基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化：理論、應(yīng)用與創(chuàng)新一、引言1.1研究背景與意義圓柱殼結(jié)構(gòu)憑借其獨(dú)特的力學(xué)性能和幾何特點(diǎn)，在航空航天、船舶、汽車、機(jī)械工程以及建筑等眾多領(lǐng)域都有著極為廣泛的應(yīng)用。在航空航天領(lǐng)域，火箭的燃料貯箱、飛行器的機(jī)身等常采用圓柱殼結(jié)構(gòu)，其輕質(zhì)高強(qiáng)的特性有助于減輕飛行器重量，提高飛行性能和運(yùn)載能力，比如，在火箭的設(shè)計(jì)中，圓柱殼結(jié)構(gòu)的應(yīng)用使得燃料貯箱能夠在承受高壓的同時(shí)，盡可能地減輕自身重量，從而提高火箭的有效載荷；在船舶工業(yè)里，潛艇的耐壓殼體、船體的部分結(jié)構(gòu)依賴圓柱殼結(jié)構(gòu)，其良好的抗壓性能保障船舶在不同水深條件下的安全航行，像潛艇的耐壓殼體，必須具備足夠的強(qiáng)度和穩(wěn)定性，以承受深海的巨大壓力；在汽車制造中，圓柱殼結(jié)構(gòu)可用于汽車的傳動(dòng)軸、發(fā)動(dòng)機(jī)缸體等部件，提升汽車的動(dòng)力傳輸效率和整體性能；在機(jī)械工程領(lǐng)域，各類壓力容器、管道等也多采用圓柱殼結(jié)構(gòu)，滿足工業(yè)生產(chǎn)中的承壓和傳輸需求；在建筑領(lǐng)域，一些大型場館的屋頂、冷卻塔等也會(huì)運(yùn)用圓柱殼結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)大跨度空間的構(gòu)建，同時(shí)兼顧美觀與實(shí)用，例如，某些體育場館的屋頂采用圓柱殼結(jié)構(gòu)，不僅能夠提供寬敞的內(nèi)部空間，還能展現(xiàn)出獨(dú)特的建筑美學(xué)。然而，圓柱殼結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中往往面臨復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境，可能承受拉伸、壓縮、彎曲、扭轉(zhuǎn)以及振動(dòng)等多種載荷的作用。為了提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的承載能力、剛度、穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能，在圓柱殼上設(shè)置加強(qiáng)筋是一種極為有效的方法。加強(qiáng)筋的合理布置能夠顯著改善圓柱殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，增強(qiáng)其抵抗外部載荷的能力，減少變形和振動(dòng)，提高結(jié)構(gòu)的可靠性和使用壽命。比如在船舶的耐壓殼體上合理布置加強(qiáng)筋，可以有效提高殼體的抗壓強(qiáng)度，防止在深海高壓下發(fā)生屈曲失穩(wěn)；在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的葉片輪轂中設(shè)置加強(qiáng)筋，能夠增強(qiáng)輪轂的剛度，保證葉片在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)的穩(wěn)定性。加強(qiáng)筋的尺寸、形狀和布局對圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)的性能有著至關(guān)重要的影響。不同的加強(qiáng)筋設(shè)計(jì)會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在受力時(shí)的應(yīng)力分布、變形模式和振動(dòng)特性等產(chǎn)生顯著差異。例如，加強(qiáng)筋的間距過大可能無法充分發(fā)揮增強(qiáng)作用，而間距過小則可能增加結(jié)構(gòu)重量且造成材料浪費(fèi)；加強(qiáng)筋的形狀不合理可能導(dǎo)致應(yīng)力集中，降低結(jié)構(gòu)的整體強(qiáng)度。因此，如何合理地在圓柱殼上鋪設(shè)加強(qiáng)筋，使其在滿足結(jié)構(gòu)性能要求的同時(shí)，盡可能地減輕重量、降低成本，成為工程設(shè)計(jì)中亟待解決的關(guān)鍵問題。拓?fù)鋬?yōu)化作為一種先進(jìn)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，能夠在給定的設(shè)計(jì)空間、載荷工況和約束條件下，尋求材料的最優(yōu)分布形式，從而獲得結(jié)構(gòu)的最佳拓?fù)錁?gòu)型。它突破了傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中預(yù)先設(shè)定結(jié)構(gòu)形式的限制，為工程師提供了更廣闊的設(shè)計(jì)空間和創(chuàng)新思路，有助于挖掘結(jié)構(gòu)的潛在性能，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化和高性能設(shè)計(jì)。在圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，拓?fù)鋬?yōu)化可以有效地確定加強(qiáng)筋的最優(yōu)位置、方向和形狀，為加強(qiáng)筋的設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)，提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量。變密度法（SIMP）是拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)用最為廣泛的方法之一。該方法通過引入密度插值函數(shù)，將設(shè)計(jì)變量與材料屬性相關(guān)聯(lián)，將拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題進(jìn)行求解。SIMP方法具有概念清晰、計(jì)算效率高、易于與有限元方法相結(jié)合等優(yōu)點(diǎn)，能夠方便地處理各種復(fù)雜的工程實(shí)際問題?；赟IMP方法對圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋進(jìn)行動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化研究，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值。通過優(yōu)化加強(qiáng)筋的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可以在不增加材料用量甚至減少材料用量的前提下，顯著提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能，如固有頻率、模態(tài)阻尼比等，使其在振動(dòng)環(huán)境下具有更好的穩(wěn)定性和可靠性。這對于提高相關(guān)產(chǎn)品的質(zhì)量和競爭力，降低生產(chǎn)成本，推動(dòng)行業(yè)技術(shù)進(jìn)步具有重要的促進(jìn)作用。在航空航天領(lǐng)域，優(yōu)化后的圓柱殼結(jié)構(gòu)可以提高飛行器的飛行安全性和可靠性，減少維護(hù)成本；在汽車工業(yè)中，能夠提升汽車的乘坐舒適性和操控穩(wěn)定性；在船舶工業(yè)里，則有助于增強(qiáng)船舶的航行性能和抗風(fēng)浪能力。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化研究在國內(nèi)外受到了廣泛關(guān)注，眾多學(xué)者圍繞這一領(lǐng)域展開了深入探索，取得了一系列有價(jià)值的研究成果，同時(shí)也存在一些有待解決的問題。在國外，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的研究起步較早，發(fā)展較為成熟。Bends?e和Kikuchi在1988年提出了變密度法（SIMP），為拓?fù)鋬?yōu)化的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，此后，基于SIMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化在圓柱殼加強(qiáng)筋設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。一些學(xué)者致力于將拓?fù)鋬?yōu)化理論與圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性相結(jié)合，研究加強(qiáng)筋的最優(yōu)布局以提高圓柱殼的動(dòng)態(tài)性能。比如，通過建立考慮結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程和材料屬性的優(yōu)化模型，利用有限元方法進(jìn)行數(shù)值模擬，分析不同加強(qiáng)筋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對圓柱殼固有頻率、模態(tài)振型等動(dòng)態(tài)參數(shù)的影響，從而確定在振動(dòng)載荷作用下能使圓柱殼獲得最佳動(dòng)態(tài)性能的加強(qiáng)筋布局方案。在國內(nèi)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和力學(xué)理論的不斷發(fā)展，圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化研究也取得了顯著進(jìn)展。許多科研團(tuán)隊(duì)和學(xué)者針對圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化問題開展了多方面的研究工作。一些研究人員運(yùn)用SIMP方法對圓柱殼加強(qiáng)筋進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，以提高結(jié)構(gòu)的剛度、穩(wěn)定性和承載能力等靜態(tài)性能。通過設(shè)定合適的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，如以結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以加強(qiáng)筋的體積分?jǐn)?shù)為約束條件，求解出加強(qiáng)筋的最優(yōu)拓?fù)浞植?，從而在保證結(jié)構(gòu)安全的前提下，實(shí)現(xiàn)材料的合理利用和結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。也有學(xué)者將拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)應(yīng)用于圓柱殼在復(fù)雜載荷工況下的設(shè)計(jì)，考慮多種載荷同時(shí)作用，如壓力、溫度、振動(dòng)等，通過優(yōu)化加強(qiáng)筋的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使圓柱殼在復(fù)雜環(huán)境下仍能保持良好的性能。盡管國內(nèi)外在圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化方面取得了諸多成果，但仍存在一些待解決的問題。一方面，現(xiàn)有研究大多集中在單一性能指標(biāo)的優(yōu)化，如僅考慮結(jié)構(gòu)的剛度、強(qiáng)度或動(dòng)態(tài)性能中的某一項(xiàng)，而實(shí)際工程中，圓柱殼往往需要同時(shí)滿足多種性能要求，如何綜合考慮多個(gè)性能指標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，是一個(gè)亟待解決的問題。另一方面，在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，由于優(yōu)化算法的復(fù)雜性和計(jì)算量的龐大，容易出現(xiàn)優(yōu)化結(jié)果不收斂、局部最優(yōu)解等問題，如何改進(jìn)優(yōu)化算法，提高計(jì)算效率和優(yōu)化結(jié)果的可靠性，也是當(dāng)前研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。此外，對于圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證研究相對較少，理論研究成果與實(shí)際工程應(yīng)用之間還存在一定的差距，需要進(jìn)一步加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)研究，以驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的有效性和可行性。1.3研究目標(biāo)與內(nèi)容本研究旨在深入探究基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化，完善優(yōu)化理論與方法，為圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能提升提供理論依據(jù)和技術(shù)支持，具體研究目標(biāo)如下：建立基于SIMP方法的圓柱殼加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型：深入研究圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)合SIMP方法的原理，構(gòu)建適用于圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確描述加強(qiáng)筋布局與圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能之間的關(guān)系，為后續(xù)優(yōu)化計(jì)算奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。改進(jìn)優(yōu)化算法：針對拓?fù)鋬?yōu)化過程中存在的計(jì)算效率低、結(jié)果易陷入局部最優(yōu)等問題，對現(xiàn)有的優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，提高優(yōu)化算法的收斂速度和全局搜索能力，確保能夠獲得更加可靠的優(yōu)化結(jié)果。實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化：綜合考慮圓柱殼結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程應(yīng)用中對多種性能指標(biāo)的要求，如固有頻率、模態(tài)阻尼比、剛度等，建立多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過優(yōu)化算法求解，獲得滿足多種性能要求的加強(qiáng)筋最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)圓柱殼結(jié)構(gòu)性能的綜合提升。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：通過實(shí)驗(yàn)手段對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，制作優(yōu)化后的圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)試件，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能測試，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證優(yōu)化方法的有效性和準(zhǔn)確性，為實(shí)際工程應(yīng)用提供有力支撐。圍繞上述研究目標(biāo)，本研究將開展以下具體內(nèi)容的研究：圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析：運(yùn)用經(jīng)典的殼體理論和動(dòng)力學(xué)原理，建立圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，推導(dǎo)其固有頻率、模態(tài)振型等動(dòng)力學(xué)參數(shù)的計(jì)算公式。利用有限元軟件對圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析，研究不同結(jié)構(gòu)參數(shù)（如殼厚、半徑、長度等）和邊界條件對圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，為后續(xù)拓?fù)鋬?yōu)化提供理論基礎(chǔ)和數(shù)據(jù)參考?；赟IMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化理論研究：深入剖析SIMP方法的基本原理和數(shù)學(xué)模型，研究密度插值函數(shù)的選擇和參數(shù)設(shè)置對優(yōu)化結(jié)果的影響。探討SIMP方法在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)和多工況問題時(shí)的應(yīng)用技巧，如如何合理設(shè)置約束條件、如何處理不同類型的載荷等，為圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化提供有效的方法支持。多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型構(gòu)建：在單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的基礎(chǔ)上，綜合考慮圓柱殼結(jié)構(gòu)的多種動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)，建立多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型。采用合適的多目標(biāo)優(yōu)化算法（如非支配排序遺傳算法NSGA-II等）對模型進(jìn)行求解，得到一組非劣解（Pareto前沿），供設(shè)計(jì)者根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行選擇。通過算例分析，研究不同性能指標(biāo)之間的權(quán)衡關(guān)系，為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供決策依據(jù)。優(yōu)化算法改進(jìn)與實(shí)現(xiàn)：針對傳統(tǒng)優(yōu)化算法在處理大規(guī)模拓?fù)鋬?yōu)化問題時(shí)存在的計(jì)算效率低、收斂速度慢等問題，對優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)。結(jié)合智能算法（如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等）的思想，提出一種適用于圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化的混合優(yōu)化算法。通過數(shù)值算例驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性和優(yōu)越性，將改進(jìn)算法應(yīng)用于實(shí)際圓柱殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化中，提高優(yōu)化計(jì)算的效率和質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)研究：設(shè)計(jì)并制作圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)試件，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果確定加強(qiáng)筋的布局和尺寸。采用振動(dòng)測試設(shè)備對試件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能測試，測量其固有頻率、模態(tài)振型等參數(shù)。將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證優(yōu)化方法的準(zhǔn)確性和可靠性。分析實(shí)驗(yàn)與模擬結(jié)果之間存在差異的原因，為進(jìn)一步改進(jìn)優(yōu)化方法提供參考。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是提出了一種基于SIMP方法的圓柱殼加強(qiáng)筋多目標(biāo)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型，綜合考慮了多種動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)，能夠更全面地滿足實(shí)際工程需求；二是改進(jìn)了優(yōu)化算法，提高了優(yōu)化計(jì)算的效率和收斂性，有效解決了傳統(tǒng)算法易陷入局部最優(yōu)的問題；三是通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了優(yōu)化方法的有效性，為圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化的實(shí)際應(yīng)用提供了可靠依據(jù)。1.4研究方法與技術(shù)路線本研究綜合運(yùn)用理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等多種方法，對基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化展開深入研究。在理論分析方面，運(yùn)用經(jīng)典的殼體理論和動(dòng)力學(xué)原理，深入推導(dǎo)圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，精確求解其固有頻率、模態(tài)振型等動(dòng)力學(xué)參數(shù)的理論計(jì)算公式。通過嚴(yán)密的理論推導(dǎo)，清晰地揭示圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性與結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)的數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究提供堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。例如，在推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，充分考慮圓柱殼的幾何形狀、材料屬性以及邊界約束條件，運(yùn)用哈密頓原理或虛功原理，建立起描述圓柱殼動(dòng)力學(xué)行為的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解出固有頻率和模態(tài)振型的表達(dá)式。數(shù)值模擬則借助先進(jìn)的有限元軟件，如ANSYS、ABAQUS等，對圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)化建模和動(dòng)力學(xué)仿真分析。在建模過程中，合理選擇單元類型和網(wǎng)格劃分方案，確保模型能夠準(zhǔn)確地反映圓柱殼的實(shí)際力學(xué)行為。通過設(shè)置不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件和載荷工況，全面系統(tǒng)地研究這些因素對圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。同時(shí)，基于SIMP方法，利用有限元軟件的優(yōu)化模塊或自行編寫的優(yōu)化程序，建立圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化模型，對加強(qiáng)筋的布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能的提升。例如，在優(yōu)化過程中，將圓柱殼的設(shè)計(jì)空間劃分為有限個(gè)單元，以單元密度作為設(shè)計(jì)變量，通過迭代計(jì)算不斷調(diào)整單元密度分布，使結(jié)構(gòu)在滿足約束條件的前提下，達(dá)到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)，從而得到加強(qiáng)筋的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證環(huán)節(jié)至關(guān)重要，它是檢驗(yàn)理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵手段。設(shè)計(jì)并精心制作圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)試件，嚴(yán)格按照優(yōu)化結(jié)果確定加強(qiáng)筋的布局和尺寸。采用高精度的振動(dòng)測試設(shè)備，如激光測振儀、加速度傳感器等，對試件進(jìn)行全面的動(dòng)力學(xué)性能測試，準(zhǔn)確測量其固有頻率、模態(tài)振型等參數(shù)。將實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果與理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行細(xì)致的對比分析，深入研究三者之間的差異和一致性。通過對比分析，驗(yàn)證優(yōu)化方法的有效性和準(zhǔn)確性，為實(shí)際工程應(yīng)用提供可靠的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。同時(shí)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果反饋，進(jìn)一步改進(jìn)和完善理論模型和數(shù)值模擬方法，提高研究成果的可靠性和實(shí)用性。例如，在實(shí)驗(yàn)過程中，對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行嚴(yán)格的誤差分析和處理，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性。通過對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果，找出可能存在的誤差來源，如試件加工誤差、測試設(shè)備精度、模型簡化等，并針對性地進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。本研究的技術(shù)路線如下：首先，深入開展圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的理論分析，建立精確的動(dòng)力學(xué)方程和參數(shù)計(jì)算公式；其次，基于理論分析結(jié)果，運(yùn)用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，建立圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化模型，對加強(qiáng)筋布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；然后，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果制作實(shí)驗(yàn)試件，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能測試，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證；最后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果，進(jìn)一步改進(jìn)和完善優(yōu)化方法和模型，形成一套完整的基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化理論與技術(shù)體系。在整個(gè)研究過程中，不斷循環(huán)迭代，逐步提高研究成果的質(zhì)量和水平，確保研究目標(biāo)的順利實(shí)現(xiàn)。二、SIMP方法與圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2.1SIMP方法原理與特點(diǎn)2.1.1SIMP方法基本理論SIMP方法，即變密度法（SolidIsotropicMaterialwithPenalization），是拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中極為重要且應(yīng)用廣泛的一種方法。其核心思想是通過引入一種連續(xù)變化的材料密度變量，來描述結(jié)構(gòu)中材料的分布情況。在SIMP方法中，假設(shè)存在一種虛擬的材料，其密度可以在0（代表沒有材料，即空洞）到1（代表實(shí)體材料）之間連續(xù)取值。將設(shè)計(jì)空間劃分為有限個(gè)單元，每個(gè)單元都被賦予一個(gè)密度值，該密度值作為設(shè)計(jì)變量，通過優(yōu)化算法不斷調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)材料在設(shè)計(jì)空間內(nèi)的最優(yōu)分布。從物理意義上講，SIMP方法將拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)材料分布優(yōu)化問題。通過調(diào)整單元密度，使得在滿足一定約束條件下，結(jié)構(gòu)的某個(gè)性能指標(biāo)（如剛度、固有頻率等）達(dá)到最優(yōu)。例如，在以剛度最大化為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化中，SIMP方法會(huì)在受力較大的區(qū)域分配較高的材料密度，形成承載結(jié)構(gòu)的主要部分；而在受力較小的區(qū)域，則逐漸降低材料密度，甚至將材料移除，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化，同時(shí)保證整體剛度滿足要求。這種方法打破了傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中預(yù)先設(shè)定結(jié)構(gòu)形式的局限，為結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)提供了更大的空間。2.1.2數(shù)學(xué)模型與表達(dá)式SIMP方法的數(shù)學(xué)模型通常基于有限元理論建立。在有限元分析中，結(jié)構(gòu)被離散為有限個(gè)單元，每個(gè)單元的力學(xué)行為通過單元?jiǎng)偠染仃噥砻枋?。對于一個(gè)包含N個(gè)單元的結(jié)構(gòu)，其總剛度矩陣\mathbf{K}可以表示為各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嘰mathbf{K}_e的組裝，即\mathbf{K}=\sum_{e=1}^{N}\mathbf{K}_e。在SIMP方法中，單元?jiǎng)偠染仃嘰mathbf{K}_e與單元密度x_e相關(guān)聯(lián)，通過引入密度插值函數(shù)來建立這種關(guān)系。常用的密度插值函數(shù)為冪函數(shù)形式，即：\mathbf{K}_e(x_e)=x_e^p\mathbf{K}_{e0}其中，\mathbf{K}_{e0}是單元密度為1時(shí)的初始剛度矩陣，p為懲罰因子，通常取大于1的值，如p=3。懲罰因子的作用是對中間密度（0<x_e<1）的單元進(jìn)行懲罰，使得優(yōu)化結(jié)果趨向于0-1的清晰拓?fù)?，避免出現(xiàn)大量中間密度的“灰色”單元，提高優(yōu)化結(jié)果的可制造性和工程實(shí)用性。拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為在一定約束條件下，最小化或最大化某個(gè)目標(biāo)函數(shù)。以最小化結(jié)構(gòu)柔度（即最大化結(jié)構(gòu)剛度）為例，同時(shí)考慮體積約束，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\begin{align*}\min_{x_e}\quad&c(\mathbf{x})=\mathbf{u}^T\mathbf{K}(\mathbf{x})\mathbf{u}\\\text{s.t.}\quad&V(\mathbf{x})=\sum_{e=1}^{N}v_ex_e\leqV_0\\&0\leqx_{e,min}\leqx_e\leq1,\quade=1,2,\cdots,N\end{align*}其中，c(\mathbf{x})為結(jié)構(gòu)柔度，\mathbf{u}為結(jié)構(gòu)的位移向量，\mathbf{K}(\mathbf{x})為與單元密度向量\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_N]^T相關(guān)的總剛度矩陣；V(\mathbf{x})為結(jié)構(gòu)的總體積，v_e為單元e的體積，V_0為給定的體積約束上限；x_{e,min}為單元密度的下限，通常取一個(gè)很小的值，如x_{e,min}=10^{-3}，以避免在優(yōu)化過程中單元密度完全為0導(dǎo)致的數(shù)值計(jì)算問題。目標(biāo)函數(shù)c(\mathbf{x})反映了結(jié)構(gòu)在給定載荷下的變形情況，柔度越小，結(jié)構(gòu)的剛度越大。體積約束V(\mathbf{x})\leqV_0限制了結(jié)構(gòu)使用的材料總量，確保在材料用量有限的情況下進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。單元密度的上下限約束0\leqx_{e,min}\leqx_e\leq1保證了單元密度在合理的范圍內(nèi)取值。2.1.3方法優(yōu)勢與局限性分析SIMP方法在拓?fù)鋬?yōu)化中具有諸多顯著優(yōu)勢。首先，其通用性強(qiáng)，能夠處理各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形狀和載荷工況。無論是簡單的梁、板結(jié)構(gòu)，還是復(fù)雜的三維實(shí)體結(jié)構(gòu)，SIMP方法都能通過合理的有限元離散和數(shù)學(xué)模型建立，有效地進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。例如，在航空航天領(lǐng)域中，對于復(fù)雜形狀的飛行器部件，SIMP方法可以根據(jù)部件所承受的復(fù)雜載荷，如氣動(dòng)力、慣性力等，優(yōu)化材料分布，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化和高性能設(shè)計(jì)。其次，SIMP方法易于與有限元方法相結(jié)合，有限元方法是目前工程領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的數(shù)值分析方法，具有成熟的理論體系和豐富的商業(yè)軟件。SIMP方法利用有限元的離散化思想和計(jì)算能力，能夠方便地計(jì)算結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)和靈敏度分析，為優(yōu)化算法提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)支持。通過商業(yè)有限元軟件（如ANSYS、ABAQUS等）的二次開發(fā)，用戶可以方便地實(shí)現(xiàn)基于SIMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化功能，大大提高了設(shè)計(jì)效率和精度。再者，SIMP方法概念清晰，數(shù)學(xué)模型相對簡單，易于理解和實(shí)現(xiàn)。其基本原理是通過調(diào)整單元密度來優(yōu)化材料分布，這種直觀的思想使得工程師和研究人員能夠快速掌握和應(yīng)用該方法。同時(shí)，SIMP方法的優(yōu)化算法相對成熟，如優(yōu)化準(zhǔn)則法（OC）、移動(dòng)漸近線法（MMA）等，這些算法能夠有效地求解SIMP方法的數(shù)學(xué)模型，得到較為理想的優(yōu)化結(jié)果。然而，SIMP方法也存在一些局限性。在筋條幾何描述方面，由于SIMP方法是基于單元密度的連續(xù)變化來優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓?fù)洌瑢τ谝恍┚哂刑囟◣缀涡螤詈统叽缫蟮慕顥l結(jié)構(gòu)，其優(yōu)化結(jié)果可能難以直接滿足實(shí)際工程需求。例如，在圓柱殼加強(qiáng)筋的設(shè)計(jì)中，實(shí)際工程中可能要求筋條具有一定的截面形狀（如矩形、T形等）和尺寸精度，而SIMP方法得到的優(yōu)化結(jié)果可能只是一種連續(xù)的材料分布，需要進(jìn)一步的后處理和工程轉(zhuǎn)化才能得到符合要求的筋條幾何形狀。此外，SIMP方法在處理大規(guī)模問題時(shí)，計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)間較長。隨著設(shè)計(jì)空間的增大和單元數(shù)量的增加，優(yōu)化問題的規(guī)模迅速擴(kuò)大，導(dǎo)致優(yōu)化算法的迭代次數(shù)增多，計(jì)算成本顯著提高。這對于一些對計(jì)算效率要求較高的工程應(yīng)用場景，如產(chǎn)品的快速設(shè)計(jì)和優(yōu)化，可能會(huì)帶來一定的限制。同時(shí)，SIMP方法在優(yōu)化過程中可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的問題，如棋盤格現(xiàn)象、網(wǎng)格依賴性等，這些問題會(huì)影響優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量和可靠性，需要采取相應(yīng)的措施（如濾波技術(shù)、靈敏度過濾等）來加以解決。2.2圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析2.2.1圓柱殼結(jié)構(gòu)力學(xué)模型建立圓柱殼結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛，其力學(xué)性能直接關(guān)系到整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。為了深入研究圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，首先需要建立精確的力學(xué)模型。依據(jù)經(jīng)典的殼體理論，圓柱殼可視為由中面和厚度組成的薄壁結(jié)構(gòu)。假設(shè)圓柱殼的中面半徑為R，長度為L，厚度為h，且h\llR，滿足薄殼的基本假設(shè)。在建立力學(xué)模型時(shí)，考慮圓柱殼的幾何形狀，其母線為直線，圓周方向?yàn)閳A形，這種幾何形狀決定了圓柱殼在不同方向上的力學(xué)響應(yīng)具有一定的特殊性。邊界條件對圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性有著顯著影響。常見的邊界條件包括簡支、固支和自由等。簡支邊界條件下，圓柱殼的兩端在軸向和徑向可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但在軸向和徑向的位移受到限制；固支邊界條件下，圓柱殼的兩端在軸向、徑向和切向的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)都受到限制；自由邊界條件下，圓柱殼的兩端不受任何約束。不同的邊界條件會(huì)導(dǎo)致圓柱殼在振動(dòng)時(shí)的模態(tài)形狀和固有頻率發(fā)生變化，因此在建立力學(xué)模型時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際工程情況準(zhǔn)確確定邊界條件。在實(shí)際應(yīng)用中，圓柱殼結(jié)構(gòu)可能承受多種載荷，如均布壓力、集中力、扭矩等。這些載荷的作用方式和大小會(huì)對圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生重要影響。例如，均布壓力會(huì)使圓柱殼產(chǎn)生均勻的徑向變形，而集中力則會(huì)在作用點(diǎn)附近引起較大的應(yīng)力集中。在建立力學(xué)模型時(shí)，需要明確載荷的類型、大小和作用位置，以便準(zhǔn)確計(jì)算圓柱殼的力學(xué)響應(yīng)。以某航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件為例，該部件在工作過程中承受高溫、高壓燃?xì)獾淖饔?，同時(shí)還受到轉(zhuǎn)子的不平衡力和振動(dòng)激勵(lì)。為了建立該圓柱殼部件的力學(xué)模型，首先根據(jù)其實(shí)際尺寸確定中面半徑R=0.5m，長度L=1m，厚度h=0.01m。考慮到該部件的安裝方式，兩端采用固支邊界條件。對于載荷，將高溫、高壓燃?xì)獾淖饔玫刃榫級毫=1MPa，轉(zhuǎn)子的不平衡力和振動(dòng)激勵(lì)簡化為集中力F=1000N，作用在圓柱殼的中部。通過這樣的處理，建立了能夠準(zhǔn)確反映該圓柱殼部件力學(xué)行為的力學(xué)模型，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。2.2.2動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)與求解在建立了圓柱殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型后，接下來需要推導(dǎo)其動(dòng)力學(xué)方程，并求解固有頻率、振型等關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)參數(shù)。根據(jù)哈密頓原理，即系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的真實(shí)位移使哈密頓作用量取駐值，可推導(dǎo)出圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程。假設(shè)圓柱殼的位移場由軸向位移u、徑向位移v和周向位移w組成，考慮材料的彈性性質(zhì)和幾何非線性因素，經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得到圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程如下：\begin{cases}D_1\frac{\partial^4u}{\partialx^4}+D_2\frac{\partial^4u}{\partialx^2\partial\theta^2}+D_3\frac{\partial^4u}{\partial\theta^4}+\rhoh\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=0\\D_4\frac{\partial^4v}{\partialx^4}+D_5\frac{\partial^4v}{\partialx^2\partial\theta^2}+D_6\frac{\partial^4v}{\partial\theta^4}+\rhoh\frac{\partial^2v}{\partialt^2}-\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2v}{\partial\theta^2}-\frac{2}{R^2}\frac{\partial^2w}{\partialx\partial\theta}=0\\D_7\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+D_8\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partial\theta^2}+D_9\frac{\partial^4w}{\partial\theta^4}+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}-\frac{1}{R^2}\frac{\partial^2w}{\partial\theta^2}+\frac{2}{R^2}\frac{\partial^2v}{\partialx\partial\theta}=0\end{cases}其中，D_i（i=1,2,\cdots,9）為與材料彈性常數(shù)和幾何參數(shù)相關(guān)的系數(shù)，\rho為材料密度，t為時(shí)間，x為軸向坐標(biāo)，\theta為周向坐標(biāo)。求解上述動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)復(fù)雜的過程，通常采用分離變量法。假設(shè)位移場具有如下形式：\begin{cases}u(x,\theta,t)=U(x,\theta)e^{i\omegat}\\v(x,\theta,t)=V(x,\theta)e^{i\omegat}\\w(x,\theta,t)=W(x,\theta)e^{i\omegat}\end{cases}將其代入動(dòng)力學(xué)方程中，可得到關(guān)于U(x,\theta)、V(x,\theta)和W(x,\theta)的偏微分方程組。再根據(jù)圓柱殼的邊界條件，利用傅里葉級數(shù)展開等方法，可將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，進(jìn)而求解出固有頻率\omega和振型。以兩端簡支的圓柱殼為例，其邊界條件為：\begin{cases}u(0,\theta,t)=u(L,\theta,t)=0\\v(0,\theta,t)=v(L,\theta,t)=0\\w(0,\theta,t)=w(L,\theta,t)=0\\\frac{\partial^2u}{\partialx^2}(0,\theta,t)=\frac{\partial^2u}{\partialx^2}(L,\theta,t)=0\\\frac{\partial^2v}{\partialx^2}(0,\theta,t)=\frac{\partial^2v}{\partialx^2}(L,\theta,t)=0\\\frac{\partial^2w}{\partialx^2}(0,\theta,t)=\frac{\partial^2w}{\partialx^2}(L,\theta,t)=0\end{cases}將位移場假設(shè)形式代入動(dòng)力學(xué)方程，并結(jié)合上述邊界條件，經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可得到固有頻率的計(jì)算公式：\omega_{mn}^2=\frac{D_1m^4\pi^4}{L^4}+\frac{(D_2+D_5)m^2n^2\pi^2}{L^2R^2}+\frac{(D_3+D_6+D_9)n^4}{R^4}+\frac{\rhoh}{R^2}其中，m和n分別為軸向和周向的波數(shù)。通過求解該公式，可得到不同m和n組合下的固有頻率，進(jìn)而確定圓柱殼的振型。振型描述了圓柱殼在振動(dòng)時(shí)的位移分布情況，對于分析圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性具有重要意義。2.2.3影響動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)鍵因素圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性受到多種因素的綜合影響，深入研究這些因素對于優(yōu)化圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、提高其動(dòng)力學(xué)性能具有重要意義。材料屬性是影響圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的重要因素之一。不同的材料具有不同的彈性模量、密度、泊松比等參數(shù)，這些參數(shù)直接決定了圓柱殼的剛度和質(zhì)量，進(jìn)而影響其固有頻率和振型。一般來說，彈性模量越大，圓柱殼的剛度越大，固有頻率越高；密度越大，圓柱殼的質(zhì)量越大，固有頻率越低。例如，在航空航天領(lǐng)域，為了提高飛行器的性能，通常采用高強(qiáng)度、低密度的材料，如鋁合金、鈦合金等，來制造圓柱殼結(jié)構(gòu)，以提高其固有頻率，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。幾何尺寸對圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性也有著顯著影響。圓柱殼的半徑、長度和厚度的變化會(huì)改變其剛度和質(zhì)量分布，從而影響動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)圓柱殼的半徑增大時(shí)，其慣性矩增大，剛度相對減小，固有頻率會(huì)降低；長度增加會(huì)使結(jié)構(gòu)的柔度增大，固有頻率也會(huì)降低；而厚度增加則會(huì)提高結(jié)構(gòu)的剛度，使固有頻率升高。以船舶的圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，在設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮船舶的航行性能、載貨量等因素，合理選擇圓柱殼的半徑、長度和厚度，以滿足船舶在不同工況下的動(dòng)力學(xué)性能要求。加強(qiáng)筋布局是影響圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)鍵因素之一。合理布置加強(qiáng)筋可以顯著提高圓柱殼的剛度和穩(wěn)定性，改變其動(dòng)力學(xué)特性。加強(qiáng)筋的位置、方向和間距等參數(shù)對加強(qiáng)效果有著重要影響。例如，在圓柱殼的周向布置加強(qiáng)筋可以有效提高其抗扭剛度，在軸向布置加強(qiáng)筋則可以增強(qiáng)其抗彎剛度。此外，加強(qiáng)筋的間距過小會(huì)增加結(jié)構(gòu)重量和成本，過大則無法充分發(fā)揮加強(qiáng)作用，因此需要通過優(yōu)化設(shè)計(jì)確定合適的加強(qiáng)筋間距。在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件中，通過合理布置加強(qiáng)筋，可以提高部件的剛度和抗振性能，減少振動(dòng)和噪聲的產(chǎn)生，提高發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率和可靠性。邊界條件同樣對圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性有著不可忽視的影響。不同的邊界條件會(huì)限制圓柱殼的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，從而改變其振動(dòng)模態(tài)和固有頻率。如前文所述，簡支邊界條件下圓柱殼的固有頻率與固支邊界條件下的固有頻率存在明顯差異。在實(shí)際工程中，需要根據(jù)圓柱殼的安裝方式和工作要求，準(zhǔn)確確定邊界條件，以確保動(dòng)力學(xué)分析的準(zhǔn)確性。例如，在建筑結(jié)構(gòu)中，圓柱殼的邊界條件可能受到地基基礎(chǔ)、相鄰結(jié)構(gòu)等因素的影響，需要在設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮這些因素，合理確定邊界條件，以保證建筑結(jié)構(gòu)的安全性和穩(wěn)定性。三、基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型構(gòu)建3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)變量選取3.1.1設(shè)計(jì)變量的定義與范圍在基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，設(shè)計(jì)變量的合理選取對于優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性和有效性起著關(guān)鍵作用。本研究將加強(qiáng)筋分布區(qū)域的單元密度作為設(shè)計(jì)變量，用x_e表示，其中e=1,2,\cdots,N，N為加強(qiáng)筋分布區(qū)域的單元總數(shù)。單元密度x_e的取值范圍為[0,1]。當(dāng)x_e=0時(shí)，表示該單元內(nèi)沒有材料，即對應(yīng)于空洞區(qū)域；當(dāng)x_e=1時(shí)，表示該單元內(nèi)為實(shí)體材料，即對應(yīng)于加強(qiáng)筋的位置；而當(dāng)0<x_e<1時(shí)，則表示該單元處于中間狀態(tài)，材料分布相對較少。在實(shí)際優(yōu)化過程中，為了避免數(shù)值計(jì)算問題，通常會(huì)設(shè)置一個(gè)極小的下限值x_{e,min}，如x_{e,min}=10^{-3}，此時(shí)設(shè)計(jì)變量的取值范圍變?yōu)閇x_{e,min},1]。這種以單元密度為設(shè)計(jì)變量的定義方式，能夠通過SIMP方法中的密度插值函數(shù)，有效地將設(shè)計(jì)變量與材料屬性相關(guān)聯(lián)。如前文所述，單元?jiǎng)偠染仃嘰mathbf{K}_e(x_e)=x_e^p\mathbf{K}_{e0}，通過調(diào)整單元密度x_e，可以改變單元的剛度，進(jìn)而影響整個(gè)圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。同時(shí)，這種連續(xù)變化的設(shè)計(jì)變量定義方式，為優(yōu)化算法提供了更大的搜索空間，使得優(yōu)化過程能夠在連續(xù)的材料分布范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解，有助于獲得更合理的加強(qiáng)筋布局。3.1.2不同設(shè)計(jì)變量對優(yōu)化結(jié)果的影響分析不同的設(shè)計(jì)變量設(shè)定會(huì)對加強(qiáng)筋布局和圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能產(chǎn)生顯著影響。為了深入研究這一影響，我們通過數(shù)值算例進(jìn)行分析?？紤]一個(gè)兩端簡支的圓柱殼結(jié)構(gòu)，半徑R=1m，長度L=3m，厚度h=0.05m，材料為鋁合金，彈性模量E=70GPa，泊松比\nu=0.3。在圓柱殼的外表面設(shè)置加強(qiáng)筋分布區(qū)域，將該區(qū)域劃分為N=1000個(gè)單元。當(dāng)僅以單元密度x_e為設(shè)計(jì)變量時(shí)，優(yōu)化結(jié)果會(huì)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件，在整個(gè)設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋找材料的最優(yōu)分布。如果目標(biāo)是最大化圓柱殼的某階固有頻率，優(yōu)化算法會(huì)傾向于在對該階固有頻率影響較大的區(qū)域增加單元密度，形成加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)，以提高圓柱殼的剛度，從而提升固有頻率。在圓柱殼的周向和軸向某些關(guān)鍵位置，如節(jié)點(diǎn)和波腹處，會(huì)出現(xiàn)較高密度的材料分布，形成有效的加強(qiáng)筋布局，使得圓柱殼在這些方向上的剛度得到增強(qiáng)，固有頻率顯著提高。然而，如果在設(shè)計(jì)變量中引入其他因素，如加強(qiáng)筋的方向角\theta_e（表示加強(qiáng)筋在單元內(nèi)的方向與圓柱殼軸向的夾角），則優(yōu)化結(jié)果會(huì)更加復(fù)雜。此時(shí)設(shè)計(jì)變量變?yōu)閈mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_N,\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_N]^T。在這種情況下，優(yōu)化算法不僅要考慮材料的分布，還要考慮加強(qiáng)筋的方向?qū)A柱殼動(dòng)力學(xué)性能的影響。例如，在承受扭轉(zhuǎn)載荷的圓柱殼中，通過調(diào)整加強(qiáng)筋的方向角，使其與主應(yīng)力方向相匹配，可以更有效地提高圓柱殼的抗扭剛度，從而提升其在扭轉(zhuǎn)工況下的動(dòng)力學(xué)性能。在一些區(qū)域，加強(qiáng)筋的方向可能會(huì)呈現(xiàn)出與圓柱殼軸向成一定角度的傾斜分布，以更好地抵抗扭轉(zhuǎn)力，相比僅考慮單元密度的優(yōu)化結(jié)果，這種情況下圓柱殼的抗扭性能得到了更顯著的提升。此外，若考慮加強(qiáng)筋的截面形狀參數(shù)，如截面面積A_e或截面慣性矩I_e作為設(shè)計(jì)變量，同樣會(huì)對優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生重要影響。以截面面積A_e為例，設(shè)計(jì)變量變?yōu)閈mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_N,A_1,A_2,\cdots,A_N]^T。優(yōu)化算法會(huì)根據(jù)圓柱殼的受力情況和動(dòng)力學(xué)性能要求，在不同位置調(diào)整加強(qiáng)筋的截面面積。在受力較大的區(qū)域，會(huì)增加加強(qiáng)筋的截面面積，以提高其承載能力；而在受力較小的區(qū)域，則適當(dāng)減小截面面積，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化。通過這種方式，能夠在滿足圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能要求的前提下，更合理地分配材料，進(jìn)一步優(yōu)化加強(qiáng)筋的布局。在圓柱殼的某些關(guān)鍵部位，加強(qiáng)筋的截面面積會(huì)明顯增大，以承受更大的載荷，而在其他部位，截面面積則相對較小，從而在保證結(jié)構(gòu)性能的同時(shí)，減輕了結(jié)構(gòu)重量。綜上所述，不同的設(shè)計(jì)變量設(shè)定對加強(qiáng)筋布局和圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能有著重要影響。在實(shí)際工程應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的設(shè)計(jì)要求和工況條件，合理選擇設(shè)計(jì)變量，以獲得滿足需求的最優(yōu)加強(qiáng)筋布局和圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能。3.2目標(biāo)函數(shù)確定3.2.1常見目標(biāo)函數(shù)類型及選擇依據(jù)在圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，常見的目標(biāo)函數(shù)類型豐富多樣，每種類型都有其獨(dú)特的特點(diǎn)和適用場景。固有頻率最大化是一種常見的目標(biāo)函數(shù)。在許多工程應(yīng)用中，如航空航天、機(jī)械工程等領(lǐng)域，圓柱殼結(jié)構(gòu)需要避免在特定頻率下發(fā)生共振，因?yàn)楣舱窨赡軐?dǎo)致結(jié)構(gòu)的劇烈振動(dòng)，甚至引發(fā)結(jié)構(gòu)破壞，從而嚴(yán)重影響設(shè)備的正常運(yùn)行和安全性。以飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件為例，在發(fā)動(dòng)機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，部件會(huì)受到各種激勵(lì)力的作用，如果圓柱殼的固有頻率與激勵(lì)頻率接近，就可能發(fā)生共振，導(dǎo)致部件疲勞損壞，影響發(fā)動(dòng)機(jī)的性能和可靠性。因此，通過將固有頻率最大化作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，可以提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的固有頻率，使其遠(yuǎn)離可能的激勵(lì)頻率，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的抗振能力，有效避免共振現(xiàn)象的發(fā)生。振動(dòng)響應(yīng)最小化也是常用的目標(biāo)函數(shù)之一。當(dāng)圓柱殼結(jié)構(gòu)在振動(dòng)環(huán)境中工作時(shí)，過大的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)降低結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性，同時(shí)還可能產(chǎn)生噪聲，影響設(shè)備的正常運(yùn)行和工作環(huán)境。在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)系統(tǒng)中，圓柱殼部件的振動(dòng)響應(yīng)過大會(huì)導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)的噪聲增加，降低乘坐舒適性，同時(shí)也可能影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率和壽命。將振動(dòng)響應(yīng)最小化作為目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化加強(qiáng)筋的布局，可以有效地減少圓柱殼結(jié)構(gòu)在振動(dòng)載荷下的位移、速度和加速度等響應(yīng)，降低振動(dòng)對結(jié)構(gòu)的不利影響，提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性。結(jié)構(gòu)剛度最大化同樣是重要的目標(biāo)函數(shù)選擇。剛度是衡量結(jié)構(gòu)抵抗變形能力的重要指標(biāo)，提高結(jié)構(gòu)的剛度可以減小結(jié)構(gòu)在載荷作用下的變形，保證結(jié)構(gòu)的正常工作。在船舶的圓柱殼結(jié)構(gòu)中，如船體的耐壓殼體，需要具備足夠的剛度來承受海水的壓力，防止在水壓作用下發(fā)生過大的變形甚至破壞。通過以結(jié)構(gòu)剛度最大化為目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，可以合理分布加強(qiáng)筋，增強(qiáng)圓柱殼結(jié)構(gòu)的剛度，使其能夠更好地承受外部載荷，保證船舶的航行安全。本研究選擇固有頻率最大化作為主要目標(biāo)函數(shù)，主要基于以下考慮：在實(shí)際工程應(yīng)用中，圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題較為突出，共振現(xiàn)象可能帶來嚴(yán)重的后果。提高固有頻率可以有效地避免共振的發(fā)生，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性，滿足工程對結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的要求。固有頻率是圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的重要參數(shù)，與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度密切相關(guān)，通過最大化固有頻率，可以綜合考慮結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和剛度分布，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。3.2.2結(jié)合實(shí)際需求的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建在實(shí)際工程應(yīng)用中，圓柱殼結(jié)構(gòu)往往需要同時(shí)滿足多種性能要求，單一目標(biāo)函數(shù)可能無法全面滿足這些復(fù)雜需求。因此，構(gòu)建考慮多目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)至關(guān)重要。假設(shè)圓柱殼結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中，既需要提高固有頻率以避免共振，又需要控制振動(dòng)響應(yīng)以保證結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性，同時(shí)還對結(jié)構(gòu)的質(zhì)量有一定限制，以實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)。此時(shí)，可以構(gòu)建如下多目標(biāo)函數(shù)：F=w_1\frac{\omega_{max}}{\omega_{0}}+w_2\frac{\sum_{i=1}^{n}r_{i,min}}{\sum_{i=1}^{n}r_{i,0}}+w_3\frac{m_0}{m_{max}}其中，F(xiàn)為綜合目標(biāo)函數(shù)；w_1、w_2、w_3分別為固有頻率、振動(dòng)響應(yīng)和質(zhì)量的權(quán)重系數(shù)，且w_1+w_2+w_3=1，權(quán)重系數(shù)的取值根據(jù)實(shí)際工程需求和各性能指標(biāo)的重要程度確定，例如在對振動(dòng)響應(yīng)要求較高的精密儀器設(shè)備中，w_2的取值可以相對較大；\omega_{max}為優(yōu)化后圓柱殼結(jié)構(gòu)的最大固有頻率，\omega_{0}為初始結(jié)構(gòu)的固有頻率；r_{i,min}為優(yōu)化后第i個(gè)振動(dòng)響應(yīng)指標(biāo)的最小值，r_{i,0}為初始結(jié)構(gòu)第i個(gè)振動(dòng)響應(yīng)指標(biāo)的值；m_0為初始結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，m_{max}為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)允許的最大質(zhì)量。對于約束條件，除了體積約束外，還需考慮應(yīng)力約束、位移約束等實(shí)際工程中常見的約束條件。應(yīng)力約束可以保證圓柱殼結(jié)構(gòu)在工作過程中，各部分的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，防止結(jié)構(gòu)發(fā)生屈服或斷裂。位移約束則可以確保結(jié)構(gòu)在載荷作用下的位移在允許范圍內(nèi)，保證結(jié)構(gòu)的正常工作和使用性能。例如，在某航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼結(jié)構(gòu)中，為了保證發(fā)動(dòng)機(jī)的正常運(yùn)行，需要對圓柱殼在高溫、高壓燃?xì)庾饔孟碌奈灰七M(jìn)行限制，以避免與其他部件發(fā)生干涉。通過構(gòu)建這樣的多目標(biāo)函數(shù)，并結(jié)合實(shí)際的約束條件，可以更全面地滿足圓柱殼結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的需求，實(shí)現(xiàn)加強(qiáng)筋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的綜合性能。在優(yōu)化過程中，利用多目標(biāo)優(yōu)化算法，如非支配排序遺傳算法（NSGA-II）等，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，得到一組非劣解（Pareto前沿），設(shè)計(jì)者可以根據(jù)實(shí)際情況從Pareto前沿中選擇最適合的優(yōu)化方案。3.3約束條件設(shè)定3.3.1物理約束與幾何約束在基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，物理約束和幾何約束是確保優(yōu)化結(jié)果合理性和工程可行性的關(guān)鍵因素。材料體積約束是一種重要的物理約束，它在優(yōu)化過程中起著限制材料用量的關(guān)鍵作用。在實(shí)際工程中，材料成本往往是設(shè)計(jì)的重要考量因素之一，同時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化目標(biāo)，也需要對材料的使用量進(jìn)行嚴(yán)格控制。通過設(shè)置材料體積約束，可以確保在滿足結(jié)構(gòu)性能要求的前提下，盡可能減少材料的消耗。以某航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，由于航空領(lǐng)域?qū)χ亓康膰?yán)格限制，在對該圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，設(shè)定材料體積約束為結(jié)構(gòu)總體積的30%。這意味著在優(yōu)化過程中，加強(qiáng)筋所使用的材料總體積不能超過圓柱殼結(jié)構(gòu)總體積的30%，從而在保證圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)，降低了航空發(fā)動(dòng)機(jī)的重量，提高了其燃油效率和飛行性能。加強(qiáng)筋尺寸限制屬于幾何約束的范疇，它對加強(qiáng)筋的形狀和大小進(jìn)行了規(guī)定。在實(shí)際工程應(yīng)用中，加強(qiáng)筋的尺寸必須滿足一定的工藝和性能要求。例如，在船舶的圓柱殼結(jié)構(gòu)中，加強(qiáng)筋的最小寬度和高度需要根據(jù)船舶的航行工況和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求來確定，以保證加強(qiáng)筋能夠有效地增強(qiáng)圓柱殼的剛度和穩(wěn)定性。假設(shè)某船舶圓柱殼結(jié)構(gòu)的加強(qiáng)筋最小寬度設(shè)定為50mm，最小高度設(shè)定為100mm，這就要求在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，生成的加強(qiáng)筋尺寸不能小于這些設(shè)定值，否則將無法滿足船舶結(jié)構(gòu)的實(shí)際需求，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在復(fù)雜的海洋環(huán)境中出現(xiàn)強(qiáng)度不足或穩(wěn)定性問題。加強(qiáng)筋位置限制同樣是幾何約束的重要組成部分，它明確了加強(qiáng)筋在圓柱殼上的分布位置范圍。在一些特定的工程場景中，由于圓柱殼的功能需求或安裝條件的限制，加強(qiáng)筋不能隨意布置。比如，在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件中，為了避免與其他零部件發(fā)生干涉，加強(qiáng)筋需要避開某些特定區(qū)域。在對該圓柱殼加強(qiáng)筋進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，通過設(shè)定加強(qiáng)筋位置限制，規(guī)定加強(qiáng)筋只能布置在距離圓柱殼兩端一定距離（如0.2m）以外的區(qū)域，從而確保了優(yōu)化后的加強(qiáng)筋布局不會(huì)影響發(fā)動(dòng)機(jī)其他部件的正常工作，保證了發(fā)動(dòng)機(jī)的整體性能和可靠性。3.3.2工程實(shí)際中的特殊約束考慮在實(shí)際工程應(yīng)用中，除了物理約束和幾何約束外，還需要充分考慮一些特殊約束條件，這些條件對圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋的拓?fù)鋬?yōu)化有著重要影響。溫度約束是工程實(shí)際中常見的特殊約束之一。在某些工作環(huán)境下，圓柱殼結(jié)構(gòu)會(huì)受到高溫或低溫的作用，溫度的變化會(huì)導(dǎo)致材料的性能發(fā)生改變，如彈性模量、熱膨脹系數(shù)等。這些性能變化會(huì)直接影響圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性，進(jìn)而影響加強(qiáng)筋的優(yōu)化設(shè)計(jì)。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的燃燒室圓柱殼結(jié)構(gòu)中，工作溫度可高達(dá)1000℃以上，高溫會(huì)使材料的彈性模量降低，從而削弱圓柱殼的剛度。為了保證燃燒室圓柱殼在高溫環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)性能，在拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)需要考慮溫度對材料性能的影響，通過建立溫度-材料性能耦合模型，將溫度約束納入優(yōu)化過程。可以設(shè)定在最高工作溫度下，圓柱殼結(jié)構(gòu)的最大變形不能超過一定值（如0.1mm），以確保結(jié)構(gòu)的正常工作和安全性。制造工藝約束也是不可忽視的特殊約束。不同的制造工藝對加強(qiáng)筋的形狀、尺寸和布局有著不同的要求和限制。例如，采用鑄造工藝制造圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)時(shí)，加強(qiáng)筋的形狀應(yīng)盡量簡單，避免出現(xiàn)過于復(fù)雜的形狀和尖銳的轉(zhuǎn)角，以保證鑄造過程的順利進(jìn)行，減少鑄造缺陷的產(chǎn)生。而采用焊接工藝時(shí)，需要考慮焊接位置和焊接強(qiáng)度對加強(qiáng)筋布局的影響，合理安排加強(qiáng)筋的位置，以確保焊接質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的整體強(qiáng)度。在某機(jī)械零件的圓柱殼加筋結(jié)構(gòu)制造中，由于采用了注塑成型工藝，要求加強(qiáng)筋的厚度不能小于3mm，且相鄰加強(qiáng)筋之間的間距不能小于5mm，以保證注塑過程中塑料能夠充分填充模具，形成完整的加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)。在拓?fù)鋬?yōu)化過程中，必須將這些制造工藝約束考慮在內(nèi)，否則優(yōu)化結(jié)果可能無法通過實(shí)際的制造工藝實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致設(shè)計(jì)方案無法落地實(shí)施。3.4優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表達(dá)與求解算法3.4.1數(shù)學(xué)模型的完整表述基于前文對設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件的分析，本研究建立的基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：\begin{align*}\max_{x_e}\quad&\omega_{k}(\mathbf{x})\\\text{s.t.}\quad&V(\mathbf{x})=\sum_{e=1}^{N}v_ex_e\leqV_0\\&\sigma_{max}(\mathbf{x})\leq[\sigma]\\&u_{max}(\mathbf{x})\leq[u]\\&x_{e,min}\leqx_e\leq1,\quade=1,2,\cdots,N\end{align*}其中，\omega_{k}(\mathbf{x})為優(yōu)化后的圓柱殼結(jié)構(gòu)第k階固有頻率，作為目標(biāo)函數(shù)，體現(xiàn)了本研究致力于提高圓柱殼結(jié)構(gòu)特定階固有頻率以增強(qiáng)其動(dòng)力學(xué)性能的目標(biāo)；V(\mathbf{x})為結(jié)構(gòu)總體積，v_e為單元e的體積，V_0為體積約束上限，通過限制結(jié)構(gòu)總體積，實(shí)現(xiàn)材料的合理利用和結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)；\sigma_{max}(\mathbf{x})為結(jié)構(gòu)中的最大應(yīng)力，[\sigma]為材料的許用應(yīng)力，應(yīng)力約束確保結(jié)構(gòu)在工作過程中不會(huì)因應(yīng)力過大而發(fā)生破壞；u_{max}(\mathbf{x})為結(jié)構(gòu)的最大位移，[u]為允許的最大位移，位移約束保證結(jié)構(gòu)在載荷作用下的變形在可接受范圍內(nèi)；x_e為單元e的密度，作為設(shè)計(jì)變量，其取值范圍為[x_{e,min},1]，x_{e,min}為設(shè)定的單元密度下限，通常取一個(gè)極小值，以避免在優(yōu)化過程中出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算問題。該數(shù)學(xué)模型全面考慮了圓柱殼結(jié)構(gòu)在動(dòng)力學(xué)性能、材料用量、應(yīng)力和位移等方面的要求，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)變量x_e，在滿足各項(xiàng)約束條件的前提下，最大化目標(biāo)函數(shù)\omega_{k}(\mathbf{x})，從而得到圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋的最優(yōu)拓?fù)洳季帧?.4.2常用求解算法介紹與選擇在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域，常用的求解算法豐富多樣，每種算法都有其獨(dú)特的優(yōu)勢和適用場景。優(yōu)化準(zhǔn)則法（OC）是一種經(jīng)典的求解算法，它基于力學(xué)原理和優(yōu)化準(zhǔn)則來調(diào)整設(shè)計(jì)變量。該方法通過計(jì)算結(jié)構(gòu)的靈敏度，根據(jù)一定的準(zhǔn)則來判斷每個(gè)單元對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)大小，進(jìn)而決定單元的保留或刪除。在以剛度最大化為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化中，優(yōu)化準(zhǔn)則法會(huì)根據(jù)單元的應(yīng)變能密度等指標(biāo)，將應(yīng)變能密度較低的單元逐步刪除，使結(jié)構(gòu)的材料分布更加合理，以達(dá)到剛度最大化的目的。優(yōu)化準(zhǔn)則法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算效率較高，能夠快速得到優(yōu)化結(jié)果，適用于大規(guī)模的拓?fù)鋬?yōu)化問題；但其缺點(diǎn)是容易陷入局部最優(yōu)解，對初始設(shè)計(jì)的依賴性較強(qiáng)。移動(dòng)漸近線法（MMA）是一種基于數(shù)學(xué)規(guī)劃的優(yōu)化算法，它通過構(gòu)造一系列的近似子問題來逐步逼近最優(yōu)解。MMA利用當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)的信息，構(gòu)建一個(gè)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的二次近似函數(shù)，并通過移動(dòng)漸近線來調(diào)整近似函數(shù)的參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過程。該方法在處理非線性約束和目標(biāo)函數(shù)時(shí)具有較好的性能，能夠有效地處理復(fù)雜的拓?fù)鋬?yōu)化問題。MMA的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度較快，能夠在較少的迭代次數(shù)內(nèi)得到較為精確的優(yōu)化結(jié)果；同時(shí)，它對初始設(shè)計(jì)的要求相對較低，具有較好的全局搜索能力。然而，MMA的計(jì)算過程相對復(fù)雜，需要較多的計(jì)算資源，在處理大規(guī)模問題時(shí)，計(jì)算成本較高。本研究選擇移動(dòng)漸近線法作為求解算法，主要基于以下考慮：在基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往呈現(xiàn)出非線性特性。移動(dòng)漸近線法在處理非線性問題方面具有顯著優(yōu)勢，能夠更好地適應(yīng)本研究中復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型。與優(yōu)化準(zhǔn)則法相比，移動(dòng)漸近線法具有更強(qiáng)的全局搜索能力，能夠避免陷入局部最優(yōu)解，從而更有可能得到全局最優(yōu)的加強(qiáng)筋拓?fù)洳季?，提高圓柱殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。盡管移動(dòng)漸近線法的計(jì)算成本相對較高，但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，計(jì)算資源的限制在一定程度上得到緩解，使得該方法在實(shí)際應(yīng)用中具有可行性。四、數(shù)值模擬與案例分析4.1數(shù)值模擬軟件選擇與模型建立4.1.1軟件介紹與適用性分析在動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)值模擬領(lǐng)域，ANSYS和ABAQUS是兩款應(yīng)用極為廣泛且功能強(qiáng)大的有限元軟件，它們在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢和適用性。ANSYS軟件擁有豐富的單元庫，涵蓋了從簡單的桿、梁單元到復(fù)雜的實(shí)體、殼單元等多種類型，能夠滿足不同結(jié)構(gòu)形式的建模需求。在圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，可選用合適的殼單元來精確模擬圓柱殼，同時(shí)利用梁單元或?qū)嶓w單元來模擬加強(qiáng)筋。該軟件具備強(qiáng)大的求解器，如ANSYSMechanical中的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)求解器，能夠高效地求解動(dòng)力學(xué)方程，準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)振型等動(dòng)力學(xué)參數(shù)。ANSYS還提供了直觀的用戶界面，方便用戶進(jìn)行模型的創(chuàng)建、參數(shù)設(shè)置和結(jié)果查看，降低了使用門檻，使得工程師和研究人員能夠快速上手。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件動(dòng)力學(xué)分析中，工程師可以利用ANSYS軟件建立詳細(xì)的三維模型，設(shè)置復(fù)雜的邊界條件和載荷工況，通過求解器快速得到部件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供有力支持。ABAQUS軟件以其卓越的非線性分析能力著稱，能夠精確處理材料非線性、幾何非線性和接觸非線性等復(fù)雜問題。在圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)鋬?yōu)化中，當(dāng)考慮材料在大變形下的非線性力學(xué)行為，或加強(qiáng)筋與圓柱殼之間的接觸問題時(shí)，ABAQUS軟件能夠發(fā)揮其優(yōu)勢，提供準(zhǔn)確的分析結(jié)果。ABAQUS軟件的二次開發(fā)功能強(qiáng)大，用戶可以通過Python腳本等方式，根據(jù)自身需求定制優(yōu)化算法和分析流程，實(shí)現(xiàn)基于SIMP方法的圓柱殼加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的個(gè)性化求解。例如，在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，研究人員利用ABAQUS的二次開發(fā)功能，編寫了專門的優(yōu)化程序，實(shí)現(xiàn)了對加強(qiáng)筋布局的快速優(yōu)化，提高了設(shè)計(jì)效率和精度。綜合考慮本研究的需求，選擇ABAQUS軟件進(jìn)行數(shù)值模擬。這是因?yàn)樵诨赟IMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，需要處理材料密度的連續(xù)變化以及結(jié)構(gòu)在動(dòng)力學(xué)載荷下的非線性響應(yīng)等復(fù)雜問題，ABAQUS軟件的非線性分析能力和二次開發(fā)功能能夠更好地滿足這些需求。通過二次開發(fā)，能夠?qū)⒒赟IMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化算法與ABAQUS軟件的有限元分析功能緊密結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對圓柱殼加強(qiáng)筋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的高效優(yōu)化，為研究提供更準(zhǔn)確、可靠的結(jié)果。4.1.2圓柱殼結(jié)構(gòu)與加強(qiáng)筋模型的建立過程使用ABAQUS軟件建立圓柱殼結(jié)構(gòu)與加強(qiáng)筋模型，需要經(jīng)過多個(gè)關(guān)鍵步驟，以確保模型的準(zhǔn)確性和有效性。在幾何建模階段，根據(jù)實(shí)際圓柱殼結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)，利用ABAQUS的建模工具精確創(chuàng)建圓柱殼的幾何形狀。假設(shè)圓柱殼的半徑為R=0.5m，長度為L=2m，厚度為h=0.02m。通過在軟件中定義相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)和幾何參數(shù)，繪制出圓柱殼的三維模型。對于加強(qiáng)筋，根據(jù)預(yù)設(shè)的布局方案，在圓柱殼表面創(chuàng)建相應(yīng)的幾何形狀，如矩形截面的加強(qiáng)筋，其寬度為b=0.05m，高度為h_{rib}=0.03m。在創(chuàng)建幾何模型時(shí)，要注意保證圓柱殼和加強(qiáng)筋之間的連接關(guān)系準(zhǔn)確無誤，以模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)中的力學(xué)傳遞。網(wǎng)格劃分是建模過程中的重要環(huán)節(jié)，它直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算效率。對于圓柱殼，采用四邊形殼單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，根據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度和計(jì)算精度要求，合理設(shè)置單元尺寸。為了準(zhǔn)確捕捉圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性，在關(guān)鍵部位，如加強(qiáng)筋與圓柱殼的連接區(qū)域，適當(dāng)加密網(wǎng)格，以提高計(jì)算精度。對于加強(qiáng)筋，同樣采用合適的單元類型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，確保加強(qiáng)筋的幾何形狀和力學(xué)性能能夠得到準(zhǔn)確模擬。在劃分網(wǎng)格時(shí)，要遵循網(wǎng)格質(zhì)量控制原則，避免出現(xiàn)畸形單元，以保證計(jì)算結(jié)果的可靠性。材料屬性設(shè)置也是不可或缺的步驟。根據(jù)實(shí)際使用的材料，在ABAQUS軟件中定義材料的彈性模量、泊松比、密度等參數(shù)。假設(shè)圓柱殼和加強(qiáng)筋均采用鋁合金材料，其彈性模量E=70GPa，泊松比\nu=0.3，密度\rho=2700kg/m^3。準(zhǔn)確設(shè)置材料屬性，能夠使模型真實(shí)反映材料的力學(xué)性能，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析和拓?fù)鋬?yōu)化提供可靠的基礎(chǔ)。邊界條件和載荷的施加需根據(jù)實(shí)際工況進(jìn)行設(shè)置。對于圓柱殼，假設(shè)其兩端為簡支邊界條件，即兩端在軸向和徑向可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但軸向和徑向位移受到限制。在ABAQUS軟件中，通過定義相應(yīng)的約束條件來模擬這種邊界情況。對于載荷，假設(shè)圓柱殼受到均布壓力p=0.1MPa和簡諧激勵(lì)力F=100sin(2\pift)的作用，其中f=50Hz。在軟件中，通過施加壓力載荷和動(dòng)態(tài)載荷來模擬這些工況，確保模型能夠準(zhǔn)確反映圓柱殼在實(shí)際工作中的受力情況。通過以上步驟，建立了準(zhǔn)確可靠的圓柱殼結(jié)構(gòu)與加強(qiáng)筋模型，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。4.2模擬參數(shù)設(shè)置與計(jì)算過程4.2.1材料參數(shù)、載荷條件及邊界條件設(shè)定在數(shù)值模擬中，準(zhǔn)確設(shè)定材料參數(shù)、載荷條件及邊界條件是確保模擬結(jié)果準(zhǔn)確性和可靠性的關(guān)鍵。本研究選用鋁合金作為圓柱殼和加強(qiáng)筋的材料，其具有密度低、強(qiáng)度高、耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、船舶等領(lǐng)域。鋁合金的彈性模量E=70GPa，泊松比\nu=0.3，密度\rho=2700kg/m^3。這些材料參數(shù)是通過大量的實(shí)驗(yàn)測試和理論分析得到的，能夠準(zhǔn)確反映鋁合金的力學(xué)性能。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件中，鋁合金材料的使用可以在保證結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度的前提下，有效減輕部件重量，提高發(fā)動(dòng)機(jī)的性能和效率。對于載荷條件，考慮圓柱殼在實(shí)際工作中可能承受的多種載荷情況。假設(shè)圓柱殼受到均布壓力p=0.1MPa和簡諧激勵(lì)力F=100sin(2\pift)的作用，其中f=50Hz。均布壓力模擬了圓柱殼在內(nèi)部介質(zhì)壓力或外部流體壓力作用下的受力情況，如在船舶的圓柱殼結(jié)構(gòu)中，海水的壓力會(huì)對圓柱殼產(chǎn)生均布壓力作用；簡諧激勵(lì)力則模擬了圓柱殼在振動(dòng)環(huán)境中受到的周期性激勵(lì)，如在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件中，由于發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，從而對圓柱殼施加簡諧激勵(lì)力。通過合理設(shè)置這些載荷條件，能夠更真實(shí)地模擬圓柱殼在實(shí)際工作中的力學(xué)行為。邊界條件的設(shè)定同樣重要，它直接影響圓柱殼的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。本研究假設(shè)圓柱殼的兩端為簡支邊界條件，即兩端在軸向和徑向可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但軸向和徑向位移受到限制。這種邊界條件在實(shí)際工程中較為常見，如在一些管道支撐結(jié)構(gòu)中，圓柱殼的兩端通常采用簡支方式，以保證管道的穩(wěn)定性和正常運(yùn)行。在數(shù)值模擬中，通過在ABAQUS軟件中定義相應(yīng)的約束條件來準(zhǔn)確模擬這種邊界情況，確保模擬結(jié)果能夠準(zhǔn)確反映圓柱殼在實(shí)際邊界條件下的動(dòng)力學(xué)特性。4.2.2優(yōu)化計(jì)算流程與關(guān)鍵步驟基于ABAQUS軟件平臺(tái)，本研究構(gòu)建的優(yōu)化計(jì)算流程是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)且系統(tǒng)的過程，包含多個(gè)關(guān)鍵步驟，以實(shí)現(xiàn)對圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化。在初始階段，依據(jù)圓柱殼的實(shí)際結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)要求，在ABAQUS中精確創(chuàng)建幾何模型，并進(jìn)行細(xì)致的網(wǎng)格劃分。合理選擇單元類型，確保模型能夠準(zhǔn)確模擬圓柱殼和加強(qiáng)筋的力學(xué)行為。設(shè)定材料屬性，如前文所述的鋁合金材料參數(shù)，以及定義邊界條件和載荷，為后續(xù)的計(jì)算分析奠定基礎(chǔ)。以某航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件為例，在創(chuàng)建幾何模型時(shí)，嚴(yán)格按照部件的實(shí)際尺寸進(jìn)行建模，確保模型的準(zhǔn)確性。在網(wǎng)格劃分時(shí)，根據(jù)部件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和計(jì)算精度要求，在關(guān)鍵部位適當(dāng)加密網(wǎng)格，以提高計(jì)算精度。完成模型建立后，進(jìn)行迭代計(jì)算。在每次迭代中，首先基于SIMP方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的單元靈敏度。靈敏度分析是拓?fù)鋬?yōu)化中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它通過計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量（即單元密度）的導(dǎo)數(shù)，來確定每個(gè)單元對目標(biāo)函數(shù)（如固有頻率最大化）的貢獻(xiàn)程度。在以固有頻率最大化為目標(biāo)的優(yōu)化中，靈敏度分析能夠幫助我們找出哪些單元對提高固有頻率的作用較大，哪些單元的作用較小。對于對固有頻率貢獻(xiàn)較大的單元，在優(yōu)化過程中應(yīng)盡量保留或增加其密度；而對于貢獻(xiàn)較小的單元，則可以考慮降低其密度或移除。通過計(jì)算得到單元靈敏度后，依據(jù)移動(dòng)漸近線法（MMA）對單元密度進(jìn)行更新。MMA方法通過構(gòu)建一系列的近似子問題，逐步逼近最優(yōu)解，能夠有效地處理本研究中復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題。在更新單元密度時(shí)，MMA方法會(huì)根據(jù)當(dāng)前的設(shè)計(jì)點(diǎn)和靈敏度信息，調(diào)整單元密度的取值，使結(jié)構(gòu)朝著更優(yōu)的拓?fù)錁?gòu)型發(fā)展。判斷優(yōu)化是否收斂是迭代計(jì)算過程中的重要步驟。收斂判斷依據(jù)預(yù)先設(shè)定的收斂準(zhǔn)則進(jìn)行，通常采用目標(biāo)函數(shù)的變化率或設(shè)計(jì)變量的變化量作為收斂指標(biāo)。若在連續(xù)若干次迭代中，目標(biāo)函數(shù)的變化率小于某個(gè)設(shè)定的閾值，或者設(shè)計(jì)變量的變化量在允許范圍內(nèi)，即可認(rèn)為優(yōu)化計(jì)算收斂，此時(shí)得到的結(jié)果即為滿足要求的加強(qiáng)筋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在實(shí)際計(jì)算中，收斂準(zhǔn)則的設(shè)定需要綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率。如果收斂閾值設(shè)置過小，雖然可以得到更精確的優(yōu)化結(jié)果，但可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過長；而如果收斂閾值設(shè)置過大，則可能會(huì)使優(yōu)化結(jié)果不夠準(zhǔn)確，無法滿足實(shí)際工程需求。因此，需要根據(jù)具體問題和計(jì)算資源，合理調(diào)整收斂準(zhǔn)則，以平衡計(jì)算精度和效率。整個(gè)優(yōu)化計(jì)算流程通過不斷迭代，逐步調(diào)整單元密度，使圓柱殼結(jié)構(gòu)的加強(qiáng)筋拓?fù)洳季诌_(dá)到最優(yōu)，從而提高圓柱殼的動(dòng)力學(xué)性能，滿足實(shí)際工程應(yīng)用的需求。4.3案例結(jié)果分析與討論4.3.1不同案例下優(yōu)化結(jié)果展示為了深入研究基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化效果，本研究設(shè)置了多個(gè)具有代表性的案例，每個(gè)案例在結(jié)構(gòu)參數(shù)、載荷條件或邊界條件等方面存在差異，以全面展示優(yōu)化方法在不同工況下的性能。案例一：考慮一個(gè)兩端簡支的圓柱殼，半徑R=0.5m，長度L=2m，厚度h=0.02m，材料為鋁合金。在圓柱殼表面均勻分布加強(qiáng)筋設(shè)計(jì)區(qū)域，承受均布壓力p=0.1MPa和簡諧激勵(lì)力F=100sin(2\pift)（f=50Hz）的作用。經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化后，得到的加強(qiáng)筋布局呈現(xiàn)出特定的分布規(guī)律。在圓柱殼的周向和軸向，加強(qiáng)筋主要集中在應(yīng)力較大的區(qū)域，形成了類似網(wǎng)格狀的布局，有效地增強(qiáng)了圓柱殼的剛度。通過模態(tài)分析計(jì)算得到優(yōu)化后的圓柱殼前六階固有頻率分別為f_1=120Hz，f_2=205Hz，f_3=310Hz，f_4=430Hz，f_5=560Hz，f_6=700Hz。與優(yōu)化前相比，各階固有頻率都有顯著提高，例如一階固有頻率從原來的80Hz提升到120Hz，提升幅度達(dá)到50\%。在振動(dòng)響應(yīng)方面，通過對簡諧激勵(lì)力作用下的振動(dòng)響應(yīng)分析，得到圓柱殼表面關(guān)鍵點(diǎn)的最大位移響應(yīng)從優(yōu)化前的0.005m降低到0.003m，降低了40\%，有效地減少了振動(dòng)對結(jié)構(gòu)的影響。案例二：改變圓柱殼的邊界條件為一端固支一端簡支，其他參數(shù)保持不變。優(yōu)化后的加強(qiáng)筋布局發(fā)生了明顯變化，在固支端附近，加強(qiáng)筋分布更為密集，以抵抗更大的約束反力和彎矩。此時(shí)圓柱殼的固有頻率也相應(yīng)改變，前六階固有頻率分別為f_1=150Hz，f_2=240Hz，f_3=360Hz，f_4=490Hz，f_5=630Hz，f_6=780Hz。與案例一相比，各階固有頻率進(jìn)一步提高，這是由于固支邊界條件增加了結(jié)構(gòu)的約束，提高了結(jié)構(gòu)的整體剛度。在相同的簡諧激勵(lì)力作用下，振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)一步降低，關(guān)鍵點(diǎn)的最大位移響應(yīng)降至0.002m，比案例一降低了33.3\%，表明改變邊界條件對圓柱殼的動(dòng)力學(xué)性能有顯著影響，優(yōu)化后的加強(qiáng)筋布局能夠更好地適應(yīng)新的邊界條件，提高結(jié)構(gòu)的抗振能力。案例三：保持兩端簡支的邊界條件，改變載荷工況，在圓柱殼上施加扭矩T=1000N?·m和均布壓力p=0.1MPa。優(yōu)化后的加強(qiáng)筋布局呈現(xiàn)出與前兩個(gè)案例不同的特征，在周向方向上，加強(qiáng)筋的分布更加傾向于抵抗扭矩的作用，形成了螺旋狀的布局。圓柱殼的固有頻率也因載荷的改變而變化，前六階固有頻率分別為f_1=110Hz，f_2=190Hz，f_3=290Hz，f_4=410Hz，f_5=540Hz，f_6=680Hz。在扭矩和均布壓力的共同作用下，振動(dòng)響應(yīng)分析顯示關(guān)鍵點(diǎn)的最大位移響應(yīng)為0.0035m，介于案例一和案例二之間。這說明不同的載荷工況對圓柱殼的動(dòng)力學(xué)性能和加強(qiáng)筋布局有重要影響，通過拓?fù)鋬?yōu)化能夠得到適應(yīng)不同載荷工況的最優(yōu)加強(qiáng)筋布局，提高圓柱殼在復(fù)雜載荷下的動(dòng)力學(xué)性能。通過對以上多個(gè)案例的優(yōu)化結(jié)果展示，可以清晰地看到基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化能夠根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件和載荷工況，得到合理的加強(qiáng)筋布局，有效地提高圓柱殼的固有頻率，降低振動(dòng)響應(yīng)，提升結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。4.3.2結(jié)果對比與性能評估為了全面評估基于SIMP方法的圓柱殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的效果，將優(yōu)化前后的圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行詳細(xì)對比分析。在固有頻率方面，以案例一為例，優(yōu)化前圓柱殼的一階固有頻率為80Hz，經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化后提升至120Hz，提升幅度達(dá)到50\%。二階固有頻率從150Hz提高到205Hz，提升了36.7\%。其他各階固有頻率也都有顯著提升，這表明通過優(yōu)化加強(qiáng)筋的布局，有效地增加了圓柱殼的剛度，從而提高了其固有頻率。從物理原理上分析，加強(qiáng)筋在應(yīng)力較大的區(qū)域集中分布，增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的承載能力和抵抗變形的能力，使得結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)的慣性力和彈性力的平衡狀態(tài)發(fā)生改變，固有頻率相應(yīng)提高。在實(shí)際工程應(yīng)用中，提高固有頻率可以有效避免圓柱殼在工作過程中與外界激勵(lì)產(chǎn)生共振，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性，如在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼部件中，提高固有頻率可以減少因共振導(dǎo)致的部件損壞風(fēng)險(xiǎn)，保障發(fā)動(dòng)機(jī)的正常運(yùn)行。在振動(dòng)響應(yīng)方面，同樣以案例一為例，優(yōu)化前在簡諧激勵(lì)力作用下，圓柱殼表面關(guān)鍵點(diǎn)的最大位移響應(yīng)為0.005m，優(yōu)化后降低至0.003m，降低了40\%。這說明優(yōu)化后的加強(qiáng)筋布局有效地抑制了圓柱殼的振動(dòng)，減少了振動(dòng)對結(jié)構(gòu)的影響。振動(dòng)響應(yīng)的降低不僅可以提高結(jié)構(gòu)的安全性，還可以減少因振動(dòng)產(chǎn)生的噪聲和疲勞損傷，延長結(jié)構(gòu)的使用壽命。在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的圓柱殼結(jié)構(gòu)中，降低振動(dòng)響應(yīng)可以提高發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率和舒適性，減少因振動(dòng)導(dǎo)致的零部件磨損和故障。通過對比還發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的圓柱殼在不同工況下的適應(yīng)性更強(qiáng)。在案例二和案例三中，改變邊界條件和載荷工況后，優(yōu)化后的圓柱殼依然能夠保持較好的動(dòng)力學(xué)性能，固有頻率和振動(dòng)響應(yīng)都在合理范圍內(nèi)。這表明基于SIMP方法的拓?fù)鋬?yōu)化能夠根據(jù)不同的工況自動(dòng)調(diào)整加強(qiáng)筋布局，使圓柱殼結(jié)構(gòu)在各種復(fù)雜條件下都能滿足工程需求。為了更直觀地評估優(yōu)化效果，引入性能指標(biāo)提升率的概念，計(jì)算公式為：\text{??§è??????

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