高中物理靜電場(chǎng)競(jìng)賽真題及詳解靜電場(chǎng)作為高中物理的重要組成部分，在各類物理競(jìng)賽中也占據(jù)著舉足輕重的地位。它不僅要求同學(xué)們對(duì)基本概念有深刻的理解，還需要具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，尤其是在復(fù)雜情境下進(jìn)行模型構(gòu)建和定量計(jì)算。本文將結(jié)合幾道典型的競(jìng)賽真題，進(jìn)行深入剖析，并給出詳盡解答，希望能為同學(xué)們的競(jìng)賽備考提供一些有益的參考。一、靜電場(chǎng)競(jìng)賽核心考點(diǎn)回顧在進(jìn)入真題解析之前，我們先來(lái)簡(jiǎn)要回顧一下靜電場(chǎng)部分在競(jìng)賽中常考的核心知識(shí)點(diǎn)，這將有助于我們更好地把握解題方向：1.庫(kù)侖定律：這是靜電學(xué)的基石，描述點(diǎn)電荷間相互作用力的大小和方向，注意其矢量性和適用條件。2.電場(chǎng)強(qiáng)度：電場(chǎng)的基本屬性，是矢量。重點(diǎn)掌握點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，以及如何利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。3.電勢(shì)與電勢(shì)能：電勢(shì)是標(biāo)量，具有相對(duì)性；電勢(shì)能是電荷在電場(chǎng)中具有的能量。掌握電勢(shì)的定義、點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式、電勢(shì)疊加原理，以及電勢(shì)差與電場(chǎng)力做功的關(guān)系。4.高斯定理的初步應(yīng)用：雖然高中階段對(duì)高斯定理的要求不高，但對(duì)于具有高度對(duì)稱性的帶電體（如球體、無(wú)限長(zhǎng)柱體、無(wú)限大平面），高斯定理能極大簡(jiǎn)化場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算，競(jìng)賽中常有涉及。5.導(dǎo)體的靜電平衡：理解導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)的特點(diǎn)（內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為零、是等勢(shì)體、凈電荷分布在表面等），并能運(yùn)用這些特點(diǎn)分析問(wèn)題。6.電容與電容器：掌握電容的定義，以及平行板電容器電容的決定因素，了解電容器的串并聯(lián)。二、典型競(jìng)賽真題及詳解真題一：庫(kù)侖力與平衡條件的結(jié)合題目：真空中，在光滑絕緣的水平面上，有三個(gè)質(zhì)量均為m的帶電小球A、B、C，依次排列在同一直線上。已知A球帶正電，電荷量為Q；B球帶正電，電荷量為q（q<Q）；C球帶負(fù)電，電荷量大小為Q。初始時(shí)，A、B兩球間的距離為d，B、C兩球間的距離也為d。若三球均可視為點(diǎn)電荷，且在庫(kù)侖力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，求此時(shí)A、C兩球間的距離。分析與解答：我們首先對(duì)題目進(jìn)行受力分析。由于三球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以每個(gè)球所受的合外力均為零。我們可以分別對(duì)A、B、C三個(gè)球進(jìn)行受力分析，列出平衡方程。設(shè)最終A、C兩球間的距離為x。那么，A、B間距離為d（題目中說(shuō)初始時(shí)AB、BC距離均為d，但靜止時(shí)是否還是d呢？這里題目表述需要仔細(xì)看。哦，題目說(shuō)“初始時(shí)”AB、BC距離為d，“在庫(kù)侖力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)”，求此時(shí)AC距離。所以靜止時(shí)，AB距離不一定是d，BC距離也不一定是d。我剛才理解有誤。那么，我們重新設(shè)定：設(shè)靜止時(shí)，A、B球間的距離為r，則B、C球間的距離為x-r，其中x為AC間的距離，這才是待求量。）對(duì)A球進(jìn)行受力分析：A球帶正電Q，受到B球（正電q）的排斥力F_AB（方向向右）和C球（負(fù)電Q）的吸引力F_AC（方向向左）。A球靜止，故合力為零：F_AC=F_AB根據(jù)庫(kù)侖定律：k*(Q*Q)/x2=k*(Q*q)/r2①（這里F_AC是A與C之間的庫(kù)侖力，大小為kQ*Q/x2；F_AB是A與B之間的庫(kù)侖力，大小為kQ*q/r2。A靜止，所以這兩個(gè)力大小相等，方向相反。）對(duì)B球進(jìn)行受力分析：B球帶正電q，受到A球的排斥力F_BA（方向向左）和C球的吸引力F_BC（方向向右）。B球靜止，合力為零：F_BA=F_BC即：k*(Q*q)/r2=k*(q*Q)/(x-r)2②（F_BA是B受到A的庫(kù)侖力，大小與F_AB相等，kQq/r2；F_BC是B受到C的庫(kù)侖力，C帶負(fù)電Q，B帶正電q，所以是吸引力，大小為k*q*Q/(x-r)2。）現(xiàn)在我們有方程①和方程②。觀察方程②，等式兩邊k、q、Q均不為零，可以約去，得到：1/r2=1/(x-r)2兩邊開(kāi)方（考慮到距離為正）：1/r=1/(x-r)所以r=x-r，即x=2r。這表明B球位于A、C球連線的中點(diǎn)位置。將x=2r代入方程①：k*Q2/(2r)2=k*Q*q/r2化簡(jiǎn)：Q2/(4r2)=Qq/r2兩邊同乘r2（r≠0）：Q2/4=Qq兩邊同除以Q（Q≠0）：Q/4=q所以Q=4q。等等，這似乎得出了電荷量之間的關(guān)系，而我們要求的是AC間的距離x。這說(shuō)明什么？說(shuō)明我們最初的設(shè)定是否合理，或者題目是否有隱含條件？哦，題目中給出了“初始時(shí)，A、B兩球間的距離為d，B、C兩球間的距離也為d”。但我們剛才的分析，并沒(méi)有用到這個(gè)“初始距離d”。這意味著，在滿足三球靜止的條件下，電荷量Q和q必須滿足Q=4q，此時(shí)B球在AC中點(diǎn)。但題目中說(shuō)“q<Q”，這與Q=4q是相符的。但AC間的距離x=2r，r是AB間的距離，那r是多少呢？這說(shuō)明，我們之前的分析可能忽略了一個(gè)問(wèn)題：題目是否默認(rèn)三球在初始位置就能平衡？還是說(shuō)三球可以自由移動(dòng)到新的平衡位置？如果題目是說(shuō)“初始時(shí)，A、B兩球間的距離為d，B、C兩球間的距離也為d”，然后釋放后，它們?cè)趲?kù)侖力作用下運(yùn)動(dòng)到某個(gè)新的位置靜止，那么我們剛才得到的結(jié)論是，只有當(dāng)Q=4q時(shí)，它們才能在B位于AC中點(diǎn)處平衡，此時(shí)AC距離x=2r，但r的值無(wú)法確定，除非題目給出更多條件。但題目中并沒(méi)有給出Q和q的具體數(shù)值關(guān)系，只說(shuō)q<Q。這說(shuō)明我之前的理解可能存在偏差。或許題目中的“初始時(shí)”的距離，就是它們最終靜止時(shí)的距離？即AB距離為d，BC距離為d，所以AC距離為2d？但如果是這樣，我們對(duì)B球受力分析，A對(duì)B的斥力F_BA=kQq/d2（向左），C對(duì)B的引力F_BC=kqQ/d2（向右），那么B球受力平衡。對(duì)A球受力分析，B對(duì)A的斥力F_AB=kQq/d2（向右），C對(duì)A的引力F_AC=kQ*Q/(2d)2=kQ2/(4d2)（向左）。A球要靜止，則F_AB=F_AC，即kQq/d2=kQ2/(4d2)，同樣得到Q=4q。啊，這樣一來(lái)，題目就通順了。題目中說(shuō)“在庫(kù)侖力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)”，可能指的就是在初始的那個(gè)位置（AB=d，BC=d）處于靜止。那么此時(shí)AC距離就是d+d=2d。但需要滿足Q=4q這個(gè)條件。題目中給出q<Q，這是Q=4q的前提。所以，此時(shí)A、C兩球間的距離就是2d。點(diǎn)評(píng)與拓展：本題看似簡(jiǎn)單，實(shí)則考察了對(duì)庫(kù)侖定律和物體平衡條件的綜合應(yīng)用。解題的關(guān)鍵在于正確對(duì)每個(gè)電荷進(jìn)行受力分析，并根據(jù)平衡條件列出方程。容易出錯(cuò)的地方在于忽略了對(duì)多個(gè)電荷受力的全面考慮，或者在距離設(shè)定上產(chǎn)生混淆。本題也揭示了，在多個(gè)點(diǎn)電荷平衡問(wèn)題中，“兩同夾異”、“兩大夾小”、“近小遠(yuǎn)大”等定性規(guī)律的來(lái)源，其實(shí)都是基于庫(kù)侖定律和平衡方程的推導(dǎo)。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，應(yīng)先畫出受力示意圖，明確每個(gè)力的方向和施力物體，再列方程求解。真題二：電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加與電勢(shì)的比較題目：如圖所示，在一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D、E、F處，分別固定有電荷量均為+q的點(diǎn)電荷。正六邊形的中心為O點(diǎn)，邊長(zhǎng)為a。已知靜電力常量為k。(1)求O點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向；(2)若將一個(gè)電荷量為+Q的試探電荷從O點(diǎn)移至六邊形外接圓上任意一點(diǎn)P，電場(chǎng)力做的功為多少？并比較O點(diǎn)和P點(diǎn)的電勢(shì)高低。分析與解答：(1)求O點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度：電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，多個(gè)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度是各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。正六邊形具有高度的對(duì)稱性，中心O點(diǎn)到六個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均為正六邊形的半徑R。對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正六邊形，其外接圓半徑R等于邊長(zhǎng)a，即R=a。我們來(lái)分析各個(gè)頂點(diǎn)的電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。每個(gè)點(diǎn)電荷+q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E_i=kq/R2=kq/a2。方向沿頂點(diǎn)指向O點(diǎn)的延長(zhǎng)線方向（因?yàn)槭钦姾桑妶?chǎng)強(qiáng)度方向背離正電荷）。我們將六個(gè)頂點(diǎn)的電荷進(jìn)行兩兩配對(duì)分析，利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算：A點(diǎn)和D點(diǎn)：A與D關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。A點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E_A方向由A指向O（即沿AD連線，從A到O）；D點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E_D方向由D指向O（即沿DA連線，從D到O）。E_A與E_D大小相等，方向相反，矢量和為零。B點(diǎn)和E點(diǎn)：同理，B與E關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。它們?cè)贠點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E_B與E_E大小相等，方向相反，矢量和為零。C點(diǎn)和F點(diǎn)：同理，C與F關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。它們?cè)贠點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E_C與E_F大小相等，方向相反，矢量和為零。因此，所有點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度E_O=E_A+E_D+E_B+E_E+E_C+E_F=0。(2)電場(chǎng)力做功與電勢(shì)高低比較：將試探電荷+Q從O點(diǎn)移至外接圓上任意一點(diǎn)P。首先，我們需要明確外接圓上各點(diǎn)的電勢(shì)情況。點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式為φ=kq/r（取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零）。對(duì)于外接圓上任意一點(diǎn)P，六個(gè)點(diǎn)電荷（均為+q）到P點(diǎn)的距離是否相等呢？正六邊形的外接圓上，任意一點(diǎn)到六個(gè)頂點(diǎn)的距離并不都相等。例如，若P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則P到A的距離為0，到其他點(diǎn)的距離各不相同。但題目中說(shuō)“外接圓上任意一點(diǎn)P”，這似乎需要更一般的分析。等等，或許我誤解了題意。題目說(shuō)“外接圓上任意一點(diǎn)P”。我們換個(gè)角度思考，O點(diǎn)是正六邊形的中心，六個(gè)點(diǎn)電荷位于正六邊形的頂點(diǎn)，也即位于外接圓上。那么，O點(diǎn)到每個(gè)電荷的距離都是R（外接圓半徑）。對(duì)于外接圓上的任意一點(diǎn)P，它到這六個(gè)電荷的距離是否有某種對(duì)稱性，使得其電勢(shì)與O點(diǎn)電勢(shì)相等？或者，我們可以計(jì)算O點(diǎn)的電勢(shì)。O點(diǎn)的電勢(shì)是六個(gè)點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和（電勢(shì)是標(biāo)量）。每個(gè)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)φ_i=kq/R=kq/a。因此，O點(diǎn)總電勢(shì)φ_O=6*(kq/a)=6kq/a。對(duì)于外接圓上的任意一點(diǎn)P，設(shè)其到六個(gè)頂點(diǎn)電荷的距離分別為r_A,r_B,r_C,r_D,r_E,r_F。則P點(diǎn)的電勢(shì)φ_P=kq/r_A+kq/r_B+kq/r_C+kq/r_D+kq/r_E+kq/r_F。一般情況下，r_A到r_F并不都等于R，因此φ_P不一定等于φ_O。那么電場(chǎng)力做功W=Q(φ_O-φ_P)。但是，如果P點(diǎn)也是正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)呢？比如P點(diǎn)為A點(diǎn)。此時(shí)，P點(diǎn)（A點(diǎn)）的電勢(shì)φ_P=kq/0（自身電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，這顯然是無(wú)窮大，不合理）。所以P點(diǎn)不能是頂點(diǎn)。題目說(shuō)“外接圓上任意一點(diǎn)P”，這似乎意味著P點(diǎn)是除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)。但這樣一來(lái)，φ_P的值不確定，電場(chǎng)力做功W也不確定。這顯然不符合一個(gè)競(jìng)賽題的設(shè)置。我想，題目可能想表達(dá)的是“將試探電荷從O點(diǎn)移至六邊形一條邊的中點(diǎn)P”，或者P點(diǎn)也是具有某種對(duì)稱性的點(diǎn)?；蛘?，更可能的是，題目中的“外接圓”指的是與六個(gè)點(diǎn)電荷所在的外接圓同心的任意一個(gè)圓？不，題目明確說(shuō)是“六邊形外接圓”。哦！我明白了！六個(gè)點(diǎn)電荷都位于同一個(gè)外接圓（半徑為R=a）上。對(duì)于這個(gè)外接圓上的任意一點(diǎn)P（非頂點(diǎn)），從幾何對(duì)稱性來(lái)看，每個(gè)電荷到P點(diǎn)的距離，都有另一個(gè)電荷到P點(diǎn)的距離與之對(duì)應(yīng)相等嗎？例如，A和D，B和E，C和F。假設(shè)P點(diǎn)在外接圓上，那么對(duì)于A和D兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，PA和PD的長(zhǎng)度是否相等？在圓中，關(guān)于圓心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)A和D，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P，PA和PD的長(zhǎng)度不一定相等，除非P點(diǎn)在AD的中垂線上?？磥?lái)我之前的思路可能過(guò)于復(fù)雜了。換一個(gè)角度，題目第二問(wèn)或許是想考察“等勢(shì)面”的概念。如果空間中存在多個(gè)點(diǎn)電荷，某一曲面上各點(diǎn)電勢(shì)相等，則該曲面為等勢(shì)面。在等勢(shì)面上移動(dòng)電荷，電場(chǎng)力不做功。六個(gè)等量正電荷位于正六邊形的頂點(diǎn)，O點(diǎn)是中心。那么，O點(diǎn)是否和外接圓上所有點(diǎn)構(gòu)成等勢(shì)面？顯然不是。例如，離某個(gè)電荷越近的點(diǎn)，電勢(shì)越高。那么，唯一的可能是，題目中的“外接圓”是指以O(shè)為球心（在平面情況下為圓心）的另一個(gè)同心圓周？或者，題目本身存在不嚴(yán)謹(jǐn)之處？或者，我們回到最基本的定義。如果題目中的P點(diǎn)是任意的，那么第二問(wèn)無(wú)法給出具體數(shù)值。但作為競(jìng)賽題，它必然有確定的答案。這提示我，或許六個(gè)點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為零，那么O點(diǎn)是否是一個(gè)平衡點(diǎn)？但電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)為零與否并無(wú)直接關(guān)聯(lián)。啊！我突然想到，對(duì)于這六個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，其電場(chǎng)線分布必然是關(guān)于六邊形的中心對(duì)稱的。O點(diǎn)是對(duì)稱中心?？紤]將試探電荷+Q從O點(diǎn)沿任意一條射線移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力做功是多少？或者，題目中的P點(diǎn)是否是無(wú)窮遠(yuǎn)處？題目說(shuō)“外接圓上任意一點(diǎn)P”，如果外接圓的半徑趨于無(wú)窮大，那么P點(diǎn)電勢(shì)φ_P趨于零，O點(diǎn)電勢(shì)φ_O=6kq/a，電場(chǎng)力做功W=Q(φ_O-0)=6kQq/a。但題目明確說(shuō)是“六邊形外接圓”，其半徑是確定的（a）。這說(shuō)明我之前在分析第一問(wèn)時(shí)，對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加是正確的，但第二問(wèn)可能需要重新審視。或者，題目中的“外接圓上任意一點(diǎn)P”，由于六個(gè)電荷的對(duì)稱性，P點(diǎn)的電勢(shì)與O點(diǎn)的電勢(shì)相等？我們可以取一個(gè)特殊位置的P點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證。例如，取P點(diǎn)為AB邊的中點(diǎn)。設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a，中心O到AB邊的距離（邊心距）為h=(√3/2)a。AB邊中點(diǎn)M到A、B的距離均為a/2，到O點(diǎn)的距離為h。到C、F、D、E的距離可以通過(guò)幾何關(guān)系計(jì)算。計(jì)算M點(diǎn)的電勢(shì)φ_M：φ_M=kq/(a/2)+kq/(a/2)+kq/(