2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策方法與試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個指標(biāo)不受極端值的影響？A.均值B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差2.從總體中隨機抽取樣本，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差稱為：A.總體標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本標(biāo)準(zhǔn)差C.抽樣誤差D.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤是指：A.處理了實際上是無效的處理B.沒有處理實際上是有效的處理C.接受了實際上是錯誤的原假設(shè)D.拒絕了實際上是正確的原假設(shè)4.設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，當(dāng)σ2未知時，檢驗μ的假設(shè)應(yīng)選用：A.Z檢驗B.t檢驗C.χ2檢驗D.F檢驗5.相關(guān)系數(shù)的取值范圍是：A.(0,1)B.(-1,1)C.[0,1]D.(-∞,+∞)6.簡單線性回歸方程中，回歸系數(shù)β?表示：A.當(dāng)自變量x變化一個單位時，因變量y的均值B.當(dāng)自變量x變化一個單位時，因變量y變化的平均速率C.因變量y的總變異量D.自變量x的總變異量7.在方差分析中，F(xiàn)檢驗的基本原理是：A.比較樣本均值的大小B.比較樣本標(biāo)準(zhǔn)差的大小C.比較組內(nèi)方差和組間方差D.比較總體均值和總體標(biāo)準(zhǔn)差8.抽樣調(diào)查的主要目的是：A.了解總體每個單位的詳細(xì)信息B.推斷總體的某些特征C.對樣本單位進行分類D.計算樣本的抽樣誤差9.貝葉斯決策方法與古典決策方法的主要區(qū)別在于：A.不確定性狀態(tài)的描述方式B.決策目標(biāo)的設(shè)定方式C.決策結(jié)果的評價方式D.決策者的主觀偏好10.回歸模型中，R2的取值范圍是：A.(0,1)B.(-1,1)C.[0,1]D.(-∞,+∞)二、判斷題1.中位數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的唯一指標(biāo)。()2.標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明數(shù)據(jù)的變異程度越小。()3.假設(shè)檢驗的結(jié)論只有接受原假設(shè)一種情況。()4.P值是檢驗統(tǒng)計量小于或等于觀察值概率。()5.相關(guān)系數(shù)r=0表示兩個變量之間沒有任何關(guān)系。()6.回歸分析中，自變量和因變量都是隨機變量。()7.方差分析只能用于分析一個因素對結(jié)果的影響。()8.抽樣調(diào)查比全面調(diào)查更能反映總體的真實情況。()9.決策樹是一種結(jié)構(gòu)化的決策分析方法。()10.置信區(qū)間的大小與置信水平成正比。()三、計算題1.某班級10名學(xué)生的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：172,168,165,170,175,160,180,162,169,174。要求：(1)計算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差；(2)計算樣本方差和變異系數(shù)。2.某研究人員想檢驗一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。隨機抽取100名患者，其中50人服用新藥，50人服用現(xiàn)有藥物。服用新藥組中有30人治愈，服用現(xiàn)有藥物組中有20人治愈。假設(shè)總體比例相同，檢驗新藥治愈率是否顯著高于現(xiàn)有藥物（α=0.05）。請完成假設(shè)檢驗的步驟。3.某公司想研究廣告投入（x，單位：萬元）與銷售額（y，單位：萬元）之間的關(guān)系。隨機抽取了6個季度數(shù)據(jù)，得到如下回歸分析結(jié)果：回歸方程為y?=50+2x，R2=0.85。當(dāng)廣告投入為10萬元時，求銷售額的預(yù)測值和95%的預(yù)測區(qū)間（假設(shè)誤差項服從正態(tài)分布）。四、簡答題1.簡述假設(shè)檢驗中第一類錯誤和第二類錯誤的含義及其之間的關(guān)系。2.簡述相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)在概念和意義上的主要區(qū)別。五、應(yīng)用題1.某工廠生產(chǎn)兩種類型的電池，為了檢驗兩種電池的壽命是否有顯著差異，隨機抽取了8節(jié)A型電池和7節(jié)B型電池進行測試，得到如下壽命數(shù)據(jù)（單位：小時）：A型：45,50,55,60,58,48,52,56；B型：40,42,38,44,46,39,41。請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗兩種電池的壽命是否存在顯著差異（α=0.05）。2.某房地產(chǎn)公司想了解房屋價格（y，單位：萬元）與房屋面積（x?，單位：平方米）和房齡（x?，單位：年）之間的關(guān)系。收集了10套房屋數(shù)據(jù)，得到如下信息：回歸方程為y?=80-0.5x?+0.2x?，R2=0.75，模型的總自由度為9，回歸平方和為1500，殘差平方和為375。請解釋回歸系數(shù)-0.5和0.2的含義，并評價該回歸模型的擬合效果。試卷答案一、選擇題1.B解析：中位數(shù)是位于數(shù)據(jù)排序中間位置的值，不受極端值影響。均值受極端值影響較大，眾數(shù)是出現(xiàn)頻率最高的值，標(biāo)準(zhǔn)差衡量變異程度，也受極端值影響。2.C解析：抽樣誤差是指由于抽樣導(dǎo)致樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異。樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差就是抽樣誤差的一種度量。3.C解析：犯第一類錯誤是指在原假設(shè)實際上為真時，錯誤地拒絕了原假設(shè)，也稱為“棄真錯誤”。4.B解析：根據(jù)中心極限定理和t分布的應(yīng)用條件，當(dāng)總體服從正態(tài)分布但標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時，應(yīng)選用t檢驗來檢驗總體均值μ。5.B解析：相關(guān)系數(shù)r的取值范圍在-1到1之間，其中r=1表示完全正相關(guān)，r=-1表示完全負(fù)相關(guān)，r=0表示不相關(guān)（線性相關(guān)）。6.B解析：回歸系數(shù)β?表示自變量x每變化一個單位時，因變量y預(yù)計變化的平均速率（在控制其他變量的情況下）。7.C解析：方差分析（ANOVA）的基本原理是通過比較不同組的均值差異所引起的變異（組間方差）與組內(nèi)個體差異引起的變異（組內(nèi)方差）來判斷因素是否有顯著影響。8.B解析：抽樣調(diào)查的主要目的是通過分析樣本數(shù)據(jù)來推斷總體的特征，如總體均值、比例等。9.A解析：貝葉斯決策方法與古典決策方法的主要區(qū)別在于處理不確定性狀態(tài)的方式，貝葉斯方法利用貝葉斯定理更新概率，而古典方法通常采用先驗概率或主觀概率。10.C解析：R2（決定系數(shù)）表示回歸模型所能解釋的因變量總變異的比例，其取值范圍在0到1之間，0表示模型無解釋力，1表示模型完全擬合。二、判斷題1.×解析：描述數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)還有均值、眾數(shù)等，中位數(shù)是其中之一。2.×解析：標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明數(shù)據(jù)的分布越分散，變異程度越大。3.×解析：假設(shè)檢驗的結(jié)論有兩種情況：接受原假設(shè)或拒絕原假設(shè)。4.×解析：P值是指在原假設(shè)為真的情況下，觀察到檢驗統(tǒng)計量大于或等于觀察值（或更極端）的概率。5.×解析：相關(guān)系數(shù)r=0表示兩個變量之間沒有線性關(guān)系，但可能存在非線性關(guān)系。6.×解析：在回歸分析中，自變量通常是可控的，而因變量是隨機變量。7.×解析：方差分析可以用于分析一個或多個因素對結(jié)果的影響。8.√解析：抽樣調(diào)查通過樣本信息可以推斷總體特征，且通常比全面調(diào)查更經(jīng)濟、高效，并能避免全面調(diào)查可能出現(xiàn)的偏差。9.√解析：決策樹是一種將決策過程分解為一系列節(jié)點和分支的結(jié)構(gòu)化方法，能夠清晰地展示不同決策路徑及其結(jié)果。10.×解析：置信區(qū)間的大小與置信水平成反比，置信水平越高，置信區(qū)間越大；置信水平越低，置信區(qū)間越小。三、計算題1.(1)樣本均值：Σx/n=(172+168+165+170+175+160+180+162+169+174)/10=1694/10=169.4cm樣本方差：s2=Σ(x-μ)2/(n-1)=[(172-169.4)2+(168-169.4)2+...+(174-169.4)2]/9=544.4/9≈60.49cm2樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s=√s2≈√60.49≈7.78cm變異系數(shù)：CV=s/μ=7.78/169.4≈0.0461(或4.61%)(2)樣本方差：s2=60.49cm2(已計算)總體方差σ2未知，用樣本方差s2代替。變異系數(shù)：CV≈0.0461(已計算)2.H?:p?=p?(兩種藥物治愈率相同)H?:p?>p?(新藥治愈率高于現(xiàn)有藥物)α=0.05樣本比例：p??=30/50=0.6,p??=20/50=0.4合并樣本比例：p?=(30+20)/(50+50)=50/100=0.5標(biāo)準(zhǔn)誤差：SE=√[p?(1-p?)(1/n?+1/n?)]=√[0.5(1-0.5)(1/50+1/50)]=√[0.25(2/50)]=√[0.25/25]=√0.01=0.1檢驗統(tǒng)計量：Z=(p??-p??)/SE=(0.6-0.4)/0.1=0.2/0.1=2.0拒絕域：Z>Z?,其中Z?=1.645(對應(yīng)α=0.05的單尾檢驗)決策：因為Z=2.0>1.645，所以拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，有足夠的證據(jù)表明新藥治愈率顯著高于現(xiàn)有藥物。3.預(yù)測值：y?=50+2x=50+2(10)=50+20=70萬元預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差：s?=√[SSE/(n-2)](公式，此處未給出SSE和n，無法計算具體數(shù)值，但需理解概念)95%預(yù)測區(qū)間：y?±t_(α/2,n-2)*s?*√(1+1/n+(x?-x?)2/Σ(x?-x?)2)其中，x=10,x?=Σx/n=(6*10)/6=10(根據(jù)題意或假設(shè)),n=6區(qū)間為：70±t_(0.025,4)*s?*√(1+1/6+(10-10)2/Σ(x?-10)2)需要t分布表或軟件查找t_(0.025,4)≈2.776，并計算s?及分母根式才能得出具體區(qū)間。四、簡答題1.第一類錯誤（棄真錯誤）：是指在原假設(shè)H?實際上為真時，錯誤地拒絕了H?。其概率用α表示，也稱為顯著性水平。第二類錯誤（取偽錯誤）：是指在原假設(shè)H?實際上為假時，錯誤地接受了H?。其概率用β表示。兩者關(guān)系：對于固定的樣本量和檢驗方法，α和β之間存在反向關(guān)系。減小α通常會增大β，反之亦然。通常通過增大樣本量來同時控制α和β。2.相關(guān)系數(shù)（CorrelationCoefficient）：概念：衡量兩個變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計量，通常用r表示（皮爾遜相關(guān)系數(shù)）。取值范圍在-1到1之間。意義：表示相關(guān)關(guān)系的方向（正或負(fù)）和強度（絕對值越大，線性關(guān)系越強）。r=0表示沒有線性關(guān)系，但不排除其他類型關(guān)系。回歸系數(shù)（RegressionCoefficient）：概念：在回歸方程y?=a+bx中，b稱為回歸系數(shù)（斜率系數(shù)）。它表示自變量x每變化一個單位時，因變量y的平均變化量（在控制其他變量時）。意義：表示自變量x對因變量y的影響方向（b>0表示正相關(guān)，b<0表示負(fù)相關(guān)）和影響程度（|b|越大，影響越大）?；貧w系數(shù)是有單位的。五、應(yīng)用題1.檢驗兩種電池壽命是否存在顯著差異，應(yīng)使用雙樣本t檢驗（假設(shè)方差相等或未知）。H?:μ?=μ?(兩種電池壽命無顯著差異)H?:μ?≠μ?(兩種電池壽命存在顯著差異)α=0.05樣本量：n?=8,n?=7樣本均值：x??=(45+50+...+56)/8=448/8=56小時x??=(40+42+...+41)/7=298/7≈42.57小時樣本方差：s?2=[(45-56)2+...+(56-56)2]/(8-1)=448/7≈64.00小時2s?2=[(40-42.57)2+...+(41-42.57)2]/(7-1)=84.14/6≈14.023小時2合并樣本方差（假設(shè)方差相等）：s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(7*64+6*14.023)/13]≈[448+84.138]/13≈532.138/13≈41.00小時2合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s_p=√41.00≈6.40小時檢驗統(tǒng)計量：t=(x??-x??)/(s_p*√(1/n?+1/n?))=(56-42.57)/(6.40*√(1/8+1/7))=13.43/(6.40*√(0.125+0.142857))=13.43/(6.40*√0.267857)=13.43/(6.40*0.5175)≈13.43/3.312≈4.06自由度：df=n?+n?-2=8+7-2=13臨界值：t_(α/2,df)=t_(0.025,13)≈2.160決策：因為|t|=4.06>2.160，所以拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，有足夠的證據(jù)表明兩種電