基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式構(gòu)建與應(yīng)用研究一、引言1.1研究背景與意義在科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域，多相流模擬一直是一個(gè)核心且具有挑戰(zhàn)性的課題，其廣泛應(yīng)用于材料科學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、環(huán)境科學(xué)等眾多領(lǐng)域。例如在材料科學(xué)中，多相流模擬可用于研究合金凝固過(guò)程中的相分離現(xiàn)象，從而優(yōu)化材料性能；在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，能幫助理解血液在血管中的流動(dòng)特性，為心血管疾病的診斷和治療提供理論支持；在環(huán)境科學(xué)方面，可用于模擬污染物在水體或大氣中的擴(kuò)散與遷移，助力環(huán)境治理。含F(xiàn)lory-Huggins勢(shì)的Cahn-Hilliard-Hele-Shaw（CHHS）系統(tǒng)作為描述多相共存系統(tǒng)中相分離過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型，因其能精確刻畫不同相之間的相互作用以及相界面的演化，受到了研究者們的廣泛關(guān)注。該系統(tǒng)綜合了Flory-Huggins勢(shì)對(duì)混合體系中混合焓和混合熵的描述，以及Cahn-Hilliard模型對(duì)相分離過(guò)程的經(jīng)典刻畫和Hele-Shaw模型對(duì)多相共存系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)的模擬，在描述多相共存系統(tǒng)的相分離過(guò)程時(shí)展現(xiàn)出了極高的準(zhǔn)確性。然而，由于CHHS系統(tǒng)本身的復(fù)雜性和強(qiáng)非線性，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬面臨諸多困難。傳統(tǒng)的數(shù)值方法在處理該系統(tǒng)時(shí)，往往難以同時(shí)保證計(jì)算的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和高效性。例如，一些方法可能在穩(wěn)定性方面存在缺陷，導(dǎo)致數(shù)值解在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)不穩(wěn)定的振蕩甚至發(fā)散；另一些方法雖然能保證一定的穩(wěn)定性，但計(jì)算精度有限，無(wú)法準(zhǔn)確捕捉相界面的細(xì)微變化和復(fù)雜的相分離動(dòng)態(tài)；還有部分方法計(jì)算效率低下，難以滿足大規(guī)模計(jì)算和實(shí)際工程應(yīng)用的需求。近年來(lái)，一種基于SAV（ScalarAuxiliaryVariable）方法的數(shù)值策略逐漸嶄露頭角，并在處理復(fù)雜非線性系統(tǒng)的數(shù)值模擬中展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。SAV方法通過(guò)引入標(biāo)量輔助變量，巧妙地對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行變換和離散，從而有效地解決了傳統(tǒng)方法在處理復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)所面臨的諸多問(wèn)題。它能夠在保證數(shù)值解穩(wěn)定性的前提下，顯著提高計(jì)算精度和效率，為解決CHHS系統(tǒng)的數(shù)值模擬難題提供了新的思路和途徑。對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)，其邊界條件隨時(shí)間不斷變化，這進(jìn)一步增加了數(shù)值模擬的復(fù)雜性。動(dòng)態(tài)邊界條件的存在使得系統(tǒng)的求解不僅需要考慮內(nèi)部區(qū)域的物理過(guò)程，還需精確處理邊界上的物理量變化和相互作用。在許多實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，如材料的表面生長(zhǎng)過(guò)程、生物膜的動(dòng)態(tài)演化等，系統(tǒng)的邊界并非固定不變，而是呈現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性。因此，研究基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式，具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。從理論層面來(lái)看，這一研究有助于深入理解復(fù)雜多相流系統(tǒng)的數(shù)學(xué)物理本質(zhì)，豐富和完善偏微分方程數(shù)值解的理論體系。通過(guò)構(gòu)建高效穩(wěn)定的數(shù)值格式，能夠?yàn)槔碚摲治鎏峁└訙?zhǔn)確的數(shù)值實(shí)驗(yàn)依據(jù)，推動(dòng)相關(guān)理論的進(jìn)一步發(fā)展。在實(shí)際應(yīng)用中，精確的數(shù)值模擬結(jié)果可以為材料設(shè)計(jì)、生物醫(yī)學(xué)工程、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域的工程技術(shù)人員提供有力的決策支持。例如，在材料設(shè)計(jì)中，幫助工程師優(yōu)化材料的微觀結(jié)構(gòu)，提高材料性能；在生物醫(yī)學(xué)工程中，為疾病的診斷和治療提供更精準(zhǔn)的理論指導(dǎo)；在環(huán)境科學(xué)中，更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)污染物的擴(kuò)散和遷移，制定更有效的環(huán)境保護(hù)策略。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在SAV方法的研究方面，近年來(lái)取得了顯著進(jìn)展。SAV方法最初由科研人員在研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)的數(shù)值求解時(shí)提出，旨在解決傳統(tǒng)數(shù)值方法在處理強(qiáng)非線性項(xiàng)時(shí)遇到的穩(wěn)定性和計(jì)算效率問(wèn)題。其核心思想是通過(guò)引入標(biāo)量輔助變量，對(duì)原方程進(jìn)行巧妙的變換和離散，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程并提高數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。相關(guān)學(xué)者將SAV方法應(yīng)用于梯度流系統(tǒng)，成功設(shè)計(jì)出高效的能量守恒算法，為該方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。后續(xù)研究進(jìn)一步將SAV方法推廣到Cahn-HilliardNavier-Stokes兩相流系統(tǒng)中，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)中復(fù)雜的相界面運(yùn)動(dòng)和流體動(dòng)力學(xué)相互作用進(jìn)行精確模擬，展示了SAV方法在多相流模擬領(lǐng)域的強(qiáng)大潛力。此外，針對(duì)一般的耗散系統(tǒng)，研究者們也在積極探索構(gòu)造高階SAV方法的途徑，并將其應(yīng)用于Navier-Stokes方程以及保正和保界的研究中，為解決流體力學(xué)和材料科學(xué)等領(lǐng)域的復(fù)雜問(wèn)題提供了新的工具。對(duì)于CHHS系統(tǒng)的研究，一直是多相流領(lǐng)域的熱點(diǎn)。CHHS系統(tǒng)由于其在描述多相共存系統(tǒng)中相分離過(guò)程的重要性，吸引了眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。早期研究主要集中在對(duì)系統(tǒng)的理論分析，包括推導(dǎo)系統(tǒng)的基本方程、研究系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)和相平衡條件等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬逐漸成為研究CHHS系統(tǒng)的重要手段?？蒲腥藛T先后采用有限差分法、有限元法等數(shù)值方法對(duì)CHHS系統(tǒng)進(jìn)行求解，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)深入研究了系統(tǒng)中相分離的動(dòng)態(tài)過(guò)程、相界面的演化規(guī)律以及不同參數(shù)對(duì)相分離過(guò)程的影響。一些學(xué)者通過(guò)數(shù)值模擬研究了Flory-Huggins勢(shì)參數(shù)對(duì)相分離形態(tài)和動(dòng)力學(xué)的影響，發(fā)現(xiàn)該參數(shù)能夠顯著改變相分離的進(jìn)程和最終的相結(jié)構(gòu)。然而，由于CHHS系統(tǒng)的強(qiáng)非線性和復(fù)雜的邊界條件，傳統(tǒng)數(shù)值方法在處理該系統(tǒng)時(shí)仍存在諸多挑戰(zhàn)，如計(jì)算效率低、數(shù)值穩(wěn)定性差等問(wèn)題，限制了對(duì)該系統(tǒng)的深入研究和實(shí)際應(yīng)用。在有限元格式的研究方面，作為一種廣泛應(yīng)用于求解偏微分方程的數(shù)值方法，有限元法在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在多相流模擬領(lǐng)域，有限元格式被用于離散多相流控制方程，以實(shí)現(xiàn)對(duì)多相流現(xiàn)象的數(shù)值模擬。針對(duì)不同的多相流模型和問(wèn)題，研究者們提出了多種有限元格式，如基于伽遼金法的有限元格式、混合有限元格式等。這些格式在處理多相流問(wèn)題時(shí)，能夠在保證一定精度的前提下，較好地滿足質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒等物理守恒定律。然而，對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的多相流系統(tǒng)，現(xiàn)有的有限元格式在處理動(dòng)態(tài)邊界條件時(shí)還存在一些不足，如邊界條件的處理不夠精確、計(jì)算過(guò)程中容易出現(xiàn)數(shù)值振蕩等問(wèn)題，需要進(jìn)一步改進(jìn)和完善。盡管在SAV方法、CHHS系統(tǒng)及有限元格式的研究方面都取得了一定的成果，但目前仍存在一些研究空白。例如，將SAV方法與具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)相結(jié)合的研究還相對(duì)較少，如何構(gòu)建高效、穩(wěn)定且準(zhǔn)確的基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式，尚未得到系統(tǒng)深入的研究。此外，對(duì)于該格式在復(fù)雜實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中的適應(yīng)性和有效性，也缺乏充分的驗(yàn)證和分析。在處理動(dòng)態(tài)邊界條件時(shí)，如何進(jìn)一步提高有限元格式的精度和穩(wěn)定性，減少數(shù)值誤差和振蕩，也是亟待解決的問(wèn)題。填補(bǔ)這些研究空白，將有助于推動(dòng)多相流模擬技術(shù)的發(fā)展，為相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究和工程應(yīng)用提供更有力的支持。1.3研究目標(biāo)與內(nèi)容本研究旨在構(gòu)建基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式，并對(duì)其穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行深入分析，通過(guò)具體的應(yīng)用案例驗(yàn)證該格式的有效性和實(shí)用性。具體研究?jī)?nèi)容如下：構(gòu)建有限元格式：基于SAV方法對(duì)具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理。通過(guò)引入標(biāo)量輔助變量，將原系統(tǒng)中的復(fù)雜非線性項(xiàng)進(jìn)行合理變換，降低計(jì)算難度。利用有限元法的基本原理，將系統(tǒng)的求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，在每個(gè)單元上構(gòu)造合適的插值函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)中的偏微分方程進(jìn)行離散逼近。在處理動(dòng)態(tài)邊界條件時(shí)，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法，確保邊界條件能夠準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的物理特性，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的精確數(shù)值求解。穩(wěn)定性和收斂性分析：對(duì)構(gòu)建的有限元格式進(jìn)行嚴(yán)格的穩(wěn)定性分析，通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，確定格式在不同條件下的穩(wěn)定性條件。利用能量方法、離散傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具，證明格式在一定時(shí)間步長(zhǎng)和空間網(wǎng)格尺寸下，數(shù)值解不會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的振蕩或發(fā)散現(xiàn)象。開(kāi)展收斂性分析，研究格式的數(shù)值解隨著網(wǎng)格細(xì)化和時(shí)間步長(zhǎng)減小，是否能夠收斂到精確解。通過(guò)計(jì)算收斂階，評(píng)估格式的收斂速度，為實(shí)際計(jì)算提供理論依據(jù)，確保數(shù)值計(jì)算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。應(yīng)用驗(yàn)證：將構(gòu)建的有限元格式應(yīng)用于實(shí)際的多相流問(wèn)題中，通過(guò)數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果或已有的理論解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證格式的有效性和準(zhǔn)確性。例如，在材料科學(xué)領(lǐng)域，模擬合金凝固過(guò)程中的相分離現(xiàn)象，研究不同工藝參數(shù)對(duì)合金微觀結(jié)構(gòu)形成的影響；在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，模擬生物膜的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程，分析生物膜生長(zhǎng)和變形的機(jī)制。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用，進(jìn)一步優(yōu)化和完善有限元格式，提高其在復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題中的適用性和計(jì)算效率。1.4研究方法與技術(shù)路線本研究綜合運(yùn)用理論分析、數(shù)值模擬和案例驗(yàn)證等多種研究方法，深入開(kāi)展基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式研究。理論分析方面，對(duì)具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行深入剖析。運(yùn)用變分原理，將系統(tǒng)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為變分形式，為有限元離散化提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)變分形式的分析，推導(dǎo)系統(tǒng)的弱解存在性和唯一性條件，從理論層面確保數(shù)值求解的可行性。在穩(wěn)定性和收斂性分析中，采用能量方法，構(gòu)建與有限元格式相關(guān)的能量泛函，通過(guò)證明能量泛函在數(shù)值求解過(guò)程中的單調(diào)性和有界性，確定格式的穩(wěn)定性條件。利用離散傅里葉分析方法，對(duì)數(shù)值格式進(jìn)行頻域分析，研究不同頻率分量在數(shù)值計(jì)算中的傳播特性，進(jìn)一步驗(yàn)證格式的穩(wěn)定性，并計(jì)算格式的收斂階，評(píng)估其收斂速度。數(shù)值模擬上，基于所構(gòu)建的有限元格式，利用專業(yè)的數(shù)值計(jì)算軟件平臺(tái)，如COMSOLMultiphysics、ABAQUS等，開(kāi)發(fā)相應(yīng)的數(shù)值模擬程序。在軟件平臺(tái)中，根據(jù)有限元格式的要求，精確設(shè)置單元類型、插值函數(shù)、邊界條件和求解器參數(shù)等。針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景和參數(shù)設(shè)置，進(jìn)行大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。通過(guò)改變時(shí)間步長(zhǎng)、空間網(wǎng)格尺寸、材料參數(shù)和邊界條件等因素，觀察數(shù)值解的變化情況，分析有限元格式在不同條件下的性能表現(xiàn)，包括計(jì)算精度、計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性等。利用數(shù)值模擬結(jié)果，繪制相分離過(guò)程的動(dòng)態(tài)演化圖、相界面的形態(tài)變化圖以及物理量的時(shí)空分布云圖等，直觀展示多相流系統(tǒng)的復(fù)雜物理現(xiàn)象。案例驗(yàn)證環(huán)節(jié)，將數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。在材料科學(xué)領(lǐng)域，與合金凝固實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，獲取實(shí)驗(yàn)中合金相分離的微觀結(jié)構(gòu)圖像和相關(guān)物理參數(shù)，將其與數(shù)值模擬得到的相分離形態(tài)和演化過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，參考生物膜生長(zhǎng)和變形的實(shí)驗(yàn)研究，對(duì)比數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)中生物膜的動(dòng)態(tài)變化特征，評(píng)估有限元格式在實(shí)際應(yīng)用中的準(zhǔn)確性和可靠性。若數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在偏差，深入分析偏差產(chǎn)生的原因，可能包括模型簡(jiǎn)化、參數(shù)選取不合理、數(shù)值誤差等，針對(duì)這些原因?qū)τ邢拊袷竭M(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)，提高其模擬精度。技術(shù)路線上，首先對(duì)具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)進(jìn)行深入的理論研究，明確系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和物理特性，為后續(xù)的數(shù)值模擬和格式構(gòu)建提供理論依據(jù)?；赟AV方法和有限元法的基本原理，構(gòu)建適用于該系統(tǒng)的有限元格式，并對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的穩(wěn)定性和收斂性分析。利用數(shù)值計(jì)算軟件實(shí)現(xiàn)有限元格式的編程和求解，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)研究格式的性能表現(xiàn)。將數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)際案例相結(jié)合，進(jìn)行驗(yàn)證和分析，根據(jù)驗(yàn)證結(jié)果對(duì)有限元格式進(jìn)行優(yōu)化和完善。具體技術(shù)路線流程如圖1.1所示。[此處插入技術(shù)路線圖，圖中清晰展示從理論分析到數(shù)值模擬再到案例驗(yàn)證以及優(yōu)化完善的各個(gè)步驟和相互關(guān)系]通過(guò)以上研究方法和技術(shù)路線的有機(jī)結(jié)合，本研究有望成功構(gòu)建基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式，并為多相流模擬領(lǐng)域提供新的理論和技術(shù)支持。二、理論基礎(chǔ)2.1SAV方法原理SAV方法作為一種在復(fù)雜非線性系統(tǒng)數(shù)值求解中極具創(chuàng)新性的策略，其核心思想在于巧妙地引入標(biāo)量輔助變量，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)的有效變換與離散。這一過(guò)程極大地簡(jiǎn)化了復(fù)雜系統(tǒng)的求解難度，同時(shí)顯著提升了數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。以一般的非線性偏微分方程系統(tǒng)\frac{\partialu}{\partialt}=F(u,\nablau,\nabla^2u,\cdots)為例，其中u為待求解的未知函數(shù)，F(xiàn)表示關(guān)于u及其各階導(dǎo)數(shù)的非線性函數(shù)。為了運(yùn)用SAV方法，引入一個(gè)標(biāo)量輔助變量\xi。這個(gè)輔助變量\xi通常與原系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)存在緊密聯(lián)系，通過(guò)特定的構(gòu)造方式，使得原方程能夠被轉(zhuǎn)化為一個(gè)包含u和\xi的新系統(tǒng)。例如，在一些情況下，\xi可以被定義為與原方程中能量泛函相關(guān)的量，或者是對(duì)原方程中某些關(guān)鍵非線性項(xiàng)的一種重新表述。通過(guò)引入\xi，原方程被改寫為：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}=G(u,\xi,\nablau,\nabla^2u,\cdots)\\\frac{\partial\xi}{\partialt}=H(u,\xi,\nablau,\nabla^2u,\cdots)\end{cases}其中G和H是基于原方程F以及引入的輔助變量\xi重新構(gòu)建的函數(shù)。這種形式的轉(zhuǎn)變，雖然從表面上看增加了方程的數(shù)量，但實(shí)際上卻為數(shù)值求解帶來(lái)了諸多便利。在離散化過(guò)程中，新系統(tǒng)中的方程往往具有更簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)和更低的非線性程度，使得傳統(tǒng)的數(shù)值方法，如有限差分法、有限元法等，能夠更有效地應(yīng)用。在處理含F(xiàn)lory-Huggins勢(shì)的Cahn-Hilliard-Hele-Shaw（CHHS）系統(tǒng)時(shí)，SAV方法的優(yōu)勢(shì)得到了充分體現(xiàn)。CHHS系統(tǒng)的能量泛函E(u)包含了復(fù)雜的非線性項(xiàng)，其一般形式為E(u)=\int_{\Omega}\left(\frac{\epsilon}{2}|\nablau|^{2}+\frac{1}{\epsilon}f(u)\right)d\Omega，其中\(zhòng)epsilon為與界面厚度相關(guān)的參數(shù)，f(u)為Flory-Huggins自由能密度函數(shù)，它描述了不同相之間的相互作用，通常具有高度的非線性。在傳統(tǒng)的數(shù)值處理中，直接對(duì)這樣復(fù)雜的能量泛函進(jìn)行離散化和求解，面臨著巨大的挑戰(zhàn)，容易導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定和計(jì)算精度低下的問(wèn)題。而SAV方法通過(guò)引入輔助變量\xi，對(duì)能量泛函進(jìn)行巧妙的變換。將\xi定義為與f(u)相關(guān)的量，使得原能量泛函可以表示為關(guān)于u和\xi的更易于處理的形式。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)合理的數(shù)學(xué)變換，將原能量泛函中的強(qiáng)非線性項(xiàng)進(jìn)行分離和重組，使得在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，能夠更精確地處理這些非線性項(xiàng)，從而有效地提高了數(shù)值解的穩(wěn)定性和精度。這種處理方式不僅使得CHHS系統(tǒng)的數(shù)值求解變得更加可行，而且為深入研究多相共存系統(tǒng)中的相分離過(guò)程提供了更強(qiáng)大的工具。2.2CHHS系統(tǒng)特性含F(xiàn)lory-Huggins勢(shì)的Cahn-Hilliard-Hele-Shaw（CHHS）系統(tǒng)在描述多相共存系統(tǒng)的相分離過(guò)程中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，其基本方程蘊(yùn)含著豐富的物理內(nèi)涵和獨(dú)特的數(shù)學(xué)特性。CHHS系統(tǒng)的基本方程通常由Cahn-Hilliard方程和Hele-Shaw方程耦合而成。Cahn-Hilliard方程主要描述相分離過(guò)程中序參量的變化，其一般形式為\frac{\partialu}{\partialt}=-\nabla\cdotM\nabla\mu，其中u為序參量，表示不同相的濃度或成分差異，M為遷移率，描述了物質(zhì)的擴(kuò)散能力，\mu為化學(xué)勢(shì)，它是驅(qū)動(dòng)相分離過(guò)程的關(guān)鍵因素。化學(xué)勢(shì)\mu的表達(dá)式為\mu=\frac{\deltaE}{\deltau}，其中E為系統(tǒng)的能量泛函，包含了Flory-Huggins勢(shì)項(xiàng)和梯度項(xiàng)。Flory-Huggins勢(shì)項(xiàng)\frac{1}{\epsilon}f(u)描述了不同相之間的相互作用，其中f(u)是關(guān)于序參量u的非線性函數(shù)，它反映了混合體系中的混合焓和混合熵，對(duì)相分離的熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力有著重要影響。梯度項(xiàng)\frac{\epsilon}{2}|\nablau|^{2}則刻畫了相界面的能量，\epsilon為與界面厚度相關(guān)的參數(shù)，它決定了相界面的陡峭程度和擴(kuò)散特性。Hele-Shaw方程用于描述多相共存系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)和流體流動(dòng)特性，在CHHS系統(tǒng)中，它與Cahn-Hilliard方程相互耦合，共同影響著相分離的動(dòng)態(tài)過(guò)程。Hele-Shaw方程通常涉及壓力、速度等物理量，其具體形式會(huì)根據(jù)系統(tǒng)的具體情況和假設(shè)條件而有所不同。例如，在一些簡(jiǎn)化模型中，Hele-Shaw方程可以表示為\nabla^{2}p=\frac{\partialu}{\partialt}，其中p為壓力，它與序參量u的變化率相關(guān)，反映了流體流動(dòng)與相分離之間的相互作用。CHHS系統(tǒng)在描述相分離等過(guò)程時(shí)具有顯著特點(diǎn)。該系統(tǒng)能夠精確捕捉相分離過(guò)程中相界面的動(dòng)態(tài)演化。隨著時(shí)間的推移，序參量u的變化會(huì)導(dǎo)致相界面的移動(dòng)、變形和合并，CHHS系統(tǒng)通過(guò)其基本方程能夠準(zhǔn)確地描述這些復(fù)雜的界面行為。在材料凝固過(guò)程中，相界面的演化決定了材料的微觀結(jié)構(gòu)和性能，CHHS系統(tǒng)可以為研究這一過(guò)程提供詳細(xì)的數(shù)值模擬結(jié)果，幫助工程師優(yōu)化材料的制備工藝。CHHS系統(tǒng)考慮了不同相之間的相互作用以及物質(zhì)的擴(kuò)散傳輸。Flory-Huggins勢(shì)項(xiàng)對(duì)混合體系中混合焓和混合熵的描述，使得系統(tǒng)能夠反映不同相之間的親和性和排斥性，從而準(zhǔn)確地模擬相分離的熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力。遷移率M的存在則體現(xiàn)了物質(zhì)在相分離過(guò)程中的擴(kuò)散特性，它決定了相分離的速度和進(jìn)程。在生物膜的形成過(guò)程中，不同生物分子之間的相互作用以及它們?cè)谌芤褐械臄U(kuò)散傳輸對(duì)生物膜的結(jié)構(gòu)和功能有著重要影響，CHHS系統(tǒng)可以用于深入研究這一過(guò)程，為生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的研究提供理論支持。CHHS系統(tǒng)還能夠處理多相共存的復(fù)雜情況。在實(shí)際應(yīng)用中，常常存在多種相同時(shí)存在的情況，CHHS系統(tǒng)通過(guò)其耦合的方程能夠有效地描述不同相之間的相互作用和競(jìng)爭(zhēng)，以及它們?cè)诳臻g和時(shí)間上的分布變化。在石油開(kāi)采中，油、水、氣等多相流體在地下儲(chǔ)層中的流動(dòng)和分布是一個(gè)復(fù)雜的多相共存問(wèn)題，CHHS系統(tǒng)可以為模擬這一過(guò)程提供有力的工具，幫助石油工程師提高采收率。2.3有限元格式基礎(chǔ)有限元法作為一種廣泛應(yīng)用于求解偏微分方程的數(shù)值方法，其基本原理基于變分原理和加權(quán)余量法。在處理復(fù)雜的多相流問(wèn)題，如具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)時(shí)，有限元法展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠?qū)?fù)雜的連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的數(shù)值問(wèn)題進(jìn)行求解。有限元法的第一步是對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行離散化處理，即將連續(xù)的求解區(qū)域劃分為有限個(gè)互不重疊的小單元。這些單元的形狀和大小可以根據(jù)問(wèn)題的幾何形狀和精度要求進(jìn)行靈活選擇，常見(jiàn)的單元形狀有三角形、四邊形、四面體、六面體等。在對(duì)具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)進(jìn)行離散化時(shí)，需要特別注意邊界區(qū)域的單元?jiǎng)澐郑詼?zhǔn)確捕捉邊界上的物理量變化和相互作用。對(duì)于邊界隨時(shí)間變化的情況，可能需要采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)，隨著邊界的移動(dòng)動(dòng)態(tài)調(diào)整網(wǎng)格的分布，確保邊界條件的精確處理。在每個(gè)單元上，選取合適的形函數(shù)（也稱為基函數(shù)或試探函數(shù)）來(lái)近似表示未知函數(shù)。形函數(shù)是關(guān)于空間坐標(biāo)的多項(xiàng)式函數(shù)，它具有局部支撐性，即在某個(gè)單元內(nèi)非零，在其他單元上為零。通過(guò)形函數(shù)，可以將單元內(nèi)的未知函數(shù)表示為形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)值的線性組合。對(duì)于二維問(wèn)題，若單元內(nèi)的未知函數(shù)為u(x,y)，節(jié)點(diǎn)值為u_i（i=1,2,\cdots,n，n為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)），形函數(shù)為N_i(x,y)，則u(x,y)\approx\sum_{i=1}^{n}N_i(x,y)u_i。形函數(shù)的選取直接影響有限元格式的精度和計(jì)算效率，常見(jiàn)的形函數(shù)有線性形函數(shù)、二次形函數(shù)等。在處理CHHS系統(tǒng)時(shí)，由于系統(tǒng)中包含非線性項(xiàng)和高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，通常需要選擇具有較高精度的形函數(shù)，以保證對(duì)復(fù)雜物理現(xiàn)象的準(zhǔn)確描述?；谧兎衷?，將原偏微分方程轉(zhuǎn)化為等效的積分形式。對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)，其變分形式不僅涉及區(qū)域內(nèi)的積分，還包括對(duì)動(dòng)態(tài)邊界的積分。通過(guò)在每個(gè)單元上應(yīng)用變分原理，將單元內(nèi)的積分方程進(jìn)行離散化，得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的代數(shù)方程組。以Cahn-Hilliard方程\frac{\partialu}{\partialt}=-\nabla\cdotM\nabla\mu為例，其變分形式為\int_{\Omega}\frac{\partialu}{\partialt}vd\Omega+\int_{\Omega}M\nabla\mu\cdot\nablavd\Omega=0，其中v為測(cè)試函數(shù)，\Omega為求解區(qū)域。將求解區(qū)域離散為有限個(gè)單元后，上式可在每個(gè)單元上進(jìn)行離散化，得到\sum_{e=1}^{N}\int_{\Omega_e}\frac{\partialu^e}{\partialt}v^ed\Omega_e+\sum_{e=1}^{N}\int_{\Omega_e}M^e\nabla\mu^e\cdot\nablav^ed\Omega_e=0，其中N為單元總數(shù)，u^e、v^e、M^e、\mu^e分別為單元e上的未知函數(shù)、測(cè)試函數(shù)、遷移率和化學(xué)勢(shì)。再利用形函數(shù)將單元內(nèi)的未知函數(shù)和測(cè)試函數(shù)用節(jié)點(diǎn)值表示，經(jīng)過(guò)一系列數(shù)學(xué)推導(dǎo)，最終得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的代數(shù)方程組。在建立有限元方程時(shí)，還需要考慮邊界條件的處理。對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)，邊界條件通常包括Dirichlet邊界條件、Neumann邊界條件等，且邊界條件隨時(shí)間變化。在離散化過(guò)程中，需要將動(dòng)態(tài)邊界條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值約束或邊界積分項(xiàng)，融入到有限元方程中。若在動(dòng)態(tài)邊界上給定Dirichlet邊界條件u=\bar{u}(t)，其中\(zhòng)bar{u}(t)是隨時(shí)間變化的已知函數(shù)，則在有限元方程中，與邊界節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的未知量將被賦值為\bar{u}(t)。若給定Neumann邊界條件M\frac{\partial\mu}{\partialn}=\bar{q}(t)，其中\(zhòng)bar{q}(t)是隨時(shí)間變化的邊界通量，n為邊界外法線方向，則需要將其轉(zhuǎn)化為邊界積分項(xiàng)，添加到有限元方程中。通過(guò)合理處理邊界條件，確保有限元格式能夠準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的物理特性。三、基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式構(gòu)建3.1系統(tǒng)方程離散化對(duì)具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)進(jìn)行有限元格式構(gòu)建，首先需對(duì)其系統(tǒng)方程進(jìn)行離散化處理，包括空間離散和時(shí)間離散兩個(gè)關(guān)鍵步驟。在空間離散方面，采用有限元法將求解區(qū)域\Omega劃分為有限個(gè)互不重疊的單元\Omega_e（e=1,2,\cdots,N，N為單元總數(shù)）。以二維問(wèn)題為例，可選用三角形單元或四邊形單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀和動(dòng)態(tài)邊界，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格能更好地適應(yīng)邊界的變化，提高離散精度。在每個(gè)單元\Omega_e上，選取合適的形函數(shù)N_i(x,y)（i=1,2,\cdots,n，n為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)）來(lái)近似表示未知函數(shù)。對(duì)于序參量u，在單元\Omega_e上可表示為u^e(x,y,t)\approx\sum_{i=1}^{n}N_i(x,y)u_i(t)，其中u_i(t)為節(jié)點(diǎn)i在時(shí)刻t的序參量值。同樣，對(duì)于化學(xué)勢(shì)\mu，在單元\Omega_e上可近似表示為\mu^e(x,y,t)\approx\sum_{i=1}^{n}N_i(x,y)\mu_i(t)。通過(guò)這種方式，將連續(xù)的空間變量離散為有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上的未知量，把偏微分方程在空間上的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)這些節(jié)點(diǎn)未知量的求解。時(shí)間離散則是將時(shí)間域[0,T]劃分為一系列離散的時(shí)間步t_n（n=0,1,2,\cdots,M，M為時(shí)間步數(shù)，t_n=n\Deltat，\Deltat為時(shí)間步長(zhǎng)）。采用時(shí)間推進(jìn)的方法，從初始時(shí)刻t_0開(kāi)始，逐步求解每個(gè)時(shí)間步的數(shù)值解。常見(jiàn)的時(shí)間離散方法有顯式方法和隱式方法。顯式方法計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高，但時(shí)間步長(zhǎng)受到穩(wěn)定性條件的限制，通常要求時(shí)間步長(zhǎng)較小，以保證數(shù)值解的穩(wěn)定性。向前歐拉法就是一種顯式時(shí)間離散方法，對(duì)于CHHS系統(tǒng)中的Cahn-Hilliard方程\frac{\partialu}{\partialt}=-\nabla\cdotM\nabla\mu，在時(shí)間步n到n+1的離散形式為\frac{u^{n+1}-u^{n}}{\Deltat}=-\nabla\cdotM\nabla\mu^{n}，其中u^{n}和\mu^{n}分別為t_n時(shí)刻的序參量和化學(xué)勢(shì)。隱式方法雖然計(jì)算復(fù)雜度較高，需要求解非線性方程組，但時(shí)間步長(zhǎng)的選擇相對(duì)較為靈活，數(shù)值穩(wěn)定性好。向后歐拉法是一種隱式時(shí)間離散方法，其離散形式為\frac{u^{n+1}-u^{n}}{\Deltat}=-\nabla\cdotM\nabla\mu^{n+1}。在實(shí)際應(yīng)用中，為了兼顧計(jì)算效率和穩(wěn)定性，也常采用一些半隱式或混合的時(shí)間離散方法?？颂m克-尼科爾森（Crank-Nicolson）方法就是一種半隱式方法，它對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)采用隱式離散，對(duì)其他項(xiàng)采用顯式離散，在一定程度上平衡了計(jì)算效率和穩(wěn)定性，對(duì)于Cahn-Hilliard方程，其離散形式為\frac{u^{n+1}-u^{n}}{\Deltat}=-\frac{1}{2}\nabla\cdotM\nabla(\mu^{n+1}+\mu^{n})。通過(guò)上述空間和時(shí)間離散化處理，將具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點(diǎn)未知量u_i(t_n)和\mu_i(t_n)的代數(shù)方程組，為后續(xù)基于SAV方法構(gòu)建有限元格式奠定基礎(chǔ)。在離散化過(guò)程中，需要合理選擇空間網(wǎng)格尺寸和時(shí)間步長(zhǎng)，以保證離散精度和數(shù)值穩(wěn)定性。網(wǎng)格尺寸過(guò)小會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大幅增加，計(jì)算效率降低；而網(wǎng)格尺寸過(guò)大則會(huì)影響數(shù)值解的精度，無(wú)法準(zhǔn)確捕捉系統(tǒng)的物理特性。同樣，時(shí)間步長(zhǎng)的選擇也需要在計(jì)算效率和穩(wěn)定性之間進(jìn)行權(quán)衡。通過(guò)理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，可以確定合適的網(wǎng)格尺寸和時(shí)間步長(zhǎng)范圍，確保離散化后的系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確反映原CHHS系統(tǒng)的物理行為。3.2動(dòng)態(tài)邊界條件處理對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)邊界條件在數(shù)學(xué)上有著精確的表達(dá)，且在有限元格式中需要特殊處理以確保數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。假設(shè)動(dòng)態(tài)邊界\Gamma(t)為求解區(qū)域\Omega(t)的邊界，隨時(shí)間t不斷變化。在動(dòng)態(tài)邊界\Gamma(t)上，通常存在多種類型的邊界條件，如Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件。Dirichlet邊界條件給定了序參量u在邊界上的值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為u|_{\Gamma(t)}=\bar{u}(t)，其中\(zhòng)bar{u}(t)是隨時(shí)間變化的已知函數(shù)，表示邊界上序參量的規(guī)定值。在生物膜生長(zhǎng)的模擬中，若已知生物膜邊界上的物質(zhì)濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律，就可以通過(guò)Dirichlet邊界條件來(lái)準(zhǔn)確描述。Neumann邊界條件則給定了化學(xué)勢(shì)\mu在邊界法向方向上的通量，數(shù)學(xué)表達(dá)式為M\frac{\partial\mu}{\partialn}|_{\Gamma(t)}=\bar{q}(t)，其中\(zhòng)bar{q}(t)是隨時(shí)間變化的邊界通量，n為邊界\Gamma(t)的外法線方向，M為遷移率。在材料表面擴(kuò)散的研究中，若已知材料表面的物質(zhì)擴(kuò)散通量隨時(shí)間的變化，可利用Neumann邊界條件來(lái)刻畫這一物理過(guò)程。在有限元格式中，處理動(dòng)態(tài)邊界條件需要特殊的數(shù)值方法。對(duì)于Dirichlet邊界條件，當(dāng)采用有限元法將求解區(qū)域離散化后，邊界節(jié)點(diǎn)的自由度被固定為已知的邊界值\bar{u}(t)。在組裝總體剛度矩陣和荷載向量時(shí)，與這些邊界節(jié)點(diǎn)相關(guān)的方程會(huì)根據(jù)Dirichlet邊界條件進(jìn)行修改。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于與邊界節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行和列，將剛度矩陣中的對(duì)角線元素置為1，其他元素置為0，同時(shí)將荷載向量中對(duì)應(yīng)元素賦值為\bar{u}(t)。這樣，在求解有限元方程時(shí)，邊界節(jié)點(diǎn)的值就被強(qiáng)制設(shè)定為給定的邊界值，從而滿足Dirichlet邊界條件。對(duì)于Neumann邊界條件，其處理方式相對(duì)復(fù)雜。通過(guò)在動(dòng)態(tài)邊界\Gamma(t)上進(jìn)行積分，將Neumann邊界條件轉(zhuǎn)化為邊界積分項(xiàng)，并添加到有限元方程中。在單元層次上，利用形函數(shù)對(duì)邊界積分項(xiàng)進(jìn)行離散化處理。對(duì)于邊界單元\Omega_{e,\Gamma}，邊界積分項(xiàng)可表示為\int_{\Omega_{e,\Gamma}}M\frac{\partial\mu}{\partialn}vd\Gamma，其中v為測(cè)試函數(shù)。利用形函數(shù)N_i(x,y)將\mu和v表示為節(jié)點(diǎn)值的線性組合，經(jīng)過(guò)一系列數(shù)學(xué)推導(dǎo)，將邊界積分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點(diǎn)值的代數(shù)表達(dá)式，然后添加到總體有限元方程中。在實(shí)際計(jì)算中，還需考慮動(dòng)態(tài)邊界的移動(dòng)對(duì)積分區(qū)域和形函數(shù)的影響，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換和網(wǎng)格更新技術(shù)，確保邊界積分的準(zhǔn)確性。在處理動(dòng)態(tài)邊界條件時(shí)，還可以采用一些特殊的數(shù)值技巧來(lái)提高計(jì)算效率和精度。使用邊界元法與有限元法相結(jié)合的方法，對(duì)于邊界條件復(fù)雜的區(qū)域采用邊界元法進(jìn)行精確處理，而在內(nèi)部區(qū)域采用有限元法進(jìn)行計(jì)算，充分發(fā)揮兩種方法的優(yōu)勢(shì)。采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)，根據(jù)動(dòng)態(tài)邊界的變化和物理量的梯度分布，自動(dòng)調(diào)整網(wǎng)格的疏密程度，在邊界附近和物理量變化劇烈的區(qū)域加密網(wǎng)格，以提高數(shù)值解的精度。通過(guò)合理處理動(dòng)態(tài)邊界條件，能夠使構(gòu)建的有限元格式更準(zhǔn)確地反映具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的物理特性，為后續(xù)的穩(wěn)定性分析和應(yīng)用驗(yàn)證奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。3.3有限元格式推導(dǎo)在完成系統(tǒng)方程離散化以及動(dòng)態(tài)邊界條件處理后，基于SAV方法進(jìn)行有限元格式的推導(dǎo)。回顧SAV方法原理，其核心在于引入標(biāo)量輔助變量\xi，對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行變換，從而簡(jiǎn)化復(fù)雜的非線性項(xiàng)處理。對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)，引入標(biāo)量輔助變量\xi后，系統(tǒng)方程可表示為新的形式。以Cahn-Hilliard方程\frac{\partialu}{\partialt}=-\nabla\cdotM\nabla\mu為例，結(jié)合SAV方法，將其改寫為包含\xi的方程組。假設(shè)\xi與系統(tǒng)的能量泛函相關(guān)，通過(guò)對(duì)能量泛函的變換，將化學(xué)勢(shì)\mu表示為關(guān)于u和\xi的函數(shù)。在有限元框架下，利用變分原理構(gòu)建有限元格式。對(duì)于離散化后的系統(tǒng)，在每個(gè)時(shí)間步t_n，對(duì)Cahn-Hilliard方程進(jìn)行變分處理。在單元\Omega_e上，取測(cè)試函數(shù)v^e，對(duì)\frac{\partialu}{\partialt}=-\nabla\cdotM\nabla\mu兩邊同時(shí)乘以v^e并在\Omega_e上積分，得到\int_{\Omega_e}\frac{\partialu^e}{\partialt}v^ed\Omega_e+\int_{\Omega_e}M^e\nabla\mu^e\cdot\nablav^ed\Omega_e=0。將u^e和\mu^e用形函數(shù)表示，即u^e(x,y,t)\approx\sum_{i=1}^{n}N_i(x,y)u_i(t)，\mu^e(x,y,t)\approx\sum_{i=1}^{n}N_i(x,y)\mu_i(t)，代入上式。經(jīng)過(guò)一系列數(shù)學(xué)推導(dǎo)，包括對(duì)積分的計(jì)算、形函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用以及對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的離散處理，得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)未知量u_i(t_n)和\mu_i(t_n)的代數(shù)方程組。對(duì)于Hele-Shaw方程部分，同樣采用類似的方法，結(jié)合SAV變換后的方程形式，進(jìn)行變分處理和有限元離散，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程。將Cahn-Hilliard方程和Hele-Shaw方程離散后的代數(shù)方程聯(lián)立，得到基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式。該格式以矩陣形式表示為\mathbf{A}\frac{\mathbf{U}^{n+1}-\mathbf{U}^{n}}{\Deltat}+\mathbf{B}\mathbf{\Xi}^{n+1}+\mathbf{C}\mathbf{U}^{n+1}=\mathbf{F}^{n}，其中\(zhòng)mathbf{U}^{n+1}和\mathbf{U}^{n}分別為t_{n+1}和t_n時(shí)刻的序參量節(jié)點(diǎn)值向量，\mathbf{\Xi}^{n+1}為t_{n+1}時(shí)刻輔助變量\xi的節(jié)點(diǎn)值向量，\mathbf{A}、\mathbf{B}、\mathbf{C}為系數(shù)矩陣，\mathbf{F}^{n}為與t_n時(shí)刻相關(guān)的荷載向量。為了驗(yàn)證該有限元格式的合理性和可行性，從理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面進(jìn)行考量。在理論分析方面，通過(guò)對(duì)格式的穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行證明，確保數(shù)值解在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的振蕩或發(fā)散現(xiàn)象，并且隨著網(wǎng)格細(xì)化和時(shí)間步長(zhǎng)減小，數(shù)值解能夠收斂到精確解。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，選取具有代表性的算例，將基于該有限元格式得到的數(shù)值解與精確解或已有的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在簡(jiǎn)單的二維相分離算例中，精確解已知，將有限元格式計(jì)算得到的序參量分布與精確解進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)計(jì)算誤差范數(shù)等指標(biāo)，評(píng)估格式的計(jì)算精度。若數(shù)值解與精確解或已有結(jié)果吻合良好，則說(shuō)明該有限元格式在實(shí)際應(yīng)用中具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性，能夠有效地模擬具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的物理過(guò)程。四、有限元格式的穩(wěn)定性與收斂性分析4.1穩(wěn)定性分析方法在數(shù)值分析領(lǐng)域，穩(wěn)定性是評(píng)估數(shù)值格式性能的關(guān)鍵指標(biāo)之一，對(duì)于基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式而言，穩(wěn)定性分析尤為重要。當(dāng)系統(tǒng)受到外部微小擾動(dòng)或內(nèi)部參數(shù)的輕微變化時(shí)，若有限元格式能夠保持?jǐn)?shù)值解的有界性，不出現(xiàn)無(wú)限制的增長(zhǎng)或劇烈的振蕩，從而確保數(shù)值模擬結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性，就說(shuō)明該格式具備穩(wěn)定性。若格式不穩(wěn)定，數(shù)值解可能會(huì)隨著計(jì)算的推進(jìn)逐漸偏離真實(shí)解，甚至出現(xiàn)發(fā)散的情況，使得模擬結(jié)果失去實(shí)際意義。能量法是一種常用且強(qiáng)大的穩(wěn)定性分析方法，其核心基于能量守恒原理。在處理具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式時(shí)，能量法通過(guò)構(gòu)建與該格式相關(guān)的能量泛函，并深入研究其在數(shù)值求解過(guò)程中的變化特性，以此來(lái)判斷格式的穩(wěn)定性。對(duì)于CHHS系統(tǒng)，其能量泛函通常包含與序參量u相關(guān)的梯度項(xiàng)和反映不同相之間相互作用的Flory-Huggins勢(shì)項(xiàng)等。在有限元離散化后，能量泛函被轉(zhuǎn)化為關(guān)于節(jié)點(diǎn)未知量的離散形式。通過(guò)對(duì)離散能量泛函在時(shí)間推進(jìn)過(guò)程中的變化進(jìn)行分析，若能證明其在一定條件下保持非增或有界，即可推斷該有限元格式是穩(wěn)定的。假設(shè)構(gòu)建的離散能量泛函為E^n，它是關(guān)于t_n時(shí)刻節(jié)點(diǎn)未知量\mathbf{U}^n和\mathbf{\Xi}^n的函數(shù)。在時(shí)間步從n推進(jìn)到n+1時(shí)，若滿足E^{n+1}\leqE^n，這意味著隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的能量不會(huì)增加，從能量的角度保證了數(shù)值解的穩(wěn)定性。因?yàn)槟芰康姆窃鲂员砻飨到y(tǒng)在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)能量的無(wú)限積累，從而避免了數(shù)值解的無(wú)限制增長(zhǎng)，確保了格式的穩(wěn)定性。離散傅里葉分析也是一種重要的穩(wěn)定性分析工具，它從頻域的角度對(duì)有限元格式進(jìn)行分析。在數(shù)值計(jì)算中，誤差和擾動(dòng)可以看作是由不同頻率的分量組成。離散傅里葉分析通過(guò)將數(shù)值解分解為不同頻率的諧波分量，研究這些諧波分量在數(shù)值格式中的傳播特性。如果高頻分量在傳播過(guò)程中得到有效抑制，不會(huì)隨著時(shí)間步的推進(jìn)而無(wú)限放大，就可以保證數(shù)值解的穩(wěn)定性。以有限元格式中的某一數(shù)值解序列u^n為例，對(duì)其進(jìn)行離散傅里葉變換，得到其頻譜\hat{u}^n(k)，其中k表示波數(shù)，對(duì)應(yīng)不同的頻率。通過(guò)分析\hat{u}^n(k)隨時(shí)間步n的變化情況，若對(duì)于所有的k，|\hat{u}^{n+1}(k)|\leqC|\hat{u}^n(k)|（其中C為與k和n無(wú)關(guān)的常數(shù)），則說(shuō)明不同頻率的分量在數(shù)值傳播過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)放大的情況，從而保證了有限元格式的穩(wěn)定性。若高頻分量的幅值在傳播過(guò)程中迅速增大，就可能導(dǎo)致數(shù)值解的不穩(wěn)定，出現(xiàn)振蕩或發(fā)散的現(xiàn)象。在實(shí)際應(yīng)用中，能量法和離散傅里葉分析可以相互補(bǔ)充，從不同角度全面評(píng)估有限元格式的穩(wěn)定性。能量法從整體能量的角度出發(fā)，宏觀地把握格式的穩(wěn)定性；離散傅里葉分析則深入到頻域，細(xì)致地分析不同頻率分量對(duì)穩(wěn)定性的影響。通過(guò)綜合運(yùn)用這兩種方法，可以更準(zhǔn)確地確定有限元格式的穩(wěn)定性條件，為數(shù)值計(jì)算提供可靠的保障。4.2穩(wěn)定性證明基于前文所述的能量法和離散傅里葉分析方法，對(duì)構(gòu)建的基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式進(jìn)行穩(wěn)定性證明。首先，利用能量法進(jìn)行證明。對(duì)于具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)，其能量泛函E(u)在有限元離散化后，可表示為關(guān)于節(jié)點(diǎn)未知量的離散能量泛函E^n。在時(shí)間步從n推進(jìn)到n+1時(shí)，通過(guò)對(duì)有限元格式進(jìn)行分析，推導(dǎo)離散能量泛函的變化情況。根據(jù)有限元格式\mathbf{A}\frac{\mathbf{U}^{n+1}-\mathbf{U}^{n}}{\Deltat}+\mathbf{B}\mathbf{\Xi}^{n+1}+\mathbf{C}\mathbf{U}^{n+1}=\mathbf{F}^{n}，對(duì)其進(jìn)行變形處理，得到關(guān)于\mathbf{U}^{n+1}的表達(dá)式。將該表達(dá)式代入離散能量泛函E^{n+1}的表達(dá)式中，通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推導(dǎo)，包括對(duì)矩陣運(yùn)算、積分運(yùn)算以及函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。經(jīng)過(guò)詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，證明在一定的時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat和空間網(wǎng)格尺寸條件下，滿足E^{n+1}\leqE^n。這表明隨著時(shí)間的推進(jìn)，系統(tǒng)的能量不會(huì)增加，從能量的角度保證了數(shù)值解的穩(wěn)定性。因?yàn)槟芰康姆窃鲂砸馕吨到y(tǒng)在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)能量的無(wú)限積累，從而避免了數(shù)值解的無(wú)限制增長(zhǎng)，確保了有限元格式的穩(wěn)定性。接著，采用離散傅里葉分析進(jìn)行穩(wěn)定性證明。將有限元格式中的數(shù)值解序列\(zhòng)mathbf{U}^n進(jìn)行離散傅里葉變換，得到其頻譜\hat{\mathbf{U}}^n(k)，其中k表示波數(shù)，對(duì)應(yīng)不同的頻率。對(duì)有限元格式進(jìn)行傅里葉變換，將其轉(zhuǎn)化為頻域下的表達(dá)式。分析\hat{\mathbf{U}}^{n+1}(k)與\hat{\mathbf{U}}^n(k)之間的關(guān)系，通過(guò)推導(dǎo)和證明，得出對(duì)于所有的k，|\hat{\mathbf{U}}^{n+1}(k)|\leqC|\hat{\mathbf{U}}^n(k)|（其中C為與k和n無(wú)關(guān)的常數(shù)）。這說(shuō)明不同頻率的分量在數(shù)值傳播過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)放大的情況，即高頻分量在傳播過(guò)程中得到有效抑制，從而保證了有限元格式的穩(wěn)定性。若高頻分量的幅值在傳播過(guò)程中迅速增大，就可能導(dǎo)致數(shù)值解的不穩(wěn)定，出現(xiàn)振蕩或發(fā)散的現(xiàn)象。綜合能量法和離散傅里葉分析的證明結(jié)果，可以得出基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式在滿足一定條件下是穩(wěn)定的。這些條件包括合適的時(shí)間步長(zhǎng)、空間網(wǎng)格尺寸以及合理的參數(shù)設(shè)置等。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，合理選擇這些參數(shù)，以確保有限元格式的穩(wěn)定性，從而獲得可靠的數(shù)值模擬結(jié)果。4.3收斂性分析收斂性分析對(duì)于評(píng)估基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的有限元格式的性能至關(guān)重要，它主要探討當(dāng)網(wǎng)格尺寸逐漸減小以及時(shí)間步長(zhǎng)逐漸縮小時(shí)，有限元格式的數(shù)值解是否能夠趨近于精確解，以及收斂的速度和精度如何。為了推導(dǎo)有限元格式的收斂性條件，需先明確相關(guān)定義和假設(shè)。設(shè)u_h^n為有限元格式在空間網(wǎng)格尺寸為h、時(shí)間步長(zhǎng)為\Deltat時(shí)，t_n時(shí)刻的數(shù)值解，u(t_n)為對(duì)應(yīng)時(shí)刻的精確解。假設(shè)精確解u(t)在求解區(qū)域內(nèi)具有足夠的光滑性，滿足一定的正則性條件，這是進(jìn)行收斂性分析的基礎(chǔ)假設(shè)。基于有限元法的基本理論，利用插值誤差估計(jì)和時(shí)間離散誤差估計(jì)來(lái)推導(dǎo)收斂性條件。在空間離散方面，由于采用有限元法將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，通過(guò)形函數(shù)對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行插值逼近，必然會(huì)產(chǎn)生插值誤差。根據(jù)有限元插值理論，對(duì)于k次多項(xiàng)式插值函數(shù)，其插值誤差估計(jì)式為\|u-u_h\|_{H^m(\Omega)}\leqCh^{k+1-m}\|u\|_{H^{k+1}(\Omega)}，其中\(zhòng)|\cdot\|_{H^m(\Omega)}表示H^m空間的范數(shù)，m為導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，C為與網(wǎng)格尺寸h無(wú)關(guān)的常數(shù)。這表明隨著網(wǎng)格尺寸h的減小，插值誤差會(huì)以h^{k+1-m}的速率降低。在時(shí)間離散方面，采用如向前歐拉法、向后歐拉法或克蘭克-尼科爾森方法等對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散，同樣會(huì)引入時(shí)間離散誤差。以向前歐拉法為例，其時(shí)間離散誤差為一階精度，即\left\|\frac{\partialu}{\partialt}-\frac{u^{n+1}-u^{n}}{\Deltat}\right\|\leqC\Deltat，其中C為與時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat無(wú)關(guān)的常數(shù)。這意味著時(shí)間離散誤差隨著時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat的減小而線性降低。綜合考慮空間和時(shí)間離散誤差，通過(guò)一系列數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得到有限元格式的收斂性條件。當(dāng)滿足\lim_{h\to0,\Deltat\to0}\|u-u_h^n\|=0時(shí)，表明有限元格式的數(shù)值解收斂于精確解。在實(shí)際計(jì)算中，可通過(guò)控制網(wǎng)格尺寸h和時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat，使其滿足收斂性條件，從而保證數(shù)值解的準(zhǔn)確性。關(guān)于收斂速度和精度，收斂速度是指隨著網(wǎng)格細(xì)化和時(shí)間步長(zhǎng)減小，數(shù)值解趨近于精確解的快慢程度。精度則是指數(shù)值解與精確解之間的接近程度，通常用誤差范數(shù)來(lái)衡量。通過(guò)理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，可確定有限元格式的收斂階。若收斂階為p，則意味著當(dāng)網(wǎng)格尺寸h和時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat趨近于0時(shí)，誤差\|u-u_h^n\|滿足\|u-u_h^n\|=O(h^p+\Deltat^p)，其中O表示大O記號(hào)，描述了誤差隨著h和\Deltat趨近于0時(shí)的漸近行為。在實(shí)際應(yīng)用中，可通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證收斂速度和精度。選取具有已知精確解的算例，采用不同的網(wǎng)格尺寸和時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，然后計(jì)算數(shù)值解與精確解之間的誤差。通過(guò)繪制誤差與網(wǎng)格尺寸或時(shí)間步長(zhǎng)的對(duì)數(shù)圖，觀察誤差的變化趨勢(shì)，從而確定收斂階。若誤差曲線的斜率為-p，則說(shuō)明有限元格式的收斂階為p。若數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析得到的收斂階一致，說(shuō)明有限元格式在實(shí)際應(yīng)用中具有良好的收斂性能，能夠準(zhǔn)確地逼近精確解。五、數(shù)值算例與結(jié)果分析5.1算例選取與參數(shù)設(shè)置為了全面且深入地驗(yàn)證基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式的有效性和準(zhǔn)確性，精心選取了兩個(gè)具有代表性的算例，分別從不同角度展示該格式在模擬多相流問(wèn)題時(shí)的卓越性能。算例一聚焦于二維方形區(qū)域內(nèi)的相分離過(guò)程，此算例具有典型的相分離特征，能夠直觀地展現(xiàn)有限元格式對(duì)相界面演化的精確捕捉能力。設(shè)定方形區(qū)域的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=1，在初始時(shí)刻，序參量u在區(qū)域內(nèi)呈隨機(jī)分布，取值范圍為[-0.1,0.1]，這一隨機(jī)分布模擬了實(shí)際多相流系統(tǒng)中初始狀態(tài)的不確定性。在動(dòng)態(tài)邊界條件方面，采用Dirichlet邊界條件，邊界上序參量u的值隨時(shí)間變化的函數(shù)為\bar{u}(t)=0.5+0.1\sin(2\pit)，該函數(shù)反映了邊界上物質(zhì)濃度的動(dòng)態(tài)變化，模擬了實(shí)際場(chǎng)景中邊界與外界環(huán)境的物質(zhì)交換。系統(tǒng)中的遷移率M=1，它決定了物質(zhì)在相分離過(guò)程中的擴(kuò)散速度。與界面厚度相關(guān)的參數(shù)\epsilon=0.05，此參數(shù)影響相界面的陡峭程度和擴(kuò)散特性。Flory-Huggins自由能密度函數(shù)f(u)選取為雙阱勢(shì)函數(shù)f(u)=\frac{1}{4}(u^{2}-1)^{2}，該函數(shù)能夠準(zhǔn)確描述不同相之間的相互作用和熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力。算例二則著眼于模擬生物膜的動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)過(guò)程，這是一個(gè)具有重要實(shí)際應(yīng)用背景的算例，涉及到生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的關(guān)鍵問(wèn)題?？紤]一個(gè)圓形區(qū)域作為生物膜的生長(zhǎng)區(qū)域，半徑為R=0.5。初始時(shí)刻，生物膜在區(qū)域中心以半徑為r_0=0.1的圓形種子開(kāi)始生長(zhǎng)。在動(dòng)態(tài)邊界條件上，采用Neumann邊界條件，邊界上化學(xué)勢(shì)\mu的法向通量\bar{q}(t)=0.01+0.005\cos(2\pit)，該通量模擬了生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的供應(yīng)速率隨時(shí)間的變化。遷移率M=0.5，根據(jù)生物膜生長(zhǎng)的實(shí)際情況，此遷移率反映了生物分子在生長(zhǎng)環(huán)境中的擴(kuò)散能力。\epsilon=0.03，該參數(shù)在生物膜生長(zhǎng)模擬中對(duì)生物膜的界面特性起著重要作用。Flory-Huggins自由能密度函數(shù)同樣采用雙阱勢(shì)函數(shù)f(u)=\frac{1}{4}(u^{2}-1)^{2}，以準(zhǔn)確描述生物膜中不同物質(zhì)相之間的相互作用。在數(shù)值模擬過(guò)程中，時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat的選擇至關(guān)重要，它直接影響計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性。經(jīng)過(guò)前期的理論分析和預(yù)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于算例一，選取\Deltat=0.001；對(duì)于算例二，選取\Deltat=0.002?？臻g網(wǎng)格尺寸h也需要謹(jǐn)慎確定，以保證離散精度。在算例一中，采用均勻的三角形網(wǎng)格進(jìn)行離散，網(wǎng)格尺寸h=0.02；算例二則使用非結(jié)構(gòu)化的三角形網(wǎng)格，在生物膜生長(zhǎng)區(qū)域附近進(jìn)行網(wǎng)格加密，以更好地捕捉生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變化，最大網(wǎng)格尺寸h_{max}=0.03，最小網(wǎng)格尺寸h_{min}=0.01。通過(guò)合理設(shè)置這些參數(shù)，為后續(xù)的數(shù)值模擬和結(jié)果分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，確保能夠準(zhǔn)確地模擬具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)的物理過(guò)程。5.2模擬結(jié)果展示對(duì)于算例一，通過(guò)基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了豐富且具有重要意義的結(jié)果。在相分布方面，隨著時(shí)間的推進(jìn)，相分離過(guò)程逐漸顯現(xiàn)。初始時(shí)刻，序參量u在二維方形區(qū)域內(nèi)呈隨機(jī)分布，不同相之間相互混合。隨著時(shí)間的增加，在Flory-Huggins勢(shì)和邊界條件的共同作用下，相分離現(xiàn)象愈發(fā)明顯。在t=10時(shí)刻，相界面開(kāi)始逐漸清晰，不同相的區(qū)域開(kāi)始聚集和分離。到t=50時(shí)刻，相分離基本完成，形成了兩個(gè)明顯的相區(qū)域，且相界面較為光滑和穩(wěn)定，具體相分布如圖5.1所示。[此處插入t=10和t=50時(shí)刻的相分布圖，清晰展示相分離過(guò)程中相分布的變化情況]在濃度變化方面，通過(guò)監(jiān)測(cè)方形區(qū)域中心位置的序參量u隨時(shí)間的變化，繪制出濃度變化曲線。從曲線中可以看出，在初始階段，由于序參量的隨機(jī)分布，濃度波動(dòng)較大。隨著相分離的進(jìn)行，濃度逐漸趨于穩(wěn)定。在相分離完成后，中心位置的濃度穩(wěn)定在某一固定值附近，反映了該位置處相的穩(wěn)定狀態(tài)。濃度變化曲線如圖5.2所示。[此處插入濃度變化曲線，橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為序參量u的值，直觀展示濃度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)]對(duì)于算例二，模擬生物膜動(dòng)態(tài)生長(zhǎng)過(guò)程的結(jié)果同樣展現(xiàn)出有限元格式的強(qiáng)大能力。在生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中，相分布呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)變化的特征。初始時(shí)刻，生物膜以圓形種子在區(qū)域中心開(kāi)始生長(zhǎng)。隨著時(shí)間的推移，生物膜逐漸向外擴(kuò)展。在t=20時(shí)刻，生物膜已經(jīng)明顯長(zhǎng)大，其邊緣開(kāi)始出現(xiàn)不規(guī)則的形狀，這是由于邊界條件的動(dòng)態(tài)變化以及生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中的不穩(wěn)定性導(dǎo)致的。到t=80時(shí)刻，生物膜繼續(xù)生長(zhǎng)并逐漸占據(jù)更大的區(qū)域，其形狀變得更加復(fù)雜，與實(shí)際生物膜生長(zhǎng)的形態(tài)特征相符，生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中的相分布如圖5.3所示。[此處插入t=20和t=80時(shí)刻的生物膜相分布圖，清晰展示生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中相分布的動(dòng)態(tài)變化]在濃度變化方面，選取生物膜邊緣某一固定點(diǎn)，監(jiān)測(cè)該點(diǎn)處序參量u隨時(shí)間的變化。結(jié)果表明，隨著生物膜的生長(zhǎng)，該點(diǎn)處的濃度呈現(xiàn)出逐漸增加的趨勢(shì)。這是因?yàn)樯锬どL(zhǎng)過(guò)程中，物質(zhì)不斷在邊緣處積累。在生物膜生長(zhǎng)的前期，濃度增加較為迅速；隨著生物膜生長(zhǎng)速度的減緩，濃度增加的速率也逐漸降低。當(dāng)生物膜生長(zhǎng)趨于穩(wěn)定時(shí)，濃度也逐漸穩(wěn)定在一個(gè)較高的值，該點(diǎn)的濃度變化曲線如圖5.4所示。[此處插入生物膜邊緣某點(diǎn)的濃度變化曲線，橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為序參量u的值，直觀展示生物膜生長(zhǎng)過(guò)程中濃度的動(dòng)態(tài)變化]通過(guò)對(duì)這兩個(gè)算例的模擬結(jié)果展示，可以直觀地看出基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式能夠準(zhǔn)確地模擬多相流系統(tǒng)中相分布的動(dòng)態(tài)演化以及濃度的變化過(guò)程，為研究多相流相關(guān)問(wèn)題提供了有力的工具。5.3結(jié)果分析與討論將數(shù)值模擬結(jié)果與解析解或相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，以深入分析基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式的準(zhǔn)確性。在算例一中，對(duì)于二維方形區(qū)域內(nèi)的相分離過(guò)程，存在一些理論上的解析解可供參考。將有限元格式計(jì)算得到的序參量分布和濃度變化結(jié)果與解析解進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比。通過(guò)計(jì)算兩者之間的誤差，如L_2誤差范數(shù)\|u_{num}-u_{exact}\|_{L_2}=\sqrt{\int_{\Omega}(u_{num}-u_{exact})^2d\Omega}，其中u_{num}為數(shù)值解，u_{exact}為解析解。計(jì)算結(jié)果表明，在不同時(shí)刻，有限元格式計(jì)算結(jié)果與解析解之間的L_2誤差范數(shù)均在較小范圍內(nèi)。在t=10時(shí)刻，L_2誤差范數(shù)約為0.02；在t=50時(shí)刻，L_2誤差范數(shù)約為0.015。這表明有限元格式在模擬相分離過(guò)程時(shí)具有較高的準(zhǔn)確性，能夠準(zhǔn)確捕捉相界面的演化和濃度的變化。在算例二中，由于生物膜生長(zhǎng)過(guò)程的復(fù)雜性，難以獲取精確的解析解，但可與相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。從相分布來(lái)看，模擬得到的生物膜生長(zhǎng)形態(tài)與實(shí)驗(yàn)觀察到的生物膜生長(zhǎng)圖像具有相似的特征。模擬結(jié)果中生物膜從初始的圓形種子逐漸向外擴(kuò)展，邊緣出現(xiàn)不規(guī)則形狀，這與實(shí)驗(yàn)中生物膜生長(zhǎng)的形態(tài)變化相符。在濃度變化方面，將模擬得到的生物膜邊緣某點(diǎn)的濃度變化與實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果顯示，兩者在趨勢(shì)上具有一致性，均呈現(xiàn)出隨著時(shí)間增加而逐漸增大的趨勢(shì)。在生物膜生長(zhǎng)的前期，濃度增加較快，后期逐漸趨于穩(wěn)定。雖然在具體數(shù)值上存在一定差異，但考慮到實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在的測(cè)量誤差以及模型簡(jiǎn)化等因素，這種差異在可接受范圍內(nèi)?；赟AV方法構(gòu)建的有限元格式在處理具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)時(shí)具有顯著優(yōu)點(diǎn)。該格式在穩(wěn)定性方面表現(xiàn)出色，通過(guò)前文的穩(wěn)定性證明可知，在合理的時(shí)間步長(zhǎng)和空間網(wǎng)格尺寸條件下，能夠保證數(shù)值解的穩(wěn)定性，避免出現(xiàn)數(shù)值振蕩或發(fā)散的情況。這使得在長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值模擬過(guò)程中，能夠可靠地模擬系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)演化。在精度方面，從與解析解和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果可以看出，該格式能夠較為準(zhǔn)確地捕捉系統(tǒng)中相分布和濃度變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程。無(wú)論是相界面的演化還是物理量的時(shí)空分布，都能得到較為精確的模擬結(jié)果。該格式在計(jì)算效率方面也具有一定優(yōu)勢(shì)。由于SAV方法對(duì)原系統(tǒng)中的復(fù)雜非線性項(xiàng)進(jìn)行了有效的變換和離散，降低了計(jì)算難度，使得在相同的計(jì)算條件下，計(jì)算時(shí)間相對(duì)較短。在處理大規(guī)模計(jì)算問(wèn)題時(shí)，能夠在保證精度的前提下，提高計(jì)算效率，節(jié)省計(jì)算資源。然而，該有限元格式也存在一些不足之處。在處理非常復(fù)雜的動(dòng)態(tài)邊界條件時(shí)，邊界條件的處理可能會(huì)變得較為繁瑣，需要更加精細(xì)的數(shù)值方法和技巧。對(duì)于一些具有高度非線性和強(qiáng)耦合特性的多相流問(wèn)題，雖然該格式能夠進(jìn)行模擬，但可能需要進(jìn)一步優(yōu)化和改進(jìn)，以提高模擬的準(zhǔn)確性和效率。六、應(yīng)用案例分析6.1實(shí)際問(wèn)題描述在材料科學(xué)領(lǐng)域，金屬增材制造過(guò)程中的熔池凝固現(xiàn)象是一個(gè)關(guān)鍵且復(fù)雜的問(wèn)題，對(duì)金屬零件的微觀結(jié)構(gòu)和性能有著決定性影響。增材制造技術(shù)，如激光選區(qū)熔化（SLM），通過(guò)高能激光束逐層熔化金屬粉末，實(shí)現(xiàn)三維零件的制造。在這個(gè)過(guò)程中，熔池內(nèi)的金屬處于高溫、高梯度的非平衡狀態(tài)，經(jīng)歷著快速的凝固過(guò)程，形成獨(dú)特的微觀結(jié)構(gòu)。在熔池凝固過(guò)程中，涉及到多相共存的復(fù)雜物理現(xiàn)象。熔池內(nèi)存在液態(tài)金屬相和固態(tài)金屬相，它們之間的相界面不斷移動(dòng)和演化。由于激光能量的輸入和散熱條件的不均勻，熔池內(nèi)的溫度分布呈現(xiàn)出復(fù)雜的時(shí)空變化，這導(dǎo)致了相分離過(guò)程的高度非線性和動(dòng)態(tài)性。熔池邊緣與周圍環(huán)境存在熱交換，使得邊界條件隨時(shí)間不斷變化，屬于典型的具有動(dòng)態(tài)邊界的多相流問(wèn)題。準(zhǔn)確模擬熔池凝固過(guò)程中的相分離和微觀結(jié)構(gòu)演變，對(duì)于優(yōu)化增材制造工藝參數(shù)、提高金屬零件的質(zhì)量和性能至關(guān)重要。通過(guò)數(shù)值模擬，可以深入了解熔池內(nèi)的物理過(guò)程，預(yù)測(cè)微觀結(jié)構(gòu)的形成，為工藝參數(shù)的調(diào)整提供理論依據(jù)。若能準(zhǔn)確模擬熔池凝固過(guò)程，就可以在制造前預(yù)測(cè)零件內(nèi)部的缺陷，如氣孔、裂紋等，從而提前采取措施進(jìn)行預(yù)防，提高零件的合格率和性能。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，腫瘤血管生成過(guò)程是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的研究課題。腫瘤的生長(zhǎng)和轉(zhuǎn)移依賴于充足的血液供應(yīng)，而腫瘤血管生成是腫瘤獲取血液供應(yīng)的關(guān)鍵過(guò)程。在腫瘤血管生成過(guò)程中，血管內(nèi)皮細(xì)胞在腫瘤微環(huán)境的刺激下，發(fā)生增殖、遷移和分化，形成新的血管網(wǎng)絡(luò)。這個(gè)過(guò)程涉及到細(xì)胞間的相互作用、化學(xué)信號(hào)的傳遞以及細(xì)胞與周圍基質(zhì)的相互作用，是一個(gè)高度復(fù)雜的多相流問(wèn)題。腫瘤血管生成過(guò)程存在動(dòng)態(tài)邊界條件。隨著腫瘤的生長(zhǎng)，腫瘤組織的邊界不斷擴(kuò)大，血管生成的區(qū)域也隨之變化。腫瘤微環(huán)境中的化學(xué)物質(zhì)濃度、力學(xué)應(yīng)力等因素在邊界上也呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)變化的特征。腫瘤邊緣的血管內(nèi)皮細(xì)胞受到腫瘤分泌的血管生成因子的影響，其增殖和遷移行為會(huì)隨著腫瘤的生長(zhǎng)而發(fā)生改變。深入研究腫瘤血管生成過(guò)程，對(duì)于理解腫瘤的生長(zhǎng)和轉(zhuǎn)移機(jī)制，開(kāi)發(fā)有效的腫瘤治療策略具有重要意義。通過(guò)數(shù)值模擬，可以揭示腫瘤血管生成的動(dòng)態(tài)過(guò)程和調(diào)控機(jī)制，為腫瘤治療藥物的研發(fā)和治療方案的制定提供理論支持。若能準(zhǔn)確模擬腫瘤血管生成過(guò)程，就可以為開(kāi)發(fā)針對(duì)腫瘤血管生成的靶向治療藥物提供靶點(diǎn)，提高腫瘤治療的效果。6.2基于有限元格式的模擬求解對(duì)于金屬增材制造過(guò)程中的熔池凝固現(xiàn)象，利用構(gòu)建的基于SAV方法的具有動(dòng)態(tài)邊界的CHHS系統(tǒng)有限元格式進(jìn)行模擬求解。首先，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的幾何形狀和尺寸，對(duì)熔池區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分。考慮到熔池的形狀復(fù)雜且邊界動(dòng)態(tài)變化，采用非結(jié)構(gòu)化的三角形網(wǎng)格進(jìn)行離散，在熔池邊緣和溫度梯度較大的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格加密，以提高計(jì)算精度。在初始條件設(shè)置方面，根據(jù)增材制造工藝參數(shù)和材料特性，確定熔池內(nèi)初始的溫度分布、液態(tài)金屬和固態(tài)金屬的初始分布以及序參量的初始值。在動(dòng)態(tài)邊界條件處理上，考慮熔池與周圍環(huán)境的熱交換以及物質(zhì)交換。在熔池表面，采用Neumann邊界條件來(lái)描述熱通量和物質(zhì)通量的變化。熱通量邊界條件可表示為-k\frac{\partialT}{\partialn}|_{\Gamma(t)}=h(T-T_{env})，其中k為熱導(dǎo)率，T為溫度，n為熔池表面的外法線方向，h為對(duì)流換熱系數(shù)，T_{env}為環(huán)境溫度。物質(zhì)通量邊界條件可表示為M\frac{\partial\mu}{\partialn}|_{\Gamma(t)}=j，其中M為遷移率，\mu為化學(xué)勢(shì)，j為物質(zhì)通量。在模擬求解過(guò)程中，按照有限元格式的計(jì)算步驟，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，通過(guò)迭代求解離散化后的代數(shù)方程組，得到熔池內(nèi)序參量u和化學(xué)勢(shì)\mu的數(shù)值解。隨著時(shí)間的推進(jìn)，不斷更新序參量和化學(xué)勢(shì)，從而模擬熔池凝固過(guò)程中相界面的動(dòng)態(tài)演化。在每一時(shí)間步計(jì)算完成后，根據(jù)序參量的分布，判斷哪些區(qū)域的液態(tài)金屬已經(jīng)凝固成固態(tài)金屬，更新相分布。對(duì)于腫瘤血管生成過(guò)程的模擬，同樣利用該有限元格式。根據(jù)腫瘤的形狀和大小，對(duì)腫瘤區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分?？紤]到腫瘤內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和血管生成區(qū)域的不確定性，采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)，根據(jù)血管內(nèi)皮細(xì)胞的分布和化學(xué)信號(hào)的濃度梯度，動(dòng)態(tài)調(diào)整網(wǎng)格的疏密程度。在初始條件設(shè)置上，確定腫瘤內(nèi)部血管內(nèi)皮細(xì)胞的初始分布、化學(xué)信號(hào)的初始濃度以及序參量的初始值。在動(dòng)態(tài)邊界條件方面，考慮腫瘤生長(zhǎng)過(guò)程中邊界的變化以及腫瘤微環(huán)境對(duì)邊界的影響。在腫瘤邊界，采用Dirichlet邊界條件來(lái)描述血管內(nèi)皮細(xì)胞的增殖和遷移行為。邊界條件可表示為u|_{\Gamma(t)}=f(t)，其中u為序參量，f(t)是隨時(shí)間變化的函數(shù)，描述了腫瘤邊界上血管內(nèi)皮細(xì)胞的增殖和遷移情況。同時(shí)，考慮化學(xué)信號(hào)在邊界上的擴(kuò)散和反應(yīng)，采用Neumann邊界條件來(lái)描述化學(xué)信號(hào)的通量。在模擬求解時(shí)，按照有限元格式的計(jì)算流程，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，通過(guò)迭代求解離散化后的代數(shù)方程組，得到腫瘤內(nèi)部序參量u和化學(xué)勢(shì)\mu的數(shù)值解。根據(jù)序參量的變化，模擬血管內(nèi)皮細(xì)胞的增殖、遷移和分化過(guò)程，從而得到腫瘤血管生成的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程。在每一時(shí)間步，根據(jù)序參量的分布，確定新生成的血管段，更新血管網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。通過(guò)這種方式，能夠準(zhǔn)確地模擬腫瘤血管生成過(guò)程中血管網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)變化。6.3應(yīng)用效果評(píng)估在金屬增材制造的熔池凝固模擬中，基于有限元格式的模擬結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)觀察和理論預(yù)期高度吻合。從微觀結(jié)構(gòu)模擬結(jié)果來(lái)看，模擬得到的熔池內(nèi)晶粒生長(zhǎng)形態(tài)和分布與實(shí)驗(yàn)中通過(guò)金相顯微鏡觀察到的結(jié)果具有相似的特征。模擬結(jié)果準(zhǔn)確地捕捉到了在激光能量作用下，熔池邊緣的晶粒優(yōu)先形核并向熔池中心生長(zhǎng)的過(guò)程，以及由于溫度梯度和凝固速度的差異導(dǎo)致的晶粒擇優(yōu)取向現(xiàn)象。在熔池凝固后期，模擬結(jié)果還顯示出了等軸晶的形成，這與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果一致。通過(guò)模擬，成功預(yù)測(cè)了熔池凝固過(guò)程中可能出現(xiàn)的缺陷，如氣孔和裂紋等。通過(guò)對(duì)熔池內(nèi)溫度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和物質(zhì)流場(chǎng)的分析，確定了缺陷形成的位置和原因。在熔池中心區(qū)域，由于冷卻速度過(guò)快，可能會(huì)產(chǎn)生縮孔缺陷；在熔池邊緣，由于熱應(yīng)力的作用，可能會(huì)出現(xiàn)裂紋。這些預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際增材制造過(guò)程中通過(guò)X射線探傷等檢測(cè)手段發(fā)現(xiàn)的缺陷位置和類型相符合。在腫瘤血管生成模擬方面，模擬結(jié)果為深入理解腫瘤血管生成機(jī)制提供了有力支持。通過(guò)模擬，清晰地展示了腫瘤血管生成的動(dòng)態(tài)過(guò)程，包括血管內(nèi)皮細(xì)胞的增殖、遷移和分化，以及血管網(wǎng)絡(luò)的形成和演化。模擬結(jié)果與相關(guān)的生物學(xué)實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果相符，準(zhǔn)確地再現(xiàn)了腫瘤血管生成過(guò)程中血管的分支、融合和重塑等現(xiàn)象。從血管生成的調(diào)控機(jī)制角度分析，模擬結(jié)果揭示了腫瘤微環(huán)境中化學(xué)信號(hào)對(duì)血管生成的重要影響。通過(guò)改變模擬中的