函數(shù)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)案與試題詳解一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確判斷兩個(gè)變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系。2.掌握函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域，并能正確求出簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域。3.熟練運(yùn)用函數(shù)的三種基本表示方法：解析法、列表法和圖像法，并理解各自的特點(diǎn)與適用場(chǎng)景。4.能畫(huà)出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像，初步掌握利用函數(shù)圖像分析函數(shù)性質(zhì)的方法。5.理解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念（若為初級(jí)導(dǎo)學(xué)案，此條可酌情簡(jiǎn)化或列為拓展），并能進(jìn)行簡(jiǎn)單判斷。6.初步體會(huì)函數(shù)思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)*重點(diǎn)：函數(shù)的定義；函數(shù)的三要素；函數(shù)的表示方法；函數(shù)圖像的理解與繪制。*難點(diǎn)：對(duì)函數(shù)概念中“單值對(duì)應(yīng)”的理解；定義域的確定；函數(shù)圖像的解讀與應(yīng)用。三、知識(shí)梳理與引導(dǎo)（一）函數(shù)的概念在一個(gè)變化過(guò)程中，我們常常遇到兩個(gè)相互依賴(lài)的變量，例如路程與時(shí)間、成本與產(chǎn)量等。當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)這兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系。1.變量與常量：在某一變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱(chēng)為變量；數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為常量。2.函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。*定義域（Domain）：自變量x的取值范圍（即集合A）。*對(duì)應(yīng)關(guān)系（CorrespondenceRule）：表示x如何對(duì)應(yīng)到y(tǒng)的規(guī)則（即f）。*值域（Range）：函數(shù)值y的集合（即{f(x)|x∈A}，是B的子集）。*注意：“唯一確定”是函數(shù)概念的核心，即一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y。（二）函數(shù)的表示方法函數(shù)關(guān)系是多種多樣的，為了清晰地表達(dá)它們，我們有以下幾種常用方法：1.解析法（AnalyticalMethod）：用數(shù)學(xué)式子（解析式）表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。*例如：y=2x+1，y=x2，y=√x(x≥0)等。*優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。*缺點(diǎn)：不夠直觀，有些實(shí)際問(wèn)題難以用解析式表示。*函數(shù)解析式：表達(dá)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子稱(chēng)為函數(shù)的解析式。2.列表法（TabularMethod）：通過(guò)列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。*例如：數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表，銀行的利率表等。*優(yōu)點(diǎn)：直接、清晰，可直接查得函數(shù)值。*缺點(diǎn)：只能表示有限個(gè)或離散的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，不便于反映函數(shù)的整體變化趨勢(shì)。3.圖像法（GraphicalMethod）：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。*優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)、最值等性質(zhì)。*缺點(diǎn)：所得函數(shù)值往往是近似的，不便于進(jìn)行精確的計(jì)算和推理。（三）函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。1.圖像的畫(huà)法：通常采用“描點(diǎn)法”。*步驟：①確定函數(shù)的定義域；②選取適當(dāng)?shù)淖宰兞縳的值，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y；③以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)；④用平滑的曲線（或直線）將這些點(diǎn)連接起來(lái)。2.圖像的意義：函數(shù)y=f(x)的圖像上任意一點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式；反之，滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式的任意一對(duì)(x,y)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在函數(shù)的圖像上。（四）函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用函數(shù)在日常生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。初步學(xué)習(xí)如何運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題：1.分析問(wèn)題：找出問(wèn)題中的變量，明確哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量。2.建立模型：根據(jù)題意，選擇合適的函數(shù)表示方法（通常是解析法）建立函數(shù)關(guān)系式。3.求解問(wèn)題：利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像或解析式進(jìn)行計(jì)算或推理，解決實(shí)際問(wèn)題。4.檢驗(yàn)反思：將結(jié)果回歸到實(shí)際問(wèn)題中檢驗(yàn)其合理性。（五）學(xué)習(xí)小結(jié)與反思*本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)點(diǎn)？（嘗試自己羅列）*哪些概念是你覺(jué)得最難以理解的？準(zhǔn)備如何攻克？*函數(shù)的三種表示方法各有什么特點(diǎn)？在什么情況下選擇哪種方法更合適？*通過(guò)學(xué)習(xí)，你認(rèn)為函數(shù)的核心思想是什么？---函數(shù)基礎(chǔ)試題詳解一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案）1.下列關(guān)系式中，能表示y是x的函數(shù)的是（）A.y=±√x(x>0)B.y2=x(x≥0)C.y=x2D.如圖（假設(shè)為一個(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值的圖形）思路分析：判斷是否為函數(shù)，關(guān)鍵看對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，是否有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)。詳細(xì)解答：*A選項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，一個(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值（正負(fù)根號(hào)x），不符合“唯一確定”，不是函數(shù)。*B選項(xiàng)，當(dāng)x≥0時(shí)，一個(gè)x（除x=0外）對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值（正負(fù)根號(hào)x），不符合，不是函數(shù)。*C選項(xiàng)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，通過(guò)y=x2都能得到唯一確定的y值，符合函數(shù)定義，是函數(shù)。*D選項(xiàng)（根據(jù)描述），一個(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，不符合，不是函數(shù)。答案：C2.函數(shù)y=√(x-1)+1/(x-3)的定義域是（）A.x≥1B.x>1且x≠3C.x≥1且x≠3D.x>1思路分析：函數(shù)的定義域是指使函數(shù)解析式有意義的自變量x的取值范圍。本題涉及二次根式和分式。詳細(xì)解答：*對(duì)于二次根式√(x-1)，被開(kāi)方數(shù)必須非負(fù)，即x-1≥0?x≥1。*對(duì)于分式1/(x-3)，分母不能為零，即x-3≠0?x≠3。*綜合以上兩個(gè)條件，x的取值范圍是x≥1且x≠3。答案：C易錯(cuò)點(diǎn)提示：注意“且”字，兩個(gè)條件需同時(shí)滿(mǎn)足。不要忽略分母不為零的情況，也不要將x≥1誤寫(xiě)為x>1。3.已知函數(shù)f(x)=2x-1，則f(3)的值為（）A.5B.6C.7D.8思路分析：這是已知函數(shù)解析式求函數(shù)值的問(wèn)題，將x=3代入解析式計(jì)算即可。詳細(xì)解答：f(3)=2×3-1=6-1=5。答案：A二、填空題4.函數(shù)y=2x+3的圖像是一條_______，它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_______。思路分析：一次函數(shù)的圖像是一條直線。與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，代入解析式可求縱坐標(biāo)。詳細(xì)解答：y=2x+3是一次函數(shù)，其圖像是一條直線。令x=0，則y=2×0+3=3，所以與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)。答案：直線；(0,3)5.若函數(shù)f(x)=x2-2x，則f(f(1))=_______。思路分析：這是復(fù)合函數(shù)求值問(wèn)題，先求內(nèi)層函數(shù)f(1)的值，再將此值作為自變量代入f(x)求外層函數(shù)值。詳細(xì)解答：*先計(jì)算f(1)：f(1)=(1)2-2×(1)=1-2=-1。*再計(jì)算f(f(1))=f(-1)=(-1)2-2×(-1)=1+2=3。答案：3三、解答題6.已知函數(shù)f(x)=3x-2。(1)求f(0)，f(2)，f(a)的值；(2)畫(huà)出該函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像說(shuō)出當(dāng)x增大時(shí)，y如何變化。思路分析：(1)直接代入計(jì)算；(2)一次函數(shù)圖像是直線，兩點(diǎn)確定一條直線，可找兩個(gè)特殊點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸交點(diǎn)）畫(huà)出圖像，再根據(jù)斜率判斷增減性。詳細(xì)解答：(1)f(0)=3×0-2=-2；f(2)=3×2-2=6-2=4；f(a)=3×a-2=3a-2。(2)因?yàn)閒(x)=3x-2是一次函數(shù)，圖像為直線。取點(diǎn)：當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，得點(diǎn)(0,-2)；當(dāng)y=0時(shí)，3x-2=0?x=2/3，得點(diǎn)(2/3,0)。在平面直角坐標(biāo)系中描出這兩點(diǎn)，并用直線連接。由于k=3>0，所以圖像從左到右上升，即當(dāng)x增大時(shí)，y也隨之增大。圖像示意：（此處文字描述：一條經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，經(jīng)過(guò)(0,-2)和(2/3,0)點(diǎn)的直線）7.一個(gè)游泳池的容積為V（固定），注水管每小時(shí)可注水a(chǎn)（固定）。(1)寫(xiě)出泳池內(nèi)水量y與注水時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式（不考慮放水，且注滿(mǎn)即停止）；(2)指出該函數(shù)的定義域和值域。思路分析：這是函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。水量y隨時(shí)間t的增加而增加，直到注滿(mǎn)。詳細(xì)解答：(1)每小時(shí)注水a(chǎn)，t小時(shí)注水量為at。因此，y=at。但注滿(mǎn)后停止，所以當(dāng)at=V時(shí)，t=V/a。故函數(shù)關(guān)系式為：y=at(0≤t≤V/a)。(2)定義域：t的取值范圍。開(kāi)始注水時(shí)t=0，注滿(mǎn)時(shí)t=V/a，所以定義域是0≤t≤V/a。值域：y的取值范圍。開(kāi)始時(shí)水量y=0，注滿(mǎn)時(shí)y=V，所以值域是0≤y≤V。易錯(cuò)點(diǎn)提示：實(shí)際問(wèn)題中，定義域和值域往往受到實(shí)際情況的限制，不能簡(jiǎn)單地寫(xiě)成全體實(shí)數(shù)。8.已知函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)和(2,5)，且它是一個(gè)一次函數(shù)，求f(x)的解析式。思路分析：一次函數(shù)的一般形式是y=kx+b(k≠0)。已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，可代入得到關(guān)于k和b的方程組，解方程組即可求出k和b。詳細(xì)解答：設(shè)一次函數(shù)的解析式為f(x)=kx+b(k≠0)。因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)和(2,5)，所以將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：{k×1+b=3{k×2+b=5用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程：(2k+b)-(k+b)=5-3?k=2。將k=2代入第一個(gè)方程：2×1+b=3?b=1。所以，f(x)的解析式為f(x)