2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫——抽樣調查方法與樣本量計算試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋1.抽樣框2.抽樣誤差3.分層抽樣4.抽樣平均誤差5.置信區(qū)間二、簡答題1.簡述簡單隨機抽樣的概念及其主要特點。2.與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣有哪些優(yōu)點？3.影響抽樣誤差的因素主要有哪些？4.解釋什么是整群抽樣，并簡述其適用場合。5.在進行抽樣設計時，應考慮哪些主要因素？三、計算題1.某城市共有100萬戶家庭，已知家庭戶均月收入的方差估計為1500元2。若采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣調查，要求置信水平為95%，允許誤差不超過200元，試計算必要樣本量。（提示：95%置信水平對應的Z值為1.96）2.某工廠生產某種零件，將其分為10個層，每層包含1000件產品。根據(jù)前期抽樣調查，各層的標準差如下：σ?=0.5,σ?=0.6,σ?=0.4,σ?=0.7,σ?=0.5,σ?=0.8,σ?=0.6,σ?=0.5,σ?=0.7,σ??=0.4。假設各層權重相等（w?=1/10），若要求置信水平為99%，允許誤差為0.15，試采用比例分層抽樣方法計算必要樣本量。（提示：99%置信水平對應的Z值為2.58）四、應用題假設你是一位市場調研人員，需要調查某地區(qū)居民的智能手機使用習慣。請設計一個抽樣方案，說明你將選擇哪種主要的抽樣方法（概率抽樣或非概率抽樣），并闡述選擇該方法的理由。如果選擇概率抽樣，請簡述具體步驟；如果選擇非概率抽樣，請說明其可能存在的局限性。試卷答案一、名詞解釋1.抽樣框:指包含總體所有單元的名單或其它可供抽樣所依據(jù)的框架。它是聯(lián)系總體與樣本的橋梁，是抽取樣本的依據(jù)。*解析思路：考察對抽樣框基本定義的理解，強調其作為抽樣基礎的作用。2.抽樣誤差:指樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間存在的差異。它是由抽樣方法本身所引起的隨機誤差，不可避免，但可以控制和測量。*解析思路：區(qū)分抽樣誤差與非抽樣誤差，強調其隨機性和可控制性。3.分層抽樣:指先將總體按照某個或某些標志劃分為若干個互不重疊的子總體（層），然后從每個層中獨立地隨機抽取樣本，最后將各層的樣本合并起來構成總體樣本的抽樣方法。*解析思路：考察對分層抽樣定義和基本步驟的理解。4.抽樣平均誤差:指所有可能樣本的某個統(tǒng)計量（如樣本均值）的標準差。它反映了抽樣誤差的平均水平，是衡量抽樣精度的重要指標。*解析思路：考察對抽樣平均誤差概念的理解，及其作為精度衡量標準的意義。5.置信區(qū)間:指在置信水平下，以樣本統(tǒng)計量為中心，包含總體參數(shù)可能取值的一個區(qū)間。它表達了參數(shù)估計的不確定性和精確度。*解析思路：考察對置信區(qū)間概念及其含義的理解，包括其范圍和置信水平的含義。二、簡答題1.簡述簡單隨機抽樣的概念及其主要特點。答：簡單隨機抽樣是指從總體N個單元中，完全隨機地抽取n個單元構成樣本，每個單元被抽中的概率相等（為n/N）的抽樣方法。主要特點：（1）抽樣過程簡單，操作方便。（2）每個樣本單元被抽中的概率相同。（3）是其他復雜抽樣方法的基礎。（4）當總體單位數(shù)較少或各單位差異較小時較為適用；若總體單位數(shù)多、差異大，則抽樣誤差可能較大，效率不高。*解析思路：要求回答定義和特點，全面覆蓋其基本屬性和評價。2.與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣有哪些優(yōu)點？答：與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣的主要優(yōu)點有：（1）抽樣誤差通常更小，估計精度更高。因為分層可以減少層內差異，增大層間差異。（2）有利于了解各層情況，可以進行分層分析或按層分配資源。（3）便于組織實施，可以對各層單獨進行分析或滿足各層具體要求。*解析思路：要求對比分析，突出分層抽樣在減少誤差、便于管理和分析方面的優(yōu)勢。3.影響抽樣誤差的因素主要有哪些？答：影響抽樣誤差的主要因素有：（1）總體方差（或標準差）：總體單位間差異越大，抽樣誤差越大。（2）樣本量：樣本量越大，抽樣誤差越小。（3）抽樣方法：不同的抽樣方法，其抽樣誤差的大小和計算方式不同。一般來說，分層抽樣、整群抽樣（在樣本量相同下）的誤差可能大于簡單隨機抽樣。（4）抽樣組織形式：不同的抽樣組織設計也會影響實際達到的抽樣精度。*解析思路：要求列出影響抽樣誤差的關鍵變量，并簡述其影響方向。4.解釋什么是整群抽樣，并簡述其適用場合。答：整群抽樣是指將總體單元按一定規(guī)則劃分為若干群，以群為單位進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，抽中群的所有單元（或按一定比例抽取群內單元）構成樣本的抽樣方法。適用場合：（1）當總體單位分布廣泛，難以直接抽取樣本單元時（如跨區(qū)域調查）。（2）當抽樣框不完整或難以獲得時。（3）為了方便組織抽樣和現(xiàn)場調查工作。（4）成本考慮，有時整群抽樣比簡單隨機抽樣成本更低。*解析思路：要求解釋定義，并說明其核心應用場景和原因。5.在進行抽樣設計時，應考慮哪些主要因素？答：進行抽樣設計時應考慮的主要因素有：（1）研究目標：明確調查要解決的問題和需要獲取的信息。（2）總體特征：了解總體的構成、分布、變異情況及可獲得的抽樣框。（3）精度要求：允許的抽樣誤差范圍和所需的置信水平。（4）經費預算：抽樣設計的成本限制。（5）時間要求：調查完成的時間節(jié)點。（6）抽樣方法的選擇：根據(jù)上述因素，選擇最合適的概率抽樣方法（如簡單隨機、分層、整群、多階段等）或非概率抽樣方法。（7）數(shù)據(jù)處理和分析能力：確保抽樣設計的結果能夠被有效利用。*解析思路：要求全面考慮抽樣設計中的關鍵決策因素，體現(xiàn)系統(tǒng)性思維。三、計算題1.某城市共有100萬戶家庭，已知家庭戶均月收入的方差估計為1500元2。若采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣調查，要求置信水平為95%，允許誤差不超過200元，試計算必要樣本量。（提示：95%置信水平對應的Z值為1.96）解：計算簡單隨機抽樣必要樣本量，使用公式n?=(Zα/2)2*σ2/E2已知：N=100萬，σ2=1500，Zα/2=1.96，E=200因為總體規(guī)模N較大（通常N>2000或更大時，有限總體校正可忽略），所以直接使用公式計算無回答率調整的樣本量：n?=(1.96)2*1500/2002=3.8416*1500/40000≈0.1446由于計算結果小于1，且題目未提及無回答率，通常在實際應用中樣本量至少為1，但此處計算結果提示可能允許誤差E或方差σ2設定過大，或置信水平Z值使用不當。若嚴格按照公式計算，n?≈1。然而，樣本量通常需要是整數(shù)且大于等于1。更常見的做法是忽略N，直接計算n?。若題目隱含需要更嚴格的計算或考慮N，則應采用更復雜模型。此處按標準公式計算結果為1。但若題目期望一個更大的樣本量，需重新審視參數(shù)設定。（按標準公式計算結果為1，但需注意參數(shù)設定合理性）解析思路：應用簡單隨機抽樣樣本量計算公式，注意參數(shù)代入和單位一致性，識別出計算結果小于1的特殊情況并進行分析，說明實際操作中樣本量的取整問題。2.某工廠生產某種零件，將其分為10個層，每層包含1000件產品。根據(jù)前期抽樣調查，各層的標準差如下：σ?=0.5,σ?=0.6,σ?=0.4,σ?=0.7,σ?=0.5,σ?=0.8,σ?=0.6,σ?=0.5,σ?=0.7,σ??=0.4。假設各層權重相等（w?=1/10），若要求置信水平為99%，允許誤差為0.15，試采用比例分層抽樣方法計算必要樣本量。（提示：99%置信水平對應的Z值為2.58）解：計算比例分層抽樣必要樣本量，使用公式n?=n?*w?，其中n?=(Zα/2)2*Σ(w?σ?)2/E2已知：k=10，N?=1000（每層規(guī)模相同），σ?值給定為σ?=0.5,...,σ??=0.4，w?=1/10，Zα/2=2.58，E=0.15首先計算總體標準差的加權平方和Σ(w?σ?)2：Σ(w?σ?)2=(1/10*0.5)2+(1/10*0.6)2+...+(1/10*0.4)2=(0.52+0.62+0.42+0.72+0.52+0.82+0.62+0.52+0.72+0.42)/102=(0.25+0.36+0.16+0.49+0.25+0.64+0.36+0.25+0.49+0.16)/100=3.51/100=0.0351然后計算基礎樣本量n?：n?=(2.58)2*0.0351/0.152=6.6564*0.0351/0.0225≈6.6564*1.56/1=10.36由于樣本量必須是整數(shù)，向上取整，n?=11。最后計算各層樣本量n?：因為w?=1/10，所以n?=n?*w?=11*(1/10)=1.1同樣，樣本量必須是整數(shù)，對每個層也向上取整，即n?=2（若所有層都取2，則總樣本量為20；若允許某個層取1，則總樣本量為19。通常按比例分配后直接向上取整到整數(shù)，總樣本量為11*1=11，但更常見的做法是保證總樣本量n?向上取整后的每個層樣本量都至少為1，且總樣本量滿足n?向上取整值。此處計算基礎n?為11，按比例分配后各層樣本量n?=1.1，需向上取整。最標準的做法是總樣本量取n?向上取整值，即11。若按比例分配后向上取整，則各層n?至少為1，總樣本量至少為11。為符合比例原則且保證整數(shù)，可對所有層樣本量統(tǒng)一向上取整至最接近的比例值，或直接采用總樣本量n?向上取整的結果。此處采用n?向上取整為11。）解析思路：應用比例分層抽樣樣本量計算公式，注意加權平均標準差的平方Σ(w?σ?)2的計算，代入Z值和E值計算基礎樣本量n?，根據(jù)比例關系計算各層樣本量n?，并處理樣本量取整問題，確?？倶颖玖糠蟦?向上取整的結果。四、應用題假設你是一位市場調研人員，需要調查某地區(qū)居民的智能手機使用習慣。請設計一個抽樣方案，說明你將選擇哪種主要的抽樣方法（概率抽樣或非概率抽樣），并闡述選擇該方法的理由。如果選擇概率抽樣，請簡述具體步驟；如果選擇非概率抽樣，請說明其可能存在的局限性。設計一個抽樣方案，說明你將選擇哪種主要的抽樣方法（概率抽樣或非概率抽樣），并闡述選擇該方法的理由。如果選擇概率抽樣，請簡述具體步驟；如果選擇非概率抽樣，請說明其可能存在的局限性。答：選擇概率抽樣方法中的分層抽樣。理由：（1）該地區(qū)居民在年齡、收入、職業(yè)、居住區(qū)域等方面可能存在顯著差異（如年輕人使用習慣與老年人不同，高收入者與低收入者偏好不同），這些差異直接影響智能手機使用習慣。（2）分層抽樣可以將居民按某個顯著特征（如年齡、收入水平或居住區(qū)域）劃分為不同的層，然后在各層內進行隨機抽樣。這有助于確保樣本在關鍵特征上與總體分布相似，減少抽樣誤差，提高估計精度。（3）概率抽樣能夠保證每個居民都有被抽中的非零概率，其結果可以用于推斷總體特征，符合市場調研的嚴謹性要求。具體步驟：（1）劃分抽樣框和層：獲取該地區(qū)所有居民的名單（抽樣框），根據(jù)年齡（如18-25歲、26-40歲、41-60歲、60歲以上）或收入水平（如低收入、中等收入、高收入）或居住區(qū)域（如城市、郊區(qū)）等標準將居民劃分為若干個互不重疊的層。層數(shù)不宜過多，以保證每層有足夠的樣本量。（2）確定層內抽樣方法和樣本量：確定在各層中使用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣方法。可以根據(jù)各層在總體中的重要性（如各層人口比例）或各層內的變異性來按比例分配樣本量（比例分配），或者根據(jù)各層變異性和成本考慮進行最優(yōu)分配。（3）抽取樣本：在每個選定的層中，按照確定的抽樣方法和樣本量抽取樣本單元。（4）實施調查和數(shù)據(jù)整理：對抽中的樣本居民進行智能手機使用習慣的調查，收集數(shù)據(jù)并整理分析。（5）推斷總體：利用分層樣本的調查結果，結合抽樣設計信息，對總體居民的智能手機使用習慣進行推斷。（如果選擇非概率抽樣，例如方便抽樣）理由：可能因為獲取完整抽樣框困難、時間緊迫、成本限制或研究者易于接觸特定人群。局限性：（1）樣本代