集合與函數(shù)概念練習(xí)題及解析集合與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基石，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。掌握好這些基本概念，理解其內(nèi)在邏輯與聯(lián)系，對于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)至關(guān)重要。本文精心選編了一些集合與函數(shù)概念的練習(xí)題，并附上詳細(xì)解析，希望能幫助同學(xué)們鞏固所學(xué)，加深理解。一、預(yù)備知識(shí)回顧在開始練習(xí)之前，我們簡要回顧一下核心概念：*集合：具有某種特定性質(zhì)的對象的總體。元素與集合的關(guān)系是“屬于”或“不屬于”。集合的表示方法有列舉法、描述法等。集合間的基本關(guān)系有子集、真子集、相等。集合的基本運(yùn)算包括交集、并集、補(bǔ)集。*函數(shù)：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域。二、練習(xí)題及解析（一）集合例1：用列舉法表示集合A={x|x是小于10的正奇數(shù)}，并指出集合A的元素個(gè)數(shù)。解析：小于10的正奇數(shù)有1、3、5、7、9。因此，用列舉法表示集合A為{1,3,5,7,9}。集合A中共有5個(gè)元素。說明：列舉法是把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來。注意元素之間用逗號隔開，且元素不能重復(fù)。例2：已知集合M={a,b,c}，則集合M的所有子集共有多少個(gè)？其中真子集有多少個(gè)？解析：一個(gè)含有n個(gè)元素的集合，其子集個(gè)數(shù)為2?，真子集個(gè)數(shù)為2?-1（去掉集合本身），非空真子集個(gè)數(shù)為2?-2。集合M含有3個(gè)元素，因此其子集個(gè)數(shù)為23=8個(gè)；真子集個(gè)數(shù)為8-1=7個(gè)。說明：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在計(jì)算子集個(gè)數(shù)時(shí)，不要忘記空集和集合本身。例3：設(shè)全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3,5}，集合B={2,4}，求A∩B，A∪B，C_UA。解析：*A∩B（A與B的交集）是由既屬于A又屬于B的所有元素組成的集合。由于A和B沒有公共元素，所以A∩B=?（空集）。*A∪B（A與B的并集）是由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合。因此A∪B={1,2,3,4,5}=U。*C_UA（A在U中的補(bǔ)集）是由U中所有不屬于A的元素組成的集合。因此C_UA={2,4}=B。說明：交集、并集、補(bǔ)集是集合的基本運(yùn)算，理解其定義是解題的關(guān)鍵。本題中A和B互為補(bǔ)集，它們的并集是全集，交集是空集。（二）函數(shù)概念例4：判斷下列對應(yīng)關(guān)系是否為從集合A到集合B的函數(shù)：(1)A=R，B=R，對應(yīng)關(guān)系f：x→y=x2；(2)A=R，B=R，對應(yīng)關(guān)系f：x→y=±√x；(3)A={x|x是三角形}，B={x|x>0}，對應(yīng)關(guān)系f：對A中的三角形求面積。解析：(1)對于集合A中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，通過y=x2，在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對應(yīng)，因此是從A到B的函數(shù)。(2)當(dāng)x>0時(shí)，一個(gè)x對應(yīng)兩個(gè)y值（√x和-√x）；當(dāng)x<0時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)√x無意義。因此，不滿足“唯一確定”的要求，不是從A到B的函數(shù)。(3)集合A不是數(shù)集，而函數(shù)要求A、B是非空數(shù)集，因此該對應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系，盡管對于每個(gè)三角形都有唯一確定的面積。說明：判斷是否為函數(shù)，需滿足：①A、B是非空數(shù)集；②對于A中的每一個(gè)元素x，在B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)。例5：求函數(shù)f(x)=√(x+2)+1/(x-1)的定義域。解析：要使函數(shù)有意義，需滿足：1.偶次根式被開方數(shù)非負(fù)：x+2≥0?x≥-2；2.分式的分母不為零：x-1≠0?x≠1。綜合以上兩個(gè)條件，函數(shù)的定義域?yàn)閤≥-2且x≠1。用區(qū)間表示為[-2,1)∪(1,+∞)。說明：求函數(shù)定義域，就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量x的取值范圍。常見的限制條件有：分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)的真數(shù)大于零等。例6：已知函數(shù)f(x)=2x+1，求f(0)，f(a)，f(f(a))。解析：*f(0)=2×0+1=1；*f(a)=2×a+1=2a+1；*f(f(a))=f(2a+1)=2×(2a+1)+1=4a+2+1=4a+3。說明：函數(shù)的本質(zhì)是一種對應(yīng)法則。f(x)中的x可以是具體的數(shù)，也可以是字母或表達(dá)式，只要其在定義域內(nèi)即可。f(f(a))表示先將a代入f得到f(a)，再將f(a)作為自變量代入f。例7：已知函數(shù)f(x)={x+1,x≤0,x2,x>0,}求f(-2)，f(0)，f(1)的值。解析：這是一個(gè)分段函數(shù)，需要根據(jù)自變量x的取值范圍選擇對應(yīng)的解析式。*因?yàn)?2≤0，所以f(-2)=(-2)+1=-1；*因?yàn)?≤0，所以f(0)=0+1=1；*因?yàn)?>0，所以f(1)=12=1。說明：分段函數(shù)在不同的定義域區(qū)間上有不同的對應(yīng)法則，求值時(shí)務(wù)必看清自變量所在的區(qū)間。例8：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，求函數(shù)f(x+1)的定義域。解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，即x∈[0,2]。對于函數(shù)f(x+1)，其自變量是x，但括號內(nèi)的“x+1”整體的取值范圍應(yīng)與f(x)中x的取值范圍相同。因此，有0≤x+1≤2，解得-1≤x≤1。所以函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,1]。說明：求復(fù)合函數(shù)的定義域，關(guān)鍵在于理解“f”作用的對象的取值范圍是固定的（即f(x)的定義域）。例9：求函數(shù)f(x)=x2-2x，x∈[0,3]的值域。解析：函數(shù)f(x)=x2-2x是一個(gè)二次函數(shù)，其圖象開口向上，對稱軸為x=-b/(2a)=1。*當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(1)=12-2×1=-1。*在區(qū)間[0,3]上，端點(diǎn)值分別為f(0)=02-2×0=0，f(3)=32-2×3=3。比較可知，最大值為3。因此，函數(shù)f(x)在[0,3]上的值域?yàn)閇-1,3]。說明：求函數(shù)值域的方法有很多，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，通常先判斷其對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，然后求出區(qū)間端點(diǎn)及頂點(diǎn)處的函數(shù)值，比較大小后確定最值。例10：判斷函數(shù)f(x)=(x2-1)/(x-1)與g(x)=x+1是否為同一函數(shù)，并說明理由。解析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，需看它們的定義域和對應(yīng)法則是否完全相同。*對于f(x)=(x2-1)/(x-1)，其定義域?yàn)閧x|x≠1}?；喓骹(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1（x≠1）。*對于g(x)=x+1，其定義域?yàn)镽。雖然它們的化簡表達(dá)式相同（在f(x)的定義域內(nèi)），但定義域不同，因此f(x)與g(x)不是同一函數(shù)。說明：定義域是函數(shù)的重要組成部分，即使兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式看似相同，只要定義域不同，它們就不是同一函數(shù)。切勿忽視定義域的作用。三、總結(jié)與提示集合與函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵在于理解其核心定義和本質(zhì)屬性。對于集合，要準(zhǔn)確把握元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系以及集合的運(yùn)算規(guī)則。對于函數(shù)，要深刻理解“兩個(gè)非空數(shù)集”、“每一個(gè)元素”、“唯一確定”這幾個(gè)關(guān)鍵