記作lgN。*自然對數(shù)：以無理數(shù)e(e≈2.____...)為底的對數(shù)，記作lnN。*對數(shù)的性質(zhì)：*負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)。*log?1=0，log?a=1。*a^(log?N)=N，log?(a?)=n。*對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么：*log?(MN)=log?M+log?N*log?(M/N)=log?M-log?N*log?(M?)=nlog?M(n∈R)*換底公式：log_bN=log_aN/log_ab(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0)*對數(shù)函數(shù)：*定義：一般地，函數(shù)y=log?x(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+∞)。*圖像與性質(zhì)：*反函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y=a?與對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱。2.4基本初等函數(shù)（II）——冪函數(shù)核心知識點：*冪函數(shù)的定義：一般地，形如y=x?(a∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)。*常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)：（重點掌握a=1,2,3,-1,1/2時的圖像和性質(zhì)）*定義域：隨a的不同而不同。*圖像都經(jīng)過點(1,1)。*單調(diào)性：當(dāng)a>0時，冪函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0時，冪函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)。三、三角函數(shù)三角函數(shù)是研究周期性現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具。3.1任意角和弧度制核心知識點：*任意角：*角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。*正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角。*負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角。*零角：射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角。*象限角：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角。終邊在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何象限。*終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S=