2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫——統(tǒng)計(jì)與決策案例研究試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______第一題某連鎖超市為了評(píng)估不同營銷策略對(duì)銷售額的影響，收集了過去一年中15家分店的數(shù)據(jù)。其中包含每家分店每月投入的營銷費(fèi)用（單位：萬元）、店鋪所在地區(qū)的月均人流量（單位：萬人次）以及每月的銷售額（單位：萬元）。假設(shè)數(shù)據(jù)已通過統(tǒng)計(jì)軟件分析，得到了以下部分輸出結(jié)果和圖表描述：*輸出結(jié)果1（部分）：*銷售額（Y）與營銷費(fèi)用（X1）的簡單線性回歸方程為：Y?=50+1.2X1*營銷費(fèi)用（X1）的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)為0.65*銷售額（Y）的判定系數(shù)R2=0.45*在X1=8（萬元）時(shí)，銷售額的點(diǎn)估計(jì)值為58.6（萬元）。*輸出結(jié)果2（部分）：*銷售額（Y）與月均人流量（X2）的簡單線性回歸方程為：Y?=30+0.9X2*月均人流量（X2）的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)為0.70*銷售額（Y）的判定系數(shù)R2=0.52*圖表描述1：銷售額（Y）與營銷費(fèi)用（X1）的散點(diǎn)圖顯示出明顯的線性趨勢(shì)，且相關(guān)系數(shù)r=0.67。*圖表描述2：營銷費(fèi)用（X1）與月均人流量（X2）的散點(diǎn)圖顯示出弱的負(fù)線性關(guān)系。基于以上信息，請(qǐng)回答以下問題：1.1.解釋輸出結(jié)果1中回歸方程Y?=50+1.2X1的經(jīng)濟(jì)意義。1.2.比較營銷費(fèi)用（X1）和月均人流量（X2）對(duì)銷售額（Y）的解釋能力，并說明理由。1.3.分析月均人流量（X2）與營銷費(fèi)用（X1）之間是否存在多重共線性問題？請(qǐng)簡要說明判斷依據(jù)。1.4.假設(shè)該超市計(jì)劃下月投入9萬元的營銷費(fèi)用，請(qǐng)利用簡單線性回歸模型預(yù)測(cè)其銷售額，并簡要解釋預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性。1.5.超市管理層希望將銷售額提升至70萬元，僅考慮營銷費(fèi)用（X1）的影響，需要投入多少營銷費(fèi)用？請(qǐng)計(jì)算并說明此預(yù)測(cè)值的局限性。第二題一家制藥公司研發(fā)了一種新藥，希望評(píng)估該藥物在降低患者血壓方面的效果。研究人員隨機(jī)選取了100名高血壓患者，將其分為兩組，每組50人。一組服用新藥（實(shí)驗(yàn)組），另一組服用安慰劑（對(duì)照組）。經(jīng)過一個(gè)月的治療后，記錄了兩組患者收縮壓的變化量（單位：mmHg）。假設(shè)數(shù)據(jù)經(jīng)分析得到：*實(shí)驗(yàn)組（新藥組）收縮壓變化量的樣本均值為-15mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4mmHg。*對(duì)照組（安慰劑組）收縮壓變化量的樣本均值為-5mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5mmHg。*兩組樣本量均為50，且假定兩組收縮壓變化量數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且方差相等。請(qǐng)回答以下問題：2.1.為了檢驗(yàn)新藥是否比安慰劑更有效地降低血壓，應(yīng)提出什么原假設(shè)和備擇假設(shè)？2.2.請(qǐng)計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（t值），并說明其含義。2.3.假設(shè)顯著性水平α=0.05，請(qǐng)查找臨界值（或使用p值判斷），并說明是否拒絕原假設(shè)。2.4.解釋本次假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果對(duì)新藥是否有效具有什么結(jié)論？請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)結(jié)果和實(shí)際情況進(jìn)行說明。2.5.在進(jìn)行本次假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，我們基于哪些前提條件？如果這些條件不滿足，檢驗(yàn)結(jié)果的可信度會(huì)受到什么影響？第三題某城市交通管理部門希望了解高峰時(shí)段主干道上汽車行駛速度與交通擁堵程度之間的關(guān)系。他們收集了一周內(nèi)每天上午高峰時(shí)段（7:00-9:00）該主干道的汽車平均行駛速度（單位：km/h）和擁堵指數(shù)（一個(gè)數(shù)值越大表示擁堵越嚴(yán)重的指標(biāo)）數(shù)據(jù)。經(jīng)分析得到：*行駛速度（X）與擁堵指數(shù)（Y）的簡單線性回歸方程為：Y?=120-0.8X。*擁堵指數(shù)（Y）的樣本均值為90，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15。*行駛速度（X）的樣本均值為50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5。*回歸模型的判定系數(shù)R2=0.64。請(qǐng)回答以下問題：3.1.解釋回歸方程Y?=120-0.8X中回歸系數(shù)（-0.8）的實(shí)際意義。3.2.計(jì)算該模型的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，并簡要說明其含義。3.3.當(dāng)某天上午高峰時(shí)段的平均行駛速度為45km/h時(shí)，預(yù)測(cè)該天的擁堵指數(shù)是多少？請(qǐng)說明預(yù)測(cè)值的含義。3.4.解釋判定系數(shù)R2=0.64在此案例中的含義。3.5.如果某天的擁堵指數(shù)為110，請(qǐng)計(jì)算其殘差，并簡要說明殘差反映了什么信息。第四題一家電子產(chǎn)品制造商關(guān)心其產(chǎn)品的客戶滿意度。他們?cè)O(shè)計(jì)了一份包含多個(gè)問題的調(diào)查問卷，收集中位數(shù)收入在5萬元以上的1000名客戶的有效反饋。其中，一個(gè)問題詢問客戶對(duì)產(chǎn)品整體性能的滿意度評(píng)分（滿分1-10分）。假設(shè)收集到的滿意度評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，樣本均值為7.5分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2分。請(qǐng)回答以下問題：4.1.制造商希望了解客戶滿意度評(píng)分的總體均值是否顯著高于6分。請(qǐng)?zhí)岢鰴z驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)。4.2.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（z值），并說明其含義。4.3.若采用顯著性水平α=0.01，請(qǐng)查找臨界值（或計(jì)算p值），并判斷是否可以認(rèn)為客戶滿意度評(píng)分的總體均值顯著高于6分。4.4.假設(shè)制造商計(jì)劃在廣告中宣稱其產(chǎn)品“滿意度評(píng)分普遍高于7分”，請(qǐng)根據(jù)本次抽樣結(jié)果，在α=0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)這一宣稱是否具有統(tǒng)計(jì)支持？4.5.如果樣本標(biāo)準(zhǔn)差未知，但知道樣本量足夠大（n>30），上述檢驗(yàn)過程和結(jié)論是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由。第五題某公司人力資源部希望研究員工的月工資（Y，單位：元）與其工齡（X1，單位：年）和績效評(píng)分（X2，單位：分，滿分100）之間的關(guān)系。他們隨機(jī)抽取了公司中50名員工的樣本數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行了多元線性回歸分析，得到以下部分結(jié)果：*回歸方程：Y?=3000+500X1+120X2*部分方差分析表（ANOVA）：*來源SSdfMSFp-value*回歸4,500,00022,250,00035.000.000*殘差2,500,0004852,083*總計(jì)7,000,00050*X1（工齡）的回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：50*X2（績效評(píng)分）的回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：10請(qǐng)回答以下問題：5.1.解釋回歸方程Y?=3000+500X1+120X2中各回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。5.2.判斷該多元線性回歸模型的整體擬合效果如何？請(qǐng)說明理由。5.3.在統(tǒng)計(jì)上，工齡（X1）和績效評(píng)分（X2）對(duì)月工資（Y）是否有顯著影響？請(qǐng)結(jié)合F檢驗(yàn)的結(jié)果和p-value進(jìn)行說明。5.4.計(jì)算工齡（X1）回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并判斷在α=0.05的水平下，是否可以認(rèn)為工齡對(duì)月工資有顯著的正向影響？5.5.假設(shè)某員工工齡為3年，績效評(píng)分為85分，請(qǐng)預(yù)測(cè)其月工資，并解釋預(yù)測(cè)結(jié)果。---試卷答案第一題1.1.當(dāng)營銷費(fèi)用為0萬元時(shí)，該模型預(yù)測(cè)的銷售額基線為50萬元?；貧w系數(shù)1.2表示，在其他變量不變的情況下，每增加1萬元營銷費(fèi)用，銷售額預(yù)計(jì)平均增加1.2萬元。1.2.擁堵指數(shù)（Y）對(duì)銷售額（Y）的解釋能力更強(qiáng)，因?yàn)槠渑卸ㄏ禂?shù)R2=0.52大于營銷費(fèi)用（X1）的R2=0.45。這意味著月均人流量對(duì)銷售額的變異解釋了52%，而營銷費(fèi)用解釋了45%。1.3.存在多重共線性問題。理由是：1）營銷費(fèi)用（X1）與月均人流量（X2）的散點(diǎn)圖顯示出弱的負(fù)線性關(guān)系，暗示兩者可能相關(guān)；2）雖然未給出X1和X2的相關(guān)系數(shù)，但R2較高且X1與X2關(guān)系較弱，結(jié)合實(shí)際情境，兩者可能存在一定正相關(guān)性（例如，人流量大的區(qū)域通常有更高的商業(yè)價(jià)值，吸引更多營銷投入）。當(dāng)自變量高度相關(guān)時(shí)，會(huì)使得回歸系數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定，標(biāo)準(zhǔn)誤增大，影響顯著性檢驗(yàn)。1.4.預(yù)測(cè)銷售額為Y?=50+1.2*9=50+10.8=60.8萬元。合理性在于：1）使用了基于整個(gè)樣本數(shù)據(jù)建立的回歸模型；2）投入9萬元的費(fèi)用在樣本營銷費(fèi)用的范圍（最低值未明確，但8萬元處已給出預(yù)測(cè)值，9萬應(yīng)在其合理范圍內(nèi)）內(nèi)；3）該預(yù)測(cè)是基于線性關(guān)系的延伸，未考慮其他可能影響銷售額的非線性因素或外部環(huán)境變化。1.5.需要投入營銷費(fèi)用X1=(70-50)/1.2=20/1.2=16.67萬元。局限性：1）此預(yù)測(cè)基于線性關(guān)系，假設(shè)銷售額隨營銷費(fèi)用增加呈恒定比例增長，現(xiàn)實(shí)中可能存在邊際效益遞減；2）模型未考慮其他影響因素（如人流量、產(chǎn)品成本、市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等）；3）僅基于歷史數(shù)據(jù)的簡單回歸，未考慮未來市場(chǎng)環(huán)境的變化；4）該投入水平可能超出公司預(yù)算或?qū)嶋H操作能力。第二題2.1.H?:新藥組平均收縮壓變化量(μ?)-安慰劑組平均收縮壓變化量(μ?)≤0(或μ?≤μ?)。H?:新藥組平均收縮壓變化量(μ?)-安慰劑組平均收縮壓變化量(μ?)>0(或μ?>μ?)。(檢驗(yàn)新藥是否比安慰劑效果更好，即新藥組變化量是否顯著大于安慰劑組)。2.2.計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p=sqrt(((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2))=sqrt(((50-1)42+(50-1)52)/(50+50-2))=sqrt((196+1225)/98)=sqrt(1421/98)≈sqrt(14.46)≈3.8.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/s_p*sqrt(1/n?+1/n?)=(-15-(-5))/3.8*sqrt(1/50+1/50)=-10/3.8*sqrt(2/50)=-10/3.8*sqrt(0.04)=-10/3.8*0.2=-2.105*0.2=-0.421(取絕對(duì)值，|t|=0.421)。含義是，樣本觀察到的兩組均值差（-10mmHg）與假設(shè)的總體差（0）相比，以合并標(biāo)準(zhǔn)誤差為單位相差0.421個(gè)單位。2.3.查t分布表，自由度df=n?+n?-2=98。顯著性水平α=0.05，單尾檢驗(yàn)。臨界值t_crit≈1.660(或查找p值，若p>0.05則不拒絕H?)。計(jì)算p值：使用統(tǒng)計(jì)軟件或表格，對(duì)于t=0.421，df=98，p值遠(yuǎn)大于0.05(通常p>0.10)。由于p>α，不拒絕原假設(shè)H?。2.4.結(jié)果表明，沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持新藥比安慰劑更有效地降低血壓。樣本數(shù)據(jù)顯示新藥組平均收縮壓變化量（-15mmHg）略低于安慰劑組（-5mmHg），但該差異并不顯著（在α=0.05水平下）。這意味著觀察到的效果差異很可能是由于隨機(jī)抽樣誤差造成的，不能歸因于新藥本身的有效性。因此，從本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)看，新藥在降低血壓方面未表現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)上的顯著優(yōu)勢(shì)。2.5.假設(shè)條件：1）兩組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布；2）兩組總體方差相等（方差齊性）；3）樣本獨(dú)立抽取。如果這些條件不滿足，特別是非正態(tài)分布或方差不齊，t檢驗(yàn)的結(jié)果可能不準(zhǔn)確或偏誤。對(duì)于非正態(tài)，大樣本（n?,n?都較大）可使t檢驗(yàn)相對(duì)穩(wěn)健，但對(duì)于小樣本需注意。對(duì)于方差不齊，應(yīng)使用修正的t檢驗(yàn)（Satterthwaite法）或非參數(shù)檢驗(yàn)方法，否則可能導(dǎo)致拒絕H?的錯(cuò)誤。第三題3.1.回歸系數(shù)-0.8表示，在其他變量（擁堵指數(shù)）不變的情況下，汽車平均行駛速度每增加1km/h，該主干道的擁堵指數(shù)預(yù)計(jì)平均下降0.8個(gè)單位。即速度越快，擁堵指數(shù)越低（擁堵越輕）。3.2.估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差s_e=sqrt(MS殘差)=sqrt(52,083)≈228.2mmHg。含義是，實(shí)際觀測(cè)的擁堵指數(shù)與根據(jù)模型預(yù)測(cè)的擁堵指數(shù)之間的平均偏離程度約為228.2mmHg。3.3.預(yù)測(cè)擁堵指數(shù)Y?=120-0.8*45=120-36=84。預(yù)測(cè)值含義：當(dāng)主干道上午高峰時(shí)段的平均行駛速度為45km/h時(shí)，該模型預(yù)測(cè)該天的擁堵指數(shù)為84。3.4.R2=0.64表示，在擁堵指數(shù)（Y）的總變異中，約有64%可以被行駛速度（X）這個(gè)線性因素解釋。這說明行駛速度是影響擁堵指數(shù)的一個(gè)比較重要的因素，但仍有36%的變異是由其他未包含在模型中的因素（如天氣、交通事故、特殊事件等）所引起的。3.5.殘差e=實(shí)際值-預(yù)測(cè)值=110-84=26。殘差反映了實(shí)際觀測(cè)的擁堵指數(shù)與基于行駛速度預(yù)測(cè)的擁堵指數(shù)之間的差異。正值殘差（e=26）表示實(shí)際擁堵指數(shù)比預(yù)測(cè)值高26個(gè)單位，即當(dāng)行駛速度為45km/h時(shí)，該天的實(shí)際擁堵程度比模型預(yù)測(cè)的更嚴(yán)重。第四題4.1.H?:總體滿意度評(píng)分均值μ≤6。H?:總體滿意度評(píng)分均值μ>6。4.2.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z=(x?-μ?)/(s/sqrt(n))=(7.5-6)/(1.2/sqrt(1000))=1.5/(1.2/31.62)=1.5/0.038=39.5。含義是，樣本均值7.5分與零假設(shè)下的均值6分相比，相差了39.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤單位。4.3.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或計(jì)算p值。對(duì)于z=39.5，其右側(cè)尾概率p值極其接近0(遠(yuǎn)小于0.01)。由于p<α(0.01)，拒絕原假設(shè)H?。4.4.檢驗(yàn)的原假設(shè)是總體均值μ≤7。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z=(7-7)/(1.2/sqrt(1000))=0/0.038=0。查找臨界值：對(duì)于α=0.05，單尾檢驗(yàn)，z_crit≈1.645。由于z=0<1.645，未拒絕原假設(shè)?；蛘哂?jì)算p值：對(duì)于z=0，p值為0.5(正態(tài)分布對(duì)稱性)。由于p=0.5>α(0.05)，未拒絕原假設(shè)。結(jié)論：沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持“滿意度評(píng)分普遍高于7分”的宣稱。4.5.如果樣本標(biāo)準(zhǔn)差未知但n>30，應(yīng)使用t檢驗(yàn)。由于df=n-1=1000-1=999非常大，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布非常接近。因此，t檢驗(yàn)的結(jié)論與z檢驗(yàn)的結(jié)論基本一致。對(duì)于第一題，t檢驗(yàn)的臨界值會(huì)非常接近z檢驗(yàn)的1.645（或1.96對(duì)于雙尾α=0.05），統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算（t=(x?-μ?)*sqrt(n)/s）與z檢驗(yàn)類似。因此，檢驗(yàn)過程和結(jié)論（特別是p值和顯著性判斷）不會(huì)實(shí)質(zhì)性地變化，只是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的名稱從z變?yōu)閠。第五題5.1.回歸系數(shù)500表示，在績效評(píng)分（X2）保持不變的情況下，工齡（X1）每增加1年，月工資（Y）預(yù)計(jì)平均增加500元?；貧w系數(shù)120表示，在工齡（X1）保持不變的情況下，績效評(píng)分（X2）每增加1分，月工資（Y）預(yù)計(jì)平均增加120元。5.2.